三角函数
三角函数的图像和性质：
三个三角函数值在每个象限的符号：
sinα cosα tanα·
特殊角的三角函数值：
1. 诱导公式
2. 和差角公式
①sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β ②cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β ③t an (α±β) =
t an α±t an β
1 t an α⋅t an β
3. 二倍角公式及万能公式 ①sin 2θ=2sin θcos θ=
2
2
2t an θ
1+t an 2θ
2
2
1-t an 2θ
②cos 2θ=cos θ-sin θ=2cos θ-1=1-2sin θ=
1+t an 2θ
③t an 2θ=
2t an θ1-cos 2θ1+cos 2θ22
sin θ=cos θ= ④ ⑤
221-t an 2θ
4. 三倍角公式： ①sin 3θ=3sin θ-4sin 3θ ②cos 3θ=-3cos θ+4cos 3θ 5. 辅助角公式：
a sin θ+b cos θ=(θ+ϕ), 其中tan ϕ=
sin θ+
b
. 如：
a
π⎫π⎫⎛⎛
θ=2sin θ+⎪θ-cos θ=2sin θ-⎪,
3⎭6⎭⎝⎝
π
sin θ+cos θ=2(sinθ+)
4
6. 正弦定理：
===2R (R 为三角形外接圆的半径). c a b
,sin B =,sin C =变式：(i )a :b :c =；(ii )sin A =；s i n A :s i n B :s i n C
2R 2R 2R
(iii )a =2R sin A , b =2R sin B , b =2R sin C ；
7. 余弦定理：
222等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. a =b +c -2bc cos A ,cos A =
2
2
2
8. 面积公式：
S =ah a =ab sin C =r (a +b +c ) （其中r 为三角形内切圆半径）. 222
常用技巧
①巧变角
如α=(α+β) -β=(α-β) +β，2α=(α+β) +(α-β) ，
α+βα+ββ
=α---β ，2α=(β+α) -(β-α) ，α+β=2⋅
2222
2π1π3
1、已知tan(α+β) =，tan(β-) =，那么tan(α+) 的值是_____
225444
()(
)
2、0
π
2
β
1α2490) =-，sin(-β) =，求cos(α+β) 2923729
②三角函数名互化(切割化弦) 1、求值sin50(1) 1
2、已知
1sin αcos α2
=1, tan(α-β) =-，求tan(β-2α) 的值
81-cos 2α3
③公式变形使用 (韦达定理)
（tan α±tan β=tan (α±β)(1tan αtan β)
若α+β=45°（1+tanα）（1+tanβ）=2
1、A 、B 为锐角，且满足tan A tan B
=tan A +tan B +1，则cos(A +B ) ＝
_____-
2、∆ABC ，
tan A +tan B Atan B ，sin Acos A =
3、已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜求α ＋β 的值
， ____三角形等边 π3
，π
22
4、在∆ABC 中， (1+tan A)(1+tan B ) =2，则log 2sinC ＝_____-
1 2
④三角函数次数的降升
1+cos 2α1-cos 2α22
降幂公式：cos α=，sin α=与
22
22
升幂公式：1+cos 2α=2cos α，1-cos 2α=2sin α
1、若α∈
(π, π)
2
、f (x ) =
5sin xcos x -2x +
32α为_____///sin
2x ∈R ) 递增区间＿＿[k π-
π
12
,k π+
5π
](k ∈Z ) 12
⑤式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同) 。如
1、求证：
1+sin α1-2sin 2
1+tan =1-tan 2
α；
2
1
1cos 2x 2、化简：
22tan(-x )sin 2(+x )
44
2cos 4x -2cos 2x +
⑥常值变换主要指“1”的变换 (齐次式)
1=sin 2x +cos 2x =sec 2x -tan 2x =tan x ⋅cot x =tan =
sin =
42322
已知tan α=2，求sin α+sin αcos α-3cos α
5
⑦正余弦的内存联系 “知一求二”
(sinθ±cos θ) 2=1±2sin θcos θ=1±sin 2θ
t 2-1
1、若 sin x ±cos x =t ，则sin x cos x = ±
2
ππsin 2α+2sin 2α
=k (
2、已知
421+tan α
⑧辅助角公式中辅助角的确定：
θ角的a sin x +b cos x =(x +θ)(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，
b
确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 a
1、
若方程sin x x =c 有实数解，则c 的取值范围是___________. ///[－2,2]
值由tan θ=
2、当函数y =2cos x -3sin x 取得最大值时，tan x 的值是______///-
3、如果f (x )=sin (x +ϕ)+2cos(x +ϕ) 是奇函数，则tan ϕ= ///－2
