高等数学教案
第一章 函数、极限与与连续
本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下：
1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义, 对极限的ε-N 、ε-δ定义可在学习过程中
逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时
绪论
数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价：
恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。
华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。
张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。„„有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001. 1. 封二）
初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
本学期教学内容：第一章 函数、极限与连续
第二章 导数与微分 第三章 导数学的应用 第四章 不定积分
参考书：高等数学（同济大学应用数学系 主编第五版）《数学分析》武汉大学数学系编 电子阅览室（网络）高等数学 精品课程
学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。
第一节 函数、第二节 初等函数
1. 掌握区间、邻域的概念。
2. 了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。 3. 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
4. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。 5. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
一．邻域 U (a , δ) ⇔(a -δ, a +δ) ，以a 为中心的δ邻域
U (a , δ) ⇔(a -δ, a ) (a , a +δ) ，以a 为中心的去心δ邻域
二．函数：
定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个数集。如果对于D 中的每一个x ，按照某个对应法则f ，y 都有确定的值和它对应，那么称y 为定义在数集D 上的x 的函数，记作
y =f (x ) 。x 叫做自变量，y 叫做因变量，，数集D 叫做函数的定义域。
y 为因变量的函数也可表示为y =ϕ(x ) ，y =F (x ) ，y =y (x ) ，„„
函数的两个要素：对应法则、定义域。三．分段函数 1．y =f (x ) =
{
3+x , x ≥0,
x =0称为“分界点”。
4-5x , x
⎧1, x >0⎪
2．符号函数 y =sgn x =⎨0, x =0
⎪-1, x
3．取整函数：不超过x 的最大整数，记做：y =[x ]，如：[3.1]=3，[-3.1]=-4。
四．反函数的定义：设有函数y =f (x ), 其定义域D ，值域为W ，如果对于W 中的每一个y
值，都可以从关系式y =f (x ), 确定唯一的x 值（x ∈D ）与之对应，这样所确定的以y 为自变量的函数x =ϕ(y ) 或x =f
-1
(y ) 叫做函数y =f (x ) 的反函数，它对定义域为
W ，值域为D 。
习惯上，函数的自变量都用x 表示，所以反函数通常表示为y =f 五．函数的几种特性
1．有界性：设y =f (x ) ，定义域为D ，∀x ∈D ，∃M >0，恒有f (x ) ≤M 。则称函数在D 上有界。否则称函数在D 上无界。
例如：函数f (x ) =
-1
(x ).
1
，在[1,+∞) 内有界；在(0,1)内无界。 x
2．单调性：设y =f (x ) ，定义域为D ，∀x 1, x 2∈D ，当x 1x 2时⇒f (x 1)
3． 奇偶性：偶函数 f (-x ) =f (x ) ，
奇函数 f (-x ) =-f (x ) 。
4．周期性：周期函数 ∀x ∈D ，x +T ∈D ，f (x +T ) =f (x )
⎧1, x 为有理数
例1．狄里克莱函数y =D (x ) =⎨。狄里克莱函数是周期函数，但它没有最
0, x 为无理数⎩
小正周期。
⎧1, x >0
⎪
2．符号函数y =sgn x =⎨0, x =0
⎪-1, x
六．复合函数
定义 如果y 是u 的函数y =f (u ) ，而u 是x 的函数u =ϕ(x ) ，且ϕ(x ) 的值全部或部分地落在y =f (u ) 的定义域内，那么y 通过u 的联系也是x 发函数。称这个函数是由
y =f (u ) 及u =ϕ(x ) 复合而成的，称为复合函数，记作y =f [ϕ(x )]，其中u 叫做中间变
量。
注：设y =f (u ) 、u =ϕ(x ) ，如果u =ϕ(x ) 的值部分地落在y =f (u ) 的定义域内，则复合函数y =f [ϕ(x )]的定义域是u =ϕ(x ) 的定义域的子集；如果u =ϕ(x ) 的值全部落在
y =f (u ) 的定义域内，则复合函数y =f [ϕ(x )]的定义域与u =ϕ(x ) 的定义域相同。如果u =ϕ(x ) 的值全部落在y =f (u ) 的定义域外，则不能构成复合函数。
例3．将下列函数“分解”成“简单”的函数：
y =sin x 2，y =sin 2x ，y =arctan e x
七．基本初等函数与初等函数： 1、 常数函数 y =C (C 为常数)
2、 幂函数 y =x μ(μ为实常数) 3、 指数函数 y =a x (a >0, a ≠1, a 为常数) 4、 对数函数 y =log a x (a >0, a ≠1, a 为常数)
5、 三角函数y =sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x , y =sec x , y =csc x 6、 反三角函数：y =arcsin x , y =arccos x , y =arctan x , y =arc cot x
初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。 八．双曲函数与反双曲函数
e x -e -x e x +e -x e x -e -x
y =sh x =，y =ch x =，y =thx =x 。
22e +e -x
作业P20~21 习题 2（3）、（4）、（6）；5；7。
第四节
数列的极限
数列极限的定义
数列的定义：数列实质上是整标函数x n =f (n ) ，n ∈正整数集N
（i ）x n =
1111
：1，，，„，，„→0 n 23n
14(-1) n +1(-1) n +1
（ii ）x n =1+：2，，，„，1+，„→1
23n n
1
：要使x n -100； n
确定x n -=
要使x n -10000；
要使x n -[
1]。 ε
n -1
（iii ）x n =(-1) n -1：1，-1，1，„， (-1)
，„→不存在
数列极限描述性定义（P27）：如果当n 无限增大时，数列{x n }无限接近于一个确定的常数a ，那么a 就叫做数列{x n }的极限，或称数列{x n }收敛于a ，记作
lim x n =a 或 当n →∞时, x n →a .
n →∞
数列极限的定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在
正整数N ，只要n >N ，绝对值不等式x n -a
n →∞
∀ε>0，∃N >0，数列极限的分析（ε-N ）定义：设a ∈R ，当n >N x n -a
恒成立，则将数列{x n }以常数a 为极限，记为lim x n =a （或x n →a ，n →∞）。
n →∞
143n +(-1) n +1
例1． 证明数列2，，，，„，，„的极限是1。
234n
n +(-1) n +1n +(-1) n +111
-1==
n n n n
要
1⎡1⎤
>ε，取N=⎢⎥。 n ⎣ε⎦
n +(-1) n +1⎡1⎤
[证明]∀ε>0，∃N =⎢⎥，当n>N时，恒有-1
εn ⎣⎦
n +(-1) n +1
l i =1。 n →∞n
例2． 若x n =
s in n
，证明：lim x n =0。 2n →∞(n+1)
sin n sin n 111-0证：[分析]x n -a ==
(n +1) 2(n +1) 2(n +1) 2n +1n
只要n >
，取N=⎢⎥，再放大
ε⎣ε⎦
1
⎡1⎤
[证明]∀ε>0, ∃N =[],当n>N时，
1
ε
sin n sin n
-0
2
n -1
例3． 设q
，„的极限是0。
n -1n -1
证：[分析]令x n =q n -1，记a =0，由于q -0=q =q
n -1
，要使x n -a
要q
n -1
，只要
(n -1) ln q
ln εln ε
+1，取，只要n >
ln q ln q
⎡ln ε⎤N=⎢+1⎥。 ⎢⎥⎣ln q ⎦
⎡ln ε[证明]∀ε>0 ，∃N =⎢
⎢⎣ln q
。 q
⎤n -1
q n -1=0（当⎥+1，当n>N时，恒有q -0
⎥⎦
例4． 数列{x n } 有界，又lim y n =0，证明lim x n y n =0。
n →∞
n →∞
证： ∃M >0，对一切n 均有x n ≤M ，又 ∀ε>0，对于ε1=
n →∞
ε
M
>0，∃N >0，
当n>N时，恒有x n y n -0
收敛数列的性质
性质1（有界性）收敛数列一定有界。 注：有界数列不不一定收敛。
