温度、热量与热变形的关系及计算方法研究
摘要:通过分析热变形与热量之间的关系，提出利用平均线膨胀系数，将较复杂温度分布(如移动持续热源形成的温度分布) 情况下工件热变形量的计算简化为热量含量相同且温度均布状态下工件热变形量的计算方法，并给出了计算实例。 1 引言
在机械制造、仪器仪表等行业，由温度引起的热变形是影响机器、仪器设备精度的重要因素，热变形引起的误差通常可占总误差的1/3。在精密加工中，热变形引起的误差在加工总误差中所占比例可达40%～70%。为提高机器设备的工作精度，通常可采用温度控制和精度补偿两种途径来减小温度对精度的影响。温度控制是对关键热源部件或关键零件的温度波动范围进行精密控制(包括环境温度控制)。实现方法包括:①采用新型结构，如机床中的复合恒温构件等;②使用降温系统控制部件温升;③采用低膨胀系数材料等。这些方法都可程度不同地降低热变形程度，但成本较高。精度补偿方法是通过建立热变形数学模型，计算出热变形量与温度的关系，采用相应的软件补偿或硬件设备进行精度补偿。精度补偿法虽然成本较低，但要求建立精确且计算简便的数学模型。目前常见的数学模型大多是以温度作为主要计算因素，当形状规则的工件处于稳定、均匀的温度场中时，热变形数学模型的计算简便性可得到较好保证，但对于处于移动持续热源温度
场中的工件，其温度分布函数的计算将变得相当复杂，甚至无法得出解析解，只能采用逼近的近似数值解法。例如:对精密丝杠进行磨削加工时，磨削热引起的丝杠热变形会导致丝杠螺距误差。在计算丝杠热变形量时，首先必须建立砂轮磨削热产生的移动持续热源在丝杠上形成的温度分布数学模型。再如:车削加工中产生的切削热形成一持续热源，使车刀产生较大热膨胀量(可达0.1mm)，严重影响加工精度。计算车刀的热变形量时，首先需要建立持续热源在车刀刀杆中的温度分布模型，这就增加了计算的复杂性。
图1 双原子模型示意图
本文从温度、热量和热变形的定义出发，分析了热量与热变形的关系。利用该关系，可简化实际工程应用中的热变形数学模型，减小运算工作量。
2 热变形原理及计算公式
热变形原理相当复杂，目前只能在微观上给予定性解释。固体材料的热膨胀本质上可归结为点阵结构中各点平均距离随温度的升高而增大。德拜(Debye)理论认为，各原子间的热振动相互牵连制约，随着温度的升高，各质点的热振动加剧，质点间的距离增大，在宏观上表现为晶体膨胀现象。用图1所示双原子模型可解释如下:在温度T0时，原子1与原子2的间距为r0，当温度升高时，原子热运动加剧，原子间势能增加，两原子间势能U(r)增大，原子间距r=r0+x0。将U(r)
在r=r0处展开成泰勒级数为 U(r)=U(r0)=(dU)r0x+1(d2U)r0x2+1(d3U)r0x3+…dr2!dr23!dr3(1)略去x3以后的高次项，则式(1)曲线如图1中实线所示。图中，线1、2、3分别代表在温度T1、T2、T3下质点振动的总能量。由图可见，当两原子平衡后，其平衡位置分别位于A、B、C处，晶体处于膨胀状态。
在实际应用中，固体材料热膨胀参数以实测的热膨胀系数来表示。热膨胀系数可分为平均线膨胀系数和热膨胀率两种。平均线膨胀系数定义为:在温度t1与t2之间，温度变化1℃时相应的试样长度相对变化均值，以αm表示(单位:×10-6/℃)，
计算公式为
αm=(L2-L1)/[L0(t2-t1)]=(ΔL/L0)/Δt(t1
热膨胀率(也称线膨胀系数)定义为:在温度t下，温度变化1℃时相应的线性热膨胀值，以αt表示(单位:×10-6/℃)，
计算公式为
αt=1limL2-L1=(dL/dt)Li
(t1
L2——温度为t2时的试样长度(mm)
ΔL——温度在t1与t2之间的试样长度变化(mm)
进行工程热变形计算时，多采用由式(2)演化而来的计算式: L2=L
+αL2Δt(4)
3 热量与热变形关系分析
由式(4)可知，热变形与材料的热膨胀系数、温度等参数密切相关。升高单位温度时单位材料能量的增量称为材料的热容，即C=E/ΔTΔV(E为能量增量)。格律乃森由晶格振动理论导出的金属体膨胀系数与热容之间的关系式为
β=γCVKV(5)
式中：β——材料体膨胀系数
γ——格律乃森常数 K——体积模量 V——试样体积 CV——等容热容
