第22卷第1期海南师范大学学报(自然科学版)Vo1.22No.1Mar.2009
2009年3月JournalofHainanNormalUniversity（NaturalScience）
两类电荷分布系统的电场线方程
张福恒
（海南师范大学物理与电子工程学院，海南海口571158）
摘
要：电场线可形象化地描述电场分布的情况.用MATLAB这类软件虽可方便地画出电场
线，但其前提条件是首先要得到电场线方程.两个点电荷及有限长线电荷很难通过求解微分方程得到电场线方程.本文根据对已知的电场分布及电力线基本性质的分析，得到此两类电荷分布体系的电场线方程.
关键词：电荷；电场线；电通量；电场线方程中图分类号：O441
文献标识码：A
文章编号：1671-8747（2009）01-0035-04
TheEquationsoftheElectricFieldLinesofTwoKindsofChargeDistribution
ZHANGFuheng
（PhysicsandElectronicEngineeringCollege，HainanNormalUniversity，Haikou571158，China）
Abstract：Theelectricfieldlinesenableustodescribevisuallythedistributionsoftheelectricfield.Atfirst,thee-quationsoftheelectricfieldlinesshouldbeobtainedinordertoplotconvenientlytheelectricfieldlineswithsoftwaresuchasMATLAB.Itisdifficulttoobtaintheequationsoftheelectricfieldlinesoftwopointchargesandafinitelonglinechargedistributionsbysolvingthedifferentialequations.Basedonthegivenelectricfieldsandtheessentialprop-ertiesoftheelectricfieldlines,theequationsoftheelectricfieldlinesforthistwokindschargedistributionscanbeobtained.
Keywords：pointcharge;electricfieldlines;electricflux;equationoftheelectricfieldlines
电场线形象地描绘了一个电场.有了电场线方程后，即可利用MATLAB这样的软件方便地画出相应的电场线.因电场线上某点的有向微线元dr与该点的电场线相切或说与该点的电场平行，因此，原则上电场线可通过求解dr×E=0或dr=kE（k是一有适当单位的比例常数）微分方程得到.例如点状电偶极［1-3］、点状线电四极［2-3］、两无限长均匀带不同种电荷导线
［2-3］
杂的计算机编程画出电场线
［4-5］
.下面我们通过另
一种方法求出此类电荷系统的电场线方程.
1两个点电荷系统
文献［6-9］讨论了电场线方程的画法，这里我们将给出更合理的推导.设两个点电荷q1和q2分别位于x轴芎L处（见图1）.此系统对x轴对称，选择
等常见的电场线方程.但对
x、y平面，则问题与z无关.
在x>L的区域内，设某一电场线上某给定点为P（x1，y1）和该电场线上另一点P′（x2，y2）.由于
于一对点电荷、一段有限长均匀线电荷，则难以通过求解微分方程求得电场线方程，而需通过较为复
收稿日期:2008-11-18
36海南师范大学学报（自然科学版）
P（x1，y1）
P′（x2，y2）
r21
r22
x
L
q2
s1
s2
2009年
y
r11r12
r21=
姨
（x1-L）+y1，r22=
姨
（x2-L）+y2.由此
我们得到
q1（x1+L）
O
q1
-L
姨（x姨（x
1
+L）+y1+L）+y2
++
q2（x1-L）
姨（x
1
-L）+y1-L）+y2
=.
q1（x2+L）
2
q2（x2-L）
姨（x
2
图1位于x轴的两点电荷
由于P′是电场线上任一点，因此对电场线上任一点，上式可写成
Fig.1Twopointchargesplacedonx-axis
q1（x1+L）
此系统对x轴对称，并注意到电场线不能相交，以及电场线起于正电荷（或无穷远）终于负电荷（或无穷远）.因此电场线上P和P′两点绕x轴旋转一周所画出的两个园面积s1和s2上的电通量相等.取x轴为参考正方向，我们有
姨（x
1
+L）+y1
++
q2（x1-L）
姨（x
1
-L）+y1
=.
q1（x+L）q2（x-L）
2
+y姨（x-L）+y
此式对任意x、y值成立，必有
2
姨（x+L）
乙
s1
·Eds=
乙
s2
q1（x+L）
（1）
·Eds.
姨（x+L）
或写成
+
q2（x-L）
+y2
q2
q1
姨（x-L）姨（x-L）
=常数，
+y2
（或者说，由s1和s2以及由PP′绕x轴旋转而成的旋转面构成的封闭面所包含的电荷为零，由高斯定理得到（1）式［6-8］），此两电荷产生的电场为：
x+L
E=4πε0
其中r1=
2
q1r1r1
+
q2r2r2
乙
，
姨（x+L）
++y2
x-L
=C.（2）+y2
其中C是一常数.在x>L的区域内，每一条电场线由特定的C值确定.
