二次根式导学案

16. 1 二次根式

1．认识二次根式的概念及二次根式有意义的条件；

2．认识二次根式的性质，并能运用性质进行有关计算和化简；

●重点：二次根式的概念和性质；

俗话说“温故而知新”，学习新课之前，让我们来回顾复习一下以前所学过的平方根的知识吧！

1．什么叫算术平方根？并进一步回答：

（1）0的算术平方根是多少？3的算术平方根是多少？

（2）-1有算术平方根吗？

2.什么叫平方根？平方根的性质是什么？

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题：

●活动1:探究认识二次根式的概念

1．什么叫做二次根式？

2.

a必须满足什么条件？为什么？

●活动2:探究认识二次根式的性质 1.(a)2(a0)等于什么？说说你的理由并举例说明。

2.当a0时，a2等于什么？说说你的理由并举例说明。

23. (a)2(与是一样的吗？说说你的理由。

aa0)

二次根式有意义的条件

1.当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义

（12x3 （2

2.已知y3，则2xy的值为__________； 12x1 （32x1 （4x1

2x

x1

◆探究任务2:根据性质化

简、计算

1. 已知a

0 ）

A.

B.－

C. D. 

2.已知△ABC的三边长a,b,c均为整数，且a3b24b40，求第三边c的长；

3.在实数范围内分解下列因式:

①x2-3 ②x4-4

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

!

x1有意义，则x的取值范围是___________； x

2

x的取值范围是___________； 1．要使

3.

12a，则（ ） 1111A. a B. a C. a D. a 2222

4．若x1x(xy)2，则xy的值为________；

（P5）1，2，3

16.2 二次根式的乘除

第1课时 二次根式的乘法

1．能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；

2．能够运用法则进行简单的二次根式的乘法运算；

●重点：会进行二次根式的乘法运算；

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？

（1

；

（2

=_______

．

（3

．

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题： ●活动1:探究二次根式的乘法法则

1.二次根式的乘法法则是什么？你能写出它的字母表达式吗？

2. 二次根式的乘法公式反过来表示什么？它的作用是什么？

●活动2:运用新知

1．在二次根式的乘法运算中要注意什么？

2.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1

 （2

=2

◆探究任务1:二次根式的化简

化简（1）200 （2 （3

）ab2c3 （4

◆探究任务2:二次根式乘法运算及其实

际运用

1.

计算：①

②

③

2.

已知一个三角形的底边长为

该边上的高为

，则它的面积为_______； 3

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

!

1．填空：（1）_______；

（2）32=_______；

（3）24mm3=_______；

=_______； 2

3．

若直角三角形两条直角边的长分别为

和，那么其面积为2．计算：273_______cm3

（P12）1，3（1），（2），4

第2课时 二次根式的除法

1．会进行简单的二次根式的除法运算；

2．能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与计算；

3．认识最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的二次根式化成最简二次根式；

●重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算；

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？

（2

（3

（1

； ； ．

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题：

●活动1:探究二次根式的除法运算

1.二次根式的除法法则是什么？你能写出它的字母表达式吗？

2. 二次根式的除法公式反过来表示什么？它的作用是什么？

3.教材例6第（1）题中的两种解法，你认为哪种更简便？为什么？

4.在二次根式的除法运算中要注意什么？

●活动2:探究最简二次根式的概念

1.观察上面例4，例5，例6中各小题的最后结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？

2.什么叫做最简二次根式？在辨别是否为最简二次根式时要注意哪些方面？

◆探究任务1:最简二次根式的辨别及化简

1. 下列各式：

，

最简二次根式有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2. 化简：

（1

5a4b

（2

（3）(ab)2(ab)

◆探究任务2:二次根式除法运算

计算：（1）40

45 （2）

（3

◆探究任务3:分母有理化

先阅读第（1）题的解题过程，再完成后面的题目：

（1）化简：

解：原式=

①

= ②

③

（2）第①步用___________性质；第② 步用__________公式；

（3）化简：①1 ②

21

（4）

的结果是__________

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

! ④

3221．下列二次根式中：,,5a,6ab,xy，mm，其中最简二,n,22

次根式的个数有（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

3

）A．

- B．

C．

D．

32．化简

(1) 8b24a3

4．计算：（1）(27) （2） ab2

（P12）2，3（3）（4），6

16.3 二次根式的加减

第1课时 二次根式的加减法

1．能够正确进行简单的二次根式的加减法运算；

2. 通过整式加减法运算与二次根式的加减法运算的比较体会类比思想；

●重点：二次根式的加减法运算；

我们知道整式的加减就是合并同类项，例如：2x－3x+5x=_____；x－3y－2x+5y =________；

那么同学们能模仿整式的运算，完成下面的计算吗？

（1

）； （2）

；2 观察上面的两个式子，你发现了什么？

；

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题： ●活动:探究二次根式的加减运算

1. 符合什么条件的二次根式可以进行加减运算？

2. 通过P15例1，例2，你能总结归纳一下二次根式的加减法运算的运算方法和步骤是什么吗？

3. 在二次根式的加减运算中应注意些什么？

◆探究任务:二次根式的加减运算及综合运用

计算：

（1）72 （2）3x3xx4x3

（3）(9827) （4）(240.5)(16) 8

◆探究任务2:二次根式的加减运算的综合运用

1.已知4x2+y2-4x-6y+10=0

，求（2+y

3-（x）的值．

2.

