一、引例的扩展
1. 求作图示结构的M图
E
θ
D
6.4 位移法基本原理的描述 与基本概念
D
M A C E = E II=常 B
L L
M
θ
L
4iθ
θ
4iθ
A
L
4iθ
E
C E
数
E
4iθ
E
θ
原解题方案
B
引入新概念1——附加刚臂：仅限制结点角位移的约束
M 2
D
M 2
2i
M 4
E
θ
θ
M 4 θ
M 2
M 4 M 4
M 4
M 2
D
4i
16iθ E = M
16 i 2i
A
M 2
M 4
E E
E
M 4
C M 2
4i
M 4
C
A
M 2
θ
4i
2i
E
4i
θE =
2i
M 16i
B
M 2
M图
B
θE = 1
2. 求作图示结构的M图
θ
∆
∆
∆
θ
q
θ
L
q
= E II=常 数
∆
qL2 12
∆ ∆
∆
4iθ
θ
θ
6i ∆ L 3iθ
L
q
qL2 12
2iθ
6i ∆ L
原解题方案
引入新概念2——附加链杆：仅限制结点线位移的约束
∆1 = 0
R11 = r11∆ 1 R1 P
∆1 = θC
R12 = r12 ∆ 2
∆1 = 0
∆1
C
B
∆2 = 0
B
∆2 = 0
R21 = r21∆ 1
B
∆2 = ∆
C = E II=常 数
B
C
B
∆2
R2 P
q
R22 = r22 ∆ 2
q
q
⎧ ∆1 = θ C ⎨ ⎩∆2 = ∆
L
A
A
A
A
L
A
⎧ r11 ∆1 + r12 ∆ 2 + R1 P = 0 ⎨ ⎩ r21 ∆1 + r22 ∆ 2 + R2 P = 0
R1
R1
B C
R2
P L P
R2
B C
L
⎧ R1 = 0 ⎨ ⎩ R2 = 0
P L P
P
P
R3
C
E I=c A
D
C
D
E I=c A
L
E I=c
E I=c B A B
R1P
⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 = 0 ⎨ ⎩ R2 = R2 P + r21∆ 1 + r22 ∆ 2 = 0
R11 = r11 ∆ 1 R12 = r12 ∆ 2
A
P L P
B C
R2 P
C
B
R21 = r21∆ 1
B C
R22 = r22 ∆ 2
E I=c A
A
E I=c A
∆ 1发生, ∆ 2 不发生(=0)
E I=c
⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 + r13 ∆ 3 = 0 ⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 + ... + r1n ∆ n = 0 ⎪ ⎪ ⎨ R2 = R2 P + r21∆ 1 + r22 ∆ 2 + r23 ∆ 3 = 0 R2 = R2 P + r21∆ 1 + r22 ∆ 2 + ... + r23 ∆ n = 0 ⎪ ⎪ ⎨ ⎩ R3 = R3 P + r31∆ 1 + r32 ∆ 2 + r33 ∆ 3 = 0 ⎪ ... ⎪ Rn = RnP + rn1 ∆ 1 + rn 2 ∆ 2 + ... + rn 3 ∆ n = 0 ⎩
∆ 1不发生(=0), ∆ 2 发生
1.位移法基本未知量 1.位移法基本未知量
独立结点位移（角位移与线位移） 判断方法：附加约束法。 判断方法：附加约束法。 其数目等于使所有结点（不包含支座）不发生独立 角位移与线位移所添加的附加刚臂与附加链杆数目。
4.位移法基本方程 4.位移法基本方程
位移法基本体系与原结构产生相同的内力与变形所应 当满足的条件：附加约束中的约束反力为零。 ——表 ——表 现为一组方程，其实质是平衡条件（结点的或杆件 的）。
2.位移法基本结构 2.位移法基本结构
原结构添加附加约束后得到的新结构。
5.位移法基本方程的系数项 5.位移法基本方程的系数项
位移法基本方程中包含未知量的项的系数。
3.位移法基本体系 3.位移法基本体系
原结构添加附加约束后得到的新结构与原结构上的 荷载构成的体系。
6.位移法基本方程的自由项 6.位移法基本方程的自由项
位移法基本方程中不包含未知量的项。
1.判断位移法基本未知量，确定位移法基 1.判断位移
法基本未知量，确定位移法基 本结构
附加约束法。
6.5 位移法解题基本步骤
2.列写位移法基本方程 2.列写位移法基本方程
⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 + ... + r1n ∆ n = 0 ⎪ ⎪ R2 = R2 P + r21∆ 1 + r22 ∆ 2 + ... + r23 ∆ n = 0 ⎨ ⎪ ... ⎪ R = R + r ∆ + r ∆ + ... + r ∆ = 0 ⎩ n nP n1 1 n2 2 n3 n
3.求位移法基本方程的系数项与自由项 3.求位移法基本方程的系数项与自由项
•系数项的求法：令基本结构不承受荷载而发生与基本未 知量相应的单位位移，附加约束中的反力即为系数项。 •自由项的求法：令基本结构承受荷载而不发生与基本未 知量相应的单位位移，附加约束中的反力即为自由项。 •注意系数项与自由项的符号。
6.6 位移法解题举例
4.求解位移法基本方程 4.求解位移法基本方程 5.作内力图 5.作内力图 6.必要的校核 6.必要的校核
M = MP + ∑ M i∆i
1 位移法计算无侧移结构 例1
A EI
L P L P
1 位移法计算无侧移结构
r11
D 2E I
L/2 L/2
r11 = 8i