由此可得:CV=KVβ/γ(单位:J/kg·K)。对于立方晶系，各方向膨胀系数相同，则有β=3α，故CV=3KVα/γ。由此可见，在低温下，各向同性材料的热容与膨胀系数具有相同的变化规律，材料热变形与材料热量密切相关。对于一定形状的材料，当材料内所含热量相同而分布不同时，其热变形量与热量之间也必然有一定联系。
现以一棒形样件为例，介绍热变形量的计算方法。当同一持续热源在样件不同位置(见图1)对其加热至热平衡时，温度分布函数(以环境温度为零点)分别为f1(x)、f2(x)，求此时两种状况下的热变形量。
同一热源对样件加热达到热平衡时，样件内所含热量相同，若采用该样件的平均线膨胀系数α来计算热膨胀量，则有
ΔL1=∫0l af1(x)ldx ΔL1=∫0laf2(x)ldx
考虑到同一材料的热容相同，由C=E/ΔTΔV可得样件微元内的能量增量为
dE1=Cf1(x)πr2dx
则整个样件的能量增量为
E1=∫0lCf1(x)πr2dx
同理可得
E1=∫0lCf2(x)πr2dx
因为E1=E2，所以∫0l
Cf1(x)πr2dx=∫l0Cf2(x)πr2dx
可得:ΔL1=ΔL2。
根据双原子模型热变形原理，样件被不同热源加热达到热平衡时所吸收的能量相等，
即:ΔU1=ΔU2，
则对于样件必然有:x1=x2。
由此可知，对于同一工件，当热源位置不同时，工件内的温度分布将呈不同状态。只要工件工作条件相同，当工件达到热平衡时所吸收的能量必然相同，此时采用平均线膨胀系数计算得到的工件热膨胀值相等。在实际工程应用中，若工件的温度分布函数较复杂，不便于
计算，则可将其变换为热量含量相同且温度均布的状况进行计算，这样可大幅度减少计算量且可保证计算精度。
图2 样件热源示意图
4 移动持续热源加热时工件热变形的计算
当热源以速度v由A点移动到B点时(见图2)，样件的温度分布函数计算式为
t=qm(x-ντ) Ψ(x-ντ)2λ√x√4kτ(6) 式中：t——样件温度
qm——热源持续 发热强度(kcal/m2·h)
x——样件轴向位置 τ——时间
k——样件导温系数(cm2/s) λ——热导率
Ψ(p)——特殊函数∫p∞(1/u2)e-u2du的简写，可查表计算 样件的热变形计算式为 ΔL=∫0La(t-t0)dx(7)
式中：α——材料平均线膨胀系数
t0——环境温度
由前述分析可知，无论热源处于样件的任何位置，只要样件吸收的热量相同，其热变形量就相同。因此，计算热变形量时只需计算热源在x=0处的样件热变形量即可。热源在x=0处的样件温度分布函数为 tx=0=qm√4kτ2λπ(8)将式(8)代入式(7)即可求得样件热变形量。
图3 车刀加工示意图
5 计算实例
车刀切削工件时(见图3)，切削热由刀头传入刀体，使车刀发生热变形，将严重影响精密工件的加工精度。
已知:车刀材料为硬质合金，刀杆长度L=5cm，刀体截面积为2cm×2cm：在一定的切削速度、进给量和切削量条件下，流入刀体的切削热为qm=2cal/cm2·s，λ=0.1cal/cm·s℃，k=0.07cm2/s，α=11×10-6/℃。
求:车刀的热变形量。
解:①常规计算方法:由式(8)计算出车刀各点温度值，再由式(7)计算出车刀热变形量为
ΔL=∫0La(t-t0)dx=121.7µm
②本文计算方法:分别选取x=0、1.0、2.0、3.0、4.0、5.0，计算出各点温度值τ=285.9℃、255.2℃、228℃、202.8℃、179.6℃、156.6℃。由于该温度曲线接近线性分布，因此可认为其平均温升为均布温升，则有 τ=285.9+156.6=221.25℃2
ΔL=aτL=121.7µm
由此可见，两种计算方法结果相同。 6 结语
在解决实际工程问题时，有时热传导状况非常复杂，尤其是移动持续热源引起的热变形量计算，由于温度分布函数相当复杂，按常规方法求解十分困难。采用本文介绍方法，将能量守恒定理与平均线膨胀系数相结合，可使热变形量的计算大为简化。由于在热平衡状态下，无需考虑热源的移动性，且可将热源置于任一便于温度分布计算的位置，用平均温度代替实际温度分布进行计算，因此该方法具有计算快速、简便的特点，在实际工程应用中具有较高实用价值。
