第3讲 轴对称及轴对称变换
考点·方法·破译
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴. 故选D .
【变式题组】
01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）
02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上，叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）
【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC 向右平移两个单位长度得到△A ’B ’C ’，则与点B ’关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A ．（0，－1） B ．（1，1） C ．（2，－1） D ．（1，
－1）
【解法指导】在△ABC 中，点B 的坐标为（－1，1），将△ABC
向右平移两个单位长度得到△A ’B ’C ’，由点的坐标平移规律可得B ’
（－1＋2，1），即B ’（1，1）. 由关于x 轴对称的点的坐标的规
律可得点B ’关于x 轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D .
【变式题组】
01．若点P （－2，3）与点Q （a ，b ）关于x 轴对称，则a 、b 的值分别是（ ）
A ．－2，3 B ．2，3 C ．－2，－3 D ．2，－3
02．在直角坐标系中，已知点P （－3，2），点Q 是点P 关于x 轴的对称点，将点Q 向右平
移4个单位得到点R ，则点R 的坐标是___________.
03．（荆州）已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象
限，则a 的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC （∠ACB ＝90°），
沿线段CD 折叠，使点B 落在B 1处，若∠ACB 1＝70°，则∠ACD ＝
（ ）
A ．30° B ．20° C ．15° D ．10°
【解法指导】由折叠知∠BCD ＝∠B 1CD . 设∠ACD ＝x ，则∠BCD ＝∠B 1CD ＝∠ACB 1＋∠ACD ＝70°＋x . 又∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ，即x ＋（70°＋x ）＝90°，故x ＝10°. 故选D .
【变式题组】
01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ’、C ’的位置.
若∠EFB ＝65°，则∠AED ’等于（ ）
A ．70° B ．65° C ．50° D ．25°
02．如图，△ABC 中，∠A ＝30°，以BE 为边，将此三角形对折，其次，又以BA 为边，再
一次对折，C 点落在BE 上，此时∠CDB ＝82°，则原三角形中∠B ＝___________.
03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得
AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）. 小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
⑵实践与运用：
将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D ’处，折痕为EG （如图④）；再展平纸片（如图⑤）. 求图⑤中∠α的大小.
【例4】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，EF 是AD 的垂直平分线，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于点F ，求证：∠B ＝∠CAF ．
【解法指导】∵EF 是AD 的中垂线，则可得△AEF
≌△DEF ，∴∠EAF ＝∠EDF ．从而利用角平分线的定义
与三角形的外角转化即可．
证明：∵EF 是AD 的中垂线，∴AE ＝DE ，∠AEF ＝
∠DEF ，EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF ，∴∠2＋∠4＝∠3，
∴∠3＝∠B ＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B ＋∠1，∵∠1＝∠
2，∴∠B ＝∠4
【变式题组】
01．如图，点D 在△ABC 的BC 边上，且BC ＝BD ＋AD ，则点D 在__________的垂直平分线
上．
02．如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝15°，DE ⊥AC 于E ，且AE ＝EC ，若AB ＝3cm ，
则DC ＝___________cm ．
03．如图，△ABC 中，∠BAC ＝126°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG ＝
___________．
04. △ABC 中，AB ＝AC ，AB 边的垂直平分线交AC 于F ，若AB ＝12cm ，△BCF 的周长为20cm ，
则△ABC 的周长是___________cm ．
【例5】（眉山）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF ．
【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF 如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF 如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF 如图⑤⑥所示．
【变式题组】
01．（泰州）如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．
02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
⑵涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在
所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，
如图乙与图丙）
【例6】如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，若牧童从A 处出发牵牛到河岸CD 处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？
【解法指导】⑴所求问题可转化为CD 上取一点M ，使其AM
＋BM 为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．
解:先作点A 关于直线CD 的对称点A ’，连接A ’B 交CD 于点
M ，则点M 为所求，下面证明此时的AM ＋BM 最小．
证明：在CD 上任取与M 不重合的点M ’，
∵AA ’关于CD 对称，∴CD 为线段AA ’的中垂线，
∴AM ＝A ’M ，M ’＝A ’M ’, 在△A ’M ’B 中，有A ’B ＜
A ’M ’＋BM ’，
∴A ’M ＋BM ＜A ’M ’＋BM ’，∴AM ＋BM ＜AM ’＋BM ’，
即AM ＋BM 最小．
【变式题组】
01．（山西）设直线l 是一条河，P 、Q 两地相距8千米，P 、Q 两地到l 地距离分别为2千米、
5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站向P 、Q 两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
