ol.35 No.12
第3自然科学版)5卷第12期 西南大学学报( 2013年12月
)JournalofSouthwestUniversitNaturalScienceEditiony(
Dec. 2013
()文章编号:[***********]04
关于带簇的真子簇格的注记
西南大学数学与统计学院,重庆400715
①
燕 翔, 刘国新
摘要:通过3个引理验证了带簇的真子簇格的11种情形都具有分配性,再根据带簇的真子簇格的左右对称性以及上下重复性得到了带簇的真子簇格是一分配格.关 键 词:带簇;真子簇格;分配格中图分类号:O152.7
文献标志码:A
称集合X上的二元关系≤是一偏序,若
(1°)∀x∈X,x≤x;
(2°)∀x,x≤y,y∈X,y≤x⇒x=y;
此时称X关于偏序≤构成一偏序集,记作(X,≤).若X中任意两元素都有上(下)确界,则称偏序集(是上(下)半格.若(既是上半格也是X,≤)X,≤)下半格,则称(X,≤)是格.若对任意的x,z∈L,有y,
(3°)∀x,z∈X,x≤y,y,y≤z⇒x≤z.
x∧(x∧y)∨(x∧z)=(y∨z)
]给出了带簇的真子簇格图.文中未说明的术语和符号请参见文献[]则称格L是分配格.文献[11-3.引理1 令L是格.若x,z∈L,y,y≥z,则
x∧(x∧y)∨(x∧z)=(y∨z)
证 若y≥z,我们有则
(x∧y)≥(x∧z)⇒(x∧y)∨(x∧z)x∧y)=y,(=(y∨z)
x∧(x∧y)∨(x∧z)=x∧y=(y∨z)
引理2 令L是格.若x,z∈L,x≤y,则y, 证 若x≤y,我们有而则
x∧(x∧y)∨(x∧z)=(y∨z)x≤(⇒x∧(=xy∨z)y∨z)
(x∧y)∨(x∧z)x∧z)=x∨(=x
①
收稿日期:20120608
)基金项目:国家自然科学基金资助项目(10871161,11101336.
,男,安徽亳州人,硕士研究生,主要从事半群理论的研究.作者简介:燕 翔(1987)
2 httxbbb.swu.cn 35pj
x∧(x∧y)∨(x∧z)=x=(y∨z)
引理3 令L是格.x,z∈L.若x≥y,x≥z,则y,
x∧(x∧y)∨(x∧z)=(y∨z)
,则x∧( 证 若x≥y,x≥z,则x≥(.而=(y∨z)y∨z)y∨z)则
(x∧y)x∧z)z=y (=
x∧(x∧y)∨(x∧z)=y∨z=(y∨z)
定理1 带簇的真子簇格L是分配格. 证 要证明格L是分配格只需说明:
췍L中任意y,
z∈3个不可比元素满足分配性;
췍x,L中仅有一对元素可比,不妨设x>y.由引理y∧(x∨z)=(y∧x1、引理2知z∧因此只需验证下式成立:
(x∨y)=(
z∧x))∨∨((y∧zz∧y)
)x∧(y∨z=x∧y由文献[)∨(图1所示1].
可知,带簇的真子簇格图是向上无限延伸的)
(,如x∧z)为了计算的方便,我们用小写英文字母表示我们熟知
的带簇.由引理我们只需考虑以下情形的分配性1、引理2、引理:
3知,要证明L是分配格,情形由于图1 3个元素都不可比的元素组.
需考虑其中一种1是左右对称的,因此对于对称的情况,我们只
不可比的)和(je)的分配性相同3个元素的分配性,例如(h.又因为图1中上下的重复性,f,,
例如(h需考虑以下不可比元素的分配性,,fi,,j)和(m,n,o)具有相同的分配性:
,因此我们只,j)(1;)((b5)(,ch,d);(2)(e,f,g);(3)(h,f,g)
;(4)(h,情形2 仅有,i,j2)
.个元素可比的元素组.
