第四章Ross套利定价模型

第四章 Ross套利定价模型

资本资产定价模型提示了在资本市场均衡状态下证券期望收益率与风险之间的关系，简洁、明确地回答了证券风险的合理度量问题以及证券如何在资本市场上被定价。由于模型是从假定条件经过严密的逻辑推理而得到的，而且所得结论与人们在现实资本市场上的直观相吻合，因此被理论与实际工作者广泛应用。但是，资本资产定价模型也存在一些缺陷。其中最主要的一点是缺乏经验验证的有力支持。资本资产定价模型中的市场证券组合是一理论概念，从理论上讲市场证券组合应位于有效边界是，但在进行实证分析时人们却只能以某种指数组合作为市场证券组合的替代，而指数组合不一定位于有效边界上，这样就导致参照指数组合计算的值与模型中的值之间存在偏差。另外，资本资产定价模型描述的是证券期望收益率与风险之间的关系，而人们只能得到历史数据，对期望收益率与值这些不可观测的变量，只能采用估计的方法，由此就可能产生较大误差，使得检验结果不能令人信服。基于资本资产定价模型的不足，人们提出了一种新的资本资产定价理论，这就是套利定价理论（The Arbitrage Pricing Theory, 简称APT）。该理论由美国经济学家罗斯（S.Ross）于1976年创立，其基本思路是从套利的角度考虑套利与均衡的关系，利用套利原理推导出市场均衡下资本资产定价关系，即套利定价模型。由于套利定价模型具有同资本资产定价模型一样的解释功能，而且涉及较少的假定条件，与现实更加贴切，因此该模型越来越受到理论与实际工作者的关注。

§1 套利与均衡

套利是资本市场理论的一个基本概念，是指利用同一资产在不同市场上或不同资产在同一市场上存在的价格差异，通过低买高卖而获取利润的行为。一种最简单、明显的产生套利机会的情形是，某相同资产在两个市场上的价格不同，此时，投资者只需在价高的市场卖空并同时在价低市场买入该资产，就可从中获取一个正的差价收益，而且这种套利无风险。

很明显，无风险的套利机会一旦被发现，投资者就会利用它进行套利，这样，即使是少数几个（甚至一个）套利乾的套利行为都有将最终消除价格差异。因为这种无风险套利机会存在对任何一个投资者（无论他是否厌恶风险）都是有利的，只要投资者发现这种机会，他就会力图通过在两个市场上不断地低买高卖，以实现套利收益的巨额增加。但另一方面，在套利者进行买卖的同时，两个市场上对同种证券的供需会发生变化，套利者在证券交易所不断卖空证券A导致供给增加，从而A的价格下降；而在中间商处不断地买入证券A使需要增加，从而A的价格上升，当何等的上升与下降调整到使套利机会不再存在时，套利者就会结束其套利行为。如果不考虑交易费用，那么同种证券A在两个市场上的价格最终将处于同一水平。这种相同证券在不同市场（或同类证券在同一市场）的定价水平应相同的原理就叫价格同一律（The Law of One Price），价格同一律的成立意味着套利机会的消失，相反，价格同一律的违背就预示着套利机会的存在。一般来讲，一个完全竞争、有效的市场总是遵循价格同一律。

在当今证券市场上，先进通讯工具的应用使市场能快速吸收新的信息，而且也使交易在瞬间就可完成，一旦市场违背价格同一律，投资者就会迅速通过巨额买卖而获暴利。

另外，在同一市场上，不同证券之间也有可能存在套利机会

通过分析可以看出，当套利机会出现时，投资者会通过低买高卖赚取差价，这时，使套利机会存在的那些证券，它的定价是不合理的。由于套利者利用他们进行套利，因此市场上对这些证券的需求与供给就处于非均衡状态。相应地，这些证券的价格就为非均衡价格。在套利者不断套利的过程中，这些证券的价格会随供需的变化而发生上升或下跌。当达到某种水平使套利机会不再存在时，套利者的套利行为就会终止，市场将处于均衡状态，各种证券的定价就处于合理水平，再从另一个角度看，当市场经过一系列调整达到均衡时，各种证券交易的价格都处于合理水平，在这种状态下，不存在任何套利机会。这就是套利与均衡的关系，它是资本市场理论的一个基本论点。

接下来的问题就是，当市场不存在任何无风险套利机会或者说市场处于均衡状态时，各种证券及证券组合应如何合理定价？它们的期望收益率与风险之间存在什么关系，这些问题正是套利定价理论所要回答的。

虽然前面的资本资产定价模型已经回答了市场均衡状态下证券及证券组合的期望收益率与风险之间的关系，但资本资产定价模型是在一系列假设条件下推导出来的理论模型，它是一个仅以市场证券组合为参照的描述证券均衡价格的关系式，由于它的一些假设条件太苛刻，因此时常会出现理论与现实不一致的情况。本章所介绍的套利定价理论是从套利的角度考察证券均衡期望收益率与风险的关系，由于该理论没有苛刻的假设条件，而且与实际较为吻合，因此它对均衡价格的解释要强于资本资产定价模型，实际上资本资产定价模型是套利定价理论的一种特殊情形。