r21 = 2 i
4i B
r21
4i
4i B
2i C
0
B EI
L
C
∆1 = 1
∆2 = 0 A
2i C EI 2E I
D
2i
EI 4i
r12 = 2 i
r22 = 10 i
R1
R2
r12
r22
0
2i B
4i C
6i
P L
P
∆1 = 0
A EI
B EI
基本体系
C 2E I
D
∆2 = 1 A
B 2i
4i C
D
R1 P = − PL
R2 P = −
R1 P
6i R2 P
3 PL 16
0
3 PL 16 3 PL 16
P L
⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 = 0 ⎨ ⎩ R2 = R2 P + r21 ∆ 1 + r22 ∆ 2 = 0
P L
∆1 = 0 ∆2 = 0
P
0 B
0 C
A
B
C
D
1 2 ⎧ R1 = R1 P + r11 ∆ 1 + r12 ∆ 2 = 0 ⎪ ⎨ ⎨ 3 PL + 2i ∆ 1 + 6i ∆ 2 = 0 ⎩ R2 = R2 P + r21 ∆ 1 + r22 ∆ 2 = 0 ⎪ −
⎧ − PL + 8i ∆ 1 + 2i ∆ 2 = 0 ⎩ 16
1 位移法计算无侧移结构 例2
P L P
77 PL ⎧ ⎪ ∆ 1 = 608i ⎪ ⎨ ⎪ ∆ = − PL ⎪ 2 152i ⎩
2×
A EI
B EI 2E I
C 2E I EI
D
4×
77 = 0.51 608
3 6 + = 0.226 16 152
A
B
C
D
E F
L L/2 L/2 L
77 = 0.25 77 2 608 4× − = 0.49 608 152
1 PL 4
M图（单 位：P L）
1 位移法计算无侧移结构 例2
P L
3 PL 16
1 位移法计算无侧移结构 例2
A
4i
B
2i 2i
2i
P
A
B
R1 P = − PL
R2 P = −
3 PL 16
4i
r11 = 10i r21 = 2i
E
M1
F
E
MP
F
A B
2i
4i
6i
r22 = 10i r12 = 2i
E
M2
F
⎧ − PL + 10i ∆ 1 + 2i ∆ 2 = 0 ⎪ ⎨ 3 ⎪ − 16 PL + 2i ∆ 1 + 10i ∆ 2 = 0 ⎩
77 PL ⎧ ⎪ ∆ 1 = 768 i ⎪ ⎨ ⎪ ∆ = − PL ⎪ 2 768 i ⎩
1 位移法计算无侧移结构 例3
q
q L C D 2E I EI F
L L/2 L/2
A
308 150
B EI EI EI
152
306 154
117
L
E
L
M(
1 PL) 768
L
1 位移法计算无侧移结构 例3
1 2 qL 12 1 2 3 2 qL qL 12 16
1 位移法计算无侧移结构 例3
A
2i 2i
4i
B
2i
4i
A B
r11 = 10i r21 = 2i
E
F
M1
E F
R1 P = −
R2 P = −
MP
1 2 qL 12
4i
3 2 1 2 5 qL + qL = − qL2 16 12 48
A
B
2i
6i
r22 = 10i r12 = 2i
E
F
M2
⎧ 1 2 ⎪ − 12 qL + 10i ∆ 1 + 2i ∆ 2 = 0 ⎪ ⎨ ⎪ − 5 qL2 + 2i ∆ + 10i∆ = 0 1 2 ⎪ 48 ⎩
20
5 PL ⎧ ⎪ ∆ 1 = 76
8i ⎪ ⎨ 2 ⎪ ∆ = 7qL ⎪ 2 768 i ⎩
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
∆1
qL2
30
96 112
q L
D EI EI C
q
q L
qL2
D EI
C
q
∆2
10
10 1 PL) 768 136
EI
L
EI
EI
M(
A
L
B
A
基本体系
B
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
R1 P qL2
0
R1 P qL2
R2 P
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
r11
3i
C
1 2 qL 12
r12 r21
q L
D
1 2 qL 12 q
1 qL2 12 MP
C
R2 P
1 11 R1 P = qL2 − qL2 = − qL2 12 12
q L D C
R2 P
D
4i
C
D
C
6i L
r22
A
B
0
1 − qL 2
A
M1
B
2i
3i L
A
6i L M2
B
2i
1 3 R2 P = − qL − qL = − qL 2 2
r11 = 7 i
r22 =
15i 6i ,r = r = − L2 12 21 L
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
91 92
2 位移法计算有侧移结构 例5.作M图——基本例题 5.作 ——基本例题
6i ⎧ 11 2 ⎪ − 12 qL + 7 i ∆ 1 − L ∆ 2 = 0 ⎪ ⎨ ⎪ − 3 qL − 6i ∆ + 15i ∆ = 0 ⎪ 2 ⎩ L 1 L2 2
Z2
ql
q
ql
q
R2 Z1 R1
D
1 92
C
l/2 l/2
ql
EI=常数 EI=常数
ql
l
⎧ 91qL2 ⎪∆1 = ⎪ 276i ⎨ 3 ⎪ ∆ = 16qL ⎪ 2 69i ⎩
R1=0 R2=0
16 23
75 92 A M ( qL2 )
