习题3-1
1、计算下列第二类曲线积分：
（1）(x 2-y 2) dx , L 为抛物线y 2=x 上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；
⎰
L
（2）
(x +y ) dx -(x -y ) dy 222
L 为按逆时针方向饶行的圆； , x +y =a 22x +y L
（3）
⎰
L
ydx +zdy +xdz , L 为螺旋线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 上由t=0到t=2π的
有向弧段;
（4）
⎰xdx +ydy +(x +y -1) dz , L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；
L
（5）F ⋅dl , 其中F =-(y , x ), L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针
L
方向；
（6）F ⋅dl , 其中F =
L
ye 1-xe 2
，L 按逆时针方向饶行的圆x =a cos t , y =a sin t . 22
x +y
2
解（1）化为对x 的定积分，L: y =x ，x 从0到2，所以
[1**********]2
(x -x ) dx =(x -x ) =-= (x -y ) dx ⎰00⎰3515L
（2）圆周的参数方程为：x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π)
(x +y ) dx -(x -y ) dy
22x +y L 1
a 21=2a 1=2a
=
⎰⎰
2π
02π
(a cos t +a sin t ) d (a cos t ) -(a cos t -a sin t ) d (a sin t ) [(a cos t +a sin t )(-a sin t ) -(a cos t -a sin t )(a cos t ) ]dt -a 2dt =-2π
⎰
02π
（3）L 的参数方程为：x =a cos t , y =a sin t , z =bt ，t 从0到2π，所以
⎰
L
ydx +zdy +xdz =⎰a sin td (a cos t ) +btd (a sin t ) +a cos td (b t )
2π
=
⎰
2π
(-a 2sin 2t +abt cos t +ab cos t ) dt =-πa 2
（4）直线的参数方程为：x =1+t , y =1+2t , z =1+3t (0≤t ≤1) ∴dx =dt , dy =2dt , dz =3dt 代入
⎰xdx +ydy +(x +y -1) dz
L
=[(1+t ) +2(1+2t ) +3(1+t +1+2t -1)]dt
0⎰
1
=
⎰(6+14t ) dt =6+7=13
1
（5）三条直线段的方程分别为
y=0,x从0到1； x=1,y从0到1； y=x,x从1到0. 所以 F ⋅dl =-ydx -xdy
L
L
=
⎰
1
-1dy +⎰-xdx +⎰-xdx
1
1
00
=0
(6) F ⋅dl
L
=⎰=⎰
2π
02π
02π
y x
-dy 2222
x +y x +y a sin t a cos t
(a cos t ) -d (a sin t ) 22a a
=⎰-1dt =-2π
2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周
x 2+y 2=R 2按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.
解：由题意知，场力所作的功为
W =⎰F
L
L: x +y =R ,x 从R 变到0， 于是，w=
222
⎰
L
F dx =⎰F =-F R
R
3、有一平面力场F ，大小等于点（x,y ）到原点的距离，方向指向原点. 试求单位质量
x 2y 2
的质点P 沿椭圆2+2=1逆时针方向绕行一周，力F 所作的功.
a b
解：F =(-x , -y )
x 2y 2
椭圆2+2=1的参数方程为：x =a cos t , y =b sin t ，t 从0到2π
a b
所以，
W =⎰F ⋅dl =⎰-a cos t (da cos t ) -b sin t (db sin t )
L
2π
=-
a cos t 2
22
2π
-
b sin t 2
22
2π
=0
4、有一力场F ，其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线x =at , y =bt , z =ct (c ≠0) 从点(a , b , c ) 移动到(2a , 2b , 2c ) 时，该场力所作的功.
解：F =
k x y z (-, -, -)
222222222z x +y +z x +y +z x +y +z
直线的参数方程为：x =at , y =bt , z =ct (c ≠0) ，t 从1到2
2
W =⎰F ⋅dl =⎰(-a 2t -b 2t -c 2t )
所以，
L
1
k
c t a t +b t +c t
22
22
22
) dt
=-
习题3-2答案
k a +b +c ln 2c
222
1、 解：记S 在x>0一侧为S 1，在x
为S 4，在y>0一侧为S 5，在y
Q 1=⎰⎰xdydz +⎰⎰xdydz +⎰⎰xdydz +⎰⎰xdydz =⎰⎰xdydz +ydzdx +zdxdy +⎰⎰xdydz +ydzdx +zdxdy
s 1
s 2
s 3
s 4
S 1
S 2
⎛y
=⎰⎰(r -y +y ) dydz -⎰⎰ -r 2-y 2+y
r 2-y 2r 2-y 2D yz D yz ⎝
2
2
y
⎫
⎪dydz ⎪⎭
=2⎰⎰r 2-y 2dydz
D yz r