§2 单因子套利定价模型

资本资产定价模型是一单因素模型，它的缺陷之一是用一个指定的因素——市场证券组合收益率来解释各证券的收益率构成。尽管在指数模型的讨论中可以将影响证券收益率的因素由一个扩展到多个，但仍没有走出事先人为指定是什么因素以及多少因素对证券收益率产生影响这一思维模式。显然，要使解释证券收益率构成的模型包含更多更有用的信息，就需在模型设定上作一些修改。罗斯（Ross,1976）建立了修正模型，并在此基础上从套利角度讨论了市场均衡状态下证券的定价。

与指数模型类似，在套利定价理论中，我们假定证券的收益受一些共同因子的影响，并且收益率与这些共同因子之间有如下关系：

riErii1F1i2F2inFnei （4-1）其中：ri为第i种证券的未来收益率，它为一随机变量；Eri为第i种证券的期望收益率；ik为第i种证券收益率对第k项共同因子的敏感度，有时也称之为风险因子；Fk为对各证券收益率都有影响的第k项共同因子，它的期望值为零。ei为第i种证券收益率中特有的受自身不确定因素影响的随机误差，它的期望值为零，且与各共同因子无关。

也就是说，证券i的未来收益率等于平均收益率（即期望收益率）Eri加上各共同因子对收益率的影响值，再加上自身特有随机因素对收益率的影响值。需要注意的是，在模型（4-1）式中我们并没有指出共同因子是什么以及到底有多少个共同因子，这是套利定价理论在模型设定上与指数模型的不同之处。

为了得到套利定价模型，我们先从最简单的情形开始，即考虑证券收益率只受某一个

共同因子的影响。毫无疑问，更一般更具现实意义的情形是收益率受多个共同因子的影响，但为了使分析过程简单明了，在本节我们首先考虑单因子模型，后面再过渡到对多因子模型的讨论。

如果各证券收益率只受一个共同因子F的影响，那么由（4-1）式，证券i收益率的结构式就为

riEriiFei （4-2）且满足如下条件：

EF0 Eei0

Covei,F0, Covei,ej0,

下面我们考察在模型（4-2）式的设定条件下，各证券及证券组合的风险构成，并进一步讨论在市场均衡下各证券及证券组合的期收益率与风险的关系。

一、充分分散投资组合的套利定价

n

假定某证券组合P由n种证券构成，各证券的组合权数为xixi1，则P的

i1

收益率构成为：

rpxiri=xiEriiFei

i1



=ErppFep （4-3）

其中p



x

ii1

代表投资组合P对共同因子F的敏感度；ep

xe为P的非系统收

iii1

益率。

类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两部分。由（4-2）式，有

2riVarEriiFei

ei

其中i2F代表证券i系统风险，2ei代表证券i的非系统风险，由（4-3）式有

2rpVarErppFep

ep

（4-4）

其中证券组合P的非系统风险等于：

e=xe

i1

即为参与组合的各证券非系统风险的加权和。

可以论证，当证券组合包含的证券数越来越多n且各证券权重的平方xi2越来越

小时，（4-4）式中的非系统风险将逐渐趋于零。

通过以上分析可以看出，对于一个充分分散的证券组合，它的非系统风险几乎接近于零，因此，在实际应用中可将2ep忽略不计，视其为零。又因为ep的期望值为零，注意到方差2ep为零，因而我们可断定ep的实际值就是零。回到（4-3）式，就得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率构造：

rpErppF （4-5）

且2ppF，





pF

将（4-5）式与（4-2）式作一对比可以看出，单个证券收益率与共同因子不存在完全的线性关系（（因随机误差项ei存在），但充分分散证券组合的收益率与共同因子之间具有线性关系。图4-1为值都为1的充分分散证券组合P及单个证券Q的收益率与共同因子的关系图

（a）

(b)

图4-1

在图（a）中，证券组合P的期望收益率为10%，它代表共同因子为零时P的收益率，直线的斜率代表证券组合P对共同因子F的敏感度1，直线上的不同点代表了在共同因子处于不同水平时证券组合P相应的收益率，若共同因子为正，则P的收益率超过期望收益率，反之则低于期望收益率，证券组合P满足的方程为： rPErPPF0.101.0F

在图（b）中，单个证券Q的期望收益率也为10%，值为1，但由于收益率受共同因子与非系统因素的影响，所以其收益率与共同因子F的关系为围绕直线分布的散点图，Q的收益率满足如下关系式：

rQErQQFeQ0.101.0FeQ

下面再看下图4-2：虚线代表了另外一个充分分散证券组合B的收益率与共同因子F的关系，B的期望收益率为8%，值（虚线的斜率）仍为1.



F 图4-2

我们要问充分分散组合P与充分分散组合B能否同时并存？答案不可能。因为无论共同因子处于何种水平，证券组合P都优于证券组合B，这就是产生了套利机会（无风险）。例如,投资者可卖空价值一百万元的B,再买入价值一百万元的P,构造出一个零投资组合,其收益额为:

[0.101.0F0.081.0F]1百万=2万元

注意,投资者没有使用自己的任何本金,就获得了2万元的收益,并且由于实行等额卖空与买入,该零投资组合的值就为零(

PB=0),因此系统风险全部消除,同时,由于证券组22

合P与B都是充分分散组合,非系统风险也全部消除,所以该零投资组合实际上没有任何风险,

如果真正存在这种套利机会,那么投资者要想获取多少收益就能得到多少,事实上,这是不可能的,即使这种机会出现,也不会保持长久,正如前面分析的那样,套利者的套利行为将引起市场上对P与B的供需量发生变化,从而最终消除此二证券组合在价格上的差异.换句话说,在市场均衡状态下,相同的证券组合必须有相同的期望收益率,否则无风险套利机会就将存在.

