第３０卷第７期
２０１０年７月
文章编号：１０００－６７８８（２０１０）０７－１２２５—０４系统工程理论与实践ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ—Ｔｈｅｏｒｙ＆ＰｒａｃｔｉｃｅＶｂｌ．３０．Ｎｏ．７Ｊｕｌｙ，２０１０中图分类号：０２２；０１５９文献标志码：Ａ
评测指标权重确定的结构熵权法
程启月
（中国国防大学信息作战与指挥训练教研部，北京１０００９１）
摘要基于熵理论，给出了属于主观赋值法与客观赋值法相结合的“结构熵权法”．它是一种定
性分析与定量分析相结合的权重系数结构分析方法，其基本思想是，将采集专家意见的德尔斐专家
调查法与模糊分析法相结合，形成“典型排序”，对“典型排序”按照给定的熵决策公式进行熵值计
算、“盲度”分析，并对可能产生潜在的偏差数据统计处理．“结构熵权法”为确定测评指标体系的
权重提供了一种新的方法．
关键词熵；熵权；排序
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｅｎｔｒｏｐｙｗｅｉｇｈｔｍｅｔｈｏｄｔｏｃｏｎｆｉｒｍ
ｔｈｅｗｅｉｇｈｔｏｆｅｖａｌｕａｔｉｎｇｉｎｄｅｘ
ＣＨＥＮＧＱｉ－ｙｕｅ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＣｏｎｄｕｃｔｏｒ，ＮａｔｉｏｎａｌＤｅｆｅｎｓｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００９１，Ｃｈｉｎａ）
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ｅｎｔｒｏｐｙ；ｅｎｔｒｏｐｙＫｅｙｗｏｒｄｓｗｅｉｇｈｔ；ｏｒｄｅｒ
１引言
在系统测评指标体系中，由于每个测评指标与同一类别中的其它指标相比，其作用、地位和影响力不尽相同，必须根据每个指标的重要性程度赋予不同的权重．权重反映了各个指标在“指标集”中的重要性程度，指标的权重直接关系到这一指标对总体的“贡献性”大小．因此，确定测评指标体系的权重，是系统测评的基础．目前，根据计算权重时原始数据的不同来源，确定指标体系权重的方法一般可分为主观赋值法和客观赋值法两大类．客观赋值法，即计算权重的原始数据由各测评指标在被测评过程中的实际数据得到，如均方差法、主成份分析法、熵值法、代表计算法等．主观赋值法，即计算权重的原始数据主要由评估者根据经验主观判断得到，如主观加权法、专家调查法、层次分析法、比较加权法、多元分析法、模糊统计法等．这两类方法各有优缺点．主观赋值法客观性较差，但解释性强；客观赋值法确定的权重在大多数情况下精度较高，但有时会与实际情况相悖，对所得到的结果难以给出明确的解释．本文给出了属于主观赋值法与客观赋值法相结合的‘结构熵权法”，它是将专家意见的德尔斐专家调查法与模糊分析法相结合，形成“典型排序”，对“典型排序”按照给定的熵决策公式进行熵值计算、“盲度”分析，以减少“典型排序”的不确定性．它是一种定性分析与定量分析相结合指标权重确定的分析方法．
收稿日期：２００９－０１—１５
资助项目：国家自然科学基金（７０９７３１３７）；武器装备预研基金（９１４０Ａ０８０４０３）作者简介：程启月（１９５８－），女，湖北人，教授，研究方向：作战指挥决策理论、指挥信息系统．
１２２６系统工程理论与实践第３０卷２确定指标权重的“结构熵权法”