温度、热量与热变形的关系及计算方法研究
摘要:通过分析热变形与热量之间的关系，提出利用平均线膨胀系数，将较复杂温度分布(如移动持续热源形成的温度分布) 情况下工件热变形量的计算简化为热量含量相同且温度均布状态下工件热变形量的计算方法，并给出了计算实例。 1 引言
在机械制造、仪器仪表等行业，由温度引起的热变形是影响机器、仪器设备精度的重要因素，热变形引起的误差通常可占总误差的1/3。在精密加工中，热变形引起的误差在加工总误差中所占比例可达40%～70%。为提高机器设备的工作精度，通常可采用温度控制和精度补偿两种途径来减小温度对精度的影响。温度控制是对关键热源部件或关键零件的温度波动范围进行精密控制(包括环境温度控制)。实现方法包括:①采用新型结构，如机床中的复合恒温构件等;②使用降温系统控制部件温升;③采用低膨胀系数材料等。这些方法都可程度不同地降低热变形程度，但成本较高。精度补偿方法是通过建立热变形数学模型，计算出热变形量与温度的关系，采用相应的软件补偿或硬件设备进行精度补偿。精度补偿法虽然成本较低，但要求建立精确且计算简便的数学模型。目前常见的数学模型大多是以温度作为主要计算因素，当形状规则的工件处于稳定、均匀的温度场中时，热变形数学模型的计算简便性可得到较好保证，但对于处于移动持续热源温度
场中的工件，其温度分布函数的计算将变得相当复杂，甚至无法得出解析解，只能采用逼近的近似数值解法。例如:对精密丝杠进行磨削加工时，磨削热引起的丝杠热变形会导致丝杠螺距误差。在计算丝杠热变形量时，首先必须建立砂轮磨削热产生的移动持续热源在丝杠上形成的温度分布数学模型。再如:车削加工中产生的切削热形成一持续热源，使车刀产生较大热膨胀量(可达0.1mm)，严重影响加工精度。计算车刀的热变形量时，首先需要建立持续热源在车刀刀杆中的温度分布模型，这就增加了计算的复杂性。
图1 双原子模型示意图
本文从温度、热量和热变形的定义出发，分析了热量与热变形的关系。利用该关系，可简化实际工程应用中的热变形数学模型，减小运算工作量。
2 热变形原理及计算公式
热变形原理相当复杂，目前只能在微观上给予定性解释。固体材料的热膨胀本质上可归结为点阵结构中各点平均距离随温度的升高而增大。德拜(Debye)理论认为，各原子间的热振动相互牵连制约，随着温度的升高，各质点的热振动加剧，质点间的距离增大，在宏观上表现为晶体膨胀现象。用图1所示双原子模型可解释如下:在温度T0时，原子1与原子2的间距为r0，当温度升高时，原子热运动加剧，原子间势能增加，两原子间势能U(r)增大，原子间距r=r0+x0。将U(r)
在r=r0处展开成泰勒级数为 U(r)=U(r0)=(dU)r0x+1(d2U)r0x2+1(d3U)r0x3+…dr2!dr23!dr3(1)略去x3以后的高次项，则式(1)曲线如图1中实线所示。图中，线1、2、3分别代表在温度T1、T2、T3下质点振动的总能量。由图可见，当两原子平衡后，其平衡位置分别位于A、B、C处，晶体处于膨胀状态。
在实际应用中，固体材料热膨胀参数以实测的热膨胀系数来表示。热膨胀系数可分为平均线膨胀系数和热膨胀率两种。平均线膨胀系数定义为:在温度t1与t2之间，温度变化1℃时相应的试样长度相对变化均值，以αm表示(单位:×10-6/℃)，
计算公式为
αm=(L2-L1)/[L0(t2-t1)]=(ΔL/L0)/Δt(t1
热膨胀率(也称线膨胀系数)定义为:在温度t下，温度变化1℃时相应的线性热膨胀值，以αt表示(单位:×10-6/℃)，
计算公式为
αt=1limL2-L1=(dL/dt)Li
(t1
L2——温度为t2时的试样长度(mm)
ΔL——温度在t1与t2之间的试样长度变化(mm)
进行工程热变形计算时，多采用由式(2)演化而来的计算式: L2=L
+αL2Δt(4)
3 热量与热变形关系分析
由式(4)可知，热变形与材料的热膨胀系数、温度等参数密切相关。升高单位温度时单位材料能量的增量称为材料的热容，即C=E/ΔTΔV(E为能量增量)。格律乃森由晶格振动理论导出的金属体膨胀系数与热容之间的关系式为
β=γCVKV(5)
式中：β——材料体膨胀系数
γ——格律乃森常数 K——体积模量 V——试样体积 CV——等容热容