上面我们分析了在市场均衡状态下，具有同值的充分分散证券组合应具有相同的期望收益率，那么对于不同值的充分分散证券组合，它们的期望收益率与其值之间存在什么关系呢？为了回答这一问题看下图4-3：

图4-3

假设某充分分散证券组合C的系数为0.5,期望收益率为ErC=0.06,C位于由

rfrf0.04与P的连接线的下方,也就是说,C提供的风险补偿率低于P的风险补偿率.如果

以二分之一权重的P及二分之一权重的rf构成一新的投资组合D,那么D的值为:

D

1111

fP010.5 2222

1111

rfErP0.040.100.07 2222

D的期望收益率等于:

ErD

这样证券组合D与C有相同的值，但D的期望收益率高于C，由前面的分析知，无风险套利机会将存在。因此，在市场处于均衡状态不存在套利机会时，所有充分分散证券组合必位于始于rf的同一条直线上，这条直线的方程为：

Erprfp （4-6）

其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为风险因子的价格。（4-6）式就是关于充分

分散证券组合的套利定价模型，它描述了在市场均衡状态下，任意充分分散证券组合收益率与风险的关系。

二、单个证券的套利定价

我们已知知道，如果利用充分分散证券组合进行套利的机会不存在时，每一充分分散证券组合的超额期望收益率与它的值之间一定成常定比例，即对任意二充分分散证券组合P与T，总有如下式子成立：

Erprf

p



ErTrf

T

 （4-7）

换句话说，处于市场均衡状态下的任何充分分散证券组合都具有相同的风险补偿率 （或单位风险价格）.

接下来的问题是，充分分散证券组合所满足的（4-6）或（4-7）式是否对参与组合的各个单个证券也成立。如果成立，则说明在市场均衡状态下，无论是证券组合还是单个证券，只有它们的系统风险能得到收益补偿，而且系统风险的补偿率是相同的。

为了导出单个证券的期望收益率与风险（）的关系，我们假定各个证券的风险补偿率不相等，即期望收益率与之间呈线性关系，比如像如下图4-4中曲线的情形。

下面我们通过两个步骤来分析说明关系是不可能成立的。



图4-4

首先，我们选择一个风险补偿率高而另一个风险补偿率低的一对证券进行组合，通过卖空补偿率低的证券并投资补偿率高的证券，可以构造一个零值的证券。比如，对图中的证券C卖空，并投资于证券A，在条件

xAAxcc0 

xx1AC

之下就可形成一零投资组合Z，Z的期望收益率为：

ErzxAErAxCErC

投资组合Z没有系统风险，但需要非零的投资额，并且有非系统风险。与此类推，我们可

以通过卖空D、C而投资于A、B，在条件

xAAxBBcxcxDD0



xxxx1DABC

之下，就能形成期望收益率仍为E（rz）的另一零投资组合，但与前面的零投资组合相比，参与组合的证券为四种，即分散化进了一步。如此下去，如果我们卖空足够多种风险补偿率低的证券而投资于相同数目的风险补偿率高的证券，则形成的零投资组合几乎没有非系统风险（充分分散的结果）。这样，我们就构造了一个期望收益率为E（rz），但无任何

风险的投资风险的投资组合，不过，该投资组合需要非零的投资额。

同样，我们也可构造一个期望收益率为E（rz），既无系统风险也无非系统风险的另一个投资组合（如图），它也需非零的投资额。至此，我们已构造了两个无任何风险的投资组合，而它们的期望收益率却不同，很明显，这一情形的出现已产生了无风险套利机会，我们只需卖空一定量的具有低期望收益率的投资组合Z，同时用所得的资金投资于高期望收益率的投资组合Z，就可获得无风险的差额利润。这一套利机会对所有投资者都是有利的，因此，每一投资者都会试图利用这一套利机会。

随着套利者的不断卖空与购入，像D、C、F那样风险补偿率低的证券其价格将随着供

给增加而下降，从而期望收益率上升，而类似于A、B、E这样风险补偿率高的证券，由于需求增加，其价格将上升，从而期望收益率下降，最终，市场将调节到“几乎所有”证券的风险补偿率一致的状态，使套利机会消失，因此，在市场均衡状态下，单个证券满足如下关系式：

Erirf

i

k （k为定常数）（4-8）

或 Erirfki （4-9）这就是市场均衡状态下单个证券的套利定价模型。它描述了单个证券均衡期望收益率与值之间的关系。

最后，我们考察市场均衡下充分分散证券组合所满足的（4-6）式与单个证券所满足的（4-9）式是否一致，假设充分分散证券组合P由权重为xi的各证券组合组成，利用（4-9）式，有

Erp

xErrx

i1

kxiirfkp

i1

将它与（4-6）式进行对比，可得到k=,这说明在市场均衡状态下，无论是单个证券还是证券组合，它们的期望收益率与值之间有相同的线性关系：

Errf （4-10）

这就是单因子套利定价模型。它的经济意义为：任何一种证券（或证券组合）的期望收益率由两部分构成，一部分为无风险收益率；另一部分为风险溢价，风险溢价等于证券（或证券组合）对共同因子的敏感度（风险值）与单位风险价格的乘积。