结构熵权法的基本思想是：通过分析系统指标及其相互关系，并分解为若干个独立的层次结构，将采集专家意见的德尔斐专家调查法与模糊分析法相结合，对指标的重要性形成“典型排序”，用熵理论对“典型排序”结构的不确定性定量分析，计算熵值和“盲度”分析，对可能产生潜在的偏差数据统计处理．得出同一层次各指标的相对重要性排序，确定出每一层次同类指标重要程度数值，即指标的权重．具体步骤如下：
第一步采集专家意见，形成“典型排序”
首先，根据测评指标集确定对应的权重集．用“德尔斐法，’采集专家意见．设计定性排序的《指标体系权重专家调查表》（如表１，是对四个指标定性排序）．按照“德尔斐法”规定的程序和要求，向若干个专家问卷调查．专家组成员的选取应满足鲜明的代表性、权威性和公正性条件．要特别注意从熟悉评测对象（指标系统）的专家中选择．专家组成员匿名填写调查表，即专家依据自己的知识和经验，独立地给出对测评指标集的重要性“排序”意见的定性判断（采用打“，’的方式）．通过征询和反馈，最终形成的专家“排序意见”，我们称为指标的“典型排序”．
表１测评指标重要性排序调查表
１０。
０。Ｃ指标３２
３
说明：按照专家对以上指标在某项中的重要性，给出其比较合理的排序．若认为在“指标类别”这一项
中，‘‘指标２”应当最重要，即为‘嗜先选择’，就在对应处划￣／，其它意义同．允许几个（两个或更多）
指标认为是同样重要的，此时，依次在对应处划￣／．
第二步对“典型排序”进行“盲度”分析
专家“典型排序”的意见往往会因为数据“噪声’，产生潜在的偏差和溯源数据的不确定性．为消除数据“噪声’和减少不确定性，需要对“表１”中指标的定性判断结论统计分析与处理．即用熵理论计算其熵值，以减少专家“典型排序”的不确定性．具体方法如下．
不妨设有ｋ个专家参加咨询调查，得到咨询表有ｋ张，每一张表对应一指标集，记为Ｕ＝｛ｕ，，Ｕ２，…，ｕｎ）．指标集对应的“典型排序”数组，记作（ａ４１，吼２，…，ａ４。），由ｋ张表获得指标的排序矩阵记为以（Ａ＝（ａ｛ｊ）ｋｘ。，ｉ＝１，２，…，ｋ，Ｊ＝１，２，…，ｎ），称为指标的“典型排序”矩阵其中口巧表示第ｉ个专家对第Ｊ个指标ｕＪ的评价．ａｉｌ＇ａ‘２，…，ａｉ。取｛１，２，…，ｎ｝自然数中的任意一个数，比如，需要对４个指标排序，则指标“典型排序”数组｛ｎｔｌ＇６ｉ２，…，ａｉ。）中的佗＝４，可以取｛１，２，３，４｝中的任意—个数．
对上述‘‘典型排序”定性、定量转化，定义定性排序转化的隶属函数为：
ｘ（Ｘ）＝－Ａｐｎ（ｘ）ｌｎｐｎ（Ｉ）
其中，令ｐｎ（Ｉ）＝而ｍ－了Ｉ，取Ａ＝研而１可，代入得（１）
川）一丽ｂ（岩）ｈ（籍）
化简为：（２）川）．－鲁渊４－（等）（３）
第７期程启月：评测指标权重确定的结构熵权法１２２７两边同除篇ｍ－Ｉ，令
则，）（（形（岩）一１＝ｇｆｆ）（４）ｐ（Ｊ）＝一丽ｌｎ（ｍ－Ｉ）
当Ｉ＝１时，ｐｎ（１）＝而ｍ－１＝１；（５）Ｊ为专家按照“典型排序”的格式对某个指标评议后给出的定性排序数，如表１，若认为指标Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个指标中Ａ选择处于“第一选择”，则，取值为１；如果认为是‘第二选择”，，取值则为２；其它依此类推．其中，ｐ是定义在［ｏ，１】上的变量，弘（Ｊ）为Ｊ对应的隶属函数值，Ｉ＝１，２，…，Ｊ，Ｊ＋１，歹为实际最大顺序号，比如，当Ｊ＝４时，表示４个指标参加排序，则最大顺序号取值为４．仇为转化参数量，取ｍ＝Ｊ＋２，即ｍ＝６．当Ｉ＝Ｊ＋ｌ取最大序号时，Ｐｎ（ｊ＋１）＝垡器爿半＝雨１＞０．将排序数ｊ＝ａｏ代入式（５）中，可得。巧定量转化值ｂｉｊ（ｐ（ａｉｊ）＝ｂｉｊ），ｂｏ称为排序数Ｊ的隶属度．矩阵Ｂ＝（ｂｉｊ）ｋ×。称为隶属度矩阵，视ｋ个专家对指标坳的“话语权’’相同，即计算ｋ个专家对指标嘶的“一致看法，’，称为平均认识度，记作幻，令