=2⎰dy ⎰
-r
h
r 2-y 2dz
=2h ⎰
r
-r
r 2-y 2dy =πhr 2
Q 2=⎰⎰zdxdy +⎰⎰zdxdy +⎰⎰zdxdy +⎰⎰zdxdy =⎰⎰xdydz +ydzdx +zdxdy +⎰⎰xdydz +ydzdx +zdxdy
s 1
s 2
s 3
s 4
S 3
S 4
=
D xy
⎰⎰zdxdy =h ⎰⎰dxdy =πhr
D xy
2
同理可得：Q 3=
S 5+S 6
⎰⎰ydzdx =πhr
2
∴Q =Q 1+Q 2+Q 3=3πhr 2
222
2、解：（1）由题S ：z =-R -x -y , S 在xoy 面上的投影区域D xy :x 2+y 2≤R 2，
∴⎰⎰x 2y 2zdxdy =-⎰⎰x 2y 2-R 2-x 2-y 2dxdy =
S
D xy
()
D xy
22222
x y R -x -y dxdy ⎰⎰
=⎰d θ⎰r 5cos 2θsin 2θR 2-r 2dr
R 12π2
=⎰sin 2θ⎰r 5R 2-r 2dr
040
ππ2=⎰2R 7sin 5t cos 2tdt =πR 7
40105
2πR
（2）
⎰⎰
S
e
2
z
2
x +y
dxdy =
D xy
⎰⎰
e
x 2+y 22
2
x +y
dxdy =⎰d θ⎰e r dr =2πe -e 2
1
2π2
()
（3）将S 分成s 1和s 2，其中S 1：z=h，x 2+y 2≤h 2取上侧，
s 2：z =x 2+y 2，0≤z ≤h x>0取下侧
则
22=(x -y ) dxdy =0, =-[(y -x +y ) ⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰s 1
s 1
s 2
D xy
-x x +y
2
2
+(x 2+y 2-x ) ⋅
-y x +y
2
2
+(x -y )]dxdy
=0
∴=⎰⎰+⎰⎰=0
s
s 1
s 2
(4)记S 在z=0上的部分为S 1，在x=0上的部分为S 2, 在y=0上的部分为S 3, 在x 2+y 2=1上的部分为S 4, 在z =x 2+y 2上的部分为S 5. 有
⎰⎰y
S 1
S 3
2
zdxdy +xzdydz +x 2ydzdx =⎰⎰y 2zdxdy +xzdydz +x 2ydzdx
S 2
2
2
=⎰⎰y zdxdy +xzdydz +x ydzdx =0
⎛x 2z ⎫22
⎪dxdz y zdxdy +xzdydz +x ydzdx =+x -x ⎰⎰⎰⎰ ⎪2
S 4D xz ⎝-x ⎭
2
2
⎛x z ⎫3π22
=⎰dx ⎰ +x -x ⎪dz =. ⎪00216⎝-x ⎭
1
1
2
22y zdxdy +xzdydz +x ydzdx =⎰⎰S 5
D xy
⎰⎰(y (x
210
2
+y 2+x x 2+y 2(-2x )+x 2y (-2y )dxdy
)())
=
D xy
⎰⎰(y
2
4
-2x -3x y dxdy =⎰d θ⎰r 5sin 4θ-2cos 4θ-3sin 2θcos 2θdr
2
422
)
π
()
π
1
=⎰d θ⎰r 5[sin4θ-2cos 4θ-3cos 2θ(1-cos 2θ)]d θ=-
π
16
∴原式=
3πππ-=16168z =3-
33x -y ,
23
3、 解：（1）
∂z 3∂z 5⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪=-, =-, + ⎪+ =, ∂y ⎪∂x 2∂y 3∂x 6⎝⎭⎝⎭
32
=, cos β==, 222255
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪⎪+ ⎪+ + ⎪+ ⎪ ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
12
cos γ==225
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫+ ⎪+ ∂y ⎪⎪∂x ⎝⎭⎝⎭cos α=
原式=
2
2
∂z
--
∂z ∂y
322 ()P cos α+Q cos β+R cos γdS =P +Q +⎰⎰⎰⎰
S
S
⎛
⎝5
5
3⎫
R ⎪dS . ⎪5⎭
（2）
∂z ∂z
=-2x , =-2y , ∂x ∂y
-
cos α=
∂z ∂x
2
2
=
2x +4x 2+4y 2
cos β=
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪+ ⎪+ ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
∂z -∂y
2
cos γ=
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫1+ ⎪+ ∂y ⎪⎪∂x ⎝⎭⎝⎭
1⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪+ ⎪+ ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
2
2
=
2y +4x +4y
1+4x 2+4y 2
2
2
2
=
原式=
2xP +2yQ +R
()P cos α+Q cos β+R cos γdS =dS ⎰⎰⎰⎰22
S
S
+4x +4y
§3-3格林公式及其应用 1．
(1) P =x 2-y , Q =x -e y ，
∂p ∂Q ∂Q ∂P =-1, =1，故原式=⎰⎰(-) dxdy =2ab π ∂y ∂x ∂x ∂y D
∂p ∂Q
=x +1, =2-y , ∂y ∂x
1
1-y
(2) P =(x +1) y , Q =-x (y -2) ,
∂Q ∂P
-) dxdy =⎰dy 故原式=⎰⎰(