性质2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。 数列极限的运算法则
如果lim x n =a ，lim y n =b ，那么
n →∞
n →∞
（1）lim (x n +y n ) =lim x n +lim y n =a +b
n →∞
n →∞
n →∞
（2）lim x n ⋅y n =lim x n ⋅lim y n =a ⋅b
n →∞
n →∞
n →∞
x
（3）lim n =
n →∞y n
lim x n
n →∞
lim y n
n →∞
=
a
(b ≠0) b
特别地，如果C 为常数，那么由（2）得
lim Cx n =lim C ⋅lim x n =Ca
n →∞
n →∞
n →∞
无穷递缩等比数列的和（P30）
S =a 1+a 1q +a 1q 2+ a 1q n -1+ =
a 1
1-q
化循环小数为分数
例（P29例3）
作业P32第2题（1）、（3）、（6）、（8）；第3题（3）、（4）；第4题（2）
第五节 函数的极限
一、当x →∞时函数y =f (x ) 极限
函数极限的描述性定义：设函数f (x ) 当|x |>a 时有定义（a 为某个常数），如果当自变量x 的绝对值无限增大（记作x →∞）时，其函数值f (x ) 无限接近于某确定的常数A ，则称A 为函数f (x ) 当x →∞时的极限，记作
lim f (x ) =A 或 当x →∞时，f (x ) →A
n →∞
函数在当x →∞时（ε-X ）定义：∀ε>0，∃X >0，当|x |>X 时，f (x ) -a
x →∞
注意：x >X ⇔x >X 或x
⎧1. lim f (x ) 存在
⎪x →+∞⎪
lim f (x ) =a ⇔⎨2. lim f (x ) 存在
x →∞x →-∞
⎪
3. lim f (x ) =lim f (x ) ⎪x →-∞⎩x →+∞
二、当x →x 0时函数y =f (x ) 极限
x 2-1
引例：f (x ) =，当x ≠1时，f (x ) =x +1，x →1时，f (x ) →2
x -1
即 lim f (x ) =2
x →1
研究：f (x ) 在点x 0的某个去心邻域内有定义，当x →x 0时，f (x ) →a
定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，当0
x →x 0
∀ε>0，∃δ>0，当0
例1． 证明下列极限：（1）lim C =C ；（2）lim x =x 0；（3）lim sin x =0。
x →x 0
x →x 0
x →0
证：（1）[分析]这里f (x ) -a =C -C =0，ε>0恒成立
[证明]∀ε>0，任取一个正数δ，当0
（2）[分析]由于f (x ) -a =x -x 0
[证明]∀ε>0，∃δ=ε，当0
x →x 0
（3）[分析]由于f (x ) -a =s i n x -0=s i n x ，要使x -x 0
-ε∃δ=arcsin ε，[证明] ∀ε>0，当0
x →0
1-4x 2
=2。 例2． 证明lim 12x +1x →-
2
证：[分析]x →-
11
，x ≠-，2x +1≠0 22
1-4x 2-4x -2-(2x +1) 2
由于f (x ) -a ===2x +1
2x +12x +1
要使f (x ) -a
1
2ε1ε
取δ=
222
1-4x 21
-20，∃δ=，当0
2x +122
ε
例3． 证明lim e =1。
x →0
x
x x x
证：[分析]由于f (x ) -a =e -1，要使e -1
ln(1-ε)
[证明]∀ε>0，∃δ=min ln(1+ε) , ln(1-ε) ，当0
左极限lim f (x ) =lim -f (x ) =f (x 0-0)
x →x 0-0
x →x 0
}
右极限lim f (x ) =lim +f (x ) =f (x 0+0)
x →x 0+0
x →x 0
⎧1. 左极限存在
⎪
极限存在⇔⎨2. 右极限存在
⎪3. 左极限=右极限⎩
⎧⎪x , x >2
例4． 当x →2时，讨论f (x ) =⎨的极限
x ⎪⎩e , x
三、极限的性质
⎫
⎪n →∞
⎪
lim f (x ) ⎬具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。 x →∞
⎪
lim f (x ) ⎪x →x 0⎭lim x n
性质1．（唯一性）如果lim f (x ) 存在，则极限唯一。
x →x 0
证：反证法。
设lim f (x ) =a ，lim f (x ) =b ，且b ≠a 。
x →x 0
x →x 0
∀ε=
b -a 2b -a 2
>0，∃δ1>0，当0
b -a 2
；
∀ε=
>0，∃δ2>0，当0
b -a
。 2
取δ=min{δ1, δ2}，上面两式均成立，由
b -a =[f (x ) -a ]-[f (x ) -b ]≤f (x ) -a +f (x ) -b
b -a b -a
+=b -a 22
矛盾！
性质2．（局部有界性）：如果lim f (x ) 存在，则在点x 0的某个去心邻域内，函数f (x )
x →x 0
有界。证：令lim f (x ) =a ，由定义，∀ε>0，（对于ε=1），∃δ>0，当x ∈U (x 0, δ) ，
x →x 0
∧
f (x ) -a
推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。
性质3．（局部保号性）如果lim f (x ) =a 且a >0（或a
x →x 0
邻域内，函数f (x ) >0（或f (x )
∧a
证：不妨令a >0，取ε=，∃δ>0，当x ∈U (x 0, δ) 时，f (x ) -a
2
a a
a -ε0。
22
性质4．（函数极限与数列极限的关系）设lim f (x ) 存在，设{x n }是函数f (x ) 的定义
x →x 0
域内任一收敛于x 0的数列，且满足：x n ≠x 0（n ∈N ），那么相应的函数值数列f (x n ) 必收敛，且lim f (x n ) =lim f (x ) 。
n →∞
x →x 0
证：设lim f (x ) =A ，∀ε>0，∃δ>0，当x ∈U (x 0, δ) ，恒有f (x ) -A
x →x 0
f (x ) ∈U (A , ε) 。
由于lim x n =x 0，故知数列{x n }只有有限多项在U (x 0, δ) 之外，从而数列{f (x n ) }只
n →∞
有有限多项在U (A , ε) 之外，根据数列极限的定义得
lim f (x n ) =A =lim f (x )
n →∞
x →x 0
例1 数列{(-1)
n +1
}是发散的。为什么？
例2 证明当x →0时，sin
π
没有极限。 x
1π⎧x =→0,limsin =0⎪n n n →∞x n ⎪
证：取两个收敛于0的数列：⎨ 1π
t =→0,limsin =1⎪n n →∞t n
2n +⎪⎩2
lim f (x n ) =0⎫π⎪n →∞
，所以lim sin 不存在。 ⎬lim f (t n ) =1⎪x →0x n →∞⎭
例3 对于数列{x n }，若x 2k -1→a (k →∞) ，x 2k →a (k →∞) ，证明x n →a (n →∞)
证：∀ε>0，∃N 1>0，当2k -1>2N 1-1时，x 2k -1-a
∀ε>0，∃N 2>0，当2k >2N 2时，x 2k -a
2N 1-1, 2N 2}，当n >N 时，恒有x n -a 0，∃N =max{
lim x n =a
n →∞
作业：P38 T1（1）、92）（3）、（7）、（8）。T5。
第六节． 函数极限的运算法则 、两个重要极限
一、函数极限的四则运算法则
定理1：设lim f (x ) =A ，lim g (x ) =B 。则
（1）lim[f (x ) ±g (x )]=A ±B =lim f (x ) ±lim g (x ) ；
（2）lim[f (x ) ⋅g (x )]=A ⋅B =lim f (x ) ⋅lim g (x ) ；
（3）当b ≠0时，lim
f (x ) A lim f (x )
==。 g (x ) B lim g (x )
推论1、常数因子可以提到极限符号外面去，即
lim[Cf (x )]=C lim f (x ).
推论2如果lim f (x ) 存在，则
) lim[f (x )]k =[limf (x )]k (k 为自然数
注：上述法则对于x →∞时的情形也是成立的。 例1．求下列极限：
（1）lim
x +4
；
x →-4x 2-16
（2）lim
x →1
2x -3
x 2-5x +4
例2．求下列极限：
3x 3-4x +23x 2-4x +23x 3-4x +2
（1）lim 3；（2）lim 3；（3）lim 。
x →∞7x +x 2+3x +1x →∞7x +x 2+3x +1x →∞7x 2+3x +1
例3．设a >0，求lim
x →a
x -a
3
x -a
。
解：
x -a
(x -a ) ⋅(x -a ) 2(x -a ) ⋅(x -a ) 2
==
22x -a x -a (x -a )(x +ax +a ) (x -a ) 2
2
=
(x +ax +a )
2
→0
二、极限存在准则
准则Ⅰ 如果数列{x n }、{y n }、{z n }满足下列条件：
, ) ， （1） y n ≤x n ≤z n (n =1, 2„
（2） l i m y n =a ，lim z n =a
n →∞
n →∞
那么数列{x n }的极限存在，且lim x n =a . 。
n →∞
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。
第一个重要极限：lim
sin x
=1.