类似地,由图,
e)与)具有相同的分配性1中左右的对称性(例如(),以及上下的重复性h,e(例如,g)(h和,(je,,图1 带簇的真子簇格图
,);()(,(gc(1(m)(,ke4,,lbe,,)d具有相同的分配性c,)f,)(h,bh,,dc,)f;)(;2))(5(e,)(,我们只需考虑以下元素组的分配性bh,,e,)f,(h);,b(6,)(gi),,(ff,,bh,)g,(l),,(j,g:f,h,)b,()o;,(f3),fh(),;b(7,c)(),gh(,e,c,g,b))(l,i,h),(o,i,h);(9)(k,h,j),(m,h,j)
;(10)(k,h,l),(m,h,l),(o,l,h);(11)(k,h,o);(,o),(m,h,o ),(ph情形1(1)由图,
1,o知
),(r,h,o).b∧==a而(c∨d)b∧g因此
(b∧c)∨(b∧d)=a∨a=ab∧(c∨d)=(
b∧c)∨(b∧d)),,gfgb8hg,(j,(n
12 又因为而因此
3
c∧(b∨d)c∧f=a=(c∧b)∨(c∧d)=a∨a=a
由于b,d相对于c的位置是对称的,因此因此b,c,d满足格的分配性.
c∧(b∨d)c∧b)∨(c∧d)=()∨(d∧(c∨b)d∧cd∧b)=(
()情形12 类似地,由于e,g关于f的位置是对称的,且
因此e,g,f满足格的分配性.
()情形13 由于
e∧(e=(e∧g)∨(e∧f)=g∨f)
)∨(e∨g)=f=(f∧(f∧ef∧g)
=(=gg∧(f∨h)g∧f)∨(g∧h)
(),()和情形1(),(),类似地,由于因此,h,4512f,g满足格的分配性.对于情形1
h∧(h∧f)∨(h∧g)e=(=f∨g)h∨g)=(=ff∧(f∧h)∨(f∧g)
h∧(h∧f)∨(h∧j)e f∧(h∨j)=(==f=(f∨j)f∧h)∨(f∧j)
因此h,f,j满足格的分配性.又由于)∨(h∧(i∨j)e=(h∧ih∧j) i∧(h∨j)i=(i∧h)∨(i∧j)==
,因此h,ij满足格的分配性,故对于所有不可比的3组元素都满足格的分配性.分配性,我们只需验证等式:由于
因此e,b,d满足格的分配性.
类似地可验证:
()情形21 由图1知e≥b,且e,b和d都不可比,因此由引理1、引理2、引理3知,要证e,b,d满足
e∧(b∨d)e∧b)∨(e∧d)=(e∧(b∨d)b=(e∧b)∨(e∧d)=
()););2e∧(b∨g)e∧be∧g)h∧(b∨g)h∧bh∧g)b∨g)=e=(∨(=e=(∨(=f=f∧(
();))e∧be∧d).∨(=g=(∨(f∧bf∧g)j∧(g∨b().j∧b)∨(j∧c
())∨(;)∨(4e∧(c∨f)e=(e∧ch∧(c∨f)e=(h∧ch∧f).==f∧f)())∨(5h∧(e∨f)e=(h∧eh∧f).=
h∧(b∨d)b=(h∧b)∨(h∧d)=
()),具体如下:即h,b,d满足格的分配性.类似地可验证情形2211-(
())););)3b∨ce=(c∨b)c=(b∨cc===∨(=f∧(f∧b)∨(f∧cg∧(g∧cg∧b)j∧(
();;6i∧(i=(i∧f)∨(i∧h)l∧(i=(l∧f)∨(l∧h)o∧(i====f∨h)f∨h)f∨h)
(o∧f)∨(o∧h).
())∨(7h∧(e∨g)e=(h∧eh∧g).=
())∨(;)∨(8l∧(i∨h)i=(l∧il∧h)o∧(i∨h)i=(o∧io∧h).==();9k∧(h∨j)k=(k∧h)∨(k∧j)m∧(h∨j)k=(m∧h)∨(m∧j).==
4
()o∧lo∧h).∨(
://西南大学学报(自然科学版) httxbbb.swu.cn 第35卷pj
()));));10k∧(h∨lk∧h)k∧lm∧(h∨lm∧h)m∧lo∧(l∨h)=k=(∨(=k=(∨(=l=
()));));)11k∧(h∨ok∧h)k∧on∧(h∨on∧h)n∧om∧(h∨o=k=(∨(=n=(∨(=k=();));))m∧h)m∧oh∨or∧(h∨or∧h)r∧o.∨(=n=(∨(=n=(∨(p∧(p∧h)p∧o参考文献:
[]吴广宾.带簇的真子簇格上的算子L[1D].重庆:西南大学,2012.
