数列极限的运算法则 1

数列极限的运算法则

(上海教育出版社高中课本数学高二第一学期7.7第二课时)

一．教学目标：

掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。

二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限

教学难点：无限个数列极限的运算

教学过程：

1. 引入：

今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线yx2、x轴以及直线x=1所围成的区域的面积S，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢?首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n个小区间，即用x轴上的分点0,123n1,,,.....,,n nnnn

分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是

122232n10,),))2)，我们来考虑这些矩形面积的总和： nnnn

1121221n121122232...(n1)2(n1)n(2n1)(n1)(2n1)Sn0()()....()33nnnnnnnn6n6n2

我们不妨考察Sn与S之间有何关系，我们尝试使n越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把Sn近似看作S了呢，n无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n无限增大时，矩形面积的总和Sn可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇？（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢？我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质：

揭示主题：数列极限的四则运算性质。

2. 概念详细讲解：

如果数列{an},{bn}极限存在，记作A，B，limanA,limbnB,那么 nn

lim(anbn)AB lim(anbn)AB limnnanA(B0) nbBn

nn 特别地，如果当bnC，C是常数时，那么lim(Can)limClimanCA。 n

我们可以发现，和的极限可以转化成极限的和，加法运算与极限运算可以交换等等，但一定要注意必须保证{an},{bn}极限存在才能运用性质。

我们来看一下limanA,limbnB,是lim(anbn)AB的什么条件？ nnn

充分条件显然，非必要条件，举反例：ann,bnn

那么如果把lim(anbn)AB换成lim(anbn)AB呢？ nn

ann,bn1

n

nnn最后注意，运算法则可以推广到有限个数列的情况，比如limanA,limbnB,limCnC,那么

lim(anbnCn)ABC，这里要注意必须要推广的话保证数列个数有限~ n

an

那么我们来用今天的运算法则证明一下昨天我们所学的g(n)f(n)型极限的计算方法，由于分子分母f(n)、g(n)为n的多项式，由于分子分母单独分离看极限都不存在，所以数列极限的运算性质不能直接利用，要想让10nn它通过变形变化成我们前面熟悉的极限，不妨考虑的类型，将分子分母同除以n的最高次幂，那么发lim

现分子分母每项的极限都存在了，这时就可以运用运算性质，直接根据系数比也可以得到这个结果，如果大家一时忘记了结论的话，可以采取分子分母同除以n的最高次幂的方法，将分子分母转化成极限存在的形式，之后再利用性质求得极限值。

3. 巩固练习，在题目中强调几点注意点，接下来我们来做几个练习：

abn4lim(3) 已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn)和limn。 nnnnnnanbn

lim(1n2n) n3

3n24n3

limn求解指数型极限时，分子、分母同时除以分子、分母各项中底数绝对值最大的项的一个最高次n43n1

n幂，使得分子、分母中能出现q（|q|

讨论无限问题：

判断43页2.

1473n2)是不是和上题相同，结果也是0呢？ nn2n2n2n2

请做44页练习。 lim(

括号内每一项虽然都有极限，但括号内有有n项，当n趋向于无穷大时，括号内的项数不是有限的，因此不能直接利用和的极限性质，而应先求出括号内n项的和，使其变成一个式子，再用性质求极限。

4. 最后我们来小结一下今天的内容：运算性质必须满足极限都存在、有限项；

数列极限的运算法则

(上海教育出版社高中课本数学高二第一学期7.7第二课时)

一．教学目标：

掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。

二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限

教学难点：无限个数列极限的运算

教学过程：

1. 引入：

今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线yx2、x轴以及直线x=1所围成的区域的面积S，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢?首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n个小区间，即用x轴上的分点0,123n1,,,.....,,n nnnn

分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是

122232n10,),))2)，我们来考虑这些矩形面积的总和： nnnn

1121221n121122232...(n1)2(n1)n(2n1)(n1)(2n1)Sn0()()....()33nnnnnnnn6n6n2

我们不妨考察Sn与S之间有何关系，我们尝试使n越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把Sn近似看作S了呢，n无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n无限增大时，矩形面积的总和Sn可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇？（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢？我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质：

揭示主题：数列极限的四则运算性质。

2. 概念详细讲解：

如果数列{an},{bn}极限存在，记作A，B，limanA,limbnB,那么 nn

lim(anbn)AB lim(anbn)AB limnnanA(B0) nbBn

nn 特别地，如果当bnC，C是常数时，那么lim(Can)limClimanCA。 n

我们可以发现，和的极限可以转化成极限的和，加法运算与极限运算可以交换等等，但一定要注意必须保证{an},{bn}极限存在才能运用性质。

我们来看一下limanA,limbnB,是lim(anbn)AB的什么条件？ nnn

充分条件显然，非必要条件，举反例：ann,bnn

那么如果把lim(anbn)AB换成lim(anbn)AB呢？ nn

ann,bn1

n

nnn最后注意，运算法则可以推广到有限个数列的情况，比如limanA,limbnB,limCnC,那么

lim(anbnCn)ABC，这里要注意必须要推广的话保证数列个数有限~ n

an

那么我们来用今天的运算法则证明一下昨天我们所学的g(n)f(n)型极限的计算方法，由于分子分母f(n)、g(n)为n的多项式，由于分子分母单独分离看极限都不存在，所以数列极限的运算性质不能直接利用，要想让10nn它通过变形变化成我们前面熟悉的极限，不妨考虑的类型，将分子分母同除以n的最高次幂，那么发lim

现分子分母每项的极限都存在了，这时就可以运用运算性质，直接根据系数比也可以得到这个结果，如果大家一时忘记了结论的话，可以采取分子分母同除以n的最高次幂的方法，将分子分母转化成极限存在的形式，之后再利用性质求得极限值。

3. 巩固练习，在题目中强调几点注意点，接下来我们来做几个练习：

abn4lim(3) 已知liman5,limbn3，求lim(3an4bn)和limn。 nnnnnnanbn

lim(1n2n) n3

3n24n3

limn求解指数型极限时，分子、分母同时除以分子、分母各项中底数绝对值最大的项的一个最高次n43n1

n幂，使得分子、分母中能出现q（|q|

讨论无限问题：

判断43页2.

1473n2)是不是和上题相同，结果也是0呢？ nn2n2n2n2

请做44页练习。 lim(

括号内每一项虽然都有极限，但括号内有有n项，当n趋向于无穷大时，括号内的项数不是有限的，因此不能直接利用和的极限性质，而应先求出括号内n项的和，使其变成一个式子，再用性质求极限。

4. 最后我们来小结一下今天的内容：运算性质必须满足极限都存在、有限项；