∂x ∂y D 0
（3）P =(x +y ) , Q =-(x +y ) ，
⎰
(1-x -y ) dx =
1
6
222
∂p ∂Q =2(x +y ), =-2x ∂y ∂x
1
1-y
∂Q ∂P y 312
故原式=⎰⎰(-) dxdy -⎰-y dy =-⎰dy ⎰(4x +2y ) dx -(-) =-1
∂x ∂y 313D 100
（4）P =e (1-cos y ), Q =-e (y -sin y ) ，
(0, 0)
x x
∂p ∂Q
=e x sin y , =-e x (y -sin y ) ∂y ∂x
而在以(π, 0) 为起点(0, 0) 为终点的直线上
(π, 0)
x x e (1-cos y ) dx -e (y -sin y ) dy =0 ⎰
π
x
x
x
sin x
=⎰⎰[-e (y -sin y ) -e sin y ]dxdy =-⎰e dx
所以原式
D
x
x
⎰
1
ydy =-⎰sin 2x ⋅e x dx
20
π
1cos 2x ⋅e +2sin 2x ⋅e 1=[-e x +]=(1-e π)
42050
2．P =x 4+4xy 3, Q =6x λ-1y 2-5y 4，
π
∂p ∂Q
=12xy 2, =6y 2(λ-1) x λ-2 ∂y ∂x
因为积分与路径无关，所以
(1, 2)
∂p ∂Q
, 得λ=3 =
∂y ∂x
1
2
4
2
4
(0, 0)
⎰(x +4xy ) dx +(6x y -5y ) dy =⎰x dx +⎰(6y 2-5y 4) dy =-
432
79 5
3.(1)p =x +2y , Q =2x +y
∂p ∂Q
，是二元函数u(x,y)(的全微分. =2=
∂y ∂x
由
∂u 1
=p =x +2y ，得u (x , y ) =⎰(x +2y ) dx =x 2+2xy +ϕ(y ) ∂x 2
由
∂u ∂u =2x +ϕ' (y ) 及=Q =2x +y 得，ϕ' (y ) =y ∂y ∂y
1211
y +C ，故u (x , y ) =x 2+2xy +y 2+C 222
ϕ(y ) =
(2)
p =4sin x sin 3y cos x , Q =-3cos 3y cos 2x
数u(x,y)(的全微分.
∂p ∂Q
，是二元函=12sin x cos x cos 3y =
∂y ∂x
由
∂u
=p =2sin 2x sin 3y ，得u (x , y ) =⎰(2sin 2x sin 3y ) dx =-sin 3y cos 2x +ϕ(y ) ∂x
由
∂u ∂u =-3cos 3y cos 2x +ϕ' (y ) 及=Q =-3cos 3y cos 2x 得，ϕ' (y ) =0 ∂y ∂y
ϕ(y ) =C ，故u (x , y ) =-sin 3y cos 2x +C
(3) p =2x cos y -y sin x , Q =2y cos x -x sin y 二元函数u(x,y)(的全微分.
2
2
∂p ∂Q
=-2x sin y -2y sin x =，是∂y ∂x
由
∂u
=p =2x cos y -y 2sin x ∂x
，得
u (x , y ) =⎰(2x cos y -y 2sin x ) dx =x 2cos y +y 2cos x +ϕ(y )
由
∂u ∂u =-x 2sin y +2y cos x +ϕ' (y ) 及=Q =2y cos x -x 2sin y 得，ϕ' (y ) =0 ∂y ∂y
ϕ(y ) =C ，故u (x , y ) =x 2cos y +y 2cos x +C
(4)
p =
y 1∂p 1∂Q
, Q =- ，是二元函数u(x,y)(的全微分. ==x 2x ∂y x 2∂x
由
∂u y y y
=p =2，得u (x , y ) =⎰2=-+ϕ(y ) ∂x x x x
由
∂u 1∂u 1=-+ϕ' (y ) 及=Q =-得，ϕ' (y ) =0 ∂y x ∂y x
y
+C x
ϕ(y ) =C ，故u (x , y ) =-
4． （1）
P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2
∂P ∂Q
, 故为全微分方程。 =12xy =
∂y ∂x 由
∂u
=P =3x 2+6xy 2, 得u (x , y ) =⎰(3x 2+6xy 2) dx =x 3+3x 2y 2+ϕ(y ) ∂x
4∂u ∂u
=6x 2y +ϕ' (y ) 及=Q =6x 2y +4y 2得ϕ' (y ) =4y 2，故ϕ(y ) =y 3+C
3∂y ∂y
3
2
2
由
通解为x +3x y +（2）
43
y =C 3
P =e y , Q =xe y -2y
∂P ∂Q =e y =, 故为全微分方程。 ∂y ∂x 由
∂u
=P =e y , 得u (x , y ) =⎰e y dx =xe y +ϕ(y ) ∂x
由
∂u ∂u =xe y +ϕ' (y ) 及=Q =xe y -2y 得ϕ' (y ) =-2y ，故ϕ(y ) =-y 2+C ∂y ∂y
y
2
通解为xe -y =C
P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ
∂P ∂Q
, 故为全微分方程。 =2e 2θ=
∂θ∂ρ由由
∂u
=P =1+e 2θ, 得u (ρ, θ) =⎰(1+e 2θ) d ρ=ρ+ρe 2θ+ϕ(θ) ∂ρ
∂u ∂u =2ρe 2θ+ϕ' (θ) 及=Q =2ρe 2θ得ϕ' (θ) =0，故ϕ(θ) =C ∂θ∂θ
通解为ρ(1+e 2θ) =C （4）
P =y (x -2y ), Q =-x 2
∂P ∂Q =x -4y , =-2x , 故不是全微分方程。 ∂y ∂x
§3-4高斯公式和斯托克斯公式 1 （1） 原式=
