高中数学必修四三角函数最好教案

第一章三角函数（初等函数二）

⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角⎪

1、任意角⎨负角:按顺时针方向旋转形成的角

⎪零角:不作任何旋转形成的角⎩

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

{}

第二象限角的集合为{αk ⋅360+90

第三象限角的集合为{αk ⋅360+180

终边在y 轴上的角的集合为{α=k ⋅180+90, k ∈Z} 终边在坐标轴上的角的集合为{α=k ⋅90, k ∈Z}

3、与角α终边相同的角的集合为{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}

第一象限角的集合为αk ⋅360

4、已知α是第几象限角，确定

(n ∈N)所在象限的方法：先把各象限均分n 等n

份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来

是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α=．

⎛180⎫

7、弧度制与角度制的换算公式：2π=360，1=，1= ≈57.3 ． ⎪180⎝π⎭

8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制)，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，

则l =r α，C =2r +l ，S =lr =r 2．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(x , y )，它与原点

的距离是r r =>0，则sin α=

()

y x y

，cos α=，tan α=(x ≠0)． r r x

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP，cos α=OM，tan α=AT． 12、同角三角函数的基本关系：(1)sin α+cos α=1

(sin

α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α)；(2)

sin α

=tan α cos α

sin α⎫⎛

sin α=tan αcos α,cos α= ⎪．

tan α⎭⎝

13、三角函数的诱导公式：

(1)sin (2k π+α)=sin α，cos (2k π+α)=cos α，tan (2k π+α)=tan α(k ∈Z)． (2)sin (π+α)=-sin α，cos (π+α)=-cos α，tan (π+α)=tan α． (3)sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α，tan (-α)=-tan α． (4)sin (π-α)=sin α，cos (π-α)=-cos α，tan (π-α)=-tan α．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

(5)sin ⎛

⎫⎛π⎫

-α⎪=cos α，cos -α⎪=sin α． ⎝2⎭⎝2⎭⎫⎛π⎫

+α⎪=cos α，cos +α⎪=-sin α． ⎝2⎭⎝2⎭

(6)sin ⎛

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数y =sin x 的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数

y =sin (x +ϕ)的图象；再将函数y =sin (x +ϕ)的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数

y =sin (ωx +ϕ)的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y =Asin (ωx +ϕ)的图象．

函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的得到函数

y =sin ωx 的图象；再将函数y =sin ωx 的图象上所有点向左（右）平移

倍（纵坐标不变），

个单ω

位长度，得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象；再将函数y =sin (ωx +ϕ)的图象上所

有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数

y =Asin (ωx +ϕ)的图象．

函数y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)的性质： ①振幅：A；②周期：T=相：ϕ．

函数y =Asin (ωx +ϕ)+B，当x =x 1时，取得最小值为y min ；当x =x 2时，取得

11T

(y max -y min )，B=(y max +y min )，=x 2-x 1(x 1

222

2π

；③频率：f =

1ω

=；④相位：ωx +ϕ；⑤初T2π

最大值为y max ，则A=

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β； ⑵cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β； ⑶sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β； ⑷sin (α+β)

=sin αcos β+cos αsin β； ⑸tan (α-β)=

tan α-tan β

（tan α-tan β=tan (α-β)(1+tan αtan β)）；

1+tan αtan β

tan α+tan β

（tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)）．

1-tan αtan β

⑹tan (α+β)=

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 2α=2sin αcos α． ⑵

cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α

1-cos 2α

）． 2

（cos 2α=

cos 2α+1

，

sin 2α=

⑶tan 2α=

2tan α

． 2

1-tan α

B． A

26、Asin α+Bcos α=(α+ϕ)，其中tan ϕ=

高中数学必修4测试题2

一、选择题（每题4分，共40分）：

1、已知平面向量a =，b =，则向量a +b （x ,1）（－x , x 2）

A. 平行于x 轴 B. 平行于第一、三象限的角平分线

C. 平行于y 轴 D. 平行于第二、四象限的角平分线

2、已知向量a =(1,2) ，b =(2,-3) . 若向量c 满足(c +a ) //b ，c ⊥(a +b ) ，则c =777777

, -) C. (, ) D. (-, -) 393993

3、已知向量a =(1,0), b =(0,1),c =ka +b (k ∈R ), d =a -b ，如果c //d ，那么 A. k =1且c 与d 同向 B. k =1且c 与d 反向 C. k =-1且c 与d 同向 D. k =-1且c 与d 反向

A. (, )

B. (-

*4、已知O ，N ，P 在

∆ABC 所在平面内，且OA =OB =OC , NA +NB +NC =0，且PA ∙PB =PB ∙PC =PC ∙PA ，则点O ，N ，P 依次是∆ABC 的 A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心

5、函数y =2cos (x -

7793

) -1是

B. 最小正周期为π的偶函数

A. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为

ππ

的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数

6、已知△ABC 中，cot A =-，则cos A =

125512A. B. C. - D.- 13131313

ππ

7、若将函数y =tan(ωx +)(ω>0) 的图像向右平移个单位长度后，与函数

y =tan(ωx +) 的图像重合，则ω的最小值为

1111

A. B. C. D.

2643

8、设函数值范围是

，其中

，则导数

的取

9、若函数f (x ) =(1x )cos x ，0≤x

B. 2

，则f (x ) 的最大值为

10、已知函数f (x ) =sin(x -

)(x ∈R ) ，下面结论错误的是．．

A. 函数f (x ) 的最小正周期为2π

］上是增函数 2

C. 函数f (x ) 的图象关于直线x ＝0对称

B. 函数f (x ) 在区间［0，D. 函数f (x ) 是奇函数

二、填空题（每题4分，共16分）

11、已知向量a =(3,1)，b =(1,3) ，c =(k ,2) ，若(a -c ) ⊥b 则k =.

12、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD =xAB +yAC ，则 x =，y

13、若

，则函数y =tan 2x tan 3x 的最大值为。

14、当0≤x ≤1时，不等式sin

πx

≥kx 成立，则实数k 的取值范围是_______________.

三、解答题（第15、16题各10分，第17、18题各12分，共44分） 15、已知向量a =(sinθ, -2) 与b =(1, cos θ) 互相垂直，其中θ∈(0, （1）求sin θ和cos θ的值

（2）若5cos(θ-ϕ) =5cos ϕ，0

16、已知函数f (x ) =2sin(π-x )cos x .

（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期；

（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-

) 。

，求cos ϕ的值 2

⎡ππ⎤

, ⎥上的最大值和最小值 ⎣62⎦

17、设向量a =(4cosα,sin α), b =(sinβ,4cos β), c =(cosβ, -4sin β)

（1）若a 与b -2c 垂直，求tan(α+β) 的值；

（2）求|b +c |的最大值；

（3）若tan αtan β=16，求证：a ∥b .