证明不等式的基本方法
1．已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋a2b2，Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是( )
A．P≤Q C．P≥Q 答案 C
解析 ∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2) ∵a1≤a2，b1≤b2， ∴(b1－b2)·(a1－a2)≥0. ∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.
2．[2016·南通模拟]若|a－c||b|－|c| 答案 D
解析 |a|－|c|≤|a－c|
ba
3．不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③ab≥2，其中恒成立的是( )
A．①③ C．①②③ 答案 D
323
解析 由①得x＋3－3x＝x－2＋4>0，所以x2＋3>3x；对于②，
2
B．PQ
B．a>c－b D．|a|
B．②③ D．①②
因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对a－b2baba
于③，因为当ab
4．已知a>2，b>2，则a＋b与ab的大小关系是________． 答案 a＋b
解析 ∵ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1>0.∴ab>a＋b.故填a＋b
111
5．若a，b为正实数，则ab与的大小关系是________．
a＋b111答案 ab>
a＋b
a＋b2ab111
解析 ∵a，b为正实数，∴a＋b＝abab＝2>1，
a＋b111111
∴ab>.故填ab>a＋ba＋b
11
6．[2016·西安模拟]若ab，则下列四个结论：①|a|>|b|；②a＋baa2
b
答案 ②③④
11
解析 ∵ab，∴b|a|，①错；∵a＋b0，ba
∴a＋b2b2>2ab恒成立，④对．
7．求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1. 证明 ∵(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1) ＝a2＋b2－ab－a－b＋1 12
＝2a＋2b2－2ab－2a－2b＋2)
12
＝2a－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)] 1
＝2a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， ∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，若a、b、c三边边长的倒数成等差数列，求证：∠B
证明 假设∠B
从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，
ba2
＝2，③对；由b
2
1111
即b>a，b>c.∴abcb 11112相加得ac>bbb.
112
这与已知ac＝bB≥90°不成立， 从而∠B
9．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b－ac0， 只需证(a－b)(2a＋b)>0， 只需证(a－b)(a－c)>0. ∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0.
∴(a－b)(a－c)>0显然成立，故原不等式成立．
10．[2014·辽宁高考]设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1，记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
1(2)当x∈M∩N时，证明：xf(x)＋x[f(x)]≤4.
2
2
3x－3，x∈[1，＋∞，
解 (1)f(x)＝
1－x，x∈－∞，1.
44
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤3，故1≤x≤3 当x
所以f(x)≤1的解集为M＝x0≤x≤3.
1213x－(2)证明：由g(x)＝16x－8x＋1≤4得16解得－4x≤4. 4≤4，
2
331
因此N＝x－4≤x≤4，故M∩N＝x0≤x≤4.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]
1121
＝x·f(x)＝x(1－x)＝4x－2≤4
11．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集为R.
(1)求m，n的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝m－n，abc3. 解 (1)由于解集为R，那么x＝3，x＝－1都满足不等式，有
|9＋3m＋n|≤0，9＋3m＋n＝0，
即解得m＝－2，n＝－3， |1－m＋n|≤0，1－m＋n＝0，
经验证当m＝－2，n＝－3时，不等式的解集是R.
(2)证明：a＋b＋c＝1，a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥ca， 所以a＋b＋c)2＝a＋b＋c＋2ab＋2＋2ca≤3(a＋b＋c)＝3，
1
故a＋b＋c≤3(当且仅当a＝b＝c＝3)．
[B级 知能提升](时间：20分钟)
1．[2016·温州模拟]若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
11A.a
解析 应用排除法．取a＝1，b＝－1，排除A；取a＝0，b＝－1，排除B；取c＝0，排除D.显然
1
，对不等式a>b的两边同时乘c＋1
B．a2>b2 D．a|c|>b|c|
1ab
以，立得C. c＋1c＋1c＋1
ab
2．若a，b∈R，且a≠b，M＝Nab，则M、N
ba
＋
的大小关系为________．
答案 M>N
ab
解析 ∵a≠b，∴ba，＋ab，
baab
∴b＋a>2a＋2b.
baab
∴a＋b.即M>N.
ba
3．以下三个命题：①若|a－b|
x2
则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|3，则y
号是________．
答案 ①②③
解析 ①|a|－|b|≤|a－b|
③|x|3，所以|y|3，
x12所以y＝|x|y|3.故三个命题都正确．
4．[2016·衡中模拟]设函数f(x)＝x2－x＋15，且|x－a|
证明 ∵|x－a|
∴|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋15)－(a2－a＋15)| ＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a|·|x＋a－1|
即|f(x)－f(a)|
证明不等式的基本方法
1．已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋a2b2，Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是( )
A．P≤Q C．P≥Q 答案 C
解析 ∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2) ∵a1≤a2，b1≤b2， ∴(b1－b2)·(a1－a2)≥0. ∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.
