数学建模论文
加权向量组合安排最佳组队方案
摘要：
在一年一度的数学建模竞赛活动中，都会有很多院校组织学生参
加数学建模竞赛，比赛规则就是3个人组成一个队，但是每个学校都会有同样的问题，那就是在挑选出来的参赛团队中如何安排组队才能使队伍实力最强，以及整个团队实力最强，即追求一种整体实力最大化，这是参赛之前每个院校必须做好的工作，组队原则是队员各方面能力能互补。
根据某院校20名参赛预选队员，学校决定从20名队员中选出18名队员参加数学建模竞赛。根据对20名队员各项（7项）衡量指标判定学生的综合素质，我们通过定义7项指标的权重得到一个正互反阵， 采用层次分析法，进行分析，并且检验是否通过一致性检验，即
ci
cr =
ri
成绩，通过筛选把最差的两个学生排除，就得到安排人数及名单，经检验在问题一中各项指标分层分析都通过一致性检验，运用MATLAB 进行计算输出结果。
在问题二中采用一随机三个人进行组合，进行随机组队，然后采
用对每一个队组成的3⨯7 的一个矩阵这样的矩阵通过MATLAB 计算有816个，那么就有816种组合方式，在矩阵中每一行表示学生的姓名，列表示学生的各项指标，为了让三个对员能够形成互补，我们采用调用函数max() 方法进行搜索每一列最大值，构成一个新的数组，代表该队的各项能力水平，这样依次取出就得到816个队的各项指标的成绩，再与问题一里面的权重向量w 相乘，就得到一个816⨯1 的一个总体综合实力的矩阵，再通过排序筛选出最大的一个值，找到与之对应的组合队员，那么就可以确定该队实力最强。
问题三采用随机排序然后每隔3个数归为一个整体代表每一个，一共有六个，通过增加其随机次数来确定它的稳定值。
关键词：
层次分析，随机数循环，加权向量，MATLAB ，一致性检验
一．问题重述：
问题一：
对于问题一的得要求要在20个队员中选出最好的18个人参加比赛，通过筛选把最后的两个同学进行排就可以确定参赛队员名单。
问题二：
对于问题二，根据题目要求通过对全局组合进行筛选，这里运用
问题一里面的数据，通过层次分析出来的权向量w ，以及筛选出来的18个队员名单进行排列组合的所有可能性做一个全局计算，得到每种可能组队的一个总体评价分数指标，然后筛选出最大的一个分数，就可以知道该队的人员组合安排。
问题三：
对于问题三，根据题目要求筛选出来的18名队员组成的六个队需
要进行一个科学合理的搭配使得总体水平效果最好，要解决的问题是具体安排每一个队由哪些人员组成，需要解决的是队员组成的队伍里面队员能够进行相互各方面的缺陷，这样才能使总体效果最好。
二．模型假设：
1. 假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件； 2. 参赛队员都能正常发挥自己的水平； 3. 假设7个指标的影响度是逐渐降低的
4. 假设随机组组队，每个队员在该组都能弥补其他两人的不足 5. 假设每队的综合能力只是取决于他们的7项指标
三．符号说明：
CI ：一致性指标； CR ：一致性比率； RI ：随机一致性指标；
X ：7个指标的权重 Y : 每个队员的综合得分
W :每名队员依据各个指标所占权重所得分数
Tl ：每个方案总分
t :一个方案下每个队的竞技水平 Z i ：表示组队的名称
四．模型建立与求解：
问题一：
该问题是一个综合排序问题。对于此类问题，可通过层次分析法知道不同评价指标所占权重，然后根据权重进行整体评估与排序。 在本题中，依据层次分析法，目标层为选择队员；准则层为学科成绩、智力水平、动手能力、写作能力、外语能力、协作能力、其它特长；方案层为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 、R 、S 、T 这20个待选队员（如图1）。假设7个评价指标所占权重是依次递减的，分别为1,2,3,4,5,6,7。通过两两比较建立成对比较阵（如图2），然后进行一致性检验，若检验通过，则计算出目标层与准则层之间权重X 。
针对准则层与方案层，若用层次分析法，需建立7个20 20的矩阵，人为工作量过大；且心理学家认为，成对比较因素不宜超过9个，而此时的成对比较因素有20个，因此准则层与方案层之间的权重计算不用层次分析法，而通过Excel 直接依据各个指标所占权重计算每个人的得分，再将每个人的7个指标得分求和得出每个队员的综合得分Y ，并对总得分Y 降序排列排除最后两名队员。 图1：
目标层
准则层
方案层
计算每名队员综合得分的方法如下：
（1）在matlab 中输入正互反矩阵（图2），调用编写好的层次分析法计算权重方程xxjj0，得出CI 、CR ，判断一致性； （2）得出7个指标所占权重X ；
（3）通过Excel 计算每名队员依据各个指标所占权重所得分数W ； （4）每个队员各个指标的B 求和，得出每个队员的综合分数Y ；