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz ∂x ∂y ∂z
=3
222(x +y +z ) dxdydz ⎰⎰⎰Ω
π
2π
2
a
=3d θ
⎰4
sin ϕd ϕρ⎰⎰d ρ -
π0
2
=
125
πa 5
（2） 原式= =
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz ∂x ∂y ∂z
2
⎰⎰⎰(x
Ωa
+1) dxdydz
=bc (x 2+1) dx
⎰
=a bc +abc
13
3
原式=
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz ∂x ∂y ∂z
=2
⎰⎰⎰(y +z +xz ) dxdydz
Ω3
1
-y 2
=2dz dy
⎰⎰
30
⎰(y +z +xz ) dx
2π1
=2dz d θ(r sin θ+z +r cos θz ) rdr
⎰⎰⎰
=
3π 2
（4） 原式=
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz ∂x ∂y ∂z
=3
⎰⎰⎰dxdydz
Ω3
=2πR （5） 原式= =
⎰⎰⎰(
ΩΩ
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz -⎰⎰⎰(Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ) ∂x ∂y ∂z S '
S '
⎰⎰⎰(-4x +8x -4x ) dxdydz +⎰⎰⎰4zx dxdy
e a
=4xdx
1
⎰⎰⎰dydz
S
=2(e
2a
-1) πa 2
2. 解:(1)圆周事实上就是xoy 面上的圆x +y =9, 取∑为圆域
22
x 2+y 2≤9的上侧,
dydz dzdx ∂∂∂2
2ydx +3xdy -z dz ==⎰⎰dxdy =⎰⎰dxdy =9π L ⎰⎰∂x ∂y ∂z ∑∑D X Y
2
2y 3x z
(2) 取∑为平面x +y +z =0被L 所围成的部分的上侧, ∑的面积为πa 2, ∑的单位法向量为n ={cos α, cos β, cos γ}=⎨
⎧1⎩3
,
1
1⎫⎬, ⎭, 1
1
1
(y +z )dx +(z +x )dy +(x +y )dz =⎰⎰
L
∑
3∂∂x y +z ∂∂
=⎰⎰0ds =0
∂y ∂z ∑z +x x +y
3.
dydz dzdx ∂∂∂2
解:3ydx -xzdy +yz dz =⎰⎰=⎰⎰z 2+x dydz -(z +3)dxdy
L ∂x ∂y ∂z ∑∑
2
3y -xz yz
()
其中∑为平面z=2被L 所围成的部分的上侧, 因为∑在yoz 面上的投影区域为线段, 所以
⎰⎰(z
∑
2
+x dydz =0, 又∑在xoy 面上的投影区域为x 2+y 2≤4, 所以
2
()-2+3dxdy =-5π⨯2=-20π, ⎰⎰
)
⎰⎰-(z +3)dxdy =
∑
L
D xy
∴3ydx -xzdy +yz 2dz =-20π
习题3—5
1． 解：（1）P =x +yz , Q =y +xz , R =z +xy ， divA =
2
2
2
∂P ∂Q ∂R ++=2x +2y +2z =2(x +y +z ) ， ∂x ∂y ∂z
∴divA (1, 1, 3) =10
（2）P =e , Q =cos (xy ), R =cos xz ，
xy
2
()
divA =
∂P ∂Q ∂R ++=ye xy -x sin (xy )-2xz sin xz 2， ∂x ∂y ∂z
()
∴divA
(0, 0, 1)
=0
（3）P =y , Q =xy , R =xz ，
2
divA = ∴divA
∂P ∂Q ∂R ++=0+x +x =2x ， ∂x ∂y ∂z =2。
(1, 2, 3)
2． 证明：场力沿路径L 所作的功为W =
⎰
L
-
k k xdx -ydy ，要证明场力所作的功与所r 3r 3
取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。 P =-
k k ∂Q 3k ∂R
x , Q =-y 在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以=xy =r 3r 3∂x r 5∂y
上面的积分与路径无关，因而结论正确。
i
∂
3．解：（1）rotA =
∂x yz j ∂∂y zx k ∂
=0 ∂z xy
i j k ∂∂∂
=(xz -xy )i +(xy -yz )j +(yz -zx )k （2）rotA =
∂x ∂y ∂z xyz xyz xyz i j ∂∂
（3）rotA =
∂x ∂y z +sin y -z +x cos y
k ∂
=i +j ∂z 0
i ∂
rotA =
∂x （4）
x 2sin y
=x sin (cos z )-xy 2cos (xz )i -y sin (cos z )j +y 2z cos (xz )-x 2cos y k
j i
∂∂
4．证明：（1）rotA ==0
∂x ∂y
2
2x cos y -y sin x , 2y cos x -x 2sixy
所以A 为有势场
[
j k ∂∂∂y ∂z
y 2sin (xz )xy sin (cos z )
][]
H (x , y )=⎰2x cos b -b 2sin x dx +⎰2y cos x -x 2sin y dy =y cos x +x cos y +c
x
(
a
()
y
22
)
b
()
i ∂
（2）rotA =
∂x y cos(xy )
所以A 为有势场
x
j k ∂∂
=0
∂y ∂z x cos(xy ) sin z
y
z
H (x , y , z )=⎰b cos(bx ) dx +⎰x cos(xy ) dy +⎰sin zdz