[]:A,2 HOWIEJM.AnIntroductiontoSemirouheorM].NewYorkcademicPress1976:31-35,109-124.gpTy[
[]:,3 PETRM,REILLYNR.ComleteleularSemirous[M].NewYorkJohnWilendSonsInc1999:7-13.pyRggpya
bstractl:Brleohaypevw
reorsdduisbsvt:ANoteonProperSubvarietyLatticeofBandVariety
SchoolofMathematiYcsaAndSN Xtatistiicsan,Sgou,th LwestIUnUiverGsituyo,-
Cxhoinngqing4
00715,Chinabhurteieviltemmndasth,etnhi,sapcacpoerrdipnrovoesittshabtilealteevrealnscasmmesfetorrprnopduersuebrvaarnidetlyolwaetrtirceeofientdvylaartyiteiactey;ofsubbavnadvrieatryieltgay
ttiicstep;rodivsetdritbobutiveeadylatitsitcreibutyivaelattpicpe.pe责任编辑 廖 abnilditvyar,itehtey
坤
ariataarpKbaAtby
ol.35 No.12
第3自然科学版)5卷第12期 西南大学学报( 2013年12月
)JournalofSouthwestUniversitNaturalScienceEditiony(
Dec. 2013
()文章编号:[***********]04
关于带簇的真子簇格的注记
西南大学数学与统计学院,重庆400715
①
燕 翔, 刘国新
摘要:通过3个引理验证了带簇的真子簇格的11种情形都具有分配性,再根据带簇的真子簇格的左右对称性以及上下重复性得到了带簇的真子簇格是一分配格.关 键 词:带簇;真子簇格;分配格中图分类号:O152.7
文献标志码:A
称集合X上的二元关系≤是一偏序,若
(1°)∀x∈X,x≤x;
(2°)∀x,x≤y,y∈X,y≤x⇒x=y;
此时称X关于偏序≤构成一偏序集,记作(X,≤).若X中任意两元素都有上(下)确界,则称偏序集(是上(下)半格.若(既是上半格也是X,≤)X,≤)下半格,则称(X,≤)是格.若对任意的x,z∈L,有y,
(3°)∀x,z∈X,x≤y,y,y≤z⇒x≤z.
x∧(x∧y)∨(x∧z)=(y∨z)
]给出了带簇的真子簇格图.文中未说明的术语和符号请参见文献[]则称格L是分配格.文献[11-3.引理1 令L是格.若x,z∈L,y,y≥z,则
x∧(x∧y)∨(x∧z)=(y∨z)
证 若y≥z,我们有则
(x∧y)≥(x∧z)⇒(x∧y)∨(x∧z)x∧y)=y,(=(y∨z)
x∧(x∧y)∨(x∧z)=x∧y=(y∨z)
引理2 令L是格.若x,z∈L,x≤y,则y, 证 若x≤y,我们有而则
x∧(x∧y)∨(x∧z)=(y∨z)x≤(⇒x∧(=xy∨z)y∨z)
(x∧y)∨(x∧z)x∧z)=x∨(=x
①
收稿日期:20120608
)基金项目:国家自然科学基金资助项目(10871161,11101336.
,男,安徽亳州人,硕士研究生,主要从事半群理论的研究.作者简介:燕 翔(1987)
2 httxbbb.swu.cn 35pj
x∧(x∧y)∨(x∧z)=x=(y∨z)
引理3 令L是格.x,z∈L.若x≥y,x≥z,则y,
x∧(x∧y)∨(x∧z)=(y∨z)
,则x∧( 证 若x≥y,x≥z,则x≥(.而=(y∨z)y∨z)y∨z)则
(x∧y)x∧z)z=y (=
x∧(x∧y)∨(x∧z)=y∨z=(y∨z)
定理1 带簇的真子簇格L是分配格. 证 要证明格L是分配格只需说明:
췍L中任意y,
z∈3个不可比元素满足分配性;
췍x,L中仅有一对元素可比,不妨设x>y.由引理y∧(x∨z)=(y∧x1、引理2知z∧因此只需验证下式成立:
(x∨y)=(
z∧x))∨∨((y∧zz∧y)
)x∧(y∨z=x∧y由文献[)∨(图1所示1].
可知,带簇的真子簇格图是向上无限延伸的)
(,如x∧z)为了计算的方便,我们用小写英文字母表示我们熟知
的带簇.由引理我们只需考虑以下情形的分配性1、引理2、引理:
3知,要证明L是分配格,情形由于图1 3个元素都不可比的元素组.
需考虑其中一种1是左右对称的,因此对于对称的情况,我们只
不可比的)和(je)的分配性相同3个元素的分配性,例如(h.又因为图1中上下的重复性,f,,
例如(h需考虑以下不可比元素的分配性,,fi,,j)和(m,n,o)具有相同的分配性:
,因此我们只,j)(1;)((b5)(,ch,d);(2)(e,f,g);(3)(h,f,g)
;(4)(h,情形2 仅有,i,j2)
.个元素可比的元素组.