2．[2016·南通模拟]若|a－c||b|－|c| 答案 D
解析 |a|－|c|≤|a－c|
ba
3．不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③ab≥2，其中恒成立的是( )
A．①③ C．①②③ 答案 D
323
解析 由①得x＋3－3x＝x－2＋4>0，所以x2＋3>3x；对于②，
2
B．PQ
B．a>c－b D．|a|
B．②③ D．①②
因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；对a－b2baba
于③，因为当ab
4．已知a>2，b>2，则a＋b与ab的大小关系是________． 答案 a＋b
解析 ∵ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1>0.∴ab>a＋b.故填a＋b
111
5．若a，b为正实数，则ab与的大小关系是________．
a＋b111答案 ab>
a＋b
a＋b2ab111
解析 ∵a，b为正实数，∴a＋b＝abab＝2>1，
a＋b111111
∴ab>.故填ab>a＋ba＋b
11
6．[2016·西安模拟]若ab，则下列四个结论：①|a|>|b|；②a＋baa2
b
答案 ②③④
11
解析 ∵ab，∴b|a|，①错；∵a＋b0，ba
∴a＋b2b2>2ab恒成立，④对．
7．求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1. 证明 ∵(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1) ＝a2＋b2－ab－a－b＋1 12
＝2a＋2b2－2ab－2a－2b＋2)
12
＝2a－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)] 1
＝2a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， ∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，若a、b、c三边边长的倒数成等差数列，求证：∠B
证明 假设∠B
从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，
ba2
＝2，③对；由b
2
1111
即b>a，b>c.∴abcb 11112相加得ac>bbb.
112
这与已知ac＝bB≥90°不成立， 从而∠B
9．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b－ac0， 只需证(a－b)(2a＋b)>0， 只需证(a－b)(a－c)>0. ∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0.
∴(a－b)(a－c)>0显然成立，故原不等式成立．
10．[2014·辽宁高考]设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1，记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M；
1(2)当x∈M∩N时，证明：xf(x)＋x[f(x)]≤4.
2
2
3x－3，x∈[1，＋∞，
解 (1)f(x)＝
1－x，x∈－∞，1.
44
当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤3，故1≤x≤3 当x
所以f(x)≤1的解集为M＝x0≤x≤3.
1213x－(2)证明：由g(x)＝16x－8x＋1≤4得16解得－4x≤4. 4≤4，
2
331
因此N＝x－4≤x≤4，故M∩N＝x0≤x≤4.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]
1121
＝x·f(x)＝x(1－x)＝4x－2≤4
11．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集为R.
(1)求m，n的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝m－n，abc3. 解 (1)由于解集为R，那么x＝3，x＝－1都满足不等式，有
|9＋3m＋n|≤0，9＋3m＋n＝0，
即解得m＝－2，n＝－3， |1－m＋n|≤0，1－m＋n＝0，
经验证当m＝－2，n＝－3时，不等式的解集是R.
(2)证明：a＋b＋c＝1，a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥ca， 所以a＋b＋c)2＝a＋b＋c＋2ab＋2＋2ca≤3(a＋b＋c)＝3，
1
故a＋b＋c≤3(当且仅当a＝b＝c＝3)．
[B级 知能提升](时间：20分钟)
1．[2016·温州模拟]若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
11A.a
解析 应用排除法．取a＝1，b＝－1，排除A；取a＝0，b＝－1，排除B；取c＝0，排除D.显然
1
，对不等式a>b的两边同时乘c＋1
B．a2>b2 D．a|c|>b|c|
1ab
以，立得C. c＋1c＋1c＋1
ab
2．若a，b∈R，且a≠b，M＝Nab，则M、N
ba
＋
的大小关系为________．
答案 M>N
ab
解析 ∵a≠b，∴ba，＋ab，
baab
∴b＋a>2a＋2b.
baab
∴a＋b.即M>N.
ba
3．以下三个命题：①若|a－b|
x2
则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|3，则y
号是________．
答案 ①②③
解析 ①|a|－|b|≤|a－b|
③|x|3，所以|y|3，
x12所以y＝|x|y|3.故三个命题都正确．
4．[2016·衡中模拟]设函数f(x)＝x2－x＋15，且|x－a|
证明 ∵|x－a|
∴|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋15)－(a2－a＋15)| ＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a|·|x＋a－1|
即|f(x)－f(a)|