幻＝（ｂｌｊ＋ｂ２ｊ＋…＋ｂｋｊ）／ｋ（６）
（７）定义专家Ｚｉ对因素ｕｊ由认知产生的不确定性，称为‘认识盲度”，记作锄，令ＱＪ＝Ｉ｛［ｍａｘ（ｂｌｊ，ｂ２ｊ，…，６幻）一幻】＋【ｍｉｎ（ｂｌｊ，ｂ２ｊ，…，６幻）一ｈＡ）／２
显然，劬≥０．
对于每一个因素％，定义ｋ（参加测评的全体专家数）个专家关于嘶的总体认识度记作巧，
ｘｊ＝ｂｊ（１～Ｑｊ），ｘｊ＞０
由ｘｊ即得到ｋ个专家全体对指标％的评价向量Ｘ＝（ｚ，，ｚ２，…，ｚ。）．
第三步归一化处理（８）
为得到指标嘶的权重，对％＝ｂｊ（１一Ｑ）归一化处理．
令
％＝％／∑巧
ｉ＝１（９）
显然，满足ａｊ０＝１，２，…，ｎ）＞０，且∑警１％＝１．（０ｌｌ，Ｏｅ２，…，ａ。）即为ｋ个“专家意见”对因素集Ｕ＝｛ｕ・，ｕ，…，ｕ。＞的重要性的一致性整体判断，它符合ｋ个专家群体意愿或认知．Ｗ＝｛ａ１，Ｑ２，…，Ｑ。｝即称为因素集Ｕ＝（“，，ｕ２，…，ｕｎ）的权向量．
３“结构熵权法”算法实现的理论依据
上面我们给出了权重确定的“结构熵权法＇’具体算法，基于科学可信的理由是：
一是专家“典型排序”意见主观赋值方法有效．“典型排序”定性定照转化原始的隶属函数为：
ｘ（Ｉ）＝一却。（，）ｌｎｐ。（，）是熵函数．熵是对事物不确定性测量的一种方法．熵能够将‘‘典型排序”矩阵代入变换后（定义Ｐｎ（，）＝而ｍ－－了Ｉ，取Ａ＝丽磊１可，从公式（２）一（５）可以得到）为ｐ（，）＝一芒专；葛，其公式没有改变原始公式的属性．即仍然是我们初衷预期的用熵函数计算其值．它能够减少专家“典型排序”意见由主观赋值带来的不确定性，因此，计算方法是有效的．
二是“隶属函数’’的确定科学可信．在模糊数学中突出强调的是隶属函数的确定，权重算法中隶属函数的准确性，直接影响着“结构熵权法”的科学性．这里基于熵理论对“典型排序”的认知“意见”所产生的不确定性进行测量，令ｘ（，）＝一蛔。（Ｊ）ｌｎｐ。（，），其熵值是“典型排序’定性定量转化的原始隶属函数，Ｊ为定性排序数，ｍ为转化参数量，当Ｉ＝１时，Ｐ。（１）＝磊ｍ＝Ｔ－－１＝１，ｌｎｐ。（１）＝０（显然，一个指标时无权重排序可言）．由于ｍ与最大顺序号有关，因此，ｍ＞Ｉ，鬲ｍ＝Ｔ－Ｉ＞０，当Ｉ＝Ｊ＋１取最大序号时，Ｐｎ０＋１）＝掣辔ｉ｝｝产＝了玎１＞０，显然，０≤ｐ（Ｊ）≤１．由ｘ（ｚ）＝一ｉ（。…一－１１））ｌｉ。ｎ（（。ｍ一－１１ｙ）＋（而ｍ－了！），可以将下式定义为变换后的隶属函数：左边＝ｘ（Ｊ）／（等等）一１竺ｐ（Ｊ），右边＝ｐ（，）＝一等寡碧，是“典型排序”过程定性排序定量转化的隶属函数．
三是“典型排序”统计数据准确可靠．“典型排序”是通过采用“德尔斐法”完成‘专家意见形成一统计反馈～意见调整”，这样一个多次与专家交互的循环互动过程，它充分发挥了信息反馈和信息控制的作用，
１２２８系统工程理论与实践第３０卷给出的专家个体定性判断结果具有“德尔斐法”意义的收敛性，因此，计算过程实现了群决策一致性判断的目的．
