两角和与差及二倍角公式
一．【复习要求】
1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联. 2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2. 能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.
二、【知识回顾】
1．两角和与差的三角函数
sin(α+β) = ；sin(α-β) = ； cos(α+β) =cos(α-β) = tan(α+β) =tan(α-β) =
2．二倍角公式：在sin(α+β), cos(α+β), tan(α+β) 中令α
sin 2α= ；
=β
，可得相应的二倍角公式。
cos 2α= = = tan 2α= 。
3．降幂公式
sin 2α= ； cos 2α= .
注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用
证明：y =
sin x +cos x =
==
a
x +
b x )
ϕ
sin x +sin ϕcos x )
x +ϕ)
=
其中，cos ϕ
a sin ϕ
=
b ，tan ϕ
=
b a
且角ϕ终边过点(a , b )
在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想
如：sin α+cos α= ；sin α-cos α= 。
5. 公式的使用技巧
（1）连续应用：sin(α+β+γ) =sin[(α+β) +γ]=sin(α+β) cos γ+cos(α+β) sin γ （2）“1”的代换：sin α+cos α=
1，sin （3）收缩代换：y =sin x +cos x =
2
2
π
2
=1, tan
π
4
=1
（其中a , b 不能同时为0） x +ϕ) ，
（4）公式的变形：
tan(α+β) =
tan α+tan β1-tan αtan βtan α-tan β1+tan αtan β
→tan(α+β) =tan α+tan β+tan(α+β) tan αtan β
tan(α-β) =→tan(α-β) =tan α-tan β-tan(α-β) tan αtan β
如：tan 95-tan 35-
tan 70+tan 50-
95tan 35= 。
70tan 50= 。
（5）角的变换（拆角与配角技巧）
α1
α=2⋅， α=(α+β) -β， α=β-(β-α) ， α=[(α+β) +(α-β，) ]
2
2
α=(α+
π
4
) -
π
4
，
π
4
+α=
π
2
-(
π
4
-α) ，β=
12
[(α+β) -(α-β)]，
（6）二倍角公式的逆用及常见变形
二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。
①sin α=2sin
α
2cos
α
2
；②cos α=cos
2
α
2
-sin
2
α
2
=1-2sin
2
α
2
=2cos
2
α
2
-1
2tan
α2
2
③tan α=
1-tan
α2
；④1±sin 2α=(sinα±cos α) 2；⑤(sinα+cos α) 2+(sinα-cos α) 2=2
5．三角函数式的化简
（1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三
角公式的逆用等。④降幂或升幂 （2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
6．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变
换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于
“变角”，如α=(α+β) -β, 2α=(α+β) +(α-β) 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的
式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。
7．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证明
根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证明
通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。若从结论开始，通过变形，将已知表达式代入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析法进行证明。
三．【例题精讲】 考点一、给角求值
例1.
求值：
例2.
求值：[2sin 50 +sin 10 (1+
【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值 ②化为正负相消的项，消去求值 ③化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值。
tan 10)]
cos 20cos 10
sin 20
+
10tan 70-2cos 40
考点二、给值求值
2cos
2
θ-sin θ-1
例3.
已知tan 2α=-π
2π，求
θ+
π4
的值.
)
例4. 已知0
π
4
3π4
, cos(
π
4
-α) =
35
, sin(
3π4
+β) =
513
，求sin(α+β) 的值
考点三、给值求角
例5. 已知tan(α
-β) =
12
, tan β=-
17
，且α, β∈(0,π) ，求2α-β的值.
考点四、三角函数式的化简与证明
例6. 已知
f (x ) =
1+cos x -sin x 1-sin x -cos x
+
1-cos x -sin x 1-sin x +cos x
，且x ≠2k π+
π
2
, k ∈Z
（1） 化简f (x )
x 2
1+tan
⋅f (x ) 与
2
x
相等？若存在，求出；若不存在，说明理由。 x
（2） 是否存在x ，使tan
sin x
例7. 已知5sin α=3sin(α-2β) ，求证：tan(α-β) +4tan β=0
【练习】
1. 已知tan α=2，则
sin 2α-cos 2α1+cos α
2
=
2. 求值：tan 20 tan 60 +tan 60 tan 10 +tan 10 tan 20 =
π
4
35
3. 在∆A B C 中，已知cos(
+A ) =
，则cos 2A 的值为
4. （08
年高考山东卷改编）已知cos(α-
π
6
) +sin α=
5
，则sin(α+
7π6
)
15
35
5. （07年高考江苏卷）若cos(α+β) =
, cos(α-β) =
，则tan α⋅tan β=
6. （08年江苏卷）如图，在平面直角坐标第xOy 中，以O x 轴为始边作两
个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B
的横坐标分别为
， 105
（1）求tan(α+β) 的值；
（2）求α+2β的值
11
7. 已知α、β为锐角，向量a =(cosα, sin α) ，b =(cosβ, sin β) ，c =(, -) .
22
(1)
若a ⋅b =
2
, a ⋅c =
14
, 求角2β-α的值;
(2) 若a =b +c , 求tan α的值.
8. 若cos α=
9. (2010淮安调研,16) 已知a =(cosα, sin α) , b =(cosβ, sin β) . (1) 若α-β=(2) 若a ⋅b =
45117
, cos(α+β) =-
4751
, 且α、β都是锐角, 求cos β
π
6
, 求a ⋅b 的值.
, α=
π
8
, 求tan(α+β) 的值.
两角和与差及二倍角公式
一．【复习要求】
1. 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联. 2. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2. 能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.
