力学中的皮带模型
“皮带”模型中的动力学问题
物体在皮带上运动时摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力、是动力还是阻力，判断的关键在于能否正确判断物体相对于皮带的运动。
[例1] 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图1所示为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB 始终保持v =1m /s 的恒定速率运行，一质量为m =4kg 的行李无初速地放在A 处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ=0. 1，AB 间的距离l =2m ，g 取
10m /s （1（2（3从A 处传送到B 解析：（1）由（2则v =at 2l =at m in 2（3）行李从A 匀加速运动到B 时，传送时间最短。则，代入数值，
得t m in =2s
传送带对应的最小运行速率v m in =at m in 代入数值，解得v m in =2m /s 。 [例2] 如图2所示传送带与地面间倾角θ=37︒，以10m /s 的速度逆时针转动，在传送带上端A 放上一个质量m =0. 5kg 的物体，它与传送带之间的滑动摩擦因数μ=0. 5，已知传送带从A 到B 的长度L=16m，则物体从A 到B 所需的时间为多长？
解析：且mg sin θ>μcos θ斜面向上。
设上述两个过程的加速度分别为a 1、a 2
mg (sinθ+μcos θ) =g (sinθ+μcos θ) =10m /s 2 m
物体速度从零增大到与传送带同速所用的时间：
v t 1==1s a 1
1s 1=a 1t 12=5m 2物体下滑的位移：
接着物体下滑的速度大于传送带的速度，此时加速度： a 1=
a 2=g (sinθ-μcos θ) =2m /s 2
12a 2t 22 余下部分满足：
解得t =1s （t =-11s 负值舍去）所以物体下滑的总时间为2s 。
s 2=L -s 1=vt 2+
[例3] 如图3所示，AB 是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h ，末端B 处的切线方向水平。一个质量为m 的小物体P 从轨道顶端A 处由静止释放，滑到B 端后飞出，落到地面上的C 点，轨道如图中虚线BC 所示，已知它落地时相对于B 点的水平位移OC=l 。
现在轨道的下方紧贴B 点安装一水平传送带，传送带的右端E 与B 端的距l
离为2。当传送带静止时，让P 再次从A 点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端E 点水平飞出，仍然落在地面上的C 点，当驱动轮转动带动传送带以速度v 匀速向右运动时（其他条件不变），P 的落地点为D （不计空气阻力）。试求：
（1）P 滑至B 点时的速度大小；
（2）P 与传送带之间的动摩擦因数μ；
（3）设传送带轮半径为r ，顺时针匀速旋转，当转动的角速度为ω时，小物体P 从E 端滑落后运动的水平距离为s 。若皮带轮以不同的角速度重复以上动作，可得到一组对应的ω值与s 值，讨论s 值与ω值的关系。
图3
解析：（1）物体P 在AB 上滑动时机械能守恒：
12mgh =mv 02
所以P 滑到B 点的速度大小v 0=2gh 。
2gh （2）没有传送带时，P 离开B 后做平抛运动，运动时间为：
有传送带且传送带静止时，P 从传送带的右端水平抛出，在空中运动的时间仍t =l =v 0l
2gh v l l v 1==0=2t 22 为t ，水平位移2，因此P 从传送带的右端抛出速度：
P 在传送带上滑行时，根据动能定理有：
l 112-μmg =mv 12-mv 0222
3h μ=2l 解得P 与传送带之间的动摩擦因数为
（3）本题因传送带顺时针转动，皮带运动方向与小物体P 的初速度方向相同，小物体相对传送带运动的方向是判断摩擦力方向的关键。现分以下几种情况讨论。
A. 传送带的运行速度小于或等于v 1，小物体在传送带上的情况与传送带静止时2gh l l x =s =x +=l 2r ，水平射程2，2相同，所以；
B. 传送带的运行速度等于小物体滑上皮带的初速度v 0时，两者无相对运动，没ωmin ≤v 1=r 有摩擦力，旅行包在皮带上做匀速运动，到达E 端以v 0做平抛运动，水平射程
l s =l +=1. 5l 2大于A 中的结果，为l ，则；
C. 传送带的运行速度大于v 1而小于v 0时，旅行包相对传送带向右运动而受到向左的摩擦力，做匀减速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以到达E 端继而平抛后的水平射程将大于A 中的结果而小于B 中的结果。