x →0x
例1 求下列极限：（1）lim
x →0
tan x 1-cos x
；（2）lim =lim 2x →0x →0x x
2sin 2
x
sin mx ；lim （3）。 2x →0sin lx x
例2 求lim
arcsin x
。
x →0x
x
⎛1⎫
第二个重要极限：lim 1+⎪=e
x →∞
⎝x ⎭
例3
求下列极限（1）lim(1+x ) ；（2）lim(1+) ；（3）lim(1-) 。
x →0
x →∞
x →∞
1
x
2x
x
3x
x
例4
⎛x +1⎫
求极限 l i m ⎪. x →∞x -1⎝⎭
x
作业：P43 T1（1）、（3）、（5）、（7）。T2（2）（4）、（6）。T （1）、（2）。
第七节、 无穷小与无穷大
一、无穷小 1、无穷小的定义
定义：以0为极限的函数（变量），称为无穷小量。
定理：在自变量同一变化过程中，函数f (x)有极限A 的充分必要条件是f (x ) =A +α(x ) ，其中α(x ) 是无穷小量。
2、无穷小的性质
性质1、有限个无穷小量之和是无穷小量； 证：（1）设lim α(x ) =0，lim β(x ) =0
x →x 0
x →x 0
∀ε>0，∃δ1>0，当0
ε
2
∀ε>0，∃δ2>0，当0
ε
2
取δ=min {δ1, δ2}, 当0
性质2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。 性质3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。
ε
2
+
ε
2
=ε
推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。 例1．求lim x sin
x →0
1。 x
二、无穷大 1、无穷大的定义
定义2、如果当x →x 0(x →∞) 时，函数f (x ) 的绝对值无限增大，那么称f (x ) 为当
x →x 0(x →∞) 时的无穷大量，简称无穷大，记为
lim f (x ) =∞(lim f (x ) =∞)
x →x 0
x →∞
定义2 ∀M >0（不论它多么大），∃δ>0，当0M ，记作 lim f (x ) =∞
x →x 0
2、无穷大与无穷小的关系
定理：在自变量的同一变化过程中，若f (x ) 是无穷大量，则
1
是无穷小量；反之，f (x )
若f (x ) 是无穷小量，且f (x ) ≠0，则
1
是无穷大量。 f (x )
三、无穷小的比较
sin x x 22x 32x 22
=1 =0，lim 2=∞，lim 2=，lim 引入lim
x →0x →02x x →0x x →03x x 3
定义：在自变量同一变化过程中，如果α，β均为无穷小量，若
1．lim
β
=0，称β是比α高阶的无穷小量，记为β=o (α) ； α
2．lim
β
=∞，称β是比α低阶的无穷小量； α
β
=C （C ≠0），称β与α是同阶无穷小量； α
3．lim
4．特别地当C=1时，即lim
β
=1，称β与α是等价无穷小量，记为β~α α
例1．lim
tan x -sin x tan x (1-cos x ) tan x 1-cos x 1
=lim =lim (⋅) =
x →0x →0x →0x 2x 3x 3x 2
lim
1-cos x 1
=，称1-cos x 是x 的二阶无穷小。 2x →02x
四、等价无穷小量的性质
性质1、
α与β是等价无穷小的充分必要条件为β=α+ (α).
性质2、设α，α，β，β是无穷小量，且α~α，β~β，如果lim
β=a ，则lim =a
α证：lim
ββ=lim ⋅⋅=1⋅lim ⋅1=lim 。 αα例2．求下列极限
(x +1) sin x ln(1+x ) e x -1sin 5x
（1）lim ；（2）lim ；（3）lim ；（4）lim ；
x →0x →0x →0x →0tan(arcsin x x x -3x )
arcsin x /x sin x 5
lim （5）lim ；（6）。 x →0sin x /x x →0sin 5x
常见的等价无穷小有：当x →0时，（1）x ~sin x ; （2）x ~tan x ;
（3）x ~arctan x ; （4）1-cos x ~
121
x ；（5）+x ~x 。 2n
作业：P51 T2（1）、（2）、（5）、（8）。T3
第八节
函数的连续性
一、函数的连续性 1、函数的改变量
定义1、如果变量u 从初值u 1变到终值u 2，那么终值与初值的差u 2-u 1叫做变量u 的改变量（或增量），记作∆u ，即 ∆u =u 2-u 1。 改变量∆u 可以是正的，也可以是负的。
给自变量x 以改变量∆x ，函数f (x ) 有相应的改变量∆y =f (x +∆x ) -f (x ) 。
2、 函数的连续性
定义2：设函数y =f (x ) 在点x 0的某一邻域内有定义，若lim f (x ) 存在，且其极限值
x →x 0
等于f (x 0) ，即lim f (x ) =f (x 0) ，称函数f (x ) 在点x 0处连续，点x 0是f (x ) 的连续点。
x →x 0
即：∀ε>0，∃δ>0，当x -x 0
记x =x 0+(x -x 0) =x 0+∆x ，∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0)
定义3：若lim ∆y =0，则称函数f (x ) 在点x 0处连续。
∆x →0
⎧1. f (x ) 在x =x 处有定义（有意义）,
⎪⎪
lim f (x ) =f (x 0) ⇔⎨2. lim f (x ) 存在, x →x 0x →x 0
⎪⎪⎩3. 极限值=函数值.
f (x ) =f (x 0) ，则称f (x ) 在x 0处左连续；若lim f (x ) =f (x 0) ，则称f (x ) 在若lim -+
x →0
x →0
x 0处右连续。
f (x ) =f (x 0) 且lim f (x ) =f (x 0) 。 函数f (x ) 在x 0处连续⇔lim -+
x →0
x →0
如果函数在开区间(a , b )内的每一点处连续，则称为开区间(a , b )内的连续函数，(a , b )称为函数的连续区间。如果函数在区间(a , b )内的每一点处连续，且在点a 处右连续，在点
b 处右连续，则称为闭区间[a , b ]上的连续函数
重要结论：基本初等函数在其定义区间内连续。
3、函数的间断点
如果函数f (x ) 在点x 0处不连续，则称x 0是f (x ) 的不连续点或间断点。
如果函数f (x ) 有下列三种情形之一：
（1）在点x 0处无定义，即f (x 0) 不存在；
（2）lim f (x ) 不存在；
x →x 0
（3）lim f (x ) 及f (x 0) 都存在，但lim f (x ) ≠f (x 0) 。
x →x 0
x →x 0
则x 0就是f (x ) 的间断点。
例1．研究下列函数在指定点的连续性： （1）y =
sin x
，点x=0； x
⎧x , 当x ≠1⎪
（2）f (x ) =⎨1；点x=1；
, 当x =1⎪⎩2
⎧x 2+1, x
（3）f (x ) =⎨0, x =0，点x=0。
⎪x -1, x >0⎩
例2．y =tan x ，点x =
π
2
。
例3．y =sin
1
，点x=0。 x
例4、证明函数f (x ) =sin x 在(-∞, +∞) 内是连续的。
证明：∀x ∈(-∞, +∞) ，当x 有增量∆x 时，对应的函数的增量为
(+∆x ) -s i n x =2s i ∆y =s i n x
∆x
) |≤1。 2
∆x ∆x c o s x (+) ， 22
注意到 |cos x (x +
得 |∆y |=|sin(x +∆x ) -sin x |≤2|sin
∆x
| 2
因为对于任意的角度α，当α≠0时有，|sin α|
0≤|∆y |=|sin(x +∆x ) -sin x |≤2|sin
∆x
|
因此，当∆x →0时，由夹逼准则得|∆y |→0. 这就证明了f (x ) =sin x 对于∀x ∈(-∞, +∞) 是连续的。 间断点的分类：
⎧⎧可去间断点，左=右≠f (x 0) 第 一类间断点（左右极限均存在）⎪⎨⎪⎩跳跃间断点，左≠右
间断点⎨
⎧无穷间断点⎪
⎨⎪第二类间断点
⎩振荡间断点⎩
二、初等函数的连续性
定理1、如果函数f (x ) 与g (x ) 在点x 0处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）也都在点x 0处连续。
定理2、如果函数u =φ(x ) 在点x =x 0处连续，且u 0=φ(x 0) ，函数y =f (u ) 在点
u =u 0处连续，那么复合函数y =f [φ(x )]在点x =x 0处连续。
定理3、一切初等函数在其定义区间都是连续的。 三、闭区间上连续函数的性质
定理4：（有界性及最大值最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上有界，且一定有最
大值和最小值。
f ∈C [a , b ]⇒∃ξ, η∈[a , b ]，使得max {f (x )}=f (ξ) ，min {f (x )}=f (η)