（5）个队员的综合分数C 进行排序，选出前18位； 输入正互反矩阵（图2）
矩阵2：
得出CI =0.0326，CR =0.0247 当正互反阵为7阶时，对应的RI =1.32
得到结果：CI
7个指标权重分别为：
X =[0.3543，0.2399，0.1587，0.1036，0.0676，0.0448，0.0312]
对B 求和，得出每个队员的综合分数Y 如下表：
名队员名单分别为:
A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 、R 、S 、T 。
问题二：
考虑到3名队员之间能力的互补性，需选出3名队员，他们每个人在7项评价指标中最高分予以保留生成新的最高分。将新生成的7项最高分按第一问的权重相加，得出最高综合分。这3名队员的综合最高分越高，则这只队伍的能力越强。
对于每一项评价指标，三人进行比较，将3人中的最高值予以保留，得到由三人成绩共同组成的新的一组指标。将新得出的一组指标分别乘以第一组得出的权重，让后对一组中的7项指标求和，其积记为这一组的总分数。
求出所有组合情况下每组的总分数，并选出所有总分数中的最大值。找出最大值所对应的组合情况，即为最佳3人组队。 经过程序运行计算，得出总分最大值为9.5178，此时为第622种组合情况，对应的队员名单为：
G 、S 、L 。
程序请看在附录-第二问
问题三：
要求18名队员组成6个队, 并且整体竞赛技术水平最高, 同时给出每个队的竞赛技术水平。通过matlab 随机产生18个元素的一行18列矩阵，随机分成六组作为一个分组方案，编程类似问题二，最后通过总分t 衡量，量化看一个方案的优秀程度。经过大数量的循环得到最优方案
（1）一次循环即为一个方案，随机分出6个组，记为Z i (i =1,...,6)
列出每个组的分数矩阵，例如随机组合一个组如下
⎡8.698.287.99.56⎤⎢8.28.88.16.57.79.12⎥⎢⎥⎢⎣88.68.58.59.29.68⎥⎦
（2）每个组各项的水平应该由其三个队员各项能力中最高的数组决定，所以用max()函数得出能代表每组各项水平，结果如下：
8. 698. 5
[
8. 59. 2
] 9. 6
8
（3）将每组通过用max()函数得到的行向量乘以每项能力的权重X 得到t , t 即为衡量每组综合能力的数值。例如
t =[8.698.58.59.29.68]*X =[9.39409.39399.24528.96989.31149.297
将t 向量六项元素求和得Tl ，用Tl 值来衡量该方案的优秀程度
解得结果如下：
[A
B C D E F G J K L M
N O P Q R S T ]
上面为筛选后的十八名队员排序编号分别为1,...18，所以对应上表
得到组队方案：
第一队BLG 第二队NKO 第三队CTP 第四队EMQ 第五队
DSJ 第六队AFR
五．模型的误差分析
在第一问中，本文采用了层次分析法。依题意较主观的对7项评价指标进行了重要度的评测。从不同的角度、不同侧重点对7项评价指标的重要度进行评测，其评测结果存在差异，这将导致7项评价指标所占权重存在差异。
在第三问中，由于全局搜索计算量过大，本文通过多次产生随机组合的方法求18名队员总体的最佳竞赛水平。由于随机生成的组合方法不同，18名队员的分组情况会有差异，18名队员整体竞赛水平也会有差异，但误差可控制在0.01之内。
六．模型评价
本文针对第一问，采用了层次分析法，能够较科学的得出7项评价指标指标所占权重。但又未完全采用层次分析法，避免了由于成对比较因素过多而造成RI 值不准确，保证了所求每个队员综合得分的准确性与科学性。
本文对18名队员所有组合情况进行了全局搜索，对于最佳组合能
力衡量较全面，所选的3名队员能力具有互补性。而对于每种组合情况，具有科学的量化标准。本程序能够精确的选出所需的3名队员，并给出综合得分。
本文对于18个队员组成6队的人员分组，进行了随机生成，大大减少了计算机的工作量，同时所得结论亦科学合理。
模型的不足
受题目本身的影响，有些误差无法避免，重要系数得到的正反矩阵是人为定义的误差无法避免。
七．模型推广
此模型在对待评价对象进行全面而综合的科学评价，多个选择对象进行筛选，任务分配，组队等问题中有着广泛的应用，解决数学建模的最佳组队问题对实际的日常生活有重要意义。 层次分析可用于选择旅游方案，公司招聘职员等问题，
八．附录：
第一问：
%产生7项评价指标的对应权重 clear; clc;
xxjj0([1 2 3 4 5 6 7 1/2 1 2 3 4 5 6 1/3 1/2 1 2 3 4 5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1])