a b c =sin(xy ) -cos z +c
习题3-1
1、计算下列第二类曲线积分：
（1）(x 2-y 2) dx , L 为抛物线y 2=x 上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；
⎰
L
（2）
(x +y ) dx -(x -y ) dy 222
L 为按逆时针方向饶行的圆； , x +y =a 22x +y L
（3）
⎰
L
ydx +zdy +xdz , L 为螺旋线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 上由t=0到t=2π的
有向弧段;
（4）
⎰xdx +ydy +(x +y -1) dz , L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；
L
（5）F ⋅dl , 其中F =-(y , x ), L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针
L
方向；
（6）F ⋅dl , 其中F =
L
ye 1-xe 2
，L 按逆时针方向饶行的圆x =a cos t , y =a sin t . 22
x +y
2
解（1）化为对x 的定积分，L: y =x ，x 从0到2，所以
[1**********]2
(x -x ) dx =(x -x ) =-= (x -y ) dx ⎰00⎰3515L
（2）圆周的参数方程为：x =a cos t , y =a sin t (0≤t ≤2π)
(x +y ) dx -(x -y ) dy
22x +y L 1
a 21=2a 1=2a
=
⎰⎰
2π
02π
(a cos t +a sin t ) d (a cos t ) -(a cos t -a sin t ) d (a sin t ) [(a cos t +a sin t )(-a sin t ) -(a cos t -a sin t )(a cos t ) ]dt -a 2dt =-2π
⎰
02π
（3）L 的参数方程为：x =a cos t , y =a sin t , z =bt ，t 从0到2π，所以
⎰
L
ydx +zdy +xdz =⎰a sin td (a cos t ) +btd (a sin t ) +a cos td (b t )
2π
=
⎰
2π
(-a 2sin 2t +abt cos t +ab cos t ) dt =-πa 2
（4）直线的参数方程为：x =1+t , y =1+2t , z =1+3t (0≤t ≤1) ∴dx =dt , dy =2dt , dz =3dt 代入
⎰xdx +ydy +(x +y -1) dz
L
=[(1+t ) +2(1+2t ) +3(1+t +1+2t -1)]dt
0⎰
1
=
⎰(6+14t ) dt =6+7=13
1
（5）三条直线段的方程分别为
y=0,x从0到1； x=1,y从0到1； y=x,x从1到0. 所以 F ⋅dl =-ydx -xdy
L
L
=
⎰
1
-1dy +⎰-xdx +⎰-xdx
1
1
00
=0
(6) F ⋅dl
L
=⎰=⎰
2π
02π
02π
y x
-dy 2222
x +y x +y a sin t a cos t
(a cos t ) -d (a sin t ) 22a a
=⎰-1dt =-2π
2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周
x 2+y 2=R 2按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.
解：由题意知，场力所作的功为
W =⎰F
L
L: x +y =R ,x 从R 变到0， 于是，w=
222
⎰
L
F dx =⎰F =-F R
R
3、有一平面力场F ，大小等于点（x,y ）到原点的距离，方向指向原点. 试求单位质量
x 2y 2
的质点P 沿椭圆2+2=1逆时针方向绕行一周，力F 所作的功.
a b
解：F =(-x , -y )
x 2y 2
椭圆2+2=1的参数方程为：x =a cos t , y =b sin t ，t 从0到2π
a b
所以，
W =⎰F ⋅dl =⎰-a cos t (da cos t ) -b sin t (db sin t )
L
2π
=-
a cos t 2
22
2π
-
b sin t 2
22
2π
=0
4、有一力场F ，其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线x =at , y =bt , z =ct (c ≠0) 从点(a , b , c ) 移动到(2a , 2b , 2c ) 时，该场力所作的功.
解：F =
k x y z (-, -, -)
222222222z x +y +z x +y +z x +y +z
直线的参数方程为：x =at , y =bt , z =ct (c ≠0) ，t 从1到2
2
W =⎰F ⋅dl =⎰(-a 2t -b 2t -c 2t )
所以，
L
1
k
c t a t +b t +c t
22
22
22
) dt
=-
习题3-2答案
k a +b +c ln 2c
222
1、 解：记S 在x>0一侧为S 1，在x
为S 4，在y>0一侧为S 5，在y
Q 1=⎰⎰xdydz +⎰⎰xdydz +⎰⎰xdydz +⎰⎰xdydz =⎰⎰xdydz +ydzdx +zdxdy +⎰⎰xdydz +ydzdx +zdxdy
s 1
s 2
s 3
s 4
S 1
S 2
⎛y
=⎰⎰(r -y +y ) dydz -⎰⎰ -r 2-y 2+y
r 2-y 2r 2-y 2D yz D yz ⎝
2
2
y
⎫
⎪dydz ⎪⎭