由此可得:CV=KVβ/γ(单位:J/kg·K)。对于立方晶系，各方向膨胀系数相同，则有β=3α，故CV=3KVα/γ。由此可见，在低温下，各向同性材料的热容与膨胀系数具有相同的变化规律，材料热变形与材料热量密切相关。对于一定形状的材料，当材料内所含热量相同而分布不同时，其热变形量与热量之间也必然有一定联系。
现以一棒形样件为例，介绍热变形量的计算方法。当同一持续热源在样件不同位置(见图1)对其加热至热平衡时，温度分布函数(以环境温度为零点)分别为f1(x)、f2(x)，求此时两种状况下的热变形量。
同一热源对样件加热达到热平衡时，样件内所含热量相同，若采用该样件的平均线膨胀系数α来计算热膨胀量，则有
ΔL1=∫0l af1(x)ldx ΔL1=∫0laf2(x)ldx
考虑到同一材料的热容相同，由C=E/ΔTΔV可得样件微元内的能量增量为
dE1=Cf1(x)πr2dx
则整个样件的能量增量为
E1=∫0lCf1(x)πr2dx
同理可得
E1=∫0lCf2(x)πr2dx
因为E1=E2，所以∫0l
Cf1(x)πr2dx=∫l0Cf2(x)πr2dx
可得:ΔL1=ΔL2。
根据双原子模型热变形原理，样件被不同热源加热达到热平衡时所吸收的能量相等，
即:ΔU1=ΔU2，
则对于样件必然有:x1=x2。
由此可知，对于同一工件，当热源位置不同时，工件内的温度分布将呈不同状态。只要工件工作条件相同，当工件达到热平衡时所吸收的能量必然相同，此时采用平均线膨胀系数计算得到的工件热膨胀值相等。在实际工程应用中，若工件的温度分布函数较复杂，不便于
计算，则可将其变换为热量含量相同且温度均布的状况进行计算，这样可大幅度减少计算量且可保证计算精度。
图2 样件热源示意图
4 移动持续热源加热时工件热变形的计算
当热源以速度v由A点移动到B点时(见图2)，样件的温度分布函数计算式为
t=qm(x-ντ) Ψ(x-ντ)2λ√x√4kτ(6) 式中：t——样件温度
qm——热源持续 发热强度(kcal/m2·h)
x——样件轴向位置 τ——时间
k——样件导温系数(cm2/s) λ——热导率
Ψ(p)——特殊函数∫p∞(1/u2)e-u2du的简写，可查表计算 样件的热变形计算式为 ΔL=∫0La(t-t0)dx(7)
式中：α——材料平均线膨胀系数
t0——环境温度
由前述分析可知，无论热源处于样件的任何位置，只要样件吸收的热量相同，其热变形量就相同。因此，计算热变形量时只需计算热源在x=0处的样件热变形量即可。热源在x=0处的样件温度分布函数为 tx=0=qm√4kτ2λπ(8)将式(8)代入式(7)即可求得样件热变形量。
图3 车刀加工示意图
5 计算实例
车刀切削工件时(见图3)，切削热由刀头传入刀体，使车刀发生热变形，将严重影响精密工件的加工精度。
已知:车刀材料为硬质合金，刀杆长度L=5cm，刀体截面积为2cm×2cm：在一定的切削速度、进给量和切削量条件下，流入刀体的切削热为qm=2cal/cm2·s，λ=0.1cal/cm·s℃，k=0.07cm2/s，α=11×10-6/℃。
求:车刀的热变形量。
解:①常规计算方法:由式(8)计算出车刀各点温度值，再由式(7)计算出车刀热变形量为
ΔL=∫0La(t-t0)dx=121.7µm
②本文计算方法:分别选取x=0、1.0、2.0、3.0、4.0、5.0，计算出各点温度值τ=285.9℃、255.2℃、228℃、202.8℃、179.6℃、156.6℃。由于该温度曲线接近线性分布，因此可认为其平均温升为均布温升，则有 τ=285.9+156.6=221.25℃2
ΔL=aτL=121.7µm
由此可见，两种计算方法结果相同。 6 结语
在解决实际工程问题时，有时热传导状况非常复杂，尤其是移动持续热源引起的热变形量计算，由于温度分布函数相当复杂，按常规方法求解十分困难。采用本文介绍方法，将能量守恒定理与平均线膨胀系数相结合，可使热变形量的计算大为简化。由于在热平衡状态下，无需考虑热源的移动性，且可将热源置于任一便于温度分布计算的位置，用平均温度代替实际温度分布进行计算，因此该方法具有计算快速、简便的特点，在实际工程应用中具有较高实用价值。