） A.

B.

C.

D.

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

!

1．下列各式：①

1

7

=2 ⑤abbaab，其中错误的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．计算：（1）3

112548 333

（2）ababa

332bab a

(P)

第2课时 二次根式的混合运算

1．在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，认识二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算；

2. 在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法；

●重点：混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用；

我们已经知道二次根式的运算类似于整式的运算，那么整式中的乘法公式适用于二次根式吗？我们学习了几个乘法公式？分别是什么？

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题： ●活动1:探究二次根式的运算中有关法则和公式的运用 ◆探究：

（1）怎样计算：(22)(232)？小组讨论，全班交流。 类比：怎样计算(ab)(a2b)？

（2

）怎样计算：？

回顾：(ab)(ab)________．

（3）(322)2呢？

●活动2:探究二次根式的混合运算

1.例4中的第（1）题可以先将化简以后再相乘吗？哪种做法更简单？

2.例4 中的第（2）题运用了什么运算法则？是除法分配律吗？请同学们思考：

是否等于

3.例5中二次根式的运算使用了哪个乘法公式？

4.在进行二次根式的混合运算时应注意些什么？

◆探究任务1: 二次根式的混合运算

1. 计算：

（1）(48)6 （2）(42)(2532)

（3）(272)(7226) （4）(33)2

2. 计算

（1）(abba)2(abba)2 （2

）(320132013

◆探究任务2: 二次根式运算的有关综合运用



（2

1.

计算：（1

2. 先化简，再求值：

(

11b)2，其中a12,b1； ababa2abb2

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

!

12+）的计算结果（用最简根式表示）是________

． 2

2．（

（-（

）2

的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 1．（-

3．已知a2b-ab2=_________．

4．已知a＝2

b＝2

ab的值．

(P)

16. 1 二次根式

1．认识二次根式的概念及二次根式有意义的条件；

2．认识二次根式的性质，并能运用性质进行有关计算和化简；

●重点：二次根式的概念和性质；

俗话说“温故而知新”，学习新课之前，让我们来回顾复习一下以前所学过的平方根的知识吧！

1．什么叫算术平方根？并进一步回答：

（1）0的算术平方根是多少？3的算术平方根是多少？

（2）-1有算术平方根吗？

2.什么叫平方根？平方根的性质是什么？

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题：

●活动1:探究认识二次根式的概念

1．什么叫做二次根式？

2.

a必须满足什么条件？为什么？

●活动2:探究认识二次根式的性质 1.(a)2(a0)等于什么？说说你的理由并举例说明。

2.当a0时，a2等于什么？说说你的理由并举例说明。

23. (a)2(与是一样的吗？说说你的理由。

aa0)

二次根式有意义的条件

1.当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义

（12x3 （2

2.已知y3，则2xy的值为__________； 12x1 （32x1 （4x1

2x

x1

◆探究任务2:根据性质化

简、计算

1. 已知a

0 ）

A.

B.－

C. D. 

2.已知△ABC的三边长a,b,c均为整数，且a3b24b40，求第三边c的长；

3.在实数范围内分解下列因式:

①x2-3 ②x4-4

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

!

x1有意义，则x的取值范围是___________； x

2

x的取值范围是___________； 1．要使

3.

12a，则（ ） 1111A. a B. a C. a D. a 2222

4．若x1x(xy)2，则xy的值为________；

（P5）1，2，3

16.2 二次根式的乘除

第1课时 二次根式的乘法

1．能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；

2．能够运用法则进行简单的二次根式的乘法运算；

●重点：会进行二次根式的乘法运算；

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？

（1

；

（2

=_______

．

（3

．

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题： ●活动1:探究二次根式的乘法法则

1.二次根式的乘法法则是什么？你能写出它的字母表达式吗？

2. 二次根式的乘法公式反过来表示什么？它的作用是什么？

●活动2:运用新知

1．在二次根式的乘法运算中要注意什么？

2.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1

 （2

=2

◆探究任务1:二次根式的化简

化简（1）200 （2 （3

）ab2c3 （4

◆探究任务2:二次根式乘法运算及其实

际运用

1.

计算：①

②

③

2.

已知一个三角形的底边长为

该边上的高为

，则它的面积为_______； 3

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

!