B
R1 = r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 R2 = r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
∆1 = 1 3i 4i ∆2 = 0 ∆1 = 0 ∆2 = 1 6i L
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
q
1 2 qL 8
qL
1 2 qL 8 qL
R1 P = −3ql / 2
2i
3i L
M1
6i L M2
R2 P = ql 2 / 4
r11 = 7i,
6i r12 = r21 = − , L
15i r22 = 2 L
1 2 qL 8
MP
∆1 = 0 ∆2 = 0
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
3 ql 3 23 i 7 ql 2 Z2 = 92 i
例6.作M图，EI=常数 图，EI= EI=常数
——静定部分的处理 ——静定部分的处理
P
P
l l l
i 4i 3i 2i
Z1 R1
Pl
65 184
解:
R1=0
Z1 =
l
Z1=1 r11
MP
r11Z1 + R1P = 0
P R1P
r11 = 8i
9 23
139 184
R1 P = − Pl
M1
Z 1 = Pl / 8i
2
r11
i
4i
R1P
3i
pl
Pl
P
M (qL )
M = M 1 Z1 + M P
pl / 8 pl / 2
M
3 pl / 8
M = M1Z1 + +M2 Z2 + MP
pl / 4
例7.作M图——刚性杆的处理 7.作 ——刚性杆的处理
D E I=∞ C
1 2 qL 12 1 2 qL D 12
C
R1 P
例8.作M图 8.作 解:
R1=0 P
EI EI
EA = ∞
Z2
l
EI
R2
Z1
r21
3i/l
Z1=1
2EI
l P
R1
12i/l
12i/l 3i/l
r11
M1
q
L
EI
EI
q
A
L
6i L
B
6i L C
6i L
1 2A qL 12
MP
B
1 R1 P = − qL 2
r11
D
6i L
r11 =
24i L2
6i L
A
6i L
B
qL3 ∆1 = 48i
l R2=0 R1 = r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 Z2=1 r22 R2 = r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0 2 3i r11 = 30i / l 8i 3i / l r12 = r21 = −9i / l r21 4i R1 P = − P 3i / l 2 12i / l r22 = 11i 3i r22 24i / l 2 R2 P = 0 3i / l Z 1 = 0.044 Pl 2 / i 8i 12i / l Z 2 = 0.036 Pl / i R2P
M = M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M P
R2P r12 P
M2
R1P
MP
r11
3i / l 2
r12 R1P
0.39Pl
0.24Pl
M
0.13Pl
P
M1
EA = ∞
例9.作M图
EI
Z1 EI
EI 1 = ∞
解
:
r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0 r11 = 51i / 8l 2 r12 = r21 = −6i / l 2
r22 = 30i / l
2
EI EI
l l
P
Z2
例10.作M图——斜杆的处理 10.作 ——斜杆的处理
5 EI / 2
EI EI
P
EI
l
3i / l
l
Z1=1 Z2=1
3i / l 3i / 4l 6i / l 3i / l
解:
q
R1=0 R2=0
l
M1
q
1.5EI EI
l l/2
3i / l
R1 = r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 R2 = r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0
Z2 R2
M2
3i / 8l 2
3i / l 2
r11
3i / l 2
l
l
R1 P = 0 R2 P = − P 8 Pl 2 Z1 = 207i 17 Pl 2 Z2 = 414i
Z1
3i / l 2
3i / l 2
r21 P
MP
q R1 q
3i / l 2 12i / l
2
3i / l 2
r22
12i / l
2
5 EI / 2
q
EI EI 1.5EI
q
Z2 R2
l l/2
q
q
Z1 R1
l
EI l l
r21
Z1=1 3i r11
Z2=1 r22
4i / l 3i / l
R2P
ql2 / 8
M1
4i
3i 2i M 2
r12
r11 = 34i / 3l 2 r12 = −4i / l R1 P = −3ql 2 / 4 r21 = −4i / l r22 = 10i R2 P = 0 Z1 = 45ql 2 / 584i Z 2 = 9ql / 292i
r
22
5 EI / 2
q
EI EI 1.5EI
q
Z 1 = 45ql 2 / 584i