x ∈[a , b ]
x ∈[a , b ]
定理2 （零点定理）若函数f (x ) 在闭区间[a,b]上连续，且f (a), f (b)异号，则f (x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。
f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b )
定理3 （介值定理）设函数f (x ) 在闭区间[a,b]上连续，且f (a ) ≠f (b ) ，则对介于
f (a ) 与f (b ) 之间的任何实数μ，在区间(a,b)内至少存在一点x 0，使得f (x 0) =μ。
证明：作辅助函数F (x ) =f (x ) -μ，满足定理2的条件：在[a,b]上连续，且
F (a ) ⋅F (b ) =[f (a ) -μ]⋅[f (b ) -μ]
推论1：闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。 推论2：闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间。 切记：若不是闭区间，或不是连续函数，上述性质均不一定成立。
x
例1．证明方程x +e =0在区间(-1,1)内有唯一的根。
证：讨论函数f (x ) =x +e x ，闭区间[-1,1]。
先证明存在性；再证明唯一性——指出f (x ) =x +e x 为单调函数
例2．证明方程根。
111
++=0有分别包含于（1，2），（2，3），内的两个实x -1x -2x -3
证：由方程可知x ≠1，x ≠2，x ≠3，故原方程之同解方程为
(x -2)(x -3) +(x -1)(x -3) +(x -1)(x -2) =0
引入辅助函数F (x ) =(x -2)(x -3) +(x -1)(x -3) +(x -1)(x -2)
易知F(x)在(-∞, ∞) 上连续，故可分别在闭区间[1，2]，[2，3]上讨论之。
作业：P60 T1；T2；T3（1）、（3）；T4（2）。
第一章 习题课
一、内容小结
1、函数的定义，反函数、复合函数的定义，函数的几种特性，基本初等函数，基本初等函数。
2、数列极限的定义、性质。
f (x ) =A , lim f (x ) =A , 3、函数极限的定义：lim f (x ) =A , lim -+
s →x 0
s →x 0s →x 0
lim f (x ) =A , lim f (x ) =A , lim f (x ) =A 。
x →∞
x →=∞
x →+∞
函数极限的性质：（1）如果函数lim f (x ) =A , 则f (x ) 在点x 0的去心邻域内是有界的。
s →x 0
（2）如果lim f (x ) 存在，那么这极限是唯一的。
s →x 0
4、无穷小、无穷大：
无穷小：lim f (x ) =0；无穷大：lim f (x ) =∞；无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的关系；无穷小阶的比较。等价无穷小的性质与其在极限计算中的应用。
x
1sin x ⎛1⎫
=1. lim 1+⎪=e . lim (1+x x =e 5、极限存在准则、两个重要极限：lim
x →0x →∞x →0x ⎝x ⎭
6、函数的连续性与性质
①设函数f (x ) 在点x 0的某邻域内有定义，如果
x →x 0
lim f (x ) =f (x 0)
⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当|x -x 0|
②如果lim ∆y =lim [f (x 0+∆x ) -f (x )]=0，那么就称函数f (x ) 在点x 0处连续。
∆x →0
∆x →0
-+
左连续 f (x 0) =f (x 0) ；右连续 f (x 0) =f (x 0) 。
区间上连续函数：在区间上每一点都连续的函数称为该区间上的连续函数。
③间断点：有下列三种情形之一（1）在x 0处f (x ) 无定义；（2）在x 0有定义，但lim f (x )
x →x 0
不存在；（3）在x 0有定义，lim f (x ) 存在，但lim f (x ) ≠f (x 0) 。则函数f (x ) 在点x 0处
x →x 0
x →x 0
间断。
-+间断点分类：f (x ) 在x 0间断，f (x 0则称x 0为f (x ) 的第一类间断点，) 与f (x 0) 分别存在，
否则称为第二类间断点。 ④重要结论：基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义区间都是连续的。 ⑤闭区间上连续函数的性质
（1） 最大值、最小值及有界性定理。 （2） 零点定理 （3） 介值定理
7、 运算法则
（1） 无穷小的运算性质①有限个无穷小的和仍为无穷小；②有限个无穷小的积仍为无穷
小；③有界函数与无穷小的积为无穷小。
（2） 极限的四则运算法则。
（3） 复合函数的极限运算法则：设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u ) 与u =g (x ) 复合
lim f (u ) =A 。而成的，f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义，若lim g (x ) =u 0，
x →x 0
u →u 0
i l 且存在δ0>0当x ∈U (x 0, δ0) 时，有g (x ) ≠u 0，则lim f [g (x )]=m
x →x 0
u →u 0
f (u ) =A 。
（4） 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。
（5） 若y =f (u ) 在点u 0处连续，且g (x 0) =u 0，u =g (x ) 在点x 0连续，U (x 0) ⊂D f ⋅g ，
则复合函数y =f [g (x )]在点x 0连续，且
x →x 0
lim f [g (x )]=lim f (u ) =f (u 0) =f [g (x 0)]。
u →u 0
关于极限计算的几点说明
1． 极限的计算，首先区分谁是变量，谁是常量，同时搞清变量的变化过程；
2． 区分极限是定型的还是未定型的。定型的极限直接进行计算；未定型的极限，则要研究如何将其转化为定型的极限； 3． 未定型的极限转化为定型的极限方法，最基本的有四种：
（a ） 利用初等变形的方法：消去零因子，根式有理化，分离为无穷小，变量代换，恒等变换等进行转化。
（b ） 利用两个重要极限进行转化。 （c ） 利用等价无穷小量代换
利用洛必达法则（第三章介绍）。 例1、lim (
x →-1
13
-3) x +1x +1
x 2+ax +b
例2、若lim =3，求a ,b 的值。
x →1sin(x 2-1)
22
解：当x →1时，sin(x -1) ~x -1，且lim (x +ax +b ) =0
x →1
2
a +b +1=0, b =-(a +1)
x 2+ax +b x 2+ax -(a +1) (x -1)(x +a +1)
==
x 2-1(x -1)(x +1) (x -1)(x +1)
x 2+ax +b a +2lim ==32x ->1 x -12a =4, b =-5
例3、函数y =x cos x 在(-∞, +∞) 内是否有界？这个函数的是否为x →+∞时的无穷大？为什么？
解：函数y =x cos x 在(-∞, +∞) 内无界，但不是x →+∞时的无穷大。理由如下： 取数列 x n =2n π(n =1, 2, 3 ) ，当n →+∞时，x n →+∞，
这时 f (x n ) =2n πcos 2n π=2n π→+∞(n →+∞) ，所以这个函数无界。 取数列 t n =2n π+
π
2
(n =1, 2, 3 ) ，当n →+∞时，t n →+∞，
这时 f (t n ) =(2n π+所以这个函数不是无穷大.
π
2
) cos(2n π+
π
2
) =0→0(n →+∞) ，
t a n x -s i n x
. 3x →0x
sin x
-sin x
tan x -sin x cos x 解： lim =lim 33x →0x →0x x
例4、求极限 lim
=lim
sin x (1-cos x ) sin x 1
=lim ⋅⋅3x →0x →0x cos x x cos x
2
2sin 2
x 2
x
x ⎫⎛sin ⎪1sin x 1⎪=1. =⋅lim ⋅lim ⋅lim
2x →0x x →0cos x x →0 x ⎪2
⎪⎝2⎭
例5、设
1⎧x sin x , x >0; ⎪x 要使函数f (x ) 在内连续，应当怎样选择a ? f (x ) =⎨
⎪a +x 2x ≤0. ⎩
解：因为函数f (x ) 在(-∞, 0]与(0, +∞) 内均为初等函数，所以函数f (x ) 在(-∞, 0]与蒙古
(0, +∞) 内均为连续函数。
f (0-) =lim (a +x 2) =a , f (0+) =lim x sin --
x →0
x →0
1
=1, f (0) =a x
-+
要函数在x =0处连续，则f (0) =f (0) =f (0), ∴a =1.