02．若点A 、B 是锐角∠MON 内两点，请在OM 、ON 上确定点C 、点D ，使四边形ABCD 周
长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．
演练巩固·反馈提高
01．（黄冈）如图，△ABC 与△A ’B ’C ’关于直线l 对称，且∠A ＝78°，∠C ’＝48°，则
∠B 的度数是（ ）．
A ．48° B ．54° C ．74° D ．78°
02．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠
AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）
A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形
03．图1是四边形纸片ABCD ，其中∠B ＝120°，∠D ＝50°，若将其右下角向内折出△PCR ，
恰使CP ∥AB ，RC ∥AD ，如图2所示，则∠C ＝（ ）
A ．80° B ．85° C ．95° D ．110°
04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于y 轴成轴对称的图形，
若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（ ）
A ．M （1，－3），N （－1，－3） B ．M （－1，－3），N （－1，3）
C ．M （－1，－3），N （1，－3） D ．M （－1，3），N （1，－3）
05．点P 关于x 轴对称的对称点P ’的坐标是（－3，5），则点P 关于y
轴对称的对称点的
坐标是（ ）
A ．（3，－5） B ．（－5，3） C ．（3，5） D ．（5，3）
06．已知M （1－a ，2a ＋2）关于y 轴对称的点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）
A ．－1＜a ＜1 B ．－1≤a ≤1 C ．a ＞1 D ．a ＞－1
07．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．
208．（贵阳）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为___________cm .
09．已知点A （2a ＋3b ，－2）和B （8，3a ＋2b ）关于x 轴对称，则a ＋b ＝___________.
10．如图，在△ABC 中，OE 、OF 分别是AB 、AC 中垂线，且∠ABO ＝20°，
∠ABC ＝45°，求∠BAC 和∠ACB 的度数．
11．如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B 是桌面上的两个球，怎样击
打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A 球经过的路线，并写出作法．
12．如图，P 为∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线的交点，PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 的延长
线于N ．求证：AN ＝MC ．
13．（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方
形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个 ，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）
培优升级·奥赛检测
01．（浙江竞赛试题）如图，直线l 1与直线l 2相交，∠α＝60°，
点P 在∠α内（不在l 1l 2上）．小明用下面的方法作P 的对称点：
先以l 1为对称轴作点P 关于l 1的对称点P 1, 再以l 2为对称轴作
P 1关于l 2的对称点P 2，然后再以l 1为对称轴作P 2关于l 1
的对称
点P 3，以l 2为对称轴作P 3关于l 2的对称点P 4，„„如此继续，得到一系列P 1、P 2、P 3„„P n 与P 重合，则n 的最小值是（ ）
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
02．在平面直角坐标系中，直线l 过点M （3，0），且平行于y 轴．
⑴如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，0），B （－1，0），C （－1，2），△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 2，写出△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标；
⑵如果点P 的坐标是（－a ，0），其中a ＞0，点P 关于y 轴的对称点是点P 1，点P 1关于直线l 的对称点是P 2，求PP 2的长．
03．（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置
连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．
04．（宜昌）已知：如图，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，
PB 分别与线段CF 、AF 相交于P 、M ．
⑴求证：AB ＝CD ；
⑵若∠BAC ＝2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关
系，并说明理由．
05．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点A 关于BC 边的对称点为A ’，点B 关于AC 边的对称点
为B ’，点C 关于AB 边的对称点为C ’，若S △ABC ＝1，求S △A ’B ’C ’．
06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”
题：如图，在作业本上画一条直线l ，在直线l 两边各放一粒围棋子A 、B ，使线段AB 长a 厘米，并关于直线l 对称，在图中P 1处有一粒跳棋子，P 1距A 点b 厘米、与直线l 的距离C 厘米，按以下程序起跳：第1次，从P 1点以A 为对称中心跳至P 2点；第2次，从P 2点以l 为对称轴跳至P 3点；第3次，从P 3点以B 为对称中心跳至P 4点；第4次，从P 4以l 为对称轴跳至P 1点；
⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）
⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a ＝8，b ＝6，c ＝3，计算这时它与A 的距离是多少？
07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）．
⑴若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝___________时，△PAB 的周长最短； ⑵若C （a ，0），D （a ＋3，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝___________时 ，四边形ABCD 的周长最短；
⑶设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝___________，n ＝___________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
第3讲 轴对称及轴对称变换
考点·方法·破译
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴. 故选D .