§3 多因子套利定价模型

在单因子套利定价理论中，我们假定各证券收益率只受一个共同因子的影响，很明显，这种假设过于简单，与现实不一定相符。更一般的情形是各证券收益率受多个共同因子的影响。下面我们考察证券收益率由多因子模型产生时，证券的套利定价模型。

假设各证券收益率受两个共同因子的影响（如果共同因子多于两个，可类似推广），那么证券收益率的分解式为：

riErii1F1i2F2ei （4-11）

与讨论单因子套利定价模型一样，我们分别考察充分分散证券组合与单个证券的套利定价模型。

一.充分分散投资组合的双因子套利定价模型

对于由n种证券构成的证券组合P，如果各证券的组合权数为xi ，那么P的收益率就为：

rPxirixiErii1F1i2F2nei

i1

nn

=xiErixii1F1xii2F2xiei

i1i1i1i1

=Erpp1F1p2F2eP （4-12）

P的总风险（方差）为：

2PVarErpp1F1p2F2eP



=P1F1P2F2ep （4-13）其中

F1、

22222





F2分别为共同因子

F1、F2的方差，epxi22ei代表证券组

i1

合P非系统风险，前两项之和为两个共同因子变化的不确定性所带来的系统风险。

当证券组合P充分分散时，P的非系统风险ep几乎为零。这样，充分分散证券

组合P的收益率构成如下：



rp=Erpp1F1p2F2

并且P的总风险就几乎全部是系统风险：

22222P P1F1P2F2

下面我们考察当资本市场处于均衡而不存在无风险套利机会时，充分分散证券组合的期

望收益率与风险之间存在什么关系。

首先，具有相同值的充分分散证券组合，应有相同的期望收益率。因为，如果存在两个充分分散证券组合P和Q，它们的相同：P1=Q1

P2=Q2

而期望收益率ErP与ErQ不相同，那么通过卖空一定数额的低期望收益率的证券组合而同时购入相等价值的高期望收益率的证券组合，就可形成一个零投资组合，该零投资组合的



值为零，从而系统风险为零，这样，投资者无需任何资本就可获得没有任何风险的套利

收入。面对这种套利机会，人人都会利用它去谋取巨额收益，大量的买、卖最终迫使证券组

合P与Q的期望收益率趋于一致。

其次，充分分散证券组合的期望收益率与其值之间存在线性关系，即 Erp=rf1p12p2 （4-14）换句话说，所有充分分散证券组合必位于同一张二维平面上。如图(4-5) Er

β2 B W rf

β1

图4-5

为了说明这一结论的正确性，我们先引入“纯因子”组合的概念，所谓“纯因子”组合，是指对某个共同因子的敏感度为1，而对其它共同因子的敏感度为零的充分分散证券组合。构造纯因子组合是能实现的，因为可供选择的证券众多而共同因子的个数相对来说少得多。比如，在两因子模型的情况下，可以通过求解如下方程（n足够大）：



x111x221xnn11



x112x222xnn20

得到解x1,x2,,xn 。以x1,x2,,xn为权重构成一充分分散投资组合A，则A对共同因子F1的敏感度A1

x

ii1

1，而对共同因子F2的敏感度A2xii20，从

i1

而A就是一个“纯因子F1”的充分分散组合，它位于如图(4-5)中的A点，使用同样的方法，可以构造一个“纯因子F2”的充分分散组合B（B10,B21），它位于如图(4-5) 中B点。

现在假设有一充分分散证券组合W,它不在位于图(4-5)的平面上而位于其下方,W的风险因子(即关于共同因子的敏感度)分别为w1与w2,期望收益率为Erw.下面我们分析说明这种情况在市场均衡状态下是不可能的.

利用前面所构造的”纯因子”组合A与B,我们可以构造出一个与W有相同风险因子但期望收益率大于Erw的证券组合,以权重为xA

w1的资金投资于证券组合A,权重

xBw2的资金投资于证券组合B,权重为xf1w1w2的资金投资于无风险资产rf,

构成一投资组合D,则D的风险因子等于参与组合的A,B, rf的风险因子的加权平均:

D1xAA1xBB1xff1

=w1A1w2B1(1w1w2)f1 由于A1=1, 因此有同理可得

B1=0, f1=0

D1=w1 D2=w2

这样,投资组合D与W就具有相同的风险因子,但D的期望收益率为: ErDxAErAxBErBxfrf

=w1ErAw2ErB(1w1w2)rf

从而D位于图(4-5)的平面上,由于D的期望收益率大于W,这样就产生了无风险套利机会,与市场均衡不存在无风险套利机会相矛盾,所以充分分散证券组合W必位于平面上.

由此可见,在市场均衡状态下,任意分散证券组合的期望收益率与值必存在线性关系(4-14),(4-14)式就是在两因子模型成立的情况下,充分分散证券组合的套利定价模型.它表明,任何分散证券组合的风险报酬是风险因子的线性函数, 值越大,风险报酬就越高,而

1,2分别代表了两个风险因子1,2的单位价格.