D. 传送带的运行速度大于小物体滑上皮带的初速度v 0时，旅行包相对皮带向左运动而受到的摩擦力与皮带运动方向相同，所以做匀加速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以达到E 端继而平抛后的水平射程将大于B 中的结果。 E. 传送带的运行速度大于某一速度时，旅行包将一直做匀加速运动，达到E 端
时速度达到最大值，水平射程也将为最大值。计算过程为：
l 1212μmg =mv m -mv 0222 7v v m =gh ωmax =m
2，其对应的角速度r ，水平射程x m =v m t ， 解得
l l s =+v m t =(1+7) 22
根据以上分析不难看出皮带转动的角速度满足ωm in ≤ω≤ωm ax ，旅行包从B 端l s =+v E t 2滑落后的水平距离由决定。
“皮带”模型中的功能问题
摩擦力做功W f =F f s ；物体与皮带间摩擦生热Q =F f 滑s 相对。
[例4] 一传送带装置示意如图4，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC
由以上可得s 0=2s
用F f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：
12A =F f s =2mv 0
传送带克服小箱对它的摩擦力做功：
12A 0=F f s 0=2⨯mv 02 两者之差就是克服摩擦力做功发生的热量：
12Q =mv 02 可见，小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与热量相等。T 时间内，电动机输出功率为W =P T ，此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即：
12W =Nmv 0+Nmgh +NQ 2
已知相邻两小箱的距离为L ，所以v 0T =NL Nm N 2L 2
P =(2+gh ) T T 联立求解得
[例5]（2004年济南调研）如图5所示，许多工厂的流水线上安装有传送带，用传送带传送工件，可以大大提高工作效率，传送带以恒定的速率v =2m /s 运送质量为m =0. 5kg 的工件，工件从A 位置放到传送带上，它的初速度忽略不计。工件与传送带之间的动摩擦因数
带AB 长度是l =16m 。每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件
2g =10m /s 立即放到传送带上，取，求：
（1）工件放到传送带后经多长时间停止相对滑动；
（2）在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离；
μ=32，传送带与水平方向夹角是θ=30︒，传送
121at =⨯2. 5⨯0. 82m =0. 8m 22
（2）∆l =vt =2⨯0. 8m =1. 6m
（3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功：
W =F f 1l 1+F f 2(l -l 1) =μmg cos θ⋅l 1+mg sin θ(l -l 1) l 1=
31=[⨯5⨯0. 8+⨯0. 5⨯10⨯(16-0. 8)]J =41J 42
1Q =F f 1∆s =μmg cos θ⋅(vt -vt ) 2 （4）
15=[⨯(1. 6-0. 8)]J =3J 4
l n ==10∆l （5）个
151F f 总=F f 1+9F f 2=(+9⨯0. 5⨯10⨯) N =26. 25N 42
P =F f 总v =26. 25⨯2W =52. 5W
1. 动，t 2A. t 1
图2
3. 一皮带传动装置，轮A 、B 均沿同方向运动，设皮带不打滑，a 、b 为两轮边缘上的点，某时刻a 、b 、o 、o 位于同一水平面上，如图3所示，设该时刻a 、b 所受摩擦力分别为f a 、f b ，则下列说法正确的是（ ）
7. μ。A 、① V ② V ③ V ④ V 8. 如图摩擦力为f 9. 多少？（g
10. 如图10所示，在工厂的流水线上，水平传送带正在传送工件，若传送带的速度恒为v =2m /s ，运送的工件完全相同，质量均为m =0. 5kg ，工件都是从A 位置以v 0=1m /s 的初速度滑上传送带，每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件立即滑上传
2g =10m /s μ=0. 2为t ；若物体还没滑到B 点即与传送带相对静止则所用时间小于t ；③ 当V 传与V 0同向且V 传=V 0时物体滑到B 一直做匀速直线运动故所用时间为L /V 0；④ 当V 传与V 0同向且V 传>V 0时物体滑到B 一直做匀加速直线运动或先做匀加速运动后做匀速运动则所用时间小于t
8. 若a 向上，则物体所受的摩擦力方向向上，大小为f =ma +mg sin θ；若a 向下，则分三种情况① 若a >g sin θ则物体所受的摩擦力方向向下，大小为f =ma -mg sin θ；② 若a =g sin θ则物体不受摩擦力的作用；③ 若a
9. μ=0. 2
31J J 10. （1）0. 5s （2）4 （3）4