姨（x+L）
+y，r2=
姨（x-L）
+y，
2
同样方法，在-LL区域的给定点为从右趋近分界面的点P（L，y1），而在-L
r1=（x+L）ax+yay及r2=（x-L）ax+yay.由于
面积s1和x轴垂直，因此
乙
s1
·Eds=
1
r1r1
3
乙r
s1
q1r1
31
+
q2r2r2
3
3
101012ε0
y10
乙s1
q1（x+L）
+
q2（x-L）
r2r2
乙q1（x1+L）
+
q2（x1-L）
姨姨姨
·ds=
ds=
s1在-LL区域（同理对
于区域x
2πydy=
乙
s2
·Eds-
乙
s1
·Eds=
q2
.ε0
姨
q（x+L）q（x-L）-11+21+（q1+q2）.
1121
q1r1
1
姨姨
仿前讨论的方法得到：
q1（x+L）
同样对于s2的积分有
s2
姨（x+L）
+
2
q2（x-L）
+y
姨（x-L）
=
2
+y
1乙E·ds=乙r
s2
+
q2r2r2
乙
q1（x1+L）
·ds=
姨
即
（x1+L）+y1
+
q2（x1-L）
姨
+
（x1-L）+y1
q2
，0
10
姨
q（x+L）q（x-L）-12-22+（q1+q2）.
r12r22
q1（x+L）
以上r11=
姨（x
1
+L）+y1，r12=
姨（x
2
+L）+y2，
+y姨（x-L）+y
与（2）形式上相同.考虑到电场线实际上并不存在，
2
2
姨（x+L）
+
q2（x-L）
=常数.
第1期张福恒：两类电荷分布系统的电场线方程37
而是形象地描绘了电场.因此，综合以上讨论，我们完全有理由认为，（2）式即为两个点电荷系统的电场线方程.
利用方程（2），借助MATLAB软件中的ezplot函数
［10］
轴上，见图4.取柱坐标系，本问题对z轴对称与准角度无关.
P（r1，-准，z1）
zLO-L
图4
位于z轴有限长均匀线电荷
（r1，准，z1）
，改变相应参数q1和q2即可方便画出电场
2准
线.图2画出的是统电场线图.
q2q
=-1和2=-2两种电荷系11
P（r2，-准，z2）x
s1
s2
Fig.4Afinitelonguniformlinechargeonz-axis
考虑一电场线上两点P和P′，以r1和r2为半径作两个弧面.弧面张角为±准，即与x轴对称.注
（a）
q2
=-1q1
图2
（b）
q2
=-2q1
意到电场线除了与准角度无关外，并且±z点一一对称，且电场线在xy平面上的投影是径向的.由于两电场线不能相交，因此，由（r1，-准，z1）、（r1，准，
两个不同号点电荷系统电场线图
Fig.2Thefieldlinesoftwounlikepointcharges
z1）、（r1，-准，-z1）、（r1，准，-z1）4个点构成的弧面s1
和同样方法构成的弧面s2的电通量相等.即
利用方程（2），我们还可容易地画出接地无穷大导体前一点电荷以及接地导体球前一点电荷的电场线图.
若有n个有限点电荷位于x轴上，则同样道理有
n
乙E·ds=乙E·ds.
s1
s2
此线电荷产生的电场为［1］：
i=1
Σq
x-xi
i
姨iE（r）=
=C.
（3）
ρl
[（（z+L）/姨r2+（z+L）
0-
式中xi是第i个点电荷的坐标.图3是3个点电荷的电场线图，两个同号等量点电荷q1和q2分
（z-L）/姨r2+（z-L））ar+（r/姨r2+（z-L）因此，
-r/姨r2+（z+L））az].
q
别位于x轴芎L处，而q3位于原点，3=-2.
1
乙
s1
·Eds=
乙
s1
ρl
（（z+L）/姨r2+（z+L）
0-
（z-L）/姨r2+（z-L））ds1=
ρl4πε0
乙
z1
-z1
（（z+L）/
1
姨r1+（z+L）
准-准
-
（z-L）/
图3
三个点电荷系统电场线图
姨r
+（z-L））dz
乙d准=
Fig.3Thefieldlinesofthreepointcharges
ρl准0
姨姨r
1
+（z1+L）
s2
-
姨r1+（z1-L）
，姨
以上方法不能推广到连续分布的情况，否则难以说明（1）式在空间各处成立.