四是‘结构熵权”的定量转化过程具有收敛性．采用熵理论建立模糊集的隶属函数，并进行认知“盲度”分析，剔除了专家在“典型排序”阶段，对于因素认知上隐含的不确定性，能使专家：鼓见趋于集中．通过求ｋ个专家的“平均认识度”６，；求专家旎对因素让，的‘认识盲度”Ｑ，，即‘‘扫盲’’过程；计算ｋ个专家关于指标ｕＪ的“总体认识度”ｚｆ，使之收敛为—个值，这样就摒弃了‘‘典型排序”定性分析中专家意见隐含“噪声’’数据的弊端，使意见具有“一致性，’收敛．
表２指标“典型排序”的结构熵权重计算一览表
４实例分析
按照上述‘结构熵权法”的算法，用Ｅｘｃｅｌ程序
对一环保项目测评计算．我们选取了３０位在此方向
上的专家，按照１０人一组，分成３组，经过３轮，对
评价指标体系的４项一级水平指标问卷调查，采集到
“专家意见，’的“典型排序”统计结果和权重系数如下
表２．
由计算公式与计算过程的有效性，可以得到对指
标集｛让１，Ｉｔ２，Ｕ３，让４】．的权重集为｛Ｑ１，Ｑ２，ａ３，口４）＝
｛０．３３６，ｏ．３０４，ｏ．２０２，ｏ．１５ｓ｝是有效的．
５结论
本文基于熵理论对专家集形成的“典型排序”、认知“意见”所产生的不确定性测量，通过建立模糊集上熵函数（隶属函数），并进行‘认识盲度”分析，摒弃了专家在“典型排序”阶段认识上隐含的不确定性，并采用德尔斐专家调查法的多轮往复，能使专家意见趋于集中，完善群决策的一致性．此方法也为确定测评指标体系的权重提供了一种新的方法，通过计算公式的论证过程，可以看到这种方法的有效性和科学性．
参考文献
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ＱｉｕｗＨ．ＭａｎａｇｅｍｅｎｔＤｅｃｉｓｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＥｎｔｒｏｐｙ［Ｍ】．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＭａｃｈｉｎｅｒｙＩｎｄｕｓｔｒｙ
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ＣｈｅｎｇＱＹ．Ｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆｄｙｎａｍｉｃｃｏｎｆｌｉｃｔｄｅｃｉｓｉｏｎ－ｍａｋｉｎｇｕｎｄｅｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙａｎｄｉｔｓａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｍｉｌｉｔａｒｙｃｏｍｍａｎｄｆＤｌ．ＢｅｉｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ＆Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，２００２．
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ＣｈｅｎｇＱＹ．ＯｐｅｒａｔｉｏｎａｌＣｏｍｍａｎｄＤｅｃｉｓｉｏｎ－ＭａｋｉｎｇＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｈｅ
ＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＭｉｌｉｔａｒｙＳｃｉｅｎｃｅＨｏｕｓｅ，２００４．
Ｐｅｏｐｌｅ’ＳＰｕｂｌｉｓｈｉｎｇＨｏｕｓｅ，１９８４．［４】贺仲雄．模糊数学及其应用【Ｍ】．天津：天津人民出版社，１９８４．ＨｅＺＸ．ＦｕｚｚｙＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｔｉａｎｊｉｎ：Ｔｉａｎｊｉｎ
评测指标权重确定的结构熵权法
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：程启月， CHENG Qi-yue中国国防大学信息作战与指挥训练教研部,北京,100091系统工程理论与实践SYSTEMS ENGINEERING —THEORY & PRACTICE2010,30(7)23次
参考文献(4条)
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算、“盲度”分析，并对可能产生潜在的偏差数据统计处理．“结构熵权法”为确定测评指标体系的
权重提供了一种新的方法．
关键词熵；熵权；排序
Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｅｎｔｒｏｐｙｗｅｉｇｈｔｍｅｔｈｏｄｔｏｃｏｎｆｉｒｍ
ｔｈｅｗｅｉｇｈｔｏｆｅｖａｌｕａｔｉｎｇｉｎｄｅｘ
ＣＨＥＮＧＱｉ－ｙｕｅ
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ｃｏｍｂｉｎｅｓｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓｔｏｃｏｎｆｉｒｍｔｈｅｗｅｉｇｈｔ．ＴｈｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆＤｅｌｐｈｉ
ｍｅｔｈｏｄａｎｄｆｕｚｚｙａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｉｔｓｍａｉｎｔｈｏｕｇｈｔ。Ｔｈｅｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅｏｒｄｅｒｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｏｆｗｅｉｇｈｔｃａｎ
ｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｔｈｅｅｎｔｒｏｐｙｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｅｎｔｒｏｐｙｗｅｉｇｈｔｍｅｔｈｏｄｐｕｔｓｆｏｒｗａｒｄａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｔｏ
ｃｏｎｆｉｒｍｔｈｅｗｅｉｇｈｔｏｆｅｖａｌｕａｔｉｎｇｉｎｄｅｘ．
ｅｎｔｒｏｐｙ；ｅｎｔｒｏｐｙＫｅｙｗｏｒｄｓｗｅｉｇｈｔ；ｏｒｄｅｒ
１引言