1．填空：（1）_______；

（2）32=_______；

（3）24mm3=_______；

=_______； 2

3．

若直角三角形两条直角边的长分别为

和，那么其面积为2．计算：273_______cm3

（P12）1，3（1），（2），4

第2课时 二次根式的除法

1．会进行简单的二次根式的除法运算；

2．能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与计算；

3．认识最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的二次根式化成最简二次根式；

●重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算；

计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？

（2

（3

（1

； ； ．

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题：

●活动1:探究二次根式的除法运算

1.二次根式的除法法则是什么？你能写出它的字母表达式吗？

2. 二次根式的除法公式反过来表示什么？它的作用是什么？

3.教材例6第（1）题中的两种解法，你认为哪种更简便？为什么？

4.在二次根式的除法运算中要注意什么？

●活动2:探究最简二次根式的概念

1.观察上面例4，例5，例6中各小题的最后结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？

2.什么叫做最简二次根式？在辨别是否为最简二次根式时要注意哪些方面？

◆探究任务1:最简二次根式的辨别及化简

1. 下列各式：

，

最简二次根式有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2. 化简：

（1

5a4b

（2

（3）(ab)2(ab)

◆探究任务2:二次根式除法运算

计算：（1）40

45 （2）

（3

◆探究任务3:分母有理化

先阅读第（1）题的解题过程，再完成后面的题目：

（1）化简：

解：原式=

①

= ②

③

（2）第①步用___________性质；第② 步用__________公式；

（3）化简：①1 ②

21

（4）

的结果是__________

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

! ④

3221．下列二次根式中：,,5a,6ab,xy，mm，其中最简二,n,22

次根式的个数有（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

3

）A．

- B．

C．

D．

32．化简

(1) 8b24a3

4．计算：（1）(27) （2） ab2

（P12）2，3（3）（4），6

16.3 二次根式的加减

第1课时 二次根式的加减法

1．能够正确进行简单的二次根式的加减法运算；

2. 通过整式加减法运算与二次根式的加减法运算的比较体会类比思想；

●重点：二次根式的加减法运算；

我们知道整式的加减就是合并同类项，例如：2x－3x+5x=_____；x－3y－2x+5y =________；

那么同学们能模仿整式的运算，完成下面的计算吗？

（1

）； （2）

；2 观察上面的两个式子，你发现了什么？

；

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题： ●活动:探究二次根式的加减运算

1. 符合什么条件的二次根式可以进行加减运算？

2. 通过P15例1，例2，你能总结归纳一下二次根式的加减法运算的运算方法和步骤是什么吗？

3. 在二次根式的加减运算中应注意些什么？

◆探究任务:二次根式的加减运算及综合运用

计算：

（1）72 （2）3x3xx4x3

（3）(9827) （4）(240.5)(16) 8

◆探究任务2:二次根式的加减运算的综合运用

1.已知4x2+y2-4x-6y+10=0

，求（2+y

3-（x）的值．

2.

） A.

B.

C.

D.

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

!

1．下列各式：①

1

7

=2 ⑤abbaab，其中错误的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．计算：（1）3

112548 333

（2）ababa

332bab a

(P)

第2课时 二次根式的混合运算

1．在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，认识二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算；

2. 在多解中进行比较，寻求有效快捷的计算方法；

●重点：混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用；

我们已经知道二次根式的运算类似于整式的运算，那么整式中的乘法公式适用于二次根式吗？我们学习了几个乘法公式？分别是什么？

阅读教材P１０3、１０4的有关内容，思考下面的问题： ●活动1:探究二次根式的运算中有关法则和公式的运用 ◆探究：

（1）怎样计算：(22)(232)？小组讨论，全班交流。 类比：怎样计算(ab)(a2b)？

（2

）怎样计算：？

回顾：(ab)(ab)________．

（3）(322)2呢？

●活动2:探究二次根式的混合运算

1.例4中的第（1）题可以先将化简以后再相乘吗？哪种做法更简单？

2.例4 中的第（2）题运用了什么运算法则？是除法分配律吗？请同学们思考：

是否等于

3.例5中二次根式的运算使用了哪个乘法公式？

4.在进行二次根式的混合运算时应注意些什么？

◆探究任务1: 二次根式的混合运算

1. 计算：

（1）(48)6 （2）(42)(2532)

（3）(272)(7226) （4）(33)2

2. 计算

（1）(abba)2(abba)2 （2

）(320132013

◆探究任务2: 二次根式运算的有关综合运用



（2

1.

计算：（1

2. 先化简，再求值：

(

11b)2，其中a12,b1； ababa2abb2

● 整理学案

1.请试着把这学时的内容总结归纳一下吧!

2.你在理解和掌握有关知识时,还存在什么疑问?说出来与大家分享吧

!

12+）的计算结果（用最简根式表示）是________

． 2

2．（

（-（

）2

的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 1．（-

3．已知a2b-ab2=_________．

4．已知a＝2

b＝2

ab的值．

(P)