力学中的皮带模型
“皮带”模型中的动力学问题
物体在皮带上运动时摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力、是动力还是阻力，判断的关键在于能否正确判断物体相对于皮带的运动。
[例1] 水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，用于对旅客的行李进行安全检查。如图1所示为一水平传送带装置示意图，绷紧的传送带AB 始终保持v =1m /s 的恒定速率运行，一质量为m =4kg 的行李无初速地放在A 处，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动，随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带间的动摩擦因数μ=0. 1，AB 间的距离l =2m ，g 取
10m /s （1（2（3从A 处传送到B 解析：（1）由（2则v =at 2l =at m in 2（3）行李从A 匀加速运动到B 时，传送时间最短。则，代入数值，
得t m in =2s
传送带对应的最小运行速率v m in =at m in 代入数值，解得v m in =2m /s 。 [例2] 如图2所示传送带与地面间倾角θ=37︒，以10m /s 的速度逆时针转动，在传送带上端A 放上一个质量m =0. 5kg 的物体，它与传送带之间的滑动摩擦因数μ=0. 5，已知传送带从A 到B 的长度L=16m，则物体从A 到B 所需的时间为多长？
解析：且mg sin θ>μcos θ斜面向上。
设上述两个过程的加速度分别为a 1、a 2
mg (sinθ+μcos θ) =g (sinθ+μcos θ) =10m /s 2 m
物体速度从零增大到与传送带同速所用的时间：
v t 1==1s a 1
1s 1=a 1t 12=5m 2物体下滑的位移：
接着物体下滑的速度大于传送带的速度，此时加速度： a 1=
a 2=g (sinθ-μcos θ) =2m /s 2
12a 2t 22 余下部分满足：
解得t =1s （t =-11s 负值舍去）所以物体下滑的总时间为2s 。
s 2=L -s 1=vt 2+
[例3] 如图3所示，AB 是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h ，末端B 处的切线方向水平。一个质量为m 的小物体P 从轨道顶端A 处由静止释放，滑到B 端后飞出，落到地面上的C 点，轨道如图中虚线BC 所示，已知它落地时相对于B 点的水平位移OC=l 。
现在轨道的下方紧贴B 点安装一水平传送带，传送带的右端E 与B 端的距l
离为2。当传送带静止时，让P 再次从A 点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端E 点水平飞出，仍然落在地面上的C 点，当驱动轮转动带动传送带以速度v 匀速向右运动时（其他条件不变），P 的落地点为D （不计空气阻力）。试求：
（1）P 滑至B 点时的速度大小；
（2）P 与传送带之间的动摩擦因数μ；
（3）设传送带轮半径为r ，顺时针匀速旋转，当转动的角速度为ω时，小物体P 从E 端滑落后运动的水平距离为s 。若皮带轮以不同的角速度重复以上动作，可得到一组对应的ω值与s 值，讨论s 值与ω值的关系。
图3
解析：（1）物体P 在AB 上滑动时机械能守恒：
12mgh =mv 02
所以P 滑到B 点的速度大小v 0=2gh 。
2gh （2）没有传送带时，P 离开B 后做平抛运动，运动时间为：
有传送带且传送带静止时，P 从传送带的右端水平抛出，在空中运动的时间仍t =l =v 0l
2gh v l l v 1==0=2t 22 为t ，水平位移2，因此P 从传送带的右端抛出速度：
P 在传送带上滑行时，根据动能定理有：
l 112-μmg =mv 12-mv 0222
3h μ=2l 解得P 与传送带之间的动摩擦因数为
（3）本题因传送带顺时针转动，皮带运动方向与小物体P 的初速度方向相同，小物体相对传送带运动的方向是判断摩擦力方向的关键。现分以下几种情况讨论。
A. 传送带的运行速度小于或等于v 1，小物体在传送带上的情况与传送带静止时2gh l l x =s =x +=l 2r ，水平射程2，2相同，所以；
B. 传送带的运行速度等于小物体滑上皮带的初速度v 0时，两者无相对运动，没ωmin ≤v 1=r 有摩擦力，旅行包在皮带上做匀速运动，到达E 端以v 0做平抛运动，水平射程
l s =l +=1. 5l 2大于A 中的结果，为l ，则；
C. 传送带的运行速度大于v 1而小于v 0时，旅行包相对传送带向右运动而受到向左的摩擦力，做匀减速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以到达E 端继而平抛后的水平射程将大于A 中的结果而小于B 中的结果。