二、【知识回顾】
1．两角和与差的三角函数
sin(α+β) = ；sin(α-β) = ； cos(α+β) =cos(α-β) = tan(α+β) =tan(α-β) =
2．二倍角公式：在sin(α+β), cos(α+β), tan(α+β) 中令α
sin 2α= ；
=β
，可得相应的二倍角公式。
cos 2α= = = tan 2α= 。
3．降幂公式
sin 2α= ； cos 2α= .
注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用
证明：y =
sin x +cos x =
==
a
x +
b x )
ϕ
sin x +sin ϕcos x )
x +ϕ)
=
其中，cos ϕ
a sin ϕ
=
b ，tan ϕ
=
b a
且角ϕ终边过点(a , b )
在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想
如：sin α+cos α= ；sin α-cos α= 。
5. 公式的使用技巧
（1）连续应用：sin(α+β+γ) =sin[(α+β) +γ]=sin(α+β) cos γ+cos(α+β) sin γ （2）“1”的代换：sin α+cos α=
1，sin （3）收缩代换：y =sin x +cos x =
2
2
π
2
=1, tan
π
4
=1
（其中a , b 不能同时为0） x +ϕ) ，
（4）公式的变形：
tan(α+β) =
tan α+tan β1-tan αtan βtan α-tan β1+tan αtan β
→tan(α+β) =tan α+tan β+tan(α+β) tan αtan β
tan(α-β) =→tan(α-β) =tan α-tan β-tan(α-β) tan αtan β
如：tan 95-tan 35-
tan 70+tan 50-
95tan 35= 。
70tan 50= 。
（5）角的变换（拆角与配角技巧）
α1
α=2⋅， α=(α+β) -β， α=β-(β-α) ， α=[(α+β) +(α-β，) ]
2
2
α=(α+
π
4
) -
π
4
，
π
4
+α=
π
2
-(
π
4
-α) ，β=
12
[(α+β) -(α-β)]，
（6）二倍角公式的逆用及常见变形
二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。
①sin α=2sin
α
2cos
α
2
；②cos α=cos
2
α
2
-sin
2
α
2
=1-2sin
2
α
2
=2cos
2
α
2
-1
2tan
α2
2
③tan α=
1-tan
α2
；④1±sin 2α=(sinα±cos α) 2；⑤(sinα+cos α) 2+(sinα-cos α) 2=2
5．三角函数式的化简
（1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三
角公式的逆用等。④降幂或升幂 （2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；
④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
6．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变
换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于
“变角”，如α=(α+β) -β, 2α=(α+β) +(α-β) 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的
式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。
7．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证明
根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一、转换命题等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2）三角条件等式的证明
通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系。若从结论开始，通过变形，将已知表达式代入得出结论，采用代入法；若从条件开始，化简条件，将其代入要证表达式中，通过约分抵消等消去某些项，从而得出结论，采用消参法；若这两种方法都证不出来，可采用分析法进行证明。
三．【例题精讲】 考点一、给角求值
例1.
求值：
例2.
求值：[2sin 50 +sin 10 (1+
【反思归纳】对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值 ②化为正负相消的项，消去求值 ③化分子、分母使之出现公约数进行约分而求值。
tan 10)]
cos 20cos 10
sin 20
+
10tan 70-2cos 40
考点二、给值求值
2cos
2
θ-sin θ-1
例3.
已知tan 2α=-π
2π，求
θ+
π4
的值.
)
例4. 已知0
π
4
3π4
, cos(
π
4
-α) =
35
, sin(
3π4
+β) =
513
，求sin(α+β) 的值
考点三、给值求角
例5. 已知tan(α
-β) =
12
, tan β=-
17
，且α, β∈(0,π) ，求2α-β的值.
考点四、三角函数式的化简与证明
例6. 已知
f (x ) =
1+cos x -sin x 1-sin x -cos x
+
1-cos x -sin x 1-sin x +cos x
，且x ≠2k π+
π
2
, k ∈Z
（1） 化简f (x )
x 2
1+tan
⋅f (x ) 与
2
x
相等？若存在，求出；若不存在，说明理由。 x
（2） 是否存在x ，使tan
sin x
例7. 已知5sin α=3sin(α-2β) ，求证：tan(α-β) +4tan β=0
【练习】
1. 已知tan α=2，则
sin 2α-cos 2α1+cos α
2
=
2. 求值：tan 20 tan 60 +tan 60 tan 10 +tan 10 tan 20 =
π
4
35
3. 在∆A B C 中，已知cos(
+A ) =
，则cos 2A 的值为
4. （08
年高考山东卷改编）已知cos(α-
π
6
) +sin α=
5
，则sin(α+
7π6
)
15
35
5. （07年高考江苏卷）若cos(α+β) =
, cos(α-β) =
，则tan α⋅tan β=
6. （08年江苏卷）如图，在平面直角坐标第xOy 中，以O x 轴为始边作两
个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B
的横坐标分别为
， 105
（1）求tan(α+β) 的值；
（2）求α+2β的值
11
7. 已知α、β为锐角，向量a =(cosα, sin α) ，b =(cosβ, sin β) ，c =(, -) .
22
(1)
若a ⋅b =
2
, a ⋅c =
14
, 求角2β-α的值;
(2) 若a =b +c , 求tan α的值.
8. 若cos α=
9. (2010淮安调研,16) 已知a =(cosα, sin α) , b =(cosβ, sin β) . (1) 若α-β=(2) 若a ⋅b =
45117
, cos(α+β) =-
4751
, 且α、β都是锐角, 求cos β
π
6
, 求a ⋅b 的值.
, α=
π
8
, 求tan(α+β) 的值.