数学建模论文
加权向量组合安排最佳组队方案
摘要：
在一年一度的数学建模竞赛活动中，都会有很多院校组织学生参
加数学建模竞赛，比赛规则就是3个人组成一个队，但是每个学校都会有同样的问题，那就是在挑选出来的参赛团队中如何安排组队才能使队伍实力最强，以及整个团队实力最强，即追求一种整体实力最大化，这是参赛之前每个院校必须做好的工作，组队原则是队员各方面能力能互补。
根据某院校20名参赛预选队员，学校决定从20名队员中选出18名队员参加数学建模竞赛。根据对20名队员各项（7项）衡量指标判定学生的综合素质，我们通过定义7项指标的权重得到一个正互反阵， 采用层次分析法，进行分析，并且检验是否通过一致性检验，即
ci
cr =
ri
成绩，通过筛选把最差的两个学生排除，就得到安排人数及名单，经检验在问题一中各项指标分层分析都通过一致性检验，运用MATLAB 进行计算输出结果。
在问题二中采用一随机三个人进行组合，进行随机组队，然后采
用对每一个队组成的3⨯7 的一个矩阵这样的矩阵通过MATLAB 计算有816个，那么就有816种组合方式，在矩阵中每一行表示学生的姓名，列表示学生的各项指标，为了让三个对员能够形成互补，我们采用调用函数max() 方法进行搜索每一列最大值，构成一个新的数组，代表该队的各项能力水平，这样依次取出就得到816个队的各项指标的成绩，再与问题一里面的权重向量w 相乘，就得到一个816⨯1 的一个总体综合实力的矩阵，再通过排序筛选出最大的一个值，找到与之对应的组合队员，那么就可以确定该队实力最强。
问题三采用随机排序然后每隔3个数归为一个整体代表每一个，一共有六个，通过增加其随机次数来确定它的稳定值。
关键词：
层次分析，随机数循环，加权向量，MATLAB ，一致性检验
一．问题重述：
问题一：
对于问题一的得要求要在20个队员中选出最好的18个人参加比赛，通过筛选把最后的两个同学进行排就可以确定参赛队员名单。
问题二：
对于问题二，根据题目要求通过对全局组合进行筛选，这里运用
问题一里面的数据，通过层次分析出来的权向量w ，以及筛选出来的18个队员名单进行排列组合的所有可能性做一个全局计算，得到每种可能组队的一个总体评价分数指标，然后筛选出最大的一个分数，就可以知道该队的人员组合安排。
问题三：
对于问题三，根据题目要求筛选出来的18名队员组成的六个队需
要进行一个科学合理的搭配使得总体水平效果最好，要解决的问题是具体安排每一个队由哪些人员组成，需要解决的是队员组成的队伍里面队员能够进行相互各方面的缺陷，这样才能使总体效果最好。
二．模型假设：
1. 假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件； 2. 参赛队员都能正常发挥自己的水平； 3. 假设7个指标的影响度是逐渐降低的
4. 假设随机组组队，每个队员在该组都能弥补其他两人的不足 5. 假设每队的综合能力只是取决于他们的7项指标
三．符号说明：
CI ：一致性指标； CR ：一致性比率； RI ：随机一致性指标；
X ：7个指标的权重 Y : 每个队员的综合得分
W :每名队员依据各个指标所占权重所得分数
Tl ：每个方案总分
t :一个方案下每个队的竞技水平 Z i ：表示组队的名称
四．模型建立与求解：
问题一：
该问题是一个综合排序问题。对于此类问题，可通过层次分析法知道不同评价指标所占权重，然后根据权重进行整体评估与排序。 在本题中，依据层次分析法，目标层为选择队员；准则层为学科成绩、智力水平、动手能力、写作能力、外语能力、协作能力、其它特长；方案层为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 、R 、S 、T 这20个待选队员（如图1）。假设7个评价指标所占权重是依次递减的，分别为1,2,3,4,5,6,7。通过两两比较建立成对比较阵（如图2），然后进行一致性检验，若检验通过，则计算出目标层与准则层之间权重X 。
针对准则层与方案层，若用层次分析法，需建立7个20 20的矩阵，人为工作量过大；且心理学家认为，成对比较因素不宜超过9个，而此时的成对比较因素有20个，因此准则层与方案层之间的权重计算不用层次分析法，而通过Excel 直接依据各个指标所占权重计算每个人的得分，再将每个人的7个指标得分求和得出每个队员的综合得分Y ，并对总得分Y 降序排列排除最后两名队员。 图1：
目标层
准则层
方案层
计算每名队员综合得分的方法如下：
（1）在matlab 中输入正互反矩阵（图2），调用编写好的层次分析法计算权重方程xxjj0，得出CI 、CR ，判断一致性； （2）得出7个指标所占权重X ；
（3）通过Excel 计算每名队员依据各个指标所占权重所得分数W ； （4）每个队员各个指标的B 求和，得出每个队员的综合分数Y ；
