定积分在经济中的应用习题解答

定积分在经济中得应用习题解答

1．设商品的需求函数Q1005p（其中：Q为需求，p为单价）、边际成本函数

CQ150.05Q且C012.5

问：当p为什么值时？工厂的利润达到最大？试求出最大利润.

解收益函数为

R(p) = 100 p -5 p 2

成本函数为

C(Q)(150.05t)dtC(0) 0Q

15Q12Q12.5 40

52p50p1262.5 8由已知将Q = 100 - 5p代入上式，得 C(p)

于是利润函数为

452p150p1262.5 8

[1**********]120令L'p1500 得 p,且L'()0 47727

120故当时利润达到最大，且最大利润 p7

120maxL()=23.12. 7L(P)= R(p) - C(p) 

2. 某厂生产的某一产品的边际成本函数

CQ3Q218Q33

且当产量为3个单位时，成本为55个单位，求：

(1) 成本函数与平均成本函数；

(2) 当产量由2个单位增加到10个单位时，成本的增量是多少？

解 (1) 因为 C(Q)Q

02(3Q1Q833d )Q

Q39Q233QC

由已知当产量Q为3时，成本为55，代入上式得C = 10, 于是

成本函数为

C(Q)Q39Q233Q10

平均成本函数为

C(Q)C(Q)10Q29Q33 QQ

(2) 当产量由2个单位增至10个单位时，成本的增量是

C(Q) = C(10) – C(2) = 392.

3. 已知生产某产品的固定成本为6万元，边际收益与边际成本（单位:万元/百台）分别为

R'(Q)338Q，C(Q)3Q218Q36

(1) 求当产量由1百台增加到4百台时，总收益与总成本各增加多少？

(2) 求产量为多少时, 总利润最大？

(3) 求最大总利润时的总收益、总成本、总利润.

解 (1)由公式得总收益与总成本的增量为

1(338Q)dQ39(万元) 4



(2)由极值存在的必要条件： 41(3Q218Q36)dQ36(万元)

边际收益R'(Q)＝边际成本C(Q)

即

338Q＝3Q218Q36 解得Q11,Q23，又由极值存在的充分条件： 3

显然，Q3满足充分条件，即获得最大总利润的产量是Q3百台.

(3) 由公式得最大总利润总收益与总成本

0(338Q)dQ63 (万元) 3



所以 30(3Q218Q36)dQ60 (万元)

最大总利润＝总收益－总成本＝63－60＝3 (万元).

定积分在经济中得应用习题解答

1．设商品的需求函数Q1005p（其中：Q为需求，p为单价）、边际成本函数

CQ150.05Q且C012.5

问：当p为什么值时？工厂的利润达到最大？试求出最大利润.

解收益函数为

R(p) = 100 p -5 p 2

成本函数为

C(Q)(150.05t)dtC(0) 0Q

15Q12Q12.5 40

52p50p1262.5 8由已知将Q = 100 - 5p代入上式，得 C(p)

于是利润函数为

452p150p1262.5 8

[1**********]120令L'p1500 得 p,且L'()0 47727

120故当时利润达到最大，且最大利润 p7

120maxL()=23.12. 7L(P)= R(p) - C(p) 

2. 某厂生产的某一产品的边际成本函数

CQ3Q218Q33

且当产量为3个单位时，成本为55个单位，求：

(1) 成本函数与平均成本函数；

(2) 当产量由2个单位增加到10个单位时，成本的增量是多少？

解 (1) 因为 C(Q)Q

02(3Q1Q833d )Q

Q39Q233QC

由已知当产量Q为3时，成本为55，代入上式得C = 10, 于是

成本函数为

C(Q)Q39Q233Q10

平均成本函数为

C(Q)C(Q)10Q29Q33 QQ

(2) 当产量由2个单位增至10个单位时，成本的增量是

C(Q) = C(10) – C(2) = 392.

3. 已知生产某产品的固定成本为6万元，边际收益与边际成本（单位:万元/百台）分别为

R'(Q)338Q，C(Q)3Q218Q36

(1) 求当产量由1百台增加到4百台时，总收益与总成本各增加多少？

(2) 求产量为多少时, 总利润最大？

(3) 求最大总利润时的总收益、总成本、总利润.

解 (1)由公式得总收益与总成本的增量为

1(338Q)dQ39(万元) 4



(2)由极值存在的必要条件： 41(3Q218Q36)dQ36(万元)

边际收益R'(Q)＝边际成本C(Q)

即

338Q＝3Q218Q36 解得Q11,Q23，又由极值存在的充分条件： 3

显然，Q3满足充分条件，即获得最大总利润的产量是Q3百台.

(3) 由公式得最大总利润总收益与总成本

0(338Q)dQ63 (万元) 3



所以 30(3Q218Q36)dQ60 (万元)

最大总利润＝总收益－总成本＝63－60＝3 (万元).

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