在系统测评指标体系中，由于每个测评指标与同一类别中的其它指标相比，其作用、地位和影响力不尽相同，必须根据每个指标的重要性程度赋予不同的权重．权重反映了各个指标在“指标集”中的重要性程度，指标的权重直接关系到这一指标对总体的“贡献性”大小．因此，确定测评指标体系的权重，是系统测评的基础．目前，根据计算权重时原始数据的不同来源，确定指标体系权重的方法一般可分为主观赋值法和客观赋值法两大类．客观赋值法，即计算权重的原始数据由各测评指标在被测评过程中的实际数据得到，如均方差法、主成份分析法、熵值法、代表计算法等．主观赋值法，即计算权重的原始数据主要由评估者根据经验主观判断得到，如主观加权法、专家调查法、层次分析法、比较加权法、多元分析法、模糊统计法等．这两类方法各有优缺点．主观赋值法客观性较差，但解释性强；客观赋值法确定的权重在大多数情况下精度较高，但有时会与实际情况相悖，对所得到的结果难以给出明确的解释．本文给出了属于主观赋值法与客观赋值法相结合的‘结构熵权法”，它是将专家意见的德尔斐专家调查法与模糊分析法相结合，形成“典型排序”，对“典型排序”按照给定的熵决策公式进行熵值计算、“盲度”分析，以减少“典型排序”的不确定性．它是一种定性分析与定量分析相结合指标权重确定的分析方法．
收稿日期：２００９－０１—１５
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１２２６系统工程理论与实践第３０卷２确定指标权重的“结构熵权法”
结构熵权法的基本思想是：通过分析系统指标及其相互关系，并分解为若干个独立的层次结构，将采集专家意见的德尔斐专家调查法与模糊分析法相结合，对指标的重要性形成“典型排序”，用熵理论对“典型排序”结构的不确定性定量分析，计算熵值和“盲度”分析，对可能产生潜在的偏差数据统计处理．得出同一层次各指标的相对重要性排序，确定出每一层次同类指标重要程度数值，即指标的权重．具体步骤如下：
第一步采集专家意见，形成“典型排序”
首先，根据测评指标集确定对应的权重集．用“德尔斐法，’采集专家意见．设计定性排序的《指标体系权重专家调查表》（如表１，是对四个指标定性排序）．按照“德尔斐法”规定的程序和要求，向若干个专家问卷调查．专家组成员的选取应满足鲜明的代表性、权威性和公正性条件．要特别注意从熟悉评测对象（指标系统）的专家中选择．专家组成员匿名填写调查表，即专家依据自己的知识和经验，独立地给出对测评指标集的重要性“排序”意见的定性判断（采用打“，’的方式）．通过征询和反馈，最终形成的专家“排序意见”，我们称为指标的“典型排序”．
表１测评指标重要性排序调查表
１０。
０。Ｃ指标３２
３
说明：按照专家对以上指标在某项中的重要性，给出其比较合理的排序．若认为在“指标类别”这一项
中，‘‘指标２”应当最重要，即为‘嗜先选择’，就在对应处划￣／，其它意义同．允许几个（两个或更多）
指标认为是同样重要的，此时，依次在对应处划￣／．
第二步对“典型排序”进行“盲度”分析
专家“典型排序”的意见往往会因为数据“噪声’，产生潜在的偏差和溯源数据的不确定性．为消除数据“噪声’和减少不确定性，需要对“表１”中指标的定性判断结论统计分析与处理．即用熵理论计算其熵值，以减少专家“典型排序”的不确定性．具体方法如下．
不妨设有ｋ个专家参加咨询调查，得到咨询表有ｋ张，每一张表对应一指标集，记为Ｕ＝｛ｕ，，Ｕ２，…，ｕｎ）．指标集对应的“典型排序”数组，记作（ａ４１，吼２，…，ａ４。），由ｋ张表获得指标的排序矩阵记为以（Ａ＝（ａ｛ｊ）ｋｘ。，ｉ＝１，２，…，ｋ，Ｊ＝１，２，…，ｎ），称为指标的“典型排序”矩阵其中口巧表示第ｉ个专家对第Ｊ个指标ｕＪ的评价．ａｉｌ＇ａ‘２，…，ａｉ。取｛１，２，…，ｎ｝自然数中的任意一个数，比如，需要对４个指标排序，则指标“典型排序”数组｛ｎｔｌ＇６ｉ２，…，ａｉ。）中的佗＝４，可以取｛１，２，３，４｝中的任意—个数．