二.单个证券的双因子套利定价模型

假设在市场均衡状态下各单个证券期望收益率与风险因子之间是非线性的,众多证券分布在如图(4-6)的曲面上,那么通过卖空像H这样的证券,并用所得资金与自有资金一起投资于像G这样的证券,只要卖空H的数量选择恰当,就可构造出对两个共同因子的敏感度都为零的证券组合Z(即零证券组合),它的期望收益率为ErZ.由于Z的两个值都是零,因此Z没有系统风险.但Z存在非系统风险,而且需要非零的投资额.

如果我们选择许多对像G,H这样的证券,采用上述处理方法,就可以构造出充分分散的证券组合Z,使Z对两个共同因子的敏感度都为零.这样, Z既无系统风险,同时由于已充分分散而消除了非系统风险.但Z仍需非零的投资额.

使用相同的方法,通过卖空像F,购入像E这样的足够多的证券,可以构造出对两个共同因子的敏感度都为零的充分分散投资组合Z,Z的期望收益率为ErZ如图(4-6),而且既无系统

风险,也没有非系统风险,当然,Z仍需非零的投资额.

E(rZ′ ·F E(rZ) β rf

β1 图4-6

对比证券组合Z和Z可以看出,这种情况已产生了无风险套利机会,投资者只需卖空Z并用所得资金购入Z,无需任何本金,就可获得无风险差价收益.显然,这种套利机会造成了价格压力,套利者的卖空与购入使证券量供需失衡,市场将对证券价格作出调整,最终使套利机会消失,图(4-6)的曲面将变成如图(4-5)中的平面.”几乎所有”的证券将位于该平面上,即证券的期望收益率与其值之间将保持线性关系,用数学式表示就是:

Erirf1i12i2 (4-15)

这就是两因子模型成立的情况下,单个证券的套利定价模型,它与分散组合所满足的套利定价模型(4-14)完全一致.也就是说,当市场处于均衡状态时,所有的证券及证券组合都以相同的方式进行定价,它们期望收益率的高低取决于风险因子的大小和风险因子的价格.

如果影响证券收益率的共同因子不止两个,采用相同的分析方法,可以得出与两因素完全类似的均衡定价模型,具体形式如下:

Errf1122nn (4-16)

这就是一般情形的套利定价模型.其中1,2,n代表证券或证券组合的n个风险因子的值,而12,n则为各风险因子的价格.



§4 APT与CAPM和比较

一. APT与CAPM的区别

套利定价模型APT与资本资产定价模型CAPM所描述的都是市场均衡状态下资产期望收益率与其风险之间的关系,即如何确定资产均衡价格,但这两个模型并不相同,它们的区别体现在如下几个方面:

1. 模型的假定条件不同

APT假定证券收益率的产生同某些共同因子有关,但这些共同因子到底是什么以及有多少个,模型并没有事先人为地加以指定,而CAPM事先假定证券收益率同市场证券组

合的收益率有关.此外,CAPM(无论是简化的CAPM还是扩展的CAPM)的一个基本假定是投资者都以期望收益率和标准差作为分析基础,并按照收益----风险准则选择投资方案,而APT无此假定.

2. 建立模型的出发点不同

APT考察的是当市场不存在无风险套利而达到均衡时,资产如何均衡定价,而CAPM考察的是当所有投资者都以相似的方法投资,市场最终调节到均衡时,资产如何定价. 3. 描述形成均衡状态的机理不同

当市场面临证券定价不合理而产生价格压力时,按照APT的思想,即使是少数几个投资者的套利行为也会使市场尽快地重新恢复均衡;而按CAPM的思想,所有投资者都将改变其投资策略,调整他们选择的投资组合,他们共同行为的结果才促使市场重新回到均衡状态.

4. 定价范围及精度不同

CAPM是从它的假定条件经逻辑推理得到的,它提供了关于所有证券及证券组合的期望收益率----风险关系的明确描述,只要模型条件满足,以此确定的任何证券或证券组合的均衡价格都是准确的;而APT是从不存在无风险套利的角度推出的,由于市场中有可能存在少数证券定价不合理而整个市场处于均衡之中(证券数少到不足以产生无风险套利),所以APT提供的均衡定价关系有可能对少数证券不成立.换言之,在满足APT的条件的情况下,用APT的证券或证券组合确定均衡价格,对少数证券的定价可能出现偏差. 二. APT与CAPM结合

尽管APT与CAPM存在上述差别,但并不能说明这两种模型是相互矛盾的.事实上,有可能出现这种情况,收益率由因子模型产生,而同时APT的其它假定条件及CAPM的假定条件都成立,此时,APT与CAPM是相通的.

例如,如果影响证券收益率的因子只有一个,而且是市场证券组合的收益率rM,即证券收益率构成如下:

riEriirMErMei

其中

i

Covri,rM



那么由此推出的APT模型的均衡关系式为: Erirfi

对于市场组合M来讲,上式也成立,注意M=1,从而 ErMrfMrf 所以这样就有

ErirfiErMrf

这与CAPM所描述的均衡期望收益率－关系是完全一致的。

ErMrf



所以说，从某种意义上讲，ＣＡＰＭ是ＡＰＴ的一个特例。

进一步分析还可以发现，上述一致性并不是偶然的个别现象，即使对于比较复杂的收益率产生过程，由此推导的ＡＰＴ模型所描述的资本市场均衡关系与ＣＡＰＭ所描述的均衡关系也是相通的。