D. 传送带的运行速度大于小物体滑上皮带的初速度v 0时，旅行包相对皮带向左运动而受到的摩擦力与皮带运动方向相同，所以做匀加速运动，直到两者速度相同，再做匀速运动，所以达到E 端继而平抛后的水平射程将大于B 中的结果。 E. 传送带的运行速度大于某一速度时，旅行包将一直做匀加速运动，达到E 端
时速度达到最大值，水平射程也将为最大值。计算过程为：
l 1212μmg =mv m -mv 0222 7v v m =gh ωmax =m
2，其对应的角速度r ，水平射程x m =v m t ， 解得
l l s =+v m t =(1+7) 22
根据以上分析不难看出皮带转动的角速度满足ωm in ≤ω≤ωm ax ，旅行包从B 端l s =+v E t 2滑落后的水平距离由决定。
“皮带”模型中的功能问题
摩擦力做功W f =F f s ；物体与皮带间摩擦生热Q =F f 滑s 相对。
[例4] 一传送带装置示意如图4，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC
由以上可得s 0=2s
用F f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为：
12A =F f s =2mv 0
传送带克服小箱对它的摩擦力做功：
12A 0=F f s 0=2⨯mv 02 两者之差就是克服摩擦力做功发生的热量：
12Q =mv 02 可见，小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与热量相等。T 时间内，电动机输出功率为W =P T ，此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即：
12W =Nmv 0+Nmgh +NQ 2
已知相邻两小箱的距离为L ，所以v 0T =NL Nm N 2L 2
P =(2+gh ) T T 联立求解得
[例5]（2004年济南调研）如图5所示，许多工厂的流水线上安装有传送带，用传送带传送工件，可以大大提高工作效率，传送带以恒定的速率v =2m /s 运送质量为m =0. 5kg 的工件，工件从A 位置放到传送带上，它的初速度忽略不计。工件与传送带之间的动摩擦因数
带AB 长度是l =16m 。每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件
2g =10m /s 立即放到传送带上，取，求：
（1）工件放到传送带后经多长时间停止相对滑动；
（2）在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离；
μ=32，传送带与水平方向夹角是θ=30︒，传送
121at =⨯2. 5⨯0. 82m =0. 8m 22
（2）∆l =vt =2⨯0. 8m =1. 6m
（3）在传送带上摩擦力对每个工件做的功：
W =F f 1l 1+F f 2(l -l 1) =μmg cos θ⋅l 1+mg sin θ(l -l 1) l 1=
31=[⨯5⨯0. 8+⨯0. 5⨯10⨯(16-0. 8)]J =41J 42
1Q =F f 1∆s =μmg cos θ⋅(vt -vt ) 2 （4）
15=[⨯(1. 6-0. 8)]J =3J 4
l n ==10∆l （5）个
151F f 总=F f 1+9F f 2=(+9⨯0. 5⨯10⨯) N =26. 25N 42
P =F f 总v =26. 25⨯2W =52. 5W
1. 动，t 2A. t 1
图2
3. 一皮带传动装置，轮A 、B 均沿同方向运动，设皮带不打滑，a 、b 为两轮边缘上的点，某时刻a 、b 、o 、o 位于同一水平面上，如图3所示，设该时刻a 、b 所受摩擦力分别为f a 、f b ，则下列说法正确的是（ ）
7. μ。A 、① V ② V ③ V ④ V 8. 如图摩擦力为f 9. 多少？（g
10. 如图10所示，在工厂的流水线上，水平传送带正在传送工件，若传送带的速度恒为v =2m /s ，运送的工件完全相同，质量均为m =0. 5kg ，工件都是从A 位置以v 0=1m /s 的初速度滑上传送带，每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时，后一个工件立即滑上传
2g =10m /s μ=0. 2为t ；若物体还没滑到B 点即与传送带相对静止则所用时间小于t ；③ 当V 传与V 0同向且V 传=V 0时物体滑到B 一直做匀速直线运动故所用时间为L /V 0；④ 当V 传与V 0同向且V 传>V 0时物体滑到B 一直做匀加速直线运动或先做匀加速运动后做匀速运动则所用时间小于t
8. 若a 向上，则物体所受的摩擦力方向向上，大小为f =ma +mg sin θ；若a 向下，则分三种情况① 若a >g sin θ则物体所受的摩擦力方向向下，大小为f =ma -mg sin θ；② 若a =g sin θ则物体不受摩擦力的作用；③ 若a
9. μ=0. 2
31J J 10. （1）0. 5s （2）4 （3）4