故当a =1时，函数f (x ) 在x =0处连续；
从而当a =1时，函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续。
补充作业：
1、 证明：函数f (x ) =
穷大。 2、 lim
x →0
11
sin 在区间(0, 1]上无界，但不是x →0+是时的无x x
sin x -tan x
(+x -1)(+sin x -1)
2
。
高等数学教案
第一章 函数、极限与与连续
本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下：
1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义, 对极限的ε-N 、ε-δ定义可在学习过程中
逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时
绪论
数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价：
恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。
华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。
张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。„„有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001. 1. 封二）
初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
本学期教学内容：第一章 函数、极限与连续
第二章 导数与微分 第三章 导数学的应用 第四章 不定积分
参考书：高等数学（同济大学应用数学系 主编第五版）《数学分析》武汉大学数学系编 电子阅览室（网络）高等数学 精品课程
学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。
第一节 函数、第二节 初等函数
1. 掌握区间、邻域的概念。
2. 了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。 3. 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
4. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。 5. 掌握基本初等函数的性质及其图形。
一．邻域 U (a , δ) ⇔(a -δ, a +δ) ，以a 为中心的δ邻域
U (a , δ) ⇔(a -δ, a ) (a , a +δ) ，以a 为中心的去心δ邻域
二．函数：
定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个数集。如果对于D 中的每一个x ，按照某个对应法则f ，y 都有确定的值和它对应，那么称y 为定义在数集D 上的x 的函数，记作
y =f (x ) 。x 叫做自变量，y 叫做因变量，，数集D 叫做函数的定义域。
y 为因变量的函数也可表示为y =ϕ(x ) ，y =F (x ) ，y =y (x ) ，„„
函数的两个要素：对应法则、定义域。三．分段函数 1．y =f (x ) =
{
3+x , x ≥0,
x =0称为“分界点”。
4-5x , x
⎧1, x >0⎪
2．符号函数 y =sgn x =⎨0, x =0
⎪-1, x
3．取整函数：不超过x 的最大整数，记做：y =[x ]，如：[3.1]=3，[-3.1]=-4。
四．反函数的定义：设有函数y =f (x ), 其定义域D ，值域为W ，如果对于W 中的每一个y
值，都可以从关系式y =f (x ), 确定唯一的x 值（x ∈D ）与之对应，这样所确定的以y 为自变量的函数x =ϕ(y ) 或x =f
-1
(y ) 叫做函数y =f (x ) 的反函数，它对定义域为
W ，值域为D 。
习惯上，函数的自变量都用x 表示，所以反函数通常表示为y =f 五．函数的几种特性
1．有界性：设y =f (x ) ，定义域为D ，∀x ∈D ，∃M >0，恒有f (x ) ≤M 。则称函数在D 上有界。否则称函数在D 上无界。
例如：函数f (x ) =
-1
(x ).
1
，在[1,+∞) 内有界；在(0,1)内无界。 x
2．单调性：设y =f (x ) ，定义域为D ，∀x 1, x 2∈D ，当x 1x 2时⇒f (x 1)
3． 奇偶性：偶函数 f (-x ) =f (x ) ，
奇函数 f (-x ) =-f (x ) 。
4．周期性：周期函数 ∀x ∈D ，x +T ∈D ，f (x +T ) =f (x )
⎧1, x 为有理数
例1．狄里克莱函数y =D (x ) =⎨。狄里克莱函数是周期函数，但它没有最
0, x 为无理数⎩
小正周期。
⎧1, x >0
⎪
2．符号函数y =sgn x =⎨0, x =0
⎪-1, x
六．复合函数
定义 如果y 是u 的函数y =f (u ) ，而u 是x 的函数u =ϕ(x ) ，且ϕ(x ) 的值全部或部分地落在y =f (u ) 的定义域内，那么y 通过u 的联系也是x 发函数。称这个函数是由
y =f (u ) 及u =ϕ(x ) 复合而成的，称为复合函数，记作y =f [ϕ(x )]，其中u 叫做中间变
量。
注：设y =f (u ) 、u =ϕ(x ) ，如果u =ϕ(x ) 的值部分地落在y =f (u ) 的定义域内，则复合函数y =f [ϕ(x )]的定义域是u =ϕ(x ) 的定义域的子集；如果u =ϕ(x ) 的值全部落在
y =f (u ) 的定义域内，则复合函数y =f [ϕ(x )]的定义域与u =ϕ(x ) 的定义域相同。如果u =ϕ(x ) 的值全部落在y =f (u ) 的定义域外，则不能构成复合函数。
例3．将下列函数“分解”成“简单”的函数：
y =sin x 2，y =sin 2x ，y =arctan e x
七．基本初等函数与初等函数： 1、 常数函数 y =C (C 为常数)
2、 幂函数 y =x μ(μ为实常数) 3、 指数函数 y =a x (a >0, a ≠1, a 为常数) 4、 对数函数 y =log a x (a >0, a ≠1, a 为常数)
5、 三角函数y =sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x , y =sec x , y =csc x 6、 反三角函数：y =arcsin x , y =arccos x , y =arctan x , y =arc cot x
初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。 八．双曲函数与反双曲函数
e x -e -x e x +e -x e x -e -x
y =sh x =，y =ch x =，y =thx =x 。
22e +e -x
作业P20~21 习题 2（3）、（4）、（6）；5；7。
第四节
数列的极限
数列极限的定义
数列的定义：数列实质上是整标函数x n =f (n ) ，n ∈正整数集N
（i ）x n =
1111
：1，，，„，，„→0 n 23n
14(-1) n +1(-1) n +1
（ii ）x n =1+：2，，，„，1+，„→1
23n n
1
：要使x n -100； n
确定x n -=
要使x n -10000；
要使x n -[
1]。 ε
n -1
（iii ）x n =(-1) n -1：1，-1，1，„， (-1)
，„→不存在
数列极限描述性定义（P27）：如果当n 无限增大时，数列{x n }无限接近于一个确定的常数a ，那么a 就叫做数列{x n }的极限，或称数列{x n }收敛于a ，记作
lim x n =a 或 当n →∞时, x n →a .
n →∞
数列极限的定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在
正整数N ，只要n >N ，绝对值不等式x n -a
n →∞
∀ε>0，∃N >0，数列极限的分析（ε-N ）定义：设a ∈R ，当n >N x n -a
恒成立，则将数列{x n }以常数a 为极限，记为lim x n =a （或x n →a ，n →∞）。
n →∞
143n +(-1) n +1
例1． 证明数列2，，，，„，，„的极限是1。
234n
n +(-1) n +1n +(-1) n +111
-1==
n n n n
要
1⎡1⎤
>ε，取N=⎢⎥。 n ⎣ε⎦
n +(-1) n +1⎡1⎤
[证明]∀ε>0，∃N =⎢⎥，当n>N时，恒有-1
εn ⎣⎦
n +(-1) n +1
l i =1。 n →∞n
例2． 若x n =
s in n
，证明：lim x n =0。 2n →∞(n+1)
sin n sin n 111-0证：[分析]x n -a ==
(n +1) 2(n +1) 2(n +1) 2n +1n
只要n >
，取N=⎢⎥，再放大
ε⎣ε⎦
1
⎡1⎤
[证明]∀ε>0, ∃N =[],当n>N时，
1
ε
sin n sin n
-0
2
n -1
例3． 设q
，„的极限是0。
n -1n -1
证：[分析]令x n =q n -1，记a =0，由于q -0=q =q
n -1
，要使x n -a
要q
n -1
，只要
(n -1) ln q
ln εln ε
+1，取，只要n >
ln q ln q
⎡ln ε⎤N=⎢+1⎥。 ⎢⎥⎣ln q ⎦
⎡ln ε[证明]∀ε>0 ，∃N =⎢
⎢⎣ln q
。 q
⎤n -1
q n -1=0（当⎥+1，当n>N时，恒有q -0
⎥⎦
例4． 数列{x n } 有界，又lim y n =0，证明lim x n y n =0。
n →∞
n →∞