【变式题组】
01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）
02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上，叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）
【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC 向右平移两个单位长度得到△A ’B ’C ’，则与点B ’关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A ．（0，－1） B ．（1，1） C ．（2，－1） D ．（1，
－1）
【解法指导】在△ABC 中，点B 的坐标为（－1，1），将△ABC
向右平移两个单位长度得到△A ’B ’C ’，由点的坐标平移规律可得B ’
（－1＋2，1），即B ’（1，1）. 由关于x 轴对称的点的坐标的规
律可得点B ’关于x 轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D .
【变式题组】
01．若点P （－2，3）与点Q （a ，b ）关于x 轴对称，则a 、b 的值分别是（ ）
A ．－2，3 B ．2，3 C ．－2，－3 D ．2，－3
02．在直角坐标系中，已知点P （－3，2），点Q 是点P 关于x 轴的对称点，将点Q 向右平
移4个单位得到点R ，则点R 的坐标是___________.
03．（荆州）已知点P （a ＋1，2a －1）关于x 轴的对称点在第一象
限，则a 的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC （∠ACB ＝90°），
沿线段CD 折叠，使点B 落在B 1处，若∠ACB 1＝70°，则∠ACD ＝
（ ）
A ．30° B ．20° C ．15° D ．10°
【解法指导】由折叠知∠BCD ＝∠B 1CD . 设∠ACD ＝x ，则∠BCD ＝∠B 1CD ＝∠ACB 1＋∠ACD ＝70°＋x . 又∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ，即x ＋（70°＋x ）＝90°，故x ＝10°. 故选D .
【变式题组】
01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ’、C ’的位置.
若∠EFB ＝65°，则∠AED ’等于（ ）
A ．70° B ．65° C ．50° D ．25°
02．如图，△ABC 中，∠A ＝30°，以BE 为边，将此三角形对折，其次，又以BA 为边，再
一次对折，C 点落在BE 上，此时∠CDB ＝82°，则原三角形中∠B ＝___________.
03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得
AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）. 小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
⑵实践与运用：
将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D ’处，折痕为EG （如图④）；再展平纸片（如图⑤）. 求图⑤中∠α的大小.
【例4】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，EF 是AD 的垂直平分线，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于点F ，求证：∠B ＝∠CAF ．
【解法指导】∵EF 是AD 的中垂线，则可得△AEF
≌△DEF ，∴∠EAF ＝∠EDF ．从而利用角平分线的定义
与三角形的外角转化即可．
证明：∵EF 是AD 的中垂线，∴AE ＝DE ，∠AEF ＝
∠DEF ，EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF ，∴∠2＋∠4＝∠3，
∴∠3＝∠B ＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B ＋∠1，∵∠1＝∠
2，∴∠B ＝∠4
【变式题组】
01．如图，点D 在△ABC 的BC 边上，且BC ＝BD ＋AD ，则点D 在__________的垂直平分线
上．
02．如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝15°，DE ⊥AC 于E ，且AE ＝EC ，若AB ＝3cm ，
则DC ＝___________cm ．
03．如图，△ABC 中，∠BAC ＝126°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，则∠EAG ＝
___________．
04. △ABC 中，AB ＝AC ，AB 边的垂直平分线交AC 于F ，若AB ＝12cm ，△BCF 的周长为20cm ，
则△ABC 的周长是___________cm ．
【例5】（眉山）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF ．
【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF 如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF 如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF 如图⑤⑥所示．
【变式题组】
01．（泰州）如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC ，请你找出格点图中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．
02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
⑵涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在
所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，
如图乙与图丙）
【例6】如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，若牧童从A 处出发牵牛到河岸CD 处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？
【解法指导】⑴所求问题可转化为CD 上取一点M ，使其AM
＋BM 为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．
解:先作点A 关于直线CD 的对称点A ’，连接A ’B 交CD 于点
M ，则点M 为所求，下面证明此时的AM ＋BM 最小．
证明：在CD 上任取与M 不重合的点M ’，
∵AA ’关于CD 对称，∴CD 为线段AA ’的中垂线，
∴AM ＝A ’M ，M ’＝A ’M ’, 在△A ’M ’B 中，有A ’B ＜
A ’M ’＋BM ’，
∴A ’M ＋BM ＜A ’M ’＋BM ’，∴AM ＋BM ＜AM ’＋BM ’，
即AM ＋BM 最小．
【变式题组】
01．（山西）设直线l 是一条河，P 、Q 两地相距8千米，P 、Q 两地到l 地距离分别为2千米、
5千米，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站向P 、Q 两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