乙E·ds=
ρl准πε0
2一段有限长均匀线电荷
设长为2L的一均匀分布线电荷对称地位于z
姨姨r
2
+（z2+L）
-
姨r2+（z2-L）
姨.
同前分析，我们得到
38海南师范大学学报（自然科学版）2009年
姨r2+（z+L）
-
姨r2+（z-L）
=C.（4）
出一些常见的电场线图.参考文献
［1］谢处方，饶克谨．电磁场与电磁波[M]．3版.北京:高等
教育出版社,1999:25－27;32．
［2］RoaldKW．ElectromagneticFields[M]．NewYorkUSA:
其中C为常数.这就是我们要求的电场线方程.利用MATLAB我们得到其电场线见图5.
JohnWiley&Sons,Inc．1986:77－79;119－123．
［3］GeraldLP,DanielR.Stump．Electromagnetism[M]．北
京:高等教育出版社,2005:78－81;122－126．
［4］钱懿华，董慎行．用计算机模拟点电荷在二维平面上的
图5
有限长均匀线电荷电场线
静电场[J]．大学物理,2003,22(1):31－33．
［5］李高清，张广平．任意两点电荷电场线分布的计算机模
拟[J]．陇东学院学报,2003,13(1):40－42．
［6］廖仁炘，徐志和．用高斯定理求解电力线方程[J]．大学
物理，1993,12(7):14－16．
［7］刘承师,李春明．利用电通量建立静电场电力线方程[J]．
工科物理,1999,19(1):9－11．
［8］姚晓玲，赵萍，刘力．点电荷对的电力线和等势面的计
算机模拟[J]．后勤工程学院学报,2005(1):72－74．［9］刘耀康．用计算机绘制点电荷对的电场线[J]．大学物
理,2005,24(8):59－60．
［10］葛哲学．精通MATLAB[M]．北京:电子工业出版社,
Fig.5Thefieldlinesofafinitelonguniformlinecharge
3结语
我们利用电通量及电场线的特性得出了两个点电荷及有限长均匀线电荷的电场线方程，方法简便、直观，物理意义明了.解决了文[6]和文[8]在讨论两个点电荷电场线时，当s1和s2分别位于点电荷两侧时的疑问（例如图2（b）中出现的情形），同时可容易地运用到有限个点电荷直线分布时求电场线方程问题.也解决了文[7]只能求解边缘场的电场线方程问题.利用以上电场线方程，可方便地画
2008:90-93.．
责任编辑：黄澜
第22卷第1期海南师范大学学报(自然科学版)Vo1.22No.1Mar.2009
2009年3月JournalofHainanNormalUniversity（NaturalScience）
两类电荷分布系统的电场线方程
张福恒
（海南师范大学物理与电子工程学院，海南海口571158）
摘
要：电场线可形象化地描述电场分布的情况.用MATLAB这类软件虽可方便地画出电场
线，但其前提条件是首先要得到电场线方程.两个点电荷及有限长线电荷很难通过求解微分方程得到电场线方程.本文根据对已知的电场分布及电力线基本性质的分析，得到此两类电荷分布体系的电场线方程.
关键词：电荷；电场线；电通量；电场线方程中图分类号：O441
文献标识码：A
文章编号：1671-8747（2009）01-0035-04
TheEquationsoftheElectricFieldLinesofTwoKindsofChargeDistribution
ZHANGFuheng
（PhysicsandElectronicEngineeringCollege，HainanNormalUniversity，Haikou571158，China）
Abstract：Theelectricfieldlinesenableustodescribevisuallythedistributionsoftheelectricfield.Atfirst,thee-quationsoftheelectricfieldlinesshouldbeobtainedinordertoplotconvenientlytheelectricfieldlineswithsoftwaresuchasMATLAB.Itisdifficulttoobtaintheequationsoftheelectricfieldlinesoftwopointchargesandafinitelonglinechargedistributionsbysolvingthedifferentialequations.Basedonthegivenelectricfieldsandtheessentialprop-ertiesoftheelectricfieldlines,theequationsoftheelectricfieldlinesforthistwokindschargedistributionscanbeobtained.
Keywords：pointcharge;electricfieldlines;electricflux;equationoftheelectricfieldlines
电场线形象地描绘了一个电场.有了电场线方程后，即可利用MATLAB这样的软件方便地画出相应的电场线.因电场线上某点的有向微线元dr与该点的电场线相切或说与该点的电场平行，因此，原则上电场线可通过求解dr×E=0或dr=kE（k是一有适当单位的比例常数）微分方程得到.例如点状电偶极［1-3］、点状线电四极［2-3］、两无限长均匀带不同种电荷导线
［2-3］
杂的计算机编程画出电场线
［4-5］
.下面我们通过另
一种方法求出此类电荷系统的电场线方程.