类似地,由图,
e)与)具有相同的分配性1中左右的对称性(例如(),以及上下的重复性h,e(例如,g)(h和,(je,,图1 带簇的真子簇格图
,);()(,(gc(1(m)(,ke4,,lbe,,)d具有相同的分配性c,)f,)(h,bh,,dc,)f;)(;2))(5(e,)(,我们只需考虑以下元素组的分配性bh,,e,)f,(h);,b(6,)(gi),,(ff,,bh,)g,(l),,(j,g:f,h,)b,()o;,(f3),fh(),;b(7,c)(),gh(,e,c,g,b))(l,i,h),(o,i,h);(9)(k,h,j),(m,h,j)
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1,o知
),(r,h,o).b∧==a而(c∨d)b∧g因此
(b∧c)∨(b∧d)=a∨a=ab∧(c∨d)=(
b∧c)∨(b∧d)),,gfgb8hg,(j,(n
12 又因为而因此
3
c∧(b∨d)c∧f=a=(c∧b)∨(c∧d)=a∨a=a
由于b,d相对于c的位置是对称的,因此因此b,c,d满足格的分配性.
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()情形12 类似地,由于e,g关于f的位置是对称的,且
因此e,g,f满足格的分配性.
()情形13 由于
e∧(e=(e∧g)∨(e∧f)=g∨f)
)∨(e∨g)=f=(f∧(f∧ef∧g)
=(=gg∧(f∨h)g∧f)∨(g∧h)
(),()和情形1(),(),类似地,由于因此,h,4512f,g满足格的分配性.对于情形1
h∧(h∧f)∨(h∧g)e=(=f∨g)h∨g)=(=ff∧(f∧h)∨(f∧g)
h∧(h∧f)∨(h∧j)e f∧(h∨j)=(==f=(f∨j)f∧h)∨(f∧j)
因此h,f,j满足格的分配性.又由于)∨(h∧(i∨j)e=(h∧ih∧j) i∧(h∨j)i=(i∧h)∨(i∧j)==
,因此h,ij满足格的分配性,故对于所有不可比的3组元素都满足格的分配性.分配性,我们只需验证等式:由于
因此e,b,d满足格的分配性.
类似地可验证:
()情形21 由图1知e≥b,且e,b和d都不可比,因此由引理1、引理2、引理3知,要证e,b,d满足
e∧(b∨d)e∧b)∨(e∧d)=(e∧(b∨d)b=(e∧b)∨(e∧d)=
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();))e∧be∧d).∨(=g=(∨(f∧bf∧g)j∧(g∨b().j∧b)∨(j∧c
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()),具体如下:即h,b,d满足格的分配性.类似地可验证情形2211-(
())););)3b∨ce=(c∨b)c=(b∨cc===∨(=f∧(f∧b)∨(f∧cg∧(g∧cg∧b)j∧(
();;6i∧(i=(i∧f)∨(i∧h)l∧(i=(l∧f)∨(l∧h)o∧(i====f∨h)f∨h)f∨h)
(o∧f)∨(o∧h).
())∨(7h∧(e∨g)e=(h∧eh∧g).=
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4
()o∧lo∧h).∨(
://西南大学学报(自然科学版) httxbbb.swu.cn 第35卷pj
()));));10k∧(h∨lk∧h)k∧lm∧(h∨lm∧h)m∧lo∧(l∨h)=k=(∨(=k=(∨(=l=
()));));)11k∧(h∨ok∧h)k∧on∧(h∨on∧h)n∧om∧(h∨o=k=(∨(=n=(∨(=k=();));))m∧h)m∧oh∨or∧(h∨or∧h)r∧o.∨(=n=(∨(=n=(∨(p∧(p∧h)p∧o参考文献:
[]吴广宾.带簇的真子簇格上的算子L[1D].重庆:西南大学,2012.
[]:A,2 HOWIEJM.AnIntroductiontoSemirouheorM].NewYorkcademicPress1976:31-35,109-124.gpTy[
[]:,3 PETRM,REILLYNR.ComleteleularSemirous[M].NewYorkJohnWilendSonsInc1999:7-13.pyRggpya
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SchoolofMathematiYcsaAndSN Xtatistiicsan,Sgou,th LwestIUnUiverGsituyo,-
Cxhoinngqing4
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