对上述‘‘典型排序”定性、定量转化，定义定性排序转化的隶属函数为：
ｘ（Ｘ）＝－Ａｐｎ（ｘ）ｌｎｐｎ（Ｉ）
其中，令ｐｎ（Ｉ）＝而ｍ－了Ｉ，取Ａ＝研而１可，代入得（１）
川）一丽ｂ（岩）ｈ（籍）
化简为：（２）川）．－鲁渊４－（等）（３）
第７期程启月：评测指标权重确定的结构熵权法１２２７两边同除篇ｍ－Ｉ，令
则，）（（形（岩）一１＝ｇｆｆ）（４）ｐ（Ｊ）＝一丽ｌｎ（ｍ－Ｉ）
当Ｉ＝１时，ｐｎ（１）＝而ｍ－１＝１；（５）Ｊ为专家按照“典型排序”的格式对某个指标评议后给出的定性排序数，如表１，若认为指标Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个指标中Ａ选择处于“第一选择”，则，取值为１；如果认为是‘第二选择”，，取值则为２；其它依此类推．其中，ｐ是定义在［ｏ，１】上的变量，弘（Ｊ）为Ｊ对应的隶属函数值，Ｉ＝１，２，…，Ｊ，Ｊ＋１，歹为实际最大顺序号，比如，当Ｊ＝４时，表示４个指标参加排序，则最大顺序号取值为４．仇为转化参数量，取ｍ＝Ｊ＋２，即ｍ＝６．当Ｉ＝Ｊ＋ｌ取最大序号时，Ｐｎ（ｊ＋１）＝垡器爿半＝雨１＞０．将排序数ｊ＝ａｏ代入式（５）中，可得。巧定量转化值ｂｉｊ（ｐ（ａｉｊ）＝ｂｉｊ），ｂｏ称为排序数Ｊ的隶属度．矩阵Ｂ＝（ｂｉｊ）ｋ×。称为隶属度矩阵，视ｋ个专家对指标坳的“话语权’’相同，即计算ｋ个专家对指标嘶的“一致看法，’，称为平均认识度，记作幻，令
幻＝（ｂｌｊ＋ｂ２ｊ＋…＋ｂｋｊ）／ｋ（６）
（７）定义专家Ｚｉ对因素ｕｊ由认知产生的不确定性，称为‘认识盲度”，记作锄，令ＱＪ＝Ｉ｛［ｍａｘ（ｂｌｊ，ｂ２ｊ，…，６幻）一幻】＋【ｍｉｎ（ｂｌｊ，ｂ２ｊ，…，６幻）一ｈＡ）／２
显然，劬≥０．
对于每一个因素％，定义ｋ（参加测评的全体专家数）个专家关于嘶的总体认识度记作巧，
ｘｊ＝ｂｊ（１～Ｑｊ），ｘｊ＞０
由ｘｊ即得到ｋ个专家全体对指标％的评价向量Ｘ＝（ｚ，，ｚ２，…，ｚ。）．
第三步归一化处理（８）
为得到指标嘶的权重，对％＝ｂｊ（１一Ｑ）归一化处理．
令
％＝％／∑巧
ｉ＝１（９）
显然，满足ａｊ０＝１，２，…，ｎ）＞０，且∑警１％＝１．（０ｌｌ，Ｏｅ２，…，ａ。）即为ｋ个“专家意见”对因素集Ｕ＝｛ｕ・，ｕ，…，ｕ。＞的重要性的一致性整体判断，它符合ｋ个专家群体意愿或认知．Ｗ＝｛ａ１，Ｑ２，…，Ｑ。｝即称为因素集Ｕ＝（“，，ｕ２，…，ｕｎ）的权向量．
３“结构熵权法”算法实现的理论依据
上面我们给出了权重确定的“结构熵权法＇’具体算法，基于科学可信的理由是：
一是专家“典型排序”意见主观赋值方法有效．“典型排序”定性定照转化原始的隶属函数为：
ｘ（Ｉ）＝一却。（，）ｌｎｐ。（，）是熵函数．熵是对事物不确定性测量的一种方法．熵能够将‘‘典型排序”矩阵代入变换后（定义Ｐｎ（，）＝而ｍ－－了Ｉ，取Ａ＝丽磊１可，从公式（２）一（５）可以得到）为ｐ（，）＝一芒专；葛，其公式没有改变原始公式的属性．即仍然是我们初衷预期的用熵函数计算其值．它能够减少专家“典型排序”意见由主观赋值带来的不确定性，因此，计算方法是有效的．