=2⎰⎰r 2-y 2dydz
D yz r
=2⎰dy ⎰
-r
h
r 2-y 2dz
=2h ⎰
r
-r
r 2-y 2dy =πhr 2
Q 2=⎰⎰zdxdy +⎰⎰zdxdy +⎰⎰zdxdy +⎰⎰zdxdy =⎰⎰xdydz +ydzdx +zdxdy +⎰⎰xdydz +ydzdx +zdxdy
s 1
s 2
s 3
s 4
S 3
S 4
=
D xy
⎰⎰zdxdy =h ⎰⎰dxdy =πhr
D xy
2
同理可得：Q 3=
S 5+S 6
⎰⎰ydzdx =πhr
2
∴Q =Q 1+Q 2+Q 3=3πhr 2
222
2、解：（1）由题S ：z =-R -x -y , S 在xoy 面上的投影区域D xy :x 2+y 2≤R 2，
∴⎰⎰x 2y 2zdxdy =-⎰⎰x 2y 2-R 2-x 2-y 2dxdy =
S
D xy
()
D xy
22222
x y R -x -y dxdy ⎰⎰
=⎰d θ⎰r 5cos 2θsin 2θR 2-r 2dr
R 12π2
=⎰sin 2θ⎰r 5R 2-r 2dr
040
ππ2=⎰2R 7sin 5t cos 2tdt =πR 7
40105
2πR
（2）
⎰⎰
S
e
2
z
2
x +y
dxdy =
D xy
⎰⎰
e
x 2+y 22
2
x +y
dxdy =⎰d θ⎰e r dr =2πe -e 2
1
2π2
()
（3）将S 分成s 1和s 2，其中S 1：z=h，x 2+y 2≤h 2取上侧，
s 2：z =x 2+y 2，0≤z ≤h x>0取下侧
则
22=(x -y ) dxdy =0, =-[(y -x +y ) ⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰s 1
s 1
s 2
D xy
-x x +y
2
2
+(x 2+y 2-x ) ⋅
-y x +y
2
2
+(x -y )]dxdy
=0
∴=⎰⎰+⎰⎰=0
s
s 1
s 2
(4)记S 在z=0上的部分为S 1，在x=0上的部分为S 2, 在y=0上的部分为S 3, 在x 2+y 2=1上的部分为S 4, 在z =x 2+y 2上的部分为S 5. 有
⎰⎰y
S 1
S 3
2
zdxdy +xzdydz +x 2ydzdx =⎰⎰y 2zdxdy +xzdydz +x 2ydzdx
S 2
2
2
=⎰⎰y zdxdy +xzdydz +x ydzdx =0
⎛x 2z ⎫22
⎪dxdz y zdxdy +xzdydz +x ydzdx =+x -x ⎰⎰⎰⎰ ⎪2
S 4D xz ⎝-x ⎭
2
2
⎛x z ⎫3π22
=⎰dx ⎰ +x -x ⎪dz =. ⎪00216⎝-x ⎭
1
1
2
22y zdxdy +xzdydz +x ydzdx =⎰⎰S 5
D xy
⎰⎰(y (x
210
2
+y 2+x x 2+y 2(-2x )+x 2y (-2y )dxdy
)())
=
D xy
⎰⎰(y
2
4
-2x -3x y dxdy =⎰d θ⎰r 5sin 4θ-2cos 4θ-3sin 2θcos 2θdr
2
422
)
π
()
π
1
=⎰d θ⎰r 5[sin4θ-2cos 4θ-3cos 2θ(1-cos 2θ)]d θ=-
π
16
∴原式=
3πππ-=16168z =3-
33x -y ,
23
3、 解：（1）
∂z 3∂z 5⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪=-, =-, + ⎪+ =, ∂y ⎪∂x 2∂y 3∂x 6⎝⎭⎝⎭
32
=, cos β==, 222255
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪⎪+ ⎪+ + ⎪+ ⎪ ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
12
cos γ==225
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫+ ⎪+ ∂y ⎪⎪∂x ⎝⎭⎝⎭cos α=
原式=
2
2
∂z
--
∂z ∂y
322 ()P cos α+Q cos β+R cos γdS =P +Q +⎰⎰⎰⎰
S
S
⎛
⎝5
5
3⎫
R ⎪dS . ⎪5⎭
（2）
∂z ∂z
=-2x , =-2y , ∂x ∂y
-
cos α=
∂z ∂x
2
2
=
2x +4x 2+4y 2
cos β=
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪+ ⎪+ ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
∂z -∂y
2
cos γ=
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫1+ ⎪+ ∂y ⎪⎪∂x ⎝⎭⎝⎭
1⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪+ ⎪+ ⎪
⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭
2
2
=
2y +4x +4y
1+4x 2+4y 2
2
2
2
=
原式=
2xP +2yQ +R
()P cos α+Q cos β+R cos γdS =dS ⎰⎰⎰⎰22
S
S
+4x +4y
§3-3格林公式及其应用 1．
(1) P =x 2-y , Q =x -e y ，
∂p ∂Q ∂Q ∂P =-1, =1，故原式=⎰⎰(-) dxdy =2ab π ∂y ∂x ∂x ∂y D
∂p ∂Q
=x +1, =2-y , ∂y ∂x
1
1-y
(2) P =(x +1) y , Q =-x (y -2) ,