例如，假设收益率产生于一个两因子模型，即

riErii1F1i2F2ei

其中F1，F2为两种共同因子，1，2分别是证券i对两种共同因子的敏感度。下面我们分析说明：在ＡＰＴ的假定条件与ＣＡＰＭ的假定条件都成立的情况下，ＡＰＴ与ＣＡＰＭ是相通的。

根据假定的收益率生成过程可推出ＡＰＴ模型为：

Erirf1122

假设充分分散组合Ａ，Ｂ分别是“纯因子F1”组合与“纯因子F2”组合，则由于

A11,A20,eA0,B10,B21,eB0，从而有

rAErAF1 rBErBF2 由ＡＰＴ有：

ErArf1 ErBrf2 而由ＣＡＰＭ有：

ErArfAMErMrf ErBrfBMErMrf 所以有：



1AMErMrf

代入ＡＰＴ中有：

2BMErMrf

Erirfi1AMi2BMErMrf 根据ＣＡＰＭ中的定义，有：



i

Covri,rM

2M



CovErii1F1i2F2ei,rM

2M

＝

CovF1,rM





i1

CovF2,rM



i2

Covei,rM



而AM

CovrA,rM

2M

CovErAF1,rM

2M



CovF1,rM

2M

同理BM

CovF2,rM



所以ii1AMi2BM 从而ErirfiErMrf

这恰好是ＣＡＰＭ，说明ＡＰＴ与ＣＡＰＭ相通三．ＡＰＴ的检验

１．检验过程中的难点

如前所述，如果我们用多因子模型来解释证券收益率的形成过程，即：

riEri





j1n

Fjei

那么，由此得到的ＡＰＴ模型是： Erirf



jj1

在这两个关系中，变量ij，Fj和j显得尤为重要．根据收益率形成过程的计算公式，每个证券ii1,2,,N对每一个Fjj1,2,,n都有一个敏感度ij，但对于全部证券而言，只存在一个Fj的取值，任意一个Fj都将对一个以上的证券的收益率产生直接的影响，否则，如果它只对某个证券的收益率产生影响的话，就应该被列入到该证券的非系统收益率

之中，这些Fj在多指数模型中，被称为指数，但对于ＡＰＴ所需要的收益率生成公式来说，则被称为共同因子。在多指模型中，这些指数都是在事先就被定义好的，每一个指数都具有特定的意义，表示特定的经济指标。对于APT中收益率生成过程的计算公式来说，各个因子在事先都是不确知的，没有特定的意义。投资者所知的只是这些因子都对一个以上的证券的收益率产生影响，因而它们是证券之间协方差的根源。

所有的ij 都是与某个证券i相对应的，也就是说，是该证券所持有的。在多指数模型中，它们表示证券对某个特定指数的反应灵敏度，也可以看成是证券风险的测度。但在APT收益率生成过程的计算公式中，它们仅仅表示该证券所具有的某种特性，这种特性也许是对某一特殊要素的敏感度，也许是诸如股息支付等属于证券自身的东西。因此，ij可以看成是证券的特征值。

从所推导出的APT的均衡关系式看，j是由于某一证券I对该证券的第j个特性的敏感性而带来的超额收益。对于APT进行检验，就是验证其均衡关系式的正确性，即验证证券的均衡收益率是否满足和在多大程度上满足均衡关系式，这就意味着必须首先确定ij的取值。为了确定ij的取值，必须先确定相关的Fj。但由于APT所强调的是资本资产的定价过程和方式，而对可能影响证券预期收益的经济指标或特殊因子不作任何规范，因此，ij和Fj在事先都是无法确知的，这就造成了无从下手的局面。

2. 检验的方法

检验ＡＰＴ的方法类似于检验ＣＡＰＭ所使用的方法，即首先根据各证券收益率的时间序列数据估计出证券对各个共同因子的敏感度ij，然后利用证券平均收益率及估计的值的横断面数据对证券期望收益率—关系式作出估计，从而对ＡＰＴ所预言的证券均衡定价关系作出验证。

由于ＡＰＴ只假定证券收益率受一些共同因子的影响，而这些共同因子分别代表什么，它们共有多少个，模型并没有明确定义，因此，对证券值的估计过程中必然伴随着要确定共同因子，为此就需找到一种方法，能同时确定共同因子及各证券对共同因子的敏感度。这种方法就是统计学中的因子分析法。下面我们给出该方法的基本思想，具有的做法可参阅有关多元统计学著作。

根据各证券收益率的时间序列数据估计出证券收益率之间的协方差矩阵，并以此作为因子分析的研究对象，最终确定出能够解释证券收益率变异的共同因子以及证券对这些共同因子的敏感度。一般的作法是，首先考察如果只用一个共同因子解释证券的收益率，各证券收益率残差的协方差；再考察如果用第一和第二个共同因子解释证券的收益率，各证券收益率残差之间的协方差比只用第一个因子解释时下降的百分比；再考察如果用第一，二和第三个因子来解释证券的收益率，各证券收益率残差之间的协方差比只用第一个因子解释时下降的百分比。然后不断重复这一过程，看增加因子后各证券收益率残差之间协方差下降的幅度，如果增加某一因子后证券收益率残差协方差下降的幅度低于某个事先设定的解释精度，比如５％或者说０％，那么，该因子就被认为对证券收益率不可能产生明显的影响，从而被剔除。最后，入选的因子都能使证券收益率残差之间的协方差下降的幅度达到某一个精度指标所规定的要求，从而确定出恰当的共同因子，并且同时估计出证券对这些共同因子的敏感度ij（在因子分析中叫做因子载荷）。