l l/2
Z2=1 r22
l
EI l l
Z 2 = 9ql 3 / 292i
M = M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M P
校核平衡条件 r12
r21
Z1=1 3i r11
4i / l 3i / l
R2P
2 ql2 / 8
4i
3i 2i M2
27 / 292 27 / 292 27 / 146 27 / 146
3
M1
16 i / 3 l 2 3 i / l 2
r11
27 / 292
q R1P
q R1P
3i / l 2
4i / l
2
3i
R2P
r12
q
ql2 / 8
MP
R1P 3ql 2 / 8 3ql / 8
3i 4i r21 4i / l
q
ql2 / 8
MP
26 / 73
26 / 73 M 18 / 73 × ql 2
例11.作M图，EI=常数——对称结构与斜杆的处理 图，EI= EI=常数—— ——对称结构与斜杆的处理 解:
l
R1=0 R2=0 P P
解:
R1=0 R2=0
Z1
Z1=1 r11 P
Z2
2i
l
P
l
P
l l l
Z1
l l
r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0
l l
3 2i / l
4i
2 2i
r21
2i M1
1
r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0
P
Z2
r11 = (4 + 2 2 )i r12 = ( 3 2 − 6)i / l r12 R1 P = 0 6i / l ∑ MA = 0 r22 = (12 + 6 2 )i / l 2 R1P ∑ MA = 0 R2 P = − P P Z 1 = 0.013 Pl / i 2 Z 2 = 0.05 Pl / i
=
Z2=1
+
2/2
2/2
r22
M2
1
3 2i / l
r12
R2P MP
A
A
r22
12 i / l 2
R2P P
6i / l
例12.作M图， EI=常数——支座移动的处理 EI=常数—— ——支座移动的处理
l l
Z1
例13.作M图，EI=常数——温度变化的处理 图，EI= EI=常数—— ——温度变化的处理 �
+t + t� + t�
Z1 + t�
+ t� + t�
解:
R1=0 r11Z1+R1C=0
解:
∆
l
Z1=1 3i i 2i
M1
+ t�
∆ l Z1=1 3i
4i i 2i
M1
l
R1=0 r11Z1 + R1t = 0 r11 = 8i R 1 t = 9 iα t
l
4i
lα t
+ t� + t� + t� lα t + t� 9α ti / 8
R1C
3i ∆ l
M
C
r11 = 8i
R1c = −3 i∆ / l
Z1 = 3∆ / 8l M = M1 Z1 + Mc
∆
3 i∆ / 2 l 15 i∆ / 8 l
M
Z 1 = − 9α t / 8 M = M1Z1 + Mt
由结果可见：温度变 由结果可见：温度变 l α tl 化引起的位移与EI EI EI大 化引起的位移与EI大 化引起的位移与EI EI大 小无关，内力与EI EI EI大 小无关，内力与EI大 小无关，内力与EI EI大 小有关 小有关
3i
R1t
6i α tl l
3 i∆ / 8 l
3 i∆ / 4 l
3α ti / 2
M
3α ti / 8 15α ti / 4
由结果可见：支座移动引起的位移与 由结果可见：支座移动引起的位移与 EI EI EI大小无关，内力与EI EI大小有关 EI大
小无关，内力与EI大小有关 EI大小无关，内力与EI EI大小有关
Mt
例14. M图， M图，
EI=常数, t1〉t2 EI=常数,
o + t2 o 1
Z1 o + t2
o + t2
r11 = 8i 同上例
的算: R1t的算:
o + t2
+t
+t
o 1
l h
力法、位移法对比
• 力法 基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结 构。 作单位力和外因内力图 由内力图自乘、互乘求系 数，主系数恒正。 建立力法方程（协调） [δ ]{X } + {∆ } = {∆ } 解方程求多余未知力 迭加作内力图 用变形条件进行校核 不能解静定结构
0
+t
l
R1t o
+ t2 + t1o
+ t0
l R 1/ t
o 1
+t
o 1
+ t0
− t/
R 1//t
− t/
o + t1
=
+ t0
+ t0
+
+ t/
+ t/
t0 = (t1 + t2 ) / 2, t / = (t1 − t2 ) / 2 R1t = R1/t + R1//t R 1/ t = 9 i α t 0 同上例 αt / l 3i / αt /l R 1//t = 3 i + αt l − 2i h l h r11Z1 + R1t = 0 M = MZ 1 + M t
3 iα t / l 3 i / + αt l h l
2 iα t / l / h
3 i α tl / h −t +t 2 i α tl / h −t +t
• 位移法 基本未知量：结点独立位 移 基本结构：单跨梁系 作单位位移和外因内力图 由内力图的结点、隔离体 平衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡） [K ]{∆} + {F } = {0} 解方程求独立结点位移 迭加作内力图 用平衡条件进行校核 可以解静定结构