∂Q ∂P
-) dxdy =⎰dy 故原式=⎰⎰(
∂x ∂y D 0
（3）P =(x +y ) , Q =-(x +y ) ，
⎰
(1-x -y ) dx =
1
6
222
∂p ∂Q =2(x +y ), =-2x ∂y ∂x
1
1-y
∂Q ∂P y 312
故原式=⎰⎰(-) dxdy -⎰-y dy =-⎰dy ⎰(4x +2y ) dx -(-) =-1
∂x ∂y 313D 100
（4）P =e (1-cos y ), Q =-e (y -sin y ) ，
(0, 0)
x x
∂p ∂Q
=e x sin y , =-e x (y -sin y ) ∂y ∂x
而在以(π, 0) 为起点(0, 0) 为终点的直线上
(π, 0)
x x e (1-cos y ) dx -e (y -sin y ) dy =0 ⎰
π
x
x
x
sin x
=⎰⎰[-e (y -sin y ) -e sin y ]dxdy =-⎰e dx
所以原式
D
x
x
⎰
1
ydy =-⎰sin 2x ⋅e x dx
20
π
1cos 2x ⋅e +2sin 2x ⋅e 1=[-e x +]=(1-e π)
42050
2．P =x 4+4xy 3, Q =6x λ-1y 2-5y 4，
π
∂p ∂Q
=12xy 2, =6y 2(λ-1) x λ-2 ∂y ∂x
因为积分与路径无关，所以
(1, 2)
∂p ∂Q
, 得λ=3 =
∂y ∂x
1
2
4
2
4
(0, 0)
⎰(x +4xy ) dx +(6x y -5y ) dy =⎰x dx +⎰(6y 2-5y 4) dy =-
432
79 5
3.(1)p =x +2y , Q =2x +y
∂p ∂Q
，是二元函数u(x,y)(的全微分. =2=
∂y ∂x
由
∂u 1
=p =x +2y ，得u (x , y ) =⎰(x +2y ) dx =x 2+2xy +ϕ(y ) ∂x 2
由
∂u ∂u =2x +ϕ' (y ) 及=Q =2x +y 得，ϕ' (y ) =y ∂y ∂y
1211
y +C ，故u (x , y ) =x 2+2xy +y 2+C 222
ϕ(y ) =
(2)
p =4sin x sin 3y cos x , Q =-3cos 3y cos 2x
数u(x,y)(的全微分.
∂p ∂Q
，是二元函=12sin x cos x cos 3y =
∂y ∂x
由
∂u
=p =2sin 2x sin 3y ，得u (x , y ) =⎰(2sin 2x sin 3y ) dx =-sin 3y cos 2x +ϕ(y ) ∂x
由
∂u ∂u =-3cos 3y cos 2x +ϕ' (y ) 及=Q =-3cos 3y cos 2x 得，ϕ' (y ) =0 ∂y ∂y
ϕ(y ) =C ，故u (x , y ) =-sin 3y cos 2x +C
(3) p =2x cos y -y sin x , Q =2y cos x -x sin y 二元函数u(x,y)(的全微分.
2
2
∂p ∂Q
=-2x sin y -2y sin x =，是∂y ∂x
由
∂u
=p =2x cos y -y 2sin x ∂x
，得
u (x , y ) =⎰(2x cos y -y 2sin x ) dx =x 2cos y +y 2cos x +ϕ(y )
由
∂u ∂u =-x 2sin y +2y cos x +ϕ' (y ) 及=Q =2y cos x -x 2sin y 得，ϕ' (y ) =0 ∂y ∂y
ϕ(y ) =C ，故u (x , y ) =x 2cos y +y 2cos x +C
(4)
p =
y 1∂p 1∂Q
, Q =- ，是二元函数u(x,y)(的全微分. ==x 2x ∂y x 2∂x
由
∂u y y y
=p =2，得u (x , y ) =⎰2=-+ϕ(y ) ∂x x x x
由
∂u 1∂u 1=-+ϕ' (y ) 及=Q =-得，ϕ' (y ) =0 ∂y x ∂y x
y
+C x
ϕ(y ) =C ，故u (x , y ) =-
4． （1）
P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2
∂P ∂Q
, 故为全微分方程。 =12xy =
∂y ∂x 由
∂u
=P =3x 2+6xy 2, 得u (x , y ) =⎰(3x 2+6xy 2) dx =x 3+3x 2y 2+ϕ(y ) ∂x
4∂u ∂u
=6x 2y +ϕ' (y ) 及=Q =6x 2y +4y 2得ϕ' (y ) =4y 2，故ϕ(y ) =y 3+C
3∂y ∂y
3
2
2
由
通解为x +3x y +（2）
43
y =C 3
P =e y , Q =xe y -2y
∂P ∂Q =e y =, 故为全微分方程。 ∂y ∂x 由
∂u
=P =e y , 得u (x , y ) =⎰e y dx =xe y +ϕ(y ) ∂x
由
∂u ∂u =xe y +ϕ' (y ) 及=Q =xe y -2y 得ϕ' (y ) =-2y ，故ϕ(y ) =-y 2+C ∂y ∂y
y
2
通解为xe -y =C
P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ
∂P ∂Q
, 故为全微分方程。 =2e 2θ=
∂θ∂ρ由由
∂u
=P =1+e 2θ, 得u (ρ, θ) =⎰(1+e 2θ) d ρ=ρ+ρe 2θ+ϕ(θ) ∂ρ
∂u ∂u =2ρe 2θ+ϕ' (θ) 及=Q =2ρe 2θ得ϕ' (θ) =0，故ϕ(θ) =C ∂θ∂θ
通解为ρ(1+e 2θ) =C （4）
P =y (x -2y ), Q =-x 2
∂P ∂Q =x -4y , =-2x , 故不是全微分方程。 ∂y ∂x