得到的估计后，下一步就是对期望收益率—关系作出估计。利用各证券的平均收益率及估计的值作横断面数据的回归就可做到这一点，并可由回归结果去判断ＡＰＴ所预示的结论是否合理。

罗尔和罗斯（Roll&Ross）于１９８０年运用１９６２年６月到１９７２年１２月纽约股票交易所１２６０种股票收益率数据，以每组３０种证券将１２６０种证券分成４２组进行因子分析，发现存在４或５个因子有有效的解释力，而且还发现证券平均收益率与风险因子之间存在线性关系，证券的残差与平均收益率无关。

第四章 Ross套利定价模型

§1 套利与均衡

另外，在同一市场上，不同证券之间也有可能存在套利机会

§2 单因子套利定价模型

与指数模型类似，在套利定价理论中，我们假定证券的收益受一些共同因子的影响，并且收益率与这些共同因子之间有如下关系：

为了得到套利定价模型，我们先从最简单的情形开始，即考虑证券收益率只受某一个

如果各证券收益率只受一个共同因子F的影响，那么由（4-1）式，证券i收益率的结构式就为

riEriiFei （4-2）且满足如下条件：

EF0 Eei0

Covei,F0, Covei,ej0,

下面我们考察在模型（4-2）式的设定条件下，各证券及证券组合的风险构成，并进一步讨论在市场均衡下各证券及证券组合的期收益率与风险的关系。

一、充分分散投资组合的套利定价

n

假定某证券组合P由n种证券构成，各证券的组合权数为xixi1，则P的

i1

收益率构成为：

rpxiri=xiEriiFei

i1



=ErppFep （4-3）

其中p



x

ii1

代表投资组合P对共同因子F的敏感度；ep

xe为P的非系统收

iii1

益率。

2riVarEriiFei

ei

其中i2F代表证券i系统风险，2ei代表证券i的非系统风险，由（4-3）式有

2rpVarErppFep

ep

（4-4）

其中证券组合P的非系统风险等于：

e=xe

i1

即为参与组合的各证券非系统风险的加权和。

可以论证，当证券组合包含的证券数越来越多n且各证券权重的平方xi2越来越

小时，（4-4）式中的非系统风险将逐渐趋于零。

rpErppF （4-5）

且2ppF，





pF

（a）

(b)

图4-1

rQErQQFeQ0.101.0FeQ

下面再看下图4-2：虚线代表了另外一个充分分散证券组合B的收益率与共同因子F的关系，B的期望收益率为8%，值（虚线的斜率）仍为1.



F 图4-2

[0.101.0F0.081.0F]1百万=2万元

注意,投资者没有使用自己的任何本金,就获得了2万元的收益,并且由于实行等额卖空与买入,该零投资组合的值就为零(

PB=0),因此系统风险全部消除,同时,由于证券组22

合P与B都是充分分散组合,非系统风险也全部消除,所以该零投资组合实际上没有任何风险,

图4-3

假设某充分分散证券组合C的系数为0.5,期望收益率为ErC=0.06,C位于由

rfrf0.04与P的连接线的下方,也就是说,C提供的风险补偿率低于P的风险补偿率.如果

以二分之一权重的P及二分之一权重的rf构成一新的投资组合D,那么D的值为:

D

1111

fP010.5 2222

1111

rfErP0.040.100.07 2222

D的期望收益率等于:

ErD

Erprfp （4-6）

其中斜率代表了单位风险的报酬，有时也称它为风险因子的价格。（4-6）式就是关于充分

分散证券组合的套利定价模型，它描述了在市场均衡状态下，任意充分分散证券组合收益率与风险的关系。

二、单个证券的套利定价

Erprf

p



ErTrf

T

 （4-7）

换句话说，处于市场均衡状态下的任何充分分散证券组合都具有相同的风险补偿率 （或单位风险价格）.