一、引例的扩展
1. 求作图示结构的M图
E
θ
D
6.4 位移法基本原理的描述 与基本概念
D
M A C E = E II=常 B
L L
M
θ
L
4iθ
θ
4iθ
A
L
4iθ
E
C E
数
E
4iθ
E
θ
原解题方案
B
引入新概念1——附加刚臂：仅限制结点角位移的约束
M 2
D
M 2
2i
M 4
E
θ
θ
M 4 θ
M 2
M 4 M 4
M 4
M 2
D
4i
16iθ E = M
16 i 2i
A
M 2
M 4
E E
E
M 4
C M 2
4i
M 4
C
A
M 2
θ
4i
2i
E
4i
θE =
2i
M 16i
B
M 2
M图
B
θE = 1
2. 求作图示结构的M图
θ
∆
∆
∆
θ
q
θ
L
q
= E II=常 数
∆
qL2 12
∆ ∆
∆
4iθ
θ
θ
6i ∆ L 3iθ
L
q
qL2 12
2iθ
6i ∆ L
原解题方案
引入新概念2——附加链杆：仅限制结点线位移的约束
∆1 = 0
R11 = r11∆ 1 R1 P
∆1 = θC
R12 = r12 ∆ 2
∆1 = 0
∆1
C
B
∆2 = 0
B
∆2 = 0
R21 = r21∆ 1
B
∆2 = ∆
C = E II=常 数
B
C
B
∆2
R2 P
q
R22 = r22 ∆ 2
q
q
⎧ ∆1 = θ C ⎨ ⎩∆2 = ∆
L
A
A
A
A
L
A
⎧ r11 ∆1 + r12 ∆ 2 + R1 P = 0 ⎨ ⎩ r21 ∆1 + r22 ∆ 2 + R2 P = 0
R1
R1
B C
R2
P L P
R2
B C
L
⎧ R1 = 0 ⎨ ⎩ R2 = 0
P L P
P
P
R3
C
E I=c A
D
C
D
E I=c A
L
E I=c
E I=c B A B
R1P
⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 = 0 ⎨ ⎩ R2 = R2 P + r21∆ 1 + r22 ∆ 2 = 0
R11 = r11 ∆ 1 R12 = r12 ∆ 2
A
P L P
B C
R2 P
C
B
R21 = r21∆ 1
B C
R22 = r22 ∆ 2
E I=c A
A
E I=c A
∆ 1发生, ∆ 2 不发生(=0)
E I=c
⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 + r13 ∆ 3 = 0 ⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 + ... + r1n ∆ n = 0 ⎪ ⎪ ⎨ R2 = R2 P + r21∆ 1 + r22 ∆ 2 + r23 ∆ 3 = 0 R2 = R2 P + r21∆ 1 + r22 ∆ 2 + ... + r23 ∆ n = 0 ⎪ ⎪ ⎨ ⎩ R3 = R3 P + r31∆ 1 + r32 ∆ 2 + r33 ∆ 3 = 0 ⎪ ... ⎪ Rn = RnP + rn1 ∆ 1 + rn 2 ∆ 2 + ... + rn 3 ∆ n = 0 ⎩
∆ 1不发生(=0), ∆ 2 发生
1.位移法基本未知量 1.位移法基本未知量
独立结点位移（角位移与线位移） 判断方法：附加约束法。 判断方法：附加约束法。 其数目等于使所有结点（不包含支座）不发生独立 角位移与线位移所添加的附加刚臂与附加链杆数目。
4.位移法基本方程 4.位移法基本方程
位移法基本体系与原结构产生相同的内力与变形所应 当满足的条件：附加约束中的约束反力为零。 ——表 ——表 现为一组方程，其实质是平衡条件（结点的或杆件 的）。
2.位移法基本结构 2.位移法基本结构
原结构添加附加约束后得到的新结构。
5.位移法基本方程的系数项 5.位移法基本方程的系数项
位移法基本方程中包含未知量的项的系数。
3.位移法基本体系 3.位移法基本体系
原结构添加附加约束后得到的新结构与原结构上的 荷载构成的体系。
6.位移法基本方程的自由项 6.位移法基本方程的自由项
位移法基本方程中不包含未知量的项。
1.判断位移法基本未知量，确定位移法基 1.判断位移
法基本未知量，确定位移法基 本结构
附加约束法。
6.5 位移法解题基本步骤
2.列写位移法基本方程 2.列写位移法基本方程
⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 + ... + r1n ∆ n = 0 ⎪ ⎪ R2 = R2 P + r21∆ 1 + r22 ∆ 2 + ... + r23 ∆ n = 0 ⎨ ⎪ ... ⎪ R = R + r ∆ + r ∆ + ... + r ∆ = 0 ⎩ n nP n1 1 n2 2 n3 n
3.求位移法基本方程的系数项与自由项 3.求位移法基本方程的系数项与自由项
•系数项的求法：令基本结构不承受荷载而发生与基本未 知量相应的单位位移，附加约束中的反力即为系数项。 •自由项的求法：令基本结构承受荷载而不发生与基本未 知量相应的单位位移，附加约束中的反力即为自由项。 •注意系数项与自由项的符号。
6.6 位移法解题举例
4.求解位移法基本方程 4.求解位移法基本方程 5.作内力图 5.作内力图 6.必要的校核 6.必要的校核
M = MP + ∑ M i∆i
1 位移法计算无侧移结构 例1
A EI
L P L P