证： ∃M >0，对一切n 均有x n ≤M ，又 ∀ε>0，对于ε1=
n →∞
ε
M
>0，∃N >0，
当n>N时，恒有x n y n -0
收敛数列的性质
性质1（有界性）收敛数列一定有界。 注：有界数列不不一定收敛。
性质2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。 数列极限的运算法则
如果lim x n =a ，lim y n =b ，那么
n →∞
n →∞
（1）lim (x n +y n ) =lim x n +lim y n =a +b
n →∞
n →∞
n →∞
（2）lim x n ⋅y n =lim x n ⋅lim y n =a ⋅b
n →∞
n →∞
n →∞
x
（3）lim n =
n →∞y n
lim x n
n →∞
lim y n
n →∞
=
a
(b ≠0) b
特别地，如果C 为常数，那么由（2）得
lim Cx n =lim C ⋅lim x n =Ca
n →∞
n →∞
n →∞
无穷递缩等比数列的和（P30）
S =a 1+a 1q +a 1q 2+ a 1q n -1+ =
a 1
1-q
化循环小数为分数
例（P29例3）
作业P32第2题（1）、（3）、（6）、（8）；第3题（3）、（4）；第4题（2）
第五节 函数的极限
一、当x →∞时函数y =f (x ) 极限
函数极限的描述性定义：设函数f (x ) 当|x |>a 时有定义（a 为某个常数），如果当自变量x 的绝对值无限增大（记作x →∞）时，其函数值f (x ) 无限接近于某确定的常数A ，则称A 为函数f (x ) 当x →∞时的极限，记作
lim f (x ) =A 或 当x →∞时，f (x ) →A
n →∞
函数在当x →∞时（ε-X ）定义：∀ε>0，∃X >0，当|x |>X 时，f (x ) -a
x →∞
注意：x >X ⇔x >X 或x
⎧1. lim f (x ) 存在
⎪x →+∞⎪
lim f (x ) =a ⇔⎨2. lim f (x ) 存在
x →∞x →-∞
⎪
3. lim f (x ) =lim f (x ) ⎪x →-∞⎩x →+∞
二、当x →x 0时函数y =f (x ) 极限
x 2-1
引例：f (x ) =，当x ≠1时，f (x ) =x +1，x →1时，f (x ) →2
x -1
即 lim f (x ) =2
x →1
研究：f (x ) 在点x 0的某个去心邻域内有定义，当x →x 0时，f (x ) →a
定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，当0
x →x 0
∀ε>0，∃δ>0，当0
例1． 证明下列极限：（1）lim C =C ；（2）lim x =x 0；（3）lim sin x =0。
x →x 0
x →x 0
x →0
证：（1）[分析]这里f (x ) -a =C -C =0，ε>0恒成立
[证明]∀ε>0，任取一个正数δ，当0
（2）[分析]由于f (x ) -a =x -x 0
[证明]∀ε>0，∃δ=ε，当0
x →x 0
（3）[分析]由于f (x ) -a =s i n x -0=s i n x ，要使x -x 0
-ε∃δ=arcsin ε，[证明] ∀ε>0，当0
x →0
1-4x 2
=2。 例2． 证明lim 12x +1x →-
2
证：[分析]x →-
11
，x ≠-，2x +1≠0 22
1-4x 2-4x -2-(2x +1) 2
由于f (x ) -a ===2x +1
2x +12x +1
要使f (x ) -a
1
2ε1ε
取δ=
222
1-4x 21
-20，∃δ=，当0
2x +122
ε
例3． 证明lim e =1。
x →0
x
x x x
证：[分析]由于f (x ) -a =e -1，要使e -1
ln(1-ε)
[证明]∀ε>0，∃δ=min ln(1+ε) , ln(1-ε) ，当0
左极限lim f (x ) =lim -f (x ) =f (x 0-0)
x →x 0-0
x →x 0
}
右极限lim f (x ) =lim +f (x ) =f (x 0+0)
x →x 0+0
x →x 0
⎧1. 左极限存在
⎪
极限存在⇔⎨2. 右极限存在
⎪3. 左极限=右极限⎩
⎧⎪x , x >2
例4． 当x →2时，讨论f (x ) =⎨的极限
x ⎪⎩e , x
三、极限的性质
⎫
⎪n →∞
⎪
lim f (x ) ⎬具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。 x →∞
⎪
lim f (x ) ⎪x →x 0⎭lim x n
性质1．（唯一性）如果lim f (x ) 存在，则极限唯一。
x →x 0
证：反证法。
设lim f (x ) =a ，lim f (x ) =b ，且b ≠a 。
x →x 0
x →x 0
∀ε=
b -a 2b -a 2
>0，∃δ1>0，当0
b -a 2
；
∀ε=
>0，∃δ2>0，当0
b -a
。 2
取δ=min{δ1, δ2}，上面两式均成立，由
b -a =[f (x ) -a ]-[f (x ) -b ]≤f (x ) -a +f (x ) -b
b -a b -a
+=b -a 22
矛盾！
性质2．（局部有界性）：如果lim f (x ) 存在，则在点x 0的某个去心邻域内，函数f (x )
x →x 0
有界。证：令lim f (x ) =a ，由定义，∀ε>0，（对于ε=1），∃δ>0，当x ∈U (x 0, δ) ，
x →x 0
∧
f (x ) -a
推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。
性质3．（局部保号性）如果lim f (x ) =a 且a >0（或a
x →x 0
邻域内，函数f (x ) >0（或f (x )
∧a
证：不妨令a >0，取ε=，∃δ>0，当x ∈U (x 0, δ) 时，f (x ) -a
2
a a
a -ε0。
22
性质4．（函数极限与数列极限的关系）设lim f (x ) 存在，设{x n }是函数f (x ) 的定义
x →x 0
域内任一收敛于x 0的数列，且满足：x n ≠x 0（n ∈N ），那么相应的函数值数列f (x n ) 必收敛，且lim f (x n ) =lim f (x ) 。
n →∞
x →x 0
证：设lim f (x ) =A ，∀ε>0，∃δ>0，当x ∈U (x 0, δ) ，恒有f (x ) -A
x →x 0
f (x ) ∈U (A , ε) 。
由于lim x n =x 0，故知数列{x n }只有有限多项在U (x 0, δ) 之外，从而数列{f (x n ) }只
n →∞
有有限多项在U (A , ε) 之外，根据数列极限的定义得
lim f (x n ) =A =lim f (x )
n →∞
x →x 0
例1 数列{(-1)
n +1
}是发散的。为什么？
例2 证明当x →0时，sin
π
没有极限。 x
1π⎧x =→0,limsin =0⎪n n n →∞x n ⎪
证：取两个收敛于0的数列：⎨ 1π
t =→0,limsin =1⎪n n →∞t n
2n +⎪⎩2
lim f (x n ) =0⎫π⎪n →∞
，所以lim sin 不存在。 ⎬lim f (t n ) =1⎪x →0x n →∞⎭
例3 对于数列{x n }，若x 2k -1→a (k →∞) ，x 2k →a (k →∞) ，证明x n →a (n →∞)
证：∀ε>0，∃N 1>0，当2k -1>2N 1-1时，x 2k -1-a
∀ε>0，∃N 2>0，当2k >2N 2时，x 2k -a
2N 1-1, 2N 2}，当n >N 时，恒有x n -a 0，∃N =max{
lim x n =a
n →∞
作业：P38 T1（1）、92）（3）、（7）、（8）。T5。
第六节． 函数极限的运算法则 、两个重要极限
一、函数极限的四则运算法则
定理1：设lim f (x ) =A ，lim g (x ) =B 。则
（1）lim[f (x ) ±g (x )]=A ±B =lim f (x ) ±lim g (x ) ；
（2）lim[f (x ) ⋅g (x )]=A ⋅B =lim f (x ) ⋅lim g (x ) ；
（3）当b ≠0时，lim
f (x ) A lim f (x )
==。 g (x ) B lim g (x )
推论1、常数因子可以提到极限符号外面去，即
lim[Cf (x )]=C lim f (x ).
推论2如果lim f (x ) 存在，则
) lim[f (x )]k =[limf (x )]k (k 为自然数
注：上述法则对于x →∞时的情形也是成立的。 例1．求下列极限：
（1）lim
x +4
；
x →-4x 2-16
（2）lim
x →1
2x -3
x 2-5x +4
例2．求下列极限：
3x 3-4x +23x 2-4x +23x 3-4x +2
（1）lim 3；（2）lim 3；（3）lim 。
x →∞7x +x 2+3x +1x →∞7x +x 2+3x +1x →∞7x 2+3x +1
例3．设a >0，求lim
x →a
x -a
3
x -a
。
解：
x -a
(x -a ) ⋅(x -a ) 2(x -a ) ⋅(x -a ) 2
==
22x -a x -a (x -a )(x +ax +a ) (x -a ) 2
2
=
(x +ax +a )
2
→0
二、极限存在准则
准则Ⅰ 如果数列{x n }、{y n }、{z n }满足下列条件：
, ) ， （1） y n ≤x n ≤z n (n =1, 2„
（2） l i m y n =a ，lim z n =a
n →∞
n →∞
那么数列{x n }的极限存在，且lim x n =a . 。
n →∞
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。
第一个重要极限：lim
sin x
=1.