下面我们通过两个步骤来分析说明关系是不可能成立的。



图4-4

xAAxcc0 

xx1AC

之下就可形成一零投资组合Z，Z的期望收益率为：

ErzxAErAxCErC

投资组合Z没有系统风险，但需要非零的投资额，并且有非系统风险。与此类推，我们可

以通过卖空D、C而投资于A、B，在条件

xAAxBBcxcxDD0



xxxx1DABC

风险的投资风险的投资组合，不过，该投资组合需要非零的投资额。

随着套利者的不断卖空与购入，像D、C、F那样风险补偿率低的证券其价格将随着供

Erirf

i

k （k为定常数）（4-8）

或 Erirfki （4-9）这就是市场均衡状态下单个证券的套利定价模型。它描述了单个证券均衡期望收益率与值之间的关系。

Erp

xErrx

i1

kxiirfkp

i1

将它与（4-6）式进行对比，可得到k=,这说明在市场均衡状态下，无论是单个证券还是证券组合，它们的期望收益率与值之间有相同的线性关系：

Errf （4-10）

§3 多因子套利定价模型

假设各证券收益率受两个共同因子的影响（如果共同因子多于两个，可类似推广），那么证券收益率的分解式为：

riErii1F1i2F2ei （4-11）

与讨论单因子套利定价模型一样，我们分别考察充分分散证券组合与单个证券的套利定价模型。

一.充分分散投资组合的双因子套利定价模型

对于由n种证券构成的证券组合P，如果各证券的组合权数为xi ，那么P的收益率就为：

rPxirixiErii1F1i2F2nei

i1

nn

=xiErixii1F1xii2F2xiei

i1i1i1i1

=Erpp1F1p2F2eP （4-12）

P的总风险（方差）为：

2PVarErpp1F1p2F2eP



=P1F1P2F2ep （4-13）其中

F1、

22222





F2分别为共同因子

F1、F2的方差，epxi22ei代表证券组

i1

合P非系统风险，前两项之和为两个共同因子变化的不确定性所带来的系统风险。

当证券组合P充分分散时，P的非系统风险ep几乎为零。这样，充分分散证券

组合P的收益率构成如下：



rp=Erpp1F1p2F2

并且P的总风险就几乎全部是系统风险：

22222P P1F1P2F2

下面我们考察当资本市场处于均衡而不存在无风险套利机会时，充分分散证券组合的期

望收益率与风险之间存在什么关系。

首先，具有相同值的充分分散证券组合，应有相同的期望收益率。因为，如果存在两个充分分散证券组合P和Q，它们的相同：P1=Q1

P2=Q2



值为零，从而系统风险为零，这样，投资者无需任何资本就可获得没有任何风险的套利

收入。面对这种套利机会，人人都会利用它去谋取巨额收益，大量的买、卖最终迫使证券组

合P与Q的期望收益率趋于一致。

β2 B W rf

β1

图4-5



x111x221xnn11



x112x222xnn20

得到解x1,x2,,xn 。以x1,x2,,xn为权重构成一充分分散投资组合A，则A对共同因子F1的敏感度A1

x

ii1

1，而对共同因子F2的敏感度A2xii20，从

i1

利用前面所构造的”纯因子”组合A与B,我们可以构造出一个与W有相同风险因子但期望收益率大于Erw的证券组合,以权重为xA

w1的资金投资于证券组合A,权重

xBw2的资金投资于证券组合B,权重为xf1w1w2的资金投资于无风险资产rf,

构成一投资组合D,则D的风险因子等于参与组合的A,B, rf的风险因子的加权平均:

D1xAA1xBB1xff1

=w1A1w2B1(1w1w2)f1 由于A1=1, 因此有同理可得

B1=0, f1=0

D1=w1 D2=w2

这样,投资组合D与W就具有相同的风险因子,但D的期望收益率为: ErDxAErAxBErBxfrf

=w1ErAw2ErB(1w1w2)rf

1,2分别代表了两个风险因子1,2的单位价格.

二.单个证券的双因子套利定价模型

风险,也没有非系统风险,当然,Z仍需非零的投资额.

E(rZ′ ·F E(rZ) β rf

β1 图4-6

Erirf1i12i2 (4-15)

如果影响证券收益率的共同因子不止两个,采用相同的分析方法,可以得出与两因素完全类似的均衡定价模型,具体形式如下:

Errf1122nn (4-16)

这就是一般情形的套利定价模型.其中1,2,n代表证券或证券组合的n个风险因子的值,而12,n则为各风险因子的价格.



§4 APT与CAPM和比较

一. APT与CAPM的区别

1. 模型的假定条件不同

2. 建立模型的出发点不同

4. 定价范围及精度不同

例如,如果影响证券收益率的因子只有一个,而且是市场证券组合的收益率rM,即证券收益率构成如下:

riEriirMErMei

其中

i

Covri,rM



那么由此推出的APT模型的均衡关系式为: Erirfi

对于市场组合M来讲,上式也成立,注意M=1,从而 ErMrfMrf 所以这样就有

ErirfiErMrf

这与CAPM所描述的均衡期望收益率－关系是完全一致的。

ErMrf



所以说，从某种意义上讲，ＣＡＰＭ是ＡＰＴ的一个特例。

例如，假设收益率产生于一个两因子模型，即

riErii1F1i2F2ei

根据假定的收益率生成过程可推出ＡＰＴ模型为：

Erirf1122

假设充分分散组合Ａ，Ｂ分别是“纯因子F1”组合与“纯因子F2”组合，则由于

A11,A20,eA0,B10,B21,eB0，从而有

rAErAF1 rBErBF2 由ＡＰＴ有：

ErArf1 ErBrf2 而由ＣＡＰＭ有：

ErArfAMErMrf ErBrfBMErMrf 所以有：



1AMErMrf

代入ＡＰＴ中有：

2BMErMrf

Erirfi1AMi2BMErMrf 根据ＣＡＰＭ中的定义，有：



i

Covri,rM

2M



CovErii1F1i2F2ei,rM

2M

＝

CovF1,rM





i1

CovF2,rM



i2

Covei,rM



而AM

CovrA,rM

2M

CovErAF1,rM

2M



CovF1,rM

2M

同理BM

CovF2,rM



所以ii1AMi2BM 从而ErirfiErMrf

这恰好是ＣＡＰＭ，说明ＡＰＴ与ＣＡＰＭ相通三．ＡＰＴ的检验

１．检验过程中的难点

如前所述，如果我们用多因子模型来解释证券收益率的形成过程，即：

riEri





j1n

Fjei

那么，由此得到的ＡＰＴ模型是： Erirf



jj1

2. 检验的方法

第四章Ross套利定价模型

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