2014年第20期青年时代 YOUTH TIMES
. 高等教育 .
三角形面积的坐标公式的多种证明及思考
宁 鹰
东华理工大学行知分院 江西 抚州 344000
摘 要：不仅用平面向量法，而且用空间向量法，割补法，等积变形，解析法等多种方法证明三角形面积的坐标公式，同时也对面积问题进行思考。
关键词：
空间向量法；割补法；等积变形；解析法
三角形面积的坐标公式：
如图一，设平面上两点A、B的
，B坐标分别为A
为坐标原点，则三角形的面
积.
证法1（平面向量法）：令
,则
证法2（空间向量法）：建立空间直角坐标系，由于三
角形在
平面上，所以
，
，
则
思考：证法一是最常见的证明方法，其计算量是比较大的。而证法二是运用空间解析几何的向量积，虽然这是个平面问题，但是平面也是空间的一部分，这也说明向量积在处理
某些面积问题时是有优势的。
证法3（割补法）见图二，过A点作两坐标轴的垂线，
分别交于D、E，过点B作轴的垂线，交于C.则
证法4（等积变形）：见图（1）~（4）图（1），把三角形拼成平行四边形图（2），把上面突出平移下来
图（3），把左右突出平移到对面去，变成一个矩形。
图（4），把途中阴影矩形移到左上方一块与其面积相等的空白处，整个图形的面积就是
那么
反思：等面积替换可以达到意想不到的简化效果，但是变形需要一定的数学经验和思考。
证法5（解析法）：直线OB的方程为么点A到直线
OB的距离
，所以
，那
考虑到A、B两点坐标可以互换，所以
思考：对面积进行割补，从而构成我们所熟悉的图形面积问题进而解决是很常用的方法，当然一个图形进行割补可能会有很多处理方式，比如此题还可以过A、B两点分别作平行与两坐标的平行线，从而形成一个大的矩形和四个三
角形，当然每个部分的面积也是容易得出的。
反思：几何问题转化成代数运算，用点到直线的距离以及最常规的面积公式解决问题。当然也可以利用勾股定理建立关于OD的方程，求出OD，然后再次用勾股定理求出高AD，一样可以解决问题，只是计算量稍微大点。
参考文献：
[1]顾森，《思考的乐趣》[M].北京:人民邮电出版社2012年
[2]许子道殷剑兴《空间解析几何》[M].南京:南京大学出版社1999年
[3]汪天友，奥林匹克数学竞赛中的面积问题[J].贵阳学院学报.2006（9）
作者简介：宁鹰（1988-），男，汉族，湖南邵阳人，东华理工大学行知分院助讲。
73
2014年第20期青年时代 YOUTH TIMES
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三角形面积的坐标公式的多种证明及思考
宁 鹰
东华理工大学行知分院 江西 抚州 344000
摘 要：不仅用平面向量法，而且用空间向量法，割补法，等积变形，解析法等多种方法证明三角形面积的坐标公式，同时也对面积问题进行思考。
关键词：
空间向量法；割补法；等积变形；解析法
三角形面积的坐标公式：
如图一，设平面上两点A、B的
，B坐标分别为A
为坐标原点，则三角形的面
积.
证法1（平面向量法）：令
,则
证法2（空间向量法）：建立空间直角坐标系，由于三
角形在
平面上，所以
，
，
则
思考：证法一是最常见的证明方法，其计算量是比较大的。而证法二是运用空间解析几何的向量积，虽然这是个平面问题，但是平面也是空间的一部分，这也说明向量积在处理
某些面积问题时是有优势的。
证法3（割补法）见图二，过A点作两坐标轴的垂线，
分别交于D、E，过点B作轴的垂线，交于C.则
证法4（等积变形）：见图（1）~（4）图（1），把三角形拼成平行四边形图（2），把上面突出平移下来
图（3），把左右突出平移到对面去，变成一个矩形。
图（4），把途中阴影矩形移到左上方一块与其面积相等的空白处，整个图形的面积就是
那么
反思：等面积替换可以达到意想不到的简化效果，但是变形需要一定的数学经验和思考。
证法5（解析法）：直线OB的方程为么点A到直线
OB的距离
，所以
，那
考虑到A、B两点坐标可以互换，所以
思考：对面积进行割补，从而构成我们所熟悉的图形面积问题进而解决是很常用的方法，当然一个图形进行割补可能会有很多处理方式，比如此题还可以过A、B两点分别作平行与两坐标的平行线，从而形成一个大的矩形和四个三
角形，当然每个部分的面积也是容易得出的。
反思：几何问题转化成代数运算，用点到直线的距离以及最常规的面积公式解决问题。当然也可以利用勾股定理建立关于OD的方程，求出OD，然后再次用勾股定理求出高AD，一样可以解决问题，只是计算量稍微大点。
参考文献：
[1]顾森，《思考的乐趣》[M].北京:人民邮电出版社2012年
[2]许子道殷剑兴《空间解析几何》[M].南京:南京大学出版社1999年
[3]汪天友，奥林匹克数学竞赛中的面积问题[J].贵阳学院学报.2006（9）
作者简介：宁鹰（1988-），男，汉族，湖南邵阳人，东华理工大学行知分院助讲。
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