1两个点电荷系统
文献［6-9］讨论了电场线方程的画法，这里我们将给出更合理的推导.设两个点电荷q1和q2分别位于x轴芎L处（见图1）.此系统对x轴对称，选择
等常见的电场线方程.但对
x、y平面，则问题与z无关.
在x>L的区域内，设某一电场线上某给定点为P（x1，y1）和该电场线上另一点P′（x2，y2）.由于
于一对点电荷、一段有限长均匀线电荷，则难以通过求解微分方程求得电场线方程，而需通过较为复
收稿日期:2008-11-18
36海南师范大学学报（自然科学版）
P（x1，y1）
P′（x2，y2）
r21
r22
x
L
q2
s1
s2
2009年
y
r11r12
r21=
姨
（x1-L）+y1，r22=
姨
（x2-L）+y2.由此
我们得到
q1（x1+L）
O
q1
-L
姨（x姨（x
1
+L）+y1+L）+y2
++
q2（x1-L）
姨（x
1
-L）+y1-L）+y2
=.
q1（x2+L）
2
q2（x2-L）
姨（x
2
图1位于x轴的两点电荷
由于P′是电场线上任一点，因此对电场线上任一点，上式可写成
Fig.1Twopointchargesplacedonx-axis
q1（x1+L）
此系统对x轴对称，并注意到电场线不能相交，以及电场线起于正电荷（或无穷远）终于负电荷（或无穷远）.因此电场线上P和P′两点绕x轴旋转一周所画出的两个园面积s1和s2上的电通量相等.取x轴为参考正方向，我们有
姨（x
1
+L）+y1
++
q2（x1-L）
姨（x
1
-L）+y1
=.
q1（x+L）q2（x-L）
2
+y姨（x-L）+y
此式对任意x、y值成立，必有
2
姨（x+L）
乙
s1
·Eds=
乙
s2
q1（x+L）
（1）
·Eds.
姨（x+L）
或写成
+
q2（x-L）
+y2
q2
q1
姨（x-L）姨（x-L）
=常数，
+y2
（或者说，由s1和s2以及由PP′绕x轴旋转而成的旋转面构成的封闭面所包含的电荷为零，由高斯定理得到（1）式［6-8］），此两电荷产生的电场为：
x+L
E=4πε0
其中r1=
2
q1r1r1
+
q2r2r2
乙
，
姨（x+L）
++y2
x-L
=C.（2）+y2
其中C是一常数.在x>L的区域内，每一条电场线由特定的C值确定.
姨（x+L）
+y，r2=
姨（x-L）
+y，
2
同样方法，在-LL区域的给定点为从右趋近分界面的点P（L，y1），而在-L
r1=（x+L）ax+yay及r2=（x-L）ax+yay.由于
面积s1和x轴垂直，因此
乙
s1
·Eds=
1
r1r1
3
乙r
s1
q1r1
31
+
q2r2r2
3
3
101012ε0
y10
乙s1
q1（x+L）
+
q2（x-L）
r2r2
乙q1（x1+L）
+
q2（x1-L）
姨姨姨
·ds=
ds=
s1在-LL区域（同理对
于区域x
2πydy=
乙
s2
·Eds-
乙
s1
·Eds=
q2
.ε0
姨
q（x+L）q（x-L）-11+21+（q1+q2）.
1121
q1r1
1
姨姨
仿前讨论的方法得到：
q1（x+L）
同样对于s2的积分有
s2
姨（x+L）
+
2
q2（x-L）
+y
姨（x-L）
=
2
+y
1乙E·ds=乙r
s2
+
q2r2r2
乙
q1（x1+L）
·ds=
姨
即
（x1+L）+y1
+
q2（x1-L）
姨
+
（x1-L）+y1
q2
，0
10
姨
q（x+L）q（x-L）-12-22+（q1+q2）.
r12r22
q1（x+L）
以上r11=
姨（x
1
+L）+y1，r12=
姨（x
2
+L）+y2，
+y姨（x-L）+y
与（2）形式上相同.考虑到电场线实际上并不存在，
2
2
姨（x+L）
+
q2（x-L）
=常数.
第1期张福恒：两类电荷分布系统的电场线方程37
而是形象地描绘了电场.因此，综合以上讨论，我们完全有理由认为，（2）式即为两个点电荷系统的电场线方程.
利用方程（2），借助MATLAB软件中的ezplot函数
［10］
轴上，见图4.取柱坐标系，本问题对z轴对称与准角度无关.