1 位移法计算无侧移结构
r11
D 2E I
L/2 L/2
r11 = 8i
r21 = 2 i
4i B
r21
4i
4i B
2i C
0
B EI
L
C
∆1 = 1
∆2 = 0 A
2i C EI 2E I
D
2i
EI 4i
r12 = 2 i
r22 = 10 i
R1
R2
r12
r22
0
2i B
4i C
6i
P L
P
∆1 = 0
A EI
B EI
基本体系
C 2E I
D
∆2 = 1 A
B 2i
4i C
D
R1 P = − PL
R2 P = −
R1 P
6i R2 P
3 PL 16
0
3 PL 16 3 PL 16
P L
⎧ R1 = R1 P + r11∆ 1 + r12 ∆ 2 = 0 ⎨ ⎩ R2 = R2 P + r21 ∆ 1 + r22 ∆ 2 = 0
P L
∆1 = 0 ∆2 = 0
P
0 B
0 C
A
B
C
D
1 2 ⎧ R1 = R1 P + r11 ∆ 1 + r12 ∆ 2 = 0 ⎪ ⎨ ⎨ 3 PL + 2i ∆ 1 + 6i ∆ 2 = 0 ⎩ R2 = R2 P + r21 ∆ 1 + r22 ∆ 2 = 0 ⎪ −
⎧ − PL + 8i ∆ 1 + 2i ∆ 2 = 0 ⎩ 16
1 位移法计算无侧移结构 例2
P L P
77 PL ⎧ ⎪ ∆ 1 = 608i ⎪ ⎨ ⎪ ∆ = − PL ⎪ 2 152i ⎩
2×
A EI
B EI 2E I
C 2E I EI
D
4×
77 = 0.51 608
3 6 + = 0.226 16 152
A
B
C
D
E F
L L/2 L/2 L
77 = 0.25 77 2 608 4× − = 0.49 608 152
1 PL 4
M图（单 位：P L）
1 位移法计算无侧移结构 例2
P L
3 PL 16
1 位移法计算无侧移结构 例2
A
4i
B
2i 2i
2i
P
A
B
R1 P = − PL
R2 P = −
3 PL 16
4i
r11 = 10i r21 = 2i
E
M1
F
E
MP
F
A B
2i
4i
6i
r22 = 10i r12 = 2i
E
M2
F
⎧ − PL + 10i ∆ 1 + 2i ∆ 2 = 0 ⎪ ⎨ 3 ⎪ − 16 PL + 2i ∆ 1 + 10i ∆ 2 = 0 ⎩
77 PL ⎧ ⎪ ∆ 1 = 768 i ⎪ ⎨ ⎪ ∆ = − PL ⎪ 2 768 i ⎩
1 位移法计算无侧移结构 例3
q
q L C D 2E I EI F
L L/2 L/2
A
308 150
B EI EI EI
152
306 154
117
L
E
L
M(
1 PL) 768
L
1 位移法计算无侧移结构 例3
1 2 qL 12 1 2 3 2 qL qL 12 16
1 位移法计算无侧移结构 例3
A
2i 2i
4i
B
2i
4i
A B
r11 = 10i r21 = 2i
E
F
M1
E F
R1 P = −
R2 P = −
MP
1 2 qL 12
4i
3 2 1 2 5 qL + qL = − qL2 16 12 48
A
B
2i
6i
r22 = 10i r12 = 2i
E
F
M2
⎧ 1 2 ⎪ − 12 qL + 10i ∆ 1 + 2i ∆ 2 = 0 ⎪ ⎨ ⎪ − 5 qL2 + 2i ∆ + 10i∆ = 0 1 2 ⎪ 48 ⎩
20
5 PL ⎧ ⎪ ∆ 1 = 76
8i ⎪ ⎨ 2 ⎪ ∆ = 7qL ⎪ 2 768 i ⎩
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
∆1
qL2
30
96 112
q L
D EI EI C
q
q L
qL2
D EI
C
q
∆2
10
10 1 PL) 768 136
EI
L
EI
EI
M(
A
L
B
A
基本体系
B
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
R1 P qL2
0
R1 P qL2
R2 P
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
r11
3i
C
1 2 qL 12
r12 r21
q L
D
1 2 qL 12 q
1 qL2 12 MP
C
R2 P
1 11 R1 P = qL2 − qL2 = − qL2 12 12
q L D C
R2 P
D
4i
C
D
C
6i L
r22
A
B
0
1 − qL 2
A
M1
B
2i
3i L
A
6i L M2
B
2i
1 3 R2 P = − qL − qL = − qL 2 2
r11 = 7 i
r22 =
15i 6i ,r = r = − L2 12 21 L
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
91 92
2 位移法计算有侧移结构 例5.作M图——基本例题 5.作 ——基本例题
6i ⎧ 11 2 ⎪ − 12 qL + 7 i ∆ 1 − L ∆ 2 = 0 ⎪ ⎨ ⎪ − 3 qL − 6i ∆ + 15i ∆ = 0 ⎪ 2 ⎩ L 1 L2 2
Z2
ql
q
ql
q
R2 Z1 R1
D
1 92
C
l/2 l/2
ql
EI=常数 EI=常数
ql
l
⎧ 91qL2 ⎪∆1 = ⎪ 276i ⎨ 3 ⎪ ∆ = 16qL ⎪ 2 69i ⎩
R1=0 R2=0