（5）个队员的综合分数C 进行排序，选出前18位； 输入正互反矩阵（图2）
矩阵2：
得出CI =0.0326，CR =0.0247 当正互反阵为7阶时，对应的RI =1.32
得到结果：CI
7个指标权重分别为：
X =[0.3543，0.2399，0.1587，0.1036，0.0676，0.0448，0.0312]
对B 求和，得出每个队员的综合分数Y 如下表：
名队员名单分别为:
A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 、R 、S 、T 。
问题二：
考虑到3名队员之间能力的互补性，需选出3名队员，他们每个人在7项评价指标中最高分予以保留生成新的最高分。将新生成的7项最高分按第一问的权重相加，得出最高综合分。这3名队员的综合最高分越高，则这只队伍的能力越强。
对于每一项评价指标，三人进行比较，将3人中的最高值予以保留，得到由三人成绩共同组成的新的一组指标。将新得出的一组指标分别乘以第一组得出的权重，让后对一组中的7项指标求和，其积记为这一组的总分数。
求出所有组合情况下每组的总分数，并选出所有总分数中的最大值。找出最大值所对应的组合情况，即为最佳3人组队。 经过程序运行计算，得出总分最大值为9.5178，此时为第622种组合情况，对应的队员名单为：
G 、S 、L 。
程序请看在附录-第二问
问题三：
要求18名队员组成6个队, 并且整体竞赛技术水平最高, 同时给出每个队的竞赛技术水平。通过matlab 随机产生18个元素的一行18列矩阵，随机分成六组作为一个分组方案，编程类似问题二，最后通过总分t 衡量，量化看一个方案的优秀程度。经过大数量的循环得到最优方案
（1）一次循环即为一个方案，随机分出6个组，记为Z i (i =1,...,6)
列出每个组的分数矩阵，例如随机组合一个组如下
⎡8.698.287.99.56⎤⎢8.28.88.16.57.79.12⎥⎢⎥⎢⎣88.68.58.59.29.68⎥⎦
（2）每个组各项的水平应该由其三个队员各项能力中最高的数组决定，所以用max()函数得出能代表每组各项水平，结果如下：
8. 698. 5
[
8. 59. 2
] 9. 6
8
（3）将每组通过用max()函数得到的行向量乘以每项能力的权重X 得到t , t 即为衡量每组综合能力的数值。例如
t =[8.698.58.59.29.68]*X =[9.39409.39399.24528.96989.31149.297
将t 向量六项元素求和得Tl ，用Tl 值来衡量该方案的优秀程度
解得结果如下：
[A
B C D E F G J K L M
N O P Q R S T ]
上面为筛选后的十八名队员排序编号分别为1,...18，所以对应上表
得到组队方案：
第一队BLG 第二队NKO 第三队CTP 第四队EMQ 第五队
DSJ 第六队AFR
五．模型的误差分析
在第一问中，本文采用了层次分析法。依题意较主观的对7项评价指标进行了重要度的评测。从不同的角度、不同侧重点对7项评价指标的重要度进行评测，其评测结果存在差异，这将导致7项评价指标所占权重存在差异。
在第三问中，由于全局搜索计算量过大，本文通过多次产生随机组合的方法求18名队员总体的最佳竞赛水平。由于随机生成的组合方法不同，18名队员的分组情况会有差异，18名队员整体竞赛水平也会有差异，但误差可控制在0.01之内。
六．模型评价
本文针对第一问，采用了层次分析法，能够较科学的得出7项评价指标指标所占权重。但又未完全采用层次分析法，避免了由于成对比较因素过多而造成RI 值不准确，保证了所求每个队员综合得分的准确性与科学性。
本文对18名队员所有组合情况进行了全局搜索，对于最佳组合能
力衡量较全面，所选的3名队员能力具有互补性。而对于每种组合情况，具有科学的量化标准。本程序能够精确的选出所需的3名队员，并给出综合得分。
本文对于18个队员组成6队的人员分组，进行了随机生成，大大减少了计算机的工作量，同时所得结论亦科学合理。
模型的不足
受题目本身的影响，有些误差无法避免，重要系数得到的正反矩阵是人为定义的误差无法避免。
七．模型推广
此模型在对待评价对象进行全面而综合的科学评价，多个选择对象进行筛选，任务分配，组队等问题中有着广泛的应用，解决数学建模的最佳组队问题对实际的日常生活有重要意义。 层次分析可用于选择旅游方案，公司招聘职员等问题，
八．附录：
第一问：
%产生7项评价指标的对应权重 clear; clc;
xxjj0([1 2 3 4 5 6 7 1/2 1 2 3 4 5 6 1/3 1/2 1 2 3 4 5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1])