P（r1，-准，z1）
zLO-L
图4
位于z轴有限长均匀线电荷
（r1，准，z1）
，改变相应参数q1和q2即可方便画出电场
2准
线.图2画出的是统电场线图.
q2q
=-1和2=-2两种电荷系11
P（r2，-准，z2）x
s1
s2
Fig.4Afinitelonguniformlinechargeonz-axis
考虑一电场线上两点P和P′，以r1和r2为半径作两个弧面.弧面张角为±准，即与x轴对称.注
（a）
q2
=-1q1
图2
（b）
q2
=-2q1
意到电场线除了与准角度无关外，并且±z点一一对称，且电场线在xy平面上的投影是径向的.由于两电场线不能相交，因此，由（r1，-准，z1）、（r1，准，
两个不同号点电荷系统电场线图
Fig.2Thefieldlinesoftwounlikepointcharges
z1）、（r1，-准，-z1）、（r1，准，-z1）4个点构成的弧面s1
和同样方法构成的弧面s2的电通量相等.即
利用方程（2），我们还可容易地画出接地无穷大导体前一点电荷以及接地导体球前一点电荷的电场线图.
若有n个有限点电荷位于x轴上，则同样道理有
n
乙E·ds=乙E·ds.
s1
s2
此线电荷产生的电场为［1］：
i=1
Σq
x-xi
i
姨iE（r）=
=C.
（3）
ρl
[（（z+L）/姨r2+（z+L）
0-
式中xi是第i个点电荷的坐标.图3是3个点电荷的电场线图，两个同号等量点电荷q1和q2分
（z-L）/姨r2+（z-L））ar+（r/姨r2+（z-L）因此，
-r/姨r2+（z+L））az].
q
别位于x轴芎L处，而q3位于原点，3=-2.
1
乙
s1
·Eds=
乙
s1
ρl
（（z+L）/姨r2+（z+L）
0-
（z-L）/姨r2+（z-L））ds1=
ρl4πε0
乙
z1
-z1
（（z+L）/
1
姨r1+（z+L）
准-准
-
（z-L）/
图3
三个点电荷系统电场线图
姨r
+（z-L））dz
乙d准=
Fig.3Thefieldlinesofthreepointcharges
ρl准0
姨姨r
1
+（z1+L）
s2
-
姨r1+（z1-L）
，姨
以上方法不能推广到连续分布的情况，否则难以说明（1）式在空间各处成立.
乙E·ds=
ρl准πε0
2一段有限长均匀线电荷
设长为2L的一均匀分布线电荷对称地位于z
姨姨r
2
+（z2+L）
-
姨r2+（z2-L）
姨.
同前分析，我们得到
38海南师范大学学报（自然科学版）2009年
姨r2+（z+L）
-
姨r2+（z-L）
=C.（4）
出一些常见的电场线图.参考文献
［1］谢处方，饶克谨．电磁场与电磁波[M]．3版.北京:高等
教育出版社,1999:25－27;32．
［2］RoaldKW．ElectromagneticFields[M]．NewYorkUSA:
其中C为常数.这就是我们要求的电场线方程.利用MATLAB我们得到其电场线见图5.
JohnWiley&Sons,Inc．1986:77－79;119－123．
［3］GeraldLP,DanielR.Stump．Electromagnetism[M]．北
京:高等教育出版社,2005:78－81;122－126．
［4］钱懿华，董慎行．用计算机模拟点电荷在二维平面上的
图5
有限长均匀线电荷电场线
静电场[J]．大学物理,2003,22(1):31－33．
［5］李高清，张广平．任意两点电荷电场线分布的计算机模
拟[J]．陇东学院学报,2003,13(1):40－42．
［6］廖仁炘，徐志和．用高斯定理求解电力线方程[J]．大学
物理，1993,12(7):14－16．
［7］刘承师,李春明．利用电通量建立静电场电力线方程[J]．
工科物理,1999,19(1):9－11．
［8］姚晓玲，赵萍，刘力．点电荷对的电力线和等势面的计
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Fig.5Thefieldlinesofafinitelonguniformlinecharge
3结语
我们利用电通量及电场线的特性得出了两个点电荷及有限长均匀线电荷的电场线方程，方法简便、直观，物理意义明了.解决了文[6]和文[8]在讨论两个点电荷电场线时，当s1和s2分别位于点电荷两侧时的疑问（例如图2（b）中出现的情形），同时可容易地运用到有限个点电荷直线分布时求电场线方程问题.也解决了文[7]只能求解边缘场的电场线方程问题.利用以上电场线方程，可方便地画
2008:90-93.．
责任编辑：黄澜