16 23
75 92 A M ( qL2 )
B
R1 = r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 R2 = r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
∆1 = 1 3i 4i ∆2 = 0 ∆1 = 0 ∆2 = 1 6i L
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
q
1 2 qL 8
qL
1 2 qL 8 qL
R1 P = −3ql / 2
2i
3i L
M1
6i L M2
R2 P = ql 2 / 4
r11 = 7i,
6i r12 = r21 = − , L
15i r22 = 2 L
1 2 qL 8
MP
∆1 = 0 ∆2 = 0
2 位移法计算有侧移结构 例4.作M图——基本例题 4.作 ——基本例题
3 ql 3 23 i 7 ql 2 Z2 = 92 i
例6.作M图，EI=常数 图，EI= EI=常数
——静定部分的处理 ——静定部分的处理
P
P
l l l
i 4i 3i 2i
Z1 R1
Pl
65 184
解:
R1=0
Z1 =
l
Z1=1 r11
MP
r11Z1 + R1P = 0
P R1P
r11 = 8i
9 23
139 184
R1 P = − Pl
M1
Z 1 = Pl / 8i
2
r11
i
4i
R1P
3i
pl
Pl
P
M (qL )
M = M 1 Z1 + M P
pl / 8 pl / 2
M
3 pl / 8
M = M1Z1 + +M2 Z2 + MP
pl / 4
例7.作M图——刚性杆的处理 7.作 ——刚性杆的处理
D E I=∞ C
1 2 qL 12 1 2 qL D 12
C
R1 P
例8.作M图 8.作 解:
R1=0 P
EI EI
EA = ∞
Z2
l
EI
R2
Z1
r21
3i/l
Z1=1
2EI
l P
R1
12i/l
12i/l 3i/l
r11
M1
q
L
EI
EI
q
A
L
6i L
B
6i L C
6i L
1 2A qL 12
MP
B
1 R1 P = − qL 2
r11
D
6i L
r11 =
24i L2
6i L
A
6i L
B
qL3 ∆1 = 48i
l R2=0 R1 = r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 Z2=1 r22 R2 = r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0 2 3i r11 = 30i / l 8i 3i / l r12 = r21 = −9i / l r21 4i R1 P = − P 3i / l 2 12i / l r22 = 11i 3i r22 24i / l 2 R2 P = 0 3i / l Z 1 = 0.044 Pl 2 / i 8i 12i / l Z 2 = 0.036 Pl / i R2P
M = M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M P
R2P r12 P
M2
R1P
MP
r11
3i / l 2
r12 R1P
0.39Pl
0.24Pl
M
0.13Pl
P
M1
EA = ∞
例9.作M图
EI
Z1 EI
EI 1 = ∞
解
:
r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0 r11 = 51i / 8l 2 r12 = r21 = −6i / l 2
r22 = 30i / l
2
EI EI
l l
P
Z2
例10.作M图——斜杆的处理 10.作 ——斜杆的处理
5 EI / 2
EI EI
P
EI
l
3i / l
l
Z1=1 Z2=1
3i / l 3i / 4l 6i / l 3i / l
解:
q
R1=0 R2=0
l
M1
q
1.5EI EI
l l/2
3i / l
R1 = r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 R2 = r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0
Z2 R2
M2
3i / 8l 2
3i / l 2
r11
3i / l 2
l
l
R1 P = 0 R2 P = − P 8 Pl 2 Z1 = 207i 17 Pl 2 Z2 = 414i
Z1
3i / l 2
3i / l 2
r21 P
MP
q R1 q
3i / l 2 12i / l
2
3i / l 2
r22
12i / l
2
5 EI / 2
q
EI EI 1.5EI
q
Z2 R2
l l/2
q
q
Z1 R1
l
EI l l
r21
Z1=1 3i r11
Z2=1 r22
4i / l 3i / l
R2P
ql2 / 8
M1
4i
3i 2i M 2
r12
r11 = 34i / 3l 2 r12 = −4i / l R1 P = −3ql 2 / 4 r21 = −4i / l r22 = 10i R2 P = 0 Z1 = 45ql 2 / 584i Z 2 = 9ql / 292i
r
22
5 EI / 2
q
EI EI 1.5EI
q
Z 1 = 45ql 2 / 584i