二是“隶属函数’’的确定科学可信．在模糊数学中突出强调的是隶属函数的确定，权重算法中隶属函数的准确性，直接影响着“结构熵权法”的科学性．这里基于熵理论对“典型排序”的认知“意见”所产生的不确定性进行测量，令ｘ（，）＝一蛔。（Ｊ）ｌｎｐ。（，），其熵值是“典型排序’定性定量转化的原始隶属函数，Ｊ为定性排序数，ｍ为转化参数量，当Ｉ＝１时，Ｐ。（１）＝磊ｍ＝Ｔ－－１＝１，ｌｎｐ。（１）＝０（显然，一个指标时无权重排序可言）．由于ｍ与最大顺序号有关，因此，ｍ＞Ｉ，鬲ｍ＝Ｔ－Ｉ＞０，当Ｉ＝Ｊ＋１取最大序号时，Ｐｎ０＋１）＝掣辔ｉ｝｝产＝了玎１＞０，显然，０≤ｐ（Ｊ）≤１．由ｘ（ｚ）＝一ｉ（。…一－１１））ｌｉ。ｎ（（。ｍ一－１１ｙ）＋（而ｍ－了！），可以将下式定义为变换后的隶属函数：左边＝ｘ（Ｊ）／（等等）一１竺ｐ（Ｊ），右边＝ｐ（，）＝一等寡碧，是“典型排序”过程定性排序定量转化的隶属函数．
三是“典型排序”统计数据准确可靠．“典型排序”是通过采用“德尔斐法”完成‘专家意见形成一统计反馈～意见调整”，这样一个多次与专家交互的循环互动过程，它充分发挥了信息反馈和信息控制的作用，
１２２８系统工程理论与实践第３０卷给出的专家个体定性判断结果具有“德尔斐法”意义的收敛性，因此，计算过程实现了群决策一致性判断的目的．
四是‘结构熵权”的定量转化过程具有收敛性．采用熵理论建立模糊集的隶属函数，并进行认知“盲度”分析，剔除了专家在“典型排序”阶段，对于因素认知上隐含的不确定性，能使专家：鼓见趋于集中．通过求ｋ个专家的“平均认识度”６，；求专家旎对因素让，的‘认识盲度”Ｑ，，即‘‘扫盲’’过程；计算ｋ个专家关于指标ｕＪ的“总体认识度”ｚｆ，使之收敛为—个值，这样就摒弃了‘‘典型排序”定性分析中专家意见隐含“噪声’’数据的弊端，使意见具有“一致性，’收敛．
表２指标“典型排序”的结构熵权重计算一览表
４实例分析
按照上述‘结构熵权法”的算法，用Ｅｘｃｅｌ程序
对一环保项目测评计算．我们选取了３０位在此方向
上的专家，按照１０人一组，分成３组，经过３轮，对
评价指标体系的４项一级水平指标问卷调查，采集到
“专家意见，’的“典型排序”统计结果和权重系数如下
表２．
由计算公式与计算过程的有效性，可以得到对指
标集｛让１，Ｉｔ２，Ｕ３，让４】．的权重集为｛Ｑ１，Ｑ２，ａ３，口４）＝
｛０．３３６，ｏ．３０４，ｏ．２０２，ｏ．１５ｓ｝是有效的．
５结论
本文基于熵理论对专家集形成的“典型排序”、认知“意见”所产生的不确定性测量，通过建立模糊集上熵函数（隶属函数），并进行‘认识盲度”分析，摒弃了专家在“典型排序”阶段认识上隐含的不确定性，并采用德尔斐专家调查法的多轮往复，能使专家意见趋于集中，完善群决策的一致性．此方法也为确定测评指标体系的权重提供了一种新的方法，通过计算公式的论证过程，可以看到这种方法的有效性和科学性．
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评测指标权重确定的结构熵权法
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：程启月， CHENG Qi-yue中国国防大学信息作战与指挥训练教研部,北京,100091系统工程理论与实践SYSTEMS ENGINEERING —THEORY & PRACTICE2010,30(7)23次
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