x →0x
例1 求下列极限：（1）lim
x →0
tan x 1-cos x
；（2）lim =lim 2x →0x →0x x
2sin 2
x
sin mx ；lim （3）。 2x →0sin lx x
例2 求lim
arcsin x
。
x →0x
x
⎛1⎫
第二个重要极限：lim 1+⎪=e
x →∞
⎝x ⎭
例3
求下列极限（1）lim(1+x ) ；（2）lim(1+) ；（3）lim(1-) 。
x →0
x →∞
x →∞
1
x
2x
x
3x
x
例4
⎛x +1⎫
求极限 l i m ⎪. x →∞x -1⎝⎭
x
作业：P43 T1（1）、（3）、（5）、（7）。T2（2）（4）、（6）。T （1）、（2）。
第七节、 无穷小与无穷大
一、无穷小 1、无穷小的定义
定义：以0为极限的函数（变量），称为无穷小量。
定理：在自变量同一变化过程中，函数f (x)有极限A 的充分必要条件是f (x ) =A +α(x ) ，其中α(x ) 是无穷小量。
2、无穷小的性质
性质1、有限个无穷小量之和是无穷小量； 证：（1）设lim α(x ) =0，lim β(x ) =0
x →x 0
x →x 0
∀ε>0，∃δ1>0，当0
ε
2
∀ε>0，∃δ2>0，当0
ε
2
取δ=min {δ1, δ2}, 当0
性质2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。 性质3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。
ε
2
+
ε
2
=ε
推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。 例1．求lim x sin
x →0
1。 x
二、无穷大 1、无穷大的定义
定义2、如果当x →x 0(x →∞) 时，函数f (x ) 的绝对值无限增大，那么称f (x ) 为当
x →x 0(x →∞) 时的无穷大量，简称无穷大，记为
lim f (x ) =∞(lim f (x ) =∞)
x →x 0
x →∞
定义2 ∀M >0（不论它多么大），∃δ>0，当0M ，记作 lim f (x ) =∞
x →x 0
2、无穷大与无穷小的关系
定理：在自变量的同一变化过程中，若f (x ) 是无穷大量，则
1
是无穷小量；反之，f (x )
若f (x ) 是无穷小量，且f (x ) ≠0，则
1
是无穷大量。 f (x )
三、无穷小的比较
sin x x 22x 32x 22
=1 =0，lim 2=∞，lim 2=，lim 引入lim
x →0x →02x x →0x x →03x x 3
定义：在自变量同一变化过程中，如果α，β均为无穷小量，若
1．lim
β
=0，称β是比α高阶的无穷小量，记为β=o (α) ； α
2．lim
β
=∞，称β是比α低阶的无穷小量； α
β
=C （C ≠0），称β与α是同阶无穷小量； α
3．lim
4．特别地当C=1时，即lim
β
=1，称β与α是等价无穷小量，记为β~α α
例1．lim
tan x -sin x tan x (1-cos x ) tan x 1-cos x 1
=lim =lim (⋅) =
x →0x →0x →0x 2x 3x 3x 2
lim
1-cos x 1
=，称1-cos x 是x 的二阶无穷小。 2x →02x
四、等价无穷小量的性质
性质1、
α与β是等价无穷小的充分必要条件为β=α+ (α).
性质2、设α，α，β，β是无穷小量，且α~α，β~β，如果lim
β=a ，则lim =a
α证：lim
ββ=lim ⋅⋅=1⋅lim ⋅1=lim 。 αα例2．求下列极限
(x +1) sin x ln(1+x ) e x -1sin 5x
（1）lim ；（2）lim ；（3）lim ；（4）lim ；
x →0x →0x →0x →0tan(arcsin x x x -3x )
arcsin x /x sin x 5
lim （5）lim ；（6）。 x →0sin x /x x →0sin 5x
常见的等价无穷小有：当x →0时，（1）x ~sin x ; （2）x ~tan x ;
（3）x ~arctan x ; （4）1-cos x ~
121
x ；（5）+x ~x 。 2n
作业：P51 T2（1）、（2）、（5）、（8）。T3
第八节
函数的连续性
一、函数的连续性 1、函数的改变量
定义1、如果变量u 从初值u 1变到终值u 2，那么终值与初值的差u 2-u 1叫做变量u 的改变量（或增量），记作∆u ，即 ∆u =u 2-u 1。 改变量∆u 可以是正的，也可以是负的。
给自变量x 以改变量∆x ，函数f (x ) 有相应的改变量∆y =f (x +∆x ) -f (x ) 。
2、 函数的连续性
定义2：设函数y =f (x ) 在点x 0的某一邻域内有定义，若lim f (x ) 存在，且其极限值
x →x 0
等于f (x 0) ，即lim f (x ) =f (x 0) ，称函数f (x ) 在点x 0处连续，点x 0是f (x ) 的连续点。
x →x 0
即：∀ε>0，∃δ>0，当x -x 0
记x =x 0+(x -x 0) =x 0+∆x ，∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0)
定义3：若lim ∆y =0，则称函数f (x ) 在点x 0处连续。
∆x →0
⎧1. f (x ) 在x =x 处有定义（有意义）,
⎪⎪
lim f (x ) =f (x 0) ⇔⎨2. lim f (x ) 存在, x →x 0x →x 0
⎪⎪⎩3. 极限值=函数值.
f (x ) =f (x 0) ，则称f (x ) 在x 0处左连续；若lim f (x ) =f (x 0) ，则称f (x ) 在若lim -+
x →0
x →0
x 0处右连续。
f (x ) =f (x 0) 且lim f (x ) =f (x 0) 。 函数f (x ) 在x 0处连续⇔lim -+
x →0
x →0
如果函数在开区间(a , b )内的每一点处连续，则称为开区间(a , b )内的连续函数，(a , b )称为函数的连续区间。如果函数在区间(a , b )内的每一点处连续，且在点a 处右连续，在点
b 处右连续，则称为闭区间[a , b ]上的连续函数
重要结论：基本初等函数在其定义区间内连续。
3、函数的间断点
如果函数f (x ) 在点x 0处不连续，则称x 0是f (x ) 的不连续点或间断点。
如果函数f (x ) 有下列三种情形之一：
（1）在点x 0处无定义，即f (x 0) 不存在；
（2）lim f (x ) 不存在；
x →x 0
（3）lim f (x ) 及f (x 0) 都存在，但lim f (x ) ≠f (x 0) 。
x →x 0
x →x 0
则x 0就是f (x ) 的间断点。
例1．研究下列函数在指定点的连续性： （1）y =
sin x
，点x=0； x
⎧x , 当x ≠1⎪
（2）f (x ) =⎨1；点x=1；
, 当x =1⎪⎩2
⎧x 2+1, x
（3）f (x ) =⎨0, x =0，点x=0。
⎪x -1, x >0⎩
例2．y =tan x ，点x =
π
2
。
例3．y =sin
1
，点x=0。 x
例4、证明函数f (x ) =sin x 在(-∞, +∞) 内是连续的。
证明：∀x ∈(-∞, +∞) ，当x 有增量∆x 时，对应的函数的增量为
(+∆x ) -s i n x =2s i ∆y =s i n x
∆x
) |≤1。 2
∆x ∆x c o s x (+) ， 22
注意到 |cos x (x +
得 |∆y |=|sin(x +∆x ) -sin x |≤2|sin
∆x
| 2
因为对于任意的角度α，当α≠0时有，|sin α|
0≤|∆y |=|sin(x +∆x ) -sin x |≤2|sin
∆x
|
因此，当∆x →0时，由夹逼准则得|∆y |→0. 这就证明了f (x ) =sin x 对于∀x ∈(-∞, +∞) 是连续的。 间断点的分类：
⎧⎧可去间断点，左=右≠f (x 0) 第 一类间断点（左右极限均存在）⎪⎨⎪⎩跳跃间断点，左≠右
间断点⎨
⎧无穷间断点⎪
⎨⎪第二类间断点
⎩振荡间断点⎩
二、初等函数的连续性
定理1、如果函数f (x ) 与g (x ) 在点x 0处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）也都在点x 0处连续。
定理2、如果函数u =φ(x ) 在点x =x 0处连续，且u 0=φ(x 0) ，函数y =f (u ) 在点
u =u 0处连续，那么复合函数y =f [φ(x )]在点x =x 0处连续。
定理3、一切初等函数在其定义区间都是连续的。 三、闭区间上连续函数的性质
定理4：（有界性及最大值最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上有界，且一定有最
大值和最小值。
f ∈C [a , b ]⇒∃ξ, η∈[a , b ]，使得max {f (x )}=f (ξ) ，min {f (x )}=f (η)
x ∈[a , b ]
x ∈[a , b ]
定理2 （零点定理）若函数f (x ) 在闭区间[a,b]上连续，且f (a), f (b)异号，则f (x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。