l l/2
Z2=1 r22
l
EI l l
Z 2 = 9ql 3 / 292i
M = M 1 Z1 + M 2 Z 2 + M P
校核平衡条件 r12
r21
Z1=1 3i r11
4i / l 3i / l
R2P
2 ql2 / 8
4i
3i 2i M2
27 / 292 27 / 292 27 / 146 27 / 146
3
M1
16 i / 3 l 2 3 i / l 2
r11
27 / 292
q R1P
q R1P
3i / l 2
4i / l
2
3i
R2P
r12
q
ql2 / 8
MP
R1P 3ql 2 / 8 3ql / 8
3i 4i r21 4i / l
q
ql2 / 8
MP
26 / 73
26 / 73 M 18 / 73 × ql 2
例11.作M图，EI=常数——对称结构与斜杆的处理 图，EI= EI=常数—— ——对称结构与斜杆的处理 解:
l
R1=0 R2=0 P P
解:
R1=0 R2=0
Z1
Z1=1 r11 P
Z2
2i
l
P
l
P
l l l
Z1
l l
r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0
l l
3 2i / l
4i
2 2i
r21
2i M1
1
r11Z1 + r12Z2 + R1P = 0 r21Z1 + r22Z2 + R2P = 0
P
Z2
r11 = (4 + 2 2 )i r12 = ( 3 2 − 6)i / l r12 R1 P = 0 6i / l ∑ MA = 0 r22 = (12 + 6 2 )i / l 2 R1P ∑ MA = 0 R2 P = − P P Z 1 = 0.013 Pl / i 2 Z 2 = 0.05 Pl / i
=
Z2=1
+
2/2
2/2
r22
M2
1
3 2i / l
r12
R2P MP
A
A
r22
12 i / l 2
R2P P
6i / l
例12.作M图， EI=常数——支座移动的处理 EI=常数—— ——支座移动的处理
l l
Z1
例13.作M图，EI=常数——温度变化的处理 图，EI= EI=常数—— ——温度变化的处理 �
+t + t� + t�
Z1 + t�
+ t� + t�
解:
R1=0 r11Z1+R1C=0
解:
∆
l
Z1=1 3i i 2i
M1
+ t�
∆ l Z1=1 3i
4i i 2i
M1
l
R1=0 r11Z1 + R1t = 0 r11 = 8i R 1 t = 9 iα t
l
4i
lα t
+ t� + t� + t� lα t + t� 9α ti / 8
R1C
3i ∆ l
M
C
r11 = 8i
R1c = −3 i∆ / l
Z1 = 3∆ / 8l M = M1 Z1 + Mc
∆
3 i∆ / 2 l 15 i∆ / 8 l
M
Z 1 = − 9α t / 8 M = M1Z1 + Mt
由结果可见：温度变 由结果可见：温度变 l α tl 化引起的位移与EI EI EI大 化引起的位移与EI大 化引起的位移与EI EI大 小无关，内力与EI EI EI大 小无关，内力与EI大 小无关，内力与EI EI大 小有关 小有关
3i
R1t
6i α tl l
3 i∆ / 8 l
3 i∆ / 4 l
3α ti / 2
M
3α ti / 8 15α ti / 4
由结果可见：支座移动引起的位移与 由结果可见：支座移动引起的位移与 EI EI EI大小无关，内力与EI EI大小有关 EI大
小无关，内力与EI大小有关 EI大小无关，内力与EI EI大小有关
Mt
例14. M图， M图，
EI=常数, t1〉t2 EI=常数,
o + t2 o 1
Z1 o + t2
o + t2
r11 = 8i 同上例
的算: R1t的算:
o + t2
+t
+t
o 1
l h
力法、位移法对比
• 力法 基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结 构。 作单位力和外因内力图 由内力图自乘、互乘求系 数，主系数恒正。 建立力法方程（协调） [δ ]{X } + {∆ } = {∆ } 解方程求多余未知力 迭加作内力图 用变形条件进行校核 不能解静定结构
0
+t
l
R1t o
+ t2 + t1o
+ t0
l R 1/ t
o 1
+t
o 1
+ t0
− t/
R 1//t
− t/
o + t1
=
+ t0
+ t0
+
+ t/
+ t/
t0 = (t1 + t2 ) / 2, t / = (t1 − t2 ) / 2 R1t = R1/t + R1//t R 1/ t = 9 i α t 0 同上例 αt / l 3i / αt /l R 1//t = 3 i + αt l − 2i h l h r11Z1 + R1t = 0 M = MZ 1 + M t
3 iα t / l 3 i / + αt l h l
2 iα t / l / h
3 i α tl / h −t +t 2 i α tl / h −t +t
• 位移法 基本未知量：结点独立位 移 基本结构：单跨梁系 作单位位移和外因内力图 由内力图的结点、隔离体 平衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡） [K ]{∆} + {F } = {0} 解方程求独立结点位移 迭加作内力图 用平衡条件进行校核 可以解静定结构