椭圆的简单几何性质
本节知识理解
例题精讲：
例1满足下列条件的椭圆的离心率.
（1）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.
x 2y 2
（2）设F 1, F 2为椭圆2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，以F 1为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点M , 若直
a b
线F 2M 与圆F 1相切.
x 2y 2
例2知椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴的正半轴交于A , O 是原点, 若椭圆上存在一点M , 使MA ⊥MO , 求椭
a b
例3知直线l 与椭圆4x 2+9y 2=36相交于A 、B 两点，弦AB 中点坐标(1,1),求AB 及直线l 的方程。 例4已知椭圆C
的焦点是F 1到相应的准线的距离为1(F 2点F
，过F 2点且倾斜角为锐角的直线3
l 与椭圆C 交于A , B 两点，使得|F 2B |=3|F 2A |.
（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程.
1
，求此椭圆的方程. 例6知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线x +y =1被椭圆截得的弦
AB 的长为AB 的中点
例5知中心在原点，
一个焦点为0的椭圆被直线y =3x -2截得的弦的中点横坐标为
(C 练习：
. 2
2
1．已知点(m , n ) 在椭圆8x +3
y =24上，则2m +4的取值范围是（ ）
A.[4-
3]
B.[4,4+3] 4-
,4+22] D.[4,4+2] 2．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） A.
113 B. C. D. 5243
x 2y 2y 2x 2x 2y 2x 2y 23．已知椭圆2+2=1与椭圆+=1有相同的长轴，椭圆2+2=1的短轴长与椭圆+=1的短
2192516b b a a
轴长相等，则（ ）
A. a 2=25,b 2=16 B. a 2=9,b 2=25 2=25,b 2=9或a 2=9,b 2=25 D. a 2=25,b 2=9
x 2y 2x 2y 2
4．已知椭圆C ：2+2=1与椭圆+=1有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是（ ）
94b a
x 2y 2x 2y 2x 2y 22A. +=m (m ≠0) B. +=1 +=1 D. 以上都不可能
42816648
x 2y 2
5．已知椭圆2+2=1(a >b >0)的两准线间的距离为, 离心率为, 则椭圆方程为（ ）
a b 32
x 2y 2
+A. =1 43
x 2y 2
+B. =1 163
x 2y 2
+C. =1 1612
x 2y 2
+D. =1 164
4373x 2y 2
6．已知椭圆2+2=1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为, 中心到准线的距离为, 则椭圆的方程为
3a b 3
（ ）
x 22
A. +y =1
4
x 22B. +y =1 2
x 2y 2C. +=1
24
x 2y 2
D. +=1
48
7．已知F 是椭圆C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D , 且B F =2F D ，则C 的离心率为 ．
b +c x 2y 2
8．已知c 是椭圆2+2=1(a >b >0) 的半焦距, 则的取值范围是
a a b
b x 2y 2222
9．若椭圆2+2=1(a >b >0) 和圆x +y =(+c ) , (c 为椭圆的半焦距), 有四个不同的交点, 则椭圆
2a b
的离心率e 的取值范围是
10．求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；
（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．
x 2y 2
A , B 两C 11．设F 1，F 2分别为椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆 相交于
a b
点，直线l 的倾斜角为60，F 1到直线l
的距离为
（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果AF 2=2F 2B , 求椭圆C 的方程.
x 2y ⎛9⎫12．椭圆+=1上不同三点A (x 1，y 1)，B 4⎪，C (x 2，y 2)与焦点F (4，0)的距离成等差数列．
5259⎝⎭
（1）求证x 1+x 2=8；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 13．已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
2
x 2y 2
14．如图，F 1, F 2分别是椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左右焦点，A 椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与
a b
椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2=900
⑴求椭圆C 的离心率 ⑵已知∆AF 1B 的面积为
40
，求椭圆的方程． 3
椭圆的简单几何性质
本节知识理解
例题精讲：
例1满足下列条件的椭圆的离心率.
（1）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.
x 2y 2
（2）设F 1, F 2为椭圆2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，以F 1为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点M , 若直
a b
线F 2M 与圆F 1相切.
x 2y 2
例2知椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴的正半轴交于A , O 是原点, 若椭圆上存在一点M , 使MA ⊥MO , 求椭
a b
例3知直线l 与椭圆4x 2+9y 2=36相交于A 、B 两点，弦AB 中点坐标(1,1),求AB 及直线l 的方程。 例4已知椭圆C
的焦点是F 1到相应的准线的距离为1(F 2点F
，过F 2点且倾斜角为锐角的直线3
l 与椭圆C 交于A , B 两点，使得|F 2B |=3|F 2A |.
（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程.
1
，求此椭圆的方程. 例6知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线x +y =1被椭圆截得的弦
AB 的长为AB 的中点
例5知中心在原点，
一个焦点为0的椭圆被直线y =3x -2截得的弦的中点横坐标为
(C 练习：
. 2
2
1．已知点(m , n ) 在椭圆8x +3
y =24上，则2m +4的取值范围是（ ）
A.[4-
3]
B.[4,4+3] 4-
,4+22] D.[4,4+2] 2．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） A.
113 B. C. D. 5243
x 2y 2y 2x 2x 2y 2x 2y 23．已知椭圆2+2=1与椭圆+=1有相同的长轴，椭圆2+2=1的短轴长与椭圆+=1的短
2192516b b a a
轴长相等，则（ ）
A. a 2=25,b 2=16 B. a 2=9,b 2=25 2=25,b 2=9或a 2=9,b 2=25 D. a 2=25,b 2=9
x 2y 2x 2y 2
4．已知椭圆C ：2+2=1与椭圆+=1有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是（ ）
94b a
x 2y 2x 2y 2x 2y 22A. +=m (m ≠0) B. +=1 +=1 D. 以上都不可能
42816648
x 2y 2
5．已知椭圆2+2=1(a >b >0)的两准线间的距离为, 离心率为, 则椭圆方程为（ ）
a b 32
x 2y 2
+A. =1 43
x 2y 2
+B. =1 163
x 2y 2
+C. =1 1612
x 2y 2
+D. =1 164
4373x 2y 2
6．已知椭圆2+2=1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为, 中心到准线的距离为, 则椭圆的方程为
3a b 3
（ ）
x 22
A. +y =1
4
x 22B. +y =1 2
x 2y 2C. +=1
24
x 2y 2
D. +=1
48
7．已知F 是椭圆C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D , 且B F =2F D ，则C 的离心率为 ．
b +c x 2y 2
8．已知c 是椭圆2+2=1(a >b >0) 的半焦距, 则的取值范围是
a a b
b x 2y 2222
9．若椭圆2+2=1(a >b >0) 和圆x +y =(+c ) , (c 为椭圆的半焦距), 有四个不同的交点, 则椭圆
2a b
的离心率e 的取值范围是
10．求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，-6)；
（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．
x 2y 2
A , B 两C 11．设F 1，F 2分别为椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆 相交于
a b
点，直线l 的倾斜角为60，F 1到直线l
的距离为
（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果AF 2=2F 2B , 求椭圆C 的方程.
x 2y ⎛9⎫12．椭圆+=1上不同三点A (x 1，y 1)，B 4⎪，C (x 2，y 2)与焦点F (4，0)的距离成等差数列．
5259⎝⎭
（1）求证x 1+x 2=8；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 13．已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
2
x 2y 2
14．如图，F 1, F 2分别是椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左右焦点，A 椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与
a b
椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2=900
⑴求椭圆C 的离心率 ⑵已知∆AF 1B 的面积为
40
，求椭圆的方程． 3