§3-4高斯公式和斯托克斯公式 1 （1） 原式=
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz ∂x ∂y ∂z
=3
222(x +y +z ) dxdydz ⎰⎰⎰Ω
π
2π
2
a
=3d θ
⎰4
sin ϕd ϕρ⎰⎰d ρ -
π0
2
=
125
πa 5
（2） 原式= =
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz ∂x ∂y ∂z
2
⎰⎰⎰(x
Ωa
+1) dxdydz
=bc (x 2+1) dx
⎰
=a bc +abc
13
3
原式=
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz ∂x ∂y ∂z
=2
⎰⎰⎰(y +z +xz ) dxdydz
Ω3
1
-y 2
=2dz dy
⎰⎰
30
⎰(y +z +xz ) dx
2π1
=2dz d θ(r sin θ+z +r cos θz ) rdr
⎰⎰⎰
=
3π 2
（4） 原式=
⎰⎰⎰(
Ω
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz ∂x ∂y ∂z
=3
⎰⎰⎰dxdydz
Ω3
=2πR （5） 原式= =
⎰⎰⎰(
ΩΩ
∂P ∂Q ∂R ++) dxdydz -⎰⎰⎰(Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ) ∂x ∂y ∂z S '
S '
⎰⎰⎰(-4x +8x -4x ) dxdydz +⎰⎰⎰4zx dxdy
e a
=4xdx
1
⎰⎰⎰dydz
S
=2(e
2a
-1) πa 2
2. 解:(1)圆周事实上就是xoy 面上的圆x +y =9, 取∑为圆域
22
x 2+y 2≤9的上侧,
dydz dzdx ∂∂∂2
2ydx +3xdy -z dz ==⎰⎰dxdy =⎰⎰dxdy =9π L ⎰⎰∂x ∂y ∂z ∑∑D X Y
2
2y 3x z
(2) 取∑为平面x +y +z =0被L 所围成的部分的上侧, ∑的面积为πa 2, ∑的单位法向量为n ={cos α, cos β, cos γ}=⎨
⎧1⎩3
,
1
1⎫⎬, ⎭, 1
1
1
(y +z )dx +(z +x )dy +(x +y )dz =⎰⎰
L
∑
3∂∂x y +z ∂∂
=⎰⎰0ds =0
∂y ∂z ∑z +x x +y
3.
dydz dzdx ∂∂∂2
解:3ydx -xzdy +yz dz =⎰⎰=⎰⎰z 2+x dydz -(z +3)dxdy
L ∂x ∂y ∂z ∑∑
2
3y -xz yz
()
其中∑为平面z=2被L 所围成的部分的上侧, 因为∑在yoz 面上的投影区域为线段, 所以
⎰⎰(z
∑
2
+x dydz =0, 又∑在xoy 面上的投影区域为x 2+y 2≤4, 所以
2
()-2+3dxdy =-5π⨯2=-20π, ⎰⎰
)
⎰⎰-(z +3)dxdy =
∑
L
D xy
∴3ydx -xzdy +yz 2dz =-20π
习题3—5
1． 解：（1）P =x +yz , Q =y +xz , R =z +xy ， divA =
2
2
2
∂P ∂Q ∂R ++=2x +2y +2z =2(x +y +z ) ， ∂x ∂y ∂z
∴divA (1, 1, 3) =10
（2）P =e , Q =cos (xy ), R =cos xz ，
xy
2
()
divA =
∂P ∂Q ∂R ++=ye xy -x sin (xy )-2xz sin xz 2， ∂x ∂y ∂z
()
∴divA
(0, 0, 1)
=0
（3）P =y , Q =xy , R =xz ，
2
divA = ∴divA
∂P ∂Q ∂R ++=0+x +x =2x ， ∂x ∂y ∂z =2。
(1, 2, 3)
2． 证明：场力沿路径L 所作的功为W =
⎰
L
-
k k xdx -ydy ，要证明场力所作的功与所r 3r 3
取的路径无关，只需证明上面的积分与路径无关，显然，半平面x>0是单连通域。 P =-
k k ∂Q 3k ∂R
x , Q =-y 在该区域具有一阶连续偏导数，另外，所以=xy =r 3r 3∂x r 5∂y
上面的积分与路径无关，因而结论正确。
i
∂
3．解：（1）rotA =
∂x yz j ∂∂y zx k ∂
=0 ∂z xy
i j k ∂∂∂
=(xz -xy )i +(xy -yz )j +(yz -zx )k （2）rotA =
∂x ∂y ∂z xyz xyz xyz i j ∂∂
（3）rotA =
∂x ∂y z +sin y -z +x cos y
k ∂
=i +j ∂z 0
i ∂
rotA =
∂x （4）
x 2sin y
=x sin (cos z )-xy 2cos (xz )i -y sin (cos z )j +y 2z cos (xz )-x 2cos y k
j i
∂∂
4．证明：（1）rotA ==0
∂x ∂y
2
2x cos y -y sin x , 2y cos x -x 2sixy
所以A 为有势场
[
j k ∂∂∂y ∂z
y 2sin (xz )xy sin (cos z )
][]
H (x , y )=⎰2x cos b -b 2sin x dx +⎰2y cos x -x 2sin y dy =y cos x +x cos y +c
x
(
a
()
y
22
)
b
()
i ∂
（2）rotA =
∂x y cos(xy )
所以A 为有势场
x
j k ∂∂
=0
∂y ∂z x cos(xy ) sin z
y
z
H (x , y , z )=⎰b cos(bx ) dx +⎰x cos(xy ) dy +⎰sin zdz
a b c =sin(xy ) -cos z +c