f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) ⋅f (b )
定理3 （介值定理）设函数f (x ) 在闭区间[a,b]上连续，且f (a ) ≠f (b ) ，则对介于
f (a ) 与f (b ) 之间的任何实数μ，在区间(a,b)内至少存在一点x 0，使得f (x 0) =μ。
证明：作辅助函数F (x ) =f (x ) -μ，满足定理2的条件：在[a,b]上连续，且
F (a ) ⋅F (b ) =[f (a ) -μ]⋅[f (b ) -μ]
推论1：闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。 推论2：闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间。 切记：若不是闭区间，或不是连续函数，上述性质均不一定成立。
x
例1．证明方程x +e =0在区间(-1,1)内有唯一的根。
证：讨论函数f (x ) =x +e x ，闭区间[-1,1]。
先证明存在性；再证明唯一性——指出f (x ) =x +e x 为单调函数
例2．证明方程根。
111
++=0有分别包含于（1，2），（2，3），内的两个实x -1x -2x -3
证：由方程可知x ≠1，x ≠2，x ≠3，故原方程之同解方程为
(x -2)(x -3) +(x -1)(x -3) +(x -1)(x -2) =0
引入辅助函数F (x ) =(x -2)(x -3) +(x -1)(x -3) +(x -1)(x -2)
易知F(x)在(-∞, ∞) 上连续，故可分别在闭区间[1，2]，[2，3]上讨论之。
作业：P60 T1；T2；T3（1）、（3）；T4（2）。
第一章 习题课
一、内容小结
1、函数的定义，反函数、复合函数的定义，函数的几种特性，基本初等函数，基本初等函数。
2、数列极限的定义、性质。
f (x ) =A , lim f (x ) =A , 3、函数极限的定义：lim f (x ) =A , lim -+
s →x 0
s →x 0s →x 0
lim f (x ) =A , lim f (x ) =A , lim f (x ) =A 。
x →∞
x →=∞
x →+∞
函数极限的性质：（1）如果函数lim f (x ) =A , 则f (x ) 在点x 0的去心邻域内是有界的。
s →x 0
（2）如果lim f (x ) 存在，那么这极限是唯一的。
s →x 0
4、无穷小、无穷大：
无穷小：lim f (x ) =0；无穷大：lim f (x ) =∞；无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的关系；无穷小阶的比较。等价无穷小的性质与其在极限计算中的应用。
x
1sin x ⎛1⎫
=1. lim 1+⎪=e . lim (1+x x =e 5、极限存在准则、两个重要极限：lim
x →0x →∞x →0x ⎝x ⎭
6、函数的连续性与性质
①设函数f (x ) 在点x 0的某邻域内有定义，如果
x →x 0
lim f (x ) =f (x 0)
⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当|x -x 0|
②如果lim ∆y =lim [f (x 0+∆x ) -f (x )]=0，那么就称函数f (x ) 在点x 0处连续。
∆x →0
∆x →0
-+
左连续 f (x 0) =f (x 0) ；右连续 f (x 0) =f (x 0) 。
区间上连续函数：在区间上每一点都连续的函数称为该区间上的连续函数。
③间断点：有下列三种情形之一（1）在x 0处f (x ) 无定义；（2）在x 0有定义，但lim f (x )
x →x 0
不存在；（3）在x 0有定义，lim f (x ) 存在，但lim f (x ) ≠f (x 0) 。则函数f (x ) 在点x 0处
x →x 0
x →x 0
间断。
-+间断点分类：f (x ) 在x 0间断，f (x 0则称x 0为f (x ) 的第一类间断点，) 与f (x 0) 分别存在，
否则称为第二类间断点。 ④重要结论：基本初等函数在其定义域内是连续的。一切初等函数在其定义区间都是连续的。 ⑤闭区间上连续函数的性质
（1） 最大值、最小值及有界性定理。 （2） 零点定理 （3） 介值定理
7、 运算法则
（1） 无穷小的运算性质①有限个无穷小的和仍为无穷小；②有限个无穷小的积仍为无穷
小；③有界函数与无穷小的积为无穷小。
（2） 极限的四则运算法则。
（3） 复合函数的极限运算法则：设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u ) 与u =g (x ) 复合
lim f (u ) =A 。而成的，f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义，若lim g (x ) =u 0，
x →x 0
u →u 0
i l 且存在δ0>0当x ∈U (x 0, δ0) 时，有g (x ) ≠u 0，则lim f [g (x )]=m
x →x 0
u →u 0
f (u ) =A 。
（4） 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。
（5） 若y =f (u ) 在点u 0处连续，且g (x 0) =u 0，u =g (x ) 在点x 0连续，U (x 0) ⊂D f ⋅g ，
则复合函数y =f [g (x )]在点x 0连续，且
x →x 0
lim f [g (x )]=lim f (u ) =f (u 0) =f [g (x 0)]。
u →u 0
关于极限计算的几点说明
1． 极限的计算，首先区分谁是变量，谁是常量，同时搞清变量的变化过程；
2． 区分极限是定型的还是未定型的。定型的极限直接进行计算；未定型的极限，则要研究如何将其转化为定型的极限； 3． 未定型的极限转化为定型的极限方法，最基本的有四种：
（a ） 利用初等变形的方法：消去零因子，根式有理化，分离为无穷小，变量代换，恒等变换等进行转化。
（b ） 利用两个重要极限进行转化。 （c ） 利用等价无穷小量代换
利用洛必达法则（第三章介绍）。 例1、lim (
x →-1
13
-3) x +1x +1
x 2+ax +b
例2、若lim =3，求a ,b 的值。
x →1sin(x 2-1)
22
解：当x →1时，sin(x -1) ~x -1，且lim (x +ax +b ) =0
x →1
2
a +b +1=0, b =-(a +1)
x 2+ax +b x 2+ax -(a +1) (x -1)(x +a +1)
==
x 2-1(x -1)(x +1) (x -1)(x +1)
x 2+ax +b a +2lim ==32x ->1 x -12a =4, b =-5
例3、函数y =x cos x 在(-∞, +∞) 内是否有界？这个函数的是否为x →+∞时的无穷大？为什么？
解：函数y =x cos x 在(-∞, +∞) 内无界，但不是x →+∞时的无穷大。理由如下： 取数列 x n =2n π(n =1, 2, 3 ) ，当n →+∞时，x n →+∞，
这时 f (x n ) =2n πcos 2n π=2n π→+∞(n →+∞) ，所以这个函数无界。 取数列 t n =2n π+
π
2
(n =1, 2, 3 ) ，当n →+∞时，t n →+∞，
这时 f (t n ) =(2n π+所以这个函数不是无穷大.
π
2
) cos(2n π+
π
2
) =0→0(n →+∞) ，
t a n x -s i n x
. 3x →0x
sin x
-sin x
tan x -sin x cos x 解： lim =lim 33x →0x →0x x
例4、求极限 lim
=lim
sin x (1-cos x ) sin x 1
=lim ⋅⋅3x →0x →0x cos x x cos x
2
2sin 2
x 2
x
x ⎫⎛sin ⎪1sin x 1⎪=1. =⋅lim ⋅lim ⋅lim
2x →0x x →0cos x x →0 x ⎪2
⎪⎝2⎭
例5、设
1⎧x sin x , x >0; ⎪x 要使函数f (x ) 在内连续，应当怎样选择a ? f (x ) =⎨
⎪a +x 2x ≤0. ⎩
解：因为函数f (x ) 在(-∞, 0]与(0, +∞) 内均为初等函数，所以函数f (x ) 在(-∞, 0]与蒙古
(0, +∞) 内均为连续函数。
f (0-) =lim (a +x 2) =a , f (0+) =lim x sin --
x →0
x →0
1
=1, f (0) =a x
-+
要函数在x =0处连续，则f (0) =f (0) =f (0), ∴a =1.
故当a =1时，函数f (x ) 在x =0处连续；
从而当a =1时，函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续。
补充作业：
1、 证明：函数f (x ) =
穷大。 2、 lim
x →0
11
sin 在区间(0, 1]上无界，但不是x →0+是时的无x x
sin x -tan x
(+x -1)(+sin x -1)
2
。