02．若点A 、B 是锐角∠MON 内两点，请在OM 、ON 上确定点C 、点D ，使四边形ABCD 周
长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．
演练巩固·反馈提高
01．（黄冈）如图，△ABC 与△A ’B ’C ’关于直线l 对称，且∠A ＝78°，∠C ’＝48°，则
∠B 的度数是（ ）．
A ．48° B ．54° C ．74° D ．78°
02．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点把平角∠
AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）
A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形
03．图1是四边形纸片ABCD ，其中∠B ＝120°，∠D ＝50°，若将其右下角向内折出△PCR ，
恰使CP ∥AB ，RC ∥AD ，如图2所示，则∠C ＝（ ）
A ．80° B ．85° C ．95° D ．110°
04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于y 轴成轴对称的图形，
若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（ ）
A ．M （1，－3），N （－1，－3） B ．M （－1，－3），N （－1，3）
C ．M （－1，－3），N （1，－3） D ．M （－1，3），N （1，－3）
05．点P 关于x 轴对称的对称点P ’的坐标是（－3，5），则点P 关于y
轴对称的对称点的
坐标是（ ）
A ．（3，－5） B ．（－5，3） C ．（3，5） D ．（5，3）
06．已知M （1－a ，2a ＋2）关于y 轴对称的点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）
A ．－1＜a ＜1 B ．－1≤a ≤1 C ．a ＞1 D ．a ＞－1
07．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．
208．（贵阳）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为___________cm .
09．已知点A （2a ＋3b ，－2）和B （8，3a ＋2b ）关于x 轴对称，则a ＋b ＝___________.
10．如图，在△ABC 中，OE 、OF 分别是AB 、AC 中垂线，且∠ABO ＝20°，
∠ABC ＝45°，求∠BAC 和∠ACB 的度数．
11．如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B 是桌面上的两个球，怎样击
打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A 球经过的路线，并写出作法．
12．如图，P 为∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线的交点，PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 的延长
线于N ．求证：AN ＝MC ．
13．（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方
形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个 ，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）
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01．（浙江竞赛试题）如图，直线l 1与直线l 2相交，∠α＝60°，
点P 在∠α内（不在l 1l 2上）．小明用下面的方法作P 的对称点：
先以l 1为对称轴作点P 关于l 1的对称点P 1, 再以l 2为对称轴作
P 1关于l 2的对称点P 2，然后再以l 1为对称轴作P 2关于l 1
的对称
点P 3，以l 2为对称轴作P 3关于l 2的对称点P 4，„„如此继续，得到一系列P 1、P 2、P 3„„P n 与P 重合，则n 的最小值是（ ）
A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
02．在平面直角坐标系中，直线l 过点M （3，0），且平行于y 轴．
⑴如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，0），B （－1，0），C （－1，2），△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1关于直线l 的对称图形是△A 2B 2C 2，写出△A 2B 2C 2的三个顶点的坐标；
⑵如果点P 的坐标是（－a ，0），其中a ＞0，点P 关于y 轴的对称点是点P 1，点P 1关于直线l 的对称点是P 2，求PP 2的长．
03．（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置
连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．
04．（宜昌）已知：如图，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，
PB 分别与线段CF 、AF 相交于P 、M ．
⑴求证：AB ＝CD ；
⑵若∠BAC ＝2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关
系，并说明理由．
05．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点A 关于BC 边的对称点为A ’，点B 关于AC 边的对称点
为B ’，点C 关于AB 边的对称点为C ’，若S △ABC ＝1，求S △A ’B ’C ’．
06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”
题：如图，在作业本上画一条直线l ，在直线l 两边各放一粒围棋子A 、B ，使线段AB 长a 厘米，并关于直线l 对称，在图中P 1处有一粒跳棋子，P 1距A 点b 厘米、与直线l 的距离C 厘米，按以下程序起跳：第1次，从P 1点以A 为对称中心跳至P 2点；第2次，从P 2点以l 为对称轴跳至P 3点；第3次，从P 3点以B 为对称中心跳至P 4点；第4次，从P 4以l 为对称轴跳至P 1点；
⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）
⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a ＝8，b ＝6，c ＝3，计算这时它与A 的距离是多少？
07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）．
⑴若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝___________时，△PAB 的周长最短； ⑵若C （a ，0），D （a ＋3，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝___________时 ，四边形ABCD 的周长最短；
⑶设M 、N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝___________，n ＝___________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．