3 2
一、化作同名三角函数
1. sin θcos θ=
sin 2θ1-c o s 2θ1+cos 2θ2
s i n θ= cos 2θ=
222
b
2. a sin θ+b cos θ=(θ+ϕ), 其中tan ϕ=. 如：
a
sin θπ⎫π⎫⎛⎛
θ=2sin θ+⎪θ-cos θ=2sin θ-⎪,
3⎭6⎭⎝⎝
π
sin θ+cos θ=2(sinθ+)
4
3. 与向量挂钩 a=（x 1，y 1） b=（x 2，y 2） a •b=x1x 2+y1y 2
2. 已知函数f (x ) =cos
3. 设函数f (x )=2cos x (sin x +cos x )-1 求函数f (x )
4已知向量=(cosωx -sin ωx ，sin ωx ) ，=(-cos ωx -sin ωx 2cos ωx ) ， 求函数f (x )
5．设向量a =(sinx ,cos x ), b =(cosx ,cos x ), x ∈R , 函数f (x ) =a ⋅(a +b ) 求函数f (x )
2
x x x 1
-sin cos -。求函数f (x ) 2222
二、图像性质与平移
1. y =A sin(ωx +ϕ) A ：振幅； T=
2π
：周期 ωx +ϕ：相位；ϕ：初相； w
2. 函数y =A sin(ωx +ϕ) +k 的图象与y =sin x 图象间的关系：
①函数y =sin x 的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ
②函数y =s i n (x +ϕ)图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数
y =s i n (ωx +ϕ)的图象；
③函数y =sin (ωx +ϕ)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数
y =A sin(ωx +ϕ) 的图象；
④函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的横坐标不变，纵坐标向上（k >0）或向下（k
3. 要特别注意：对于x 平移来说，左加右减； 对于y 平移来说，上加下减
4. 在y =A sin(ωx +ϕ) 中，令w x+φ=X，则可由sinX 的性质求出y 的单调区间、对称轴、对称中心
5. 由x 的定义域求出wx+φ的求值范围，再利用单位圆求出sin （wx+φ），在求出y 的值域 6. 周期的判断
①最近的两个波峰（波谷）的距离为一个周期 ②相邻的一个波峰和一个波谷的距离为半个周期 ③相邻的两条对称轴的距离为半个周期 ④相邻的两个对称中心的距离为半个周期 ⑤一个连续的递增（递减）区间的距离为半个周期
练习
1. 已知函数f (x ) =2sin(2x -
π
4
)
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若x ∈[0,
3π
，求f (x ) 的取值范围； 4
（7）求函数f (x ) 的对称轴与对称中心；
（8）若f (x +ϕ) 为奇函数，ϕ∈[0,2π) ，求ϕ；若f (x +ϕ) 为偶函数，ϕ∈[0,2π) ，求
ϕ。
2. 设函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A ≠0, ω>0, -周期是π，则 （C ）
π
2
π
2
) 的图象关于直线x =
2π
对称，它的3
A 、f (x ) 的图象过点(0, ) B 、f (x ) 在区间[
12
125π2π
, ]上是减函数 123
C 、f (x ) 的图象的一个对称中心是(5π, 0) D 、f (x ) 的最大值是A 3. 对于函数f (x )=2sin 2x +
⎛⎝
π⎫
⎪给出下列结论： 3⎭
①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线x =
π
12
成轴对称；
③图象可由函数y =2sin 2x 的图像向左平移④图像向左平移
π
个单位得到； 3
π
个单位，即得到函数y =2cos 2x 的图像。 12
其中正确结论是_____ （②④）；
4. 已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ) 图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间的距离为
π，3
那么此函数的周期是____ π
5把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）
6. 函数y =2sin(2x -
7. （1）将函数y =
π
4
) -1的图象经过怎样的变换才能得到y =sin x 的图象？
1π1
sin(2x -) 的图象向______平移_______个单位得到函数y =sin 2x 2421πππcos(2x -) 的图象, 可以把函数y =sin(x -) cos(x -) 的图象向2466
的图象(只要求写出一个值) (2) 要得到y =
______平移_______个单位(只要求写出一个值).
8. 如图，函数y =2sin(πx +ϕ) ，x ∈R ，（其中0≤ϕ≤
π
2
1) 。 ）的图象与y 轴交于点(0，
（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图象上的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，求与的夹角。
ωx +ϕ) -9. 设x ∈R , 函数f (x ) =cos (
8
4
2
1π
(ω>0, o
π1
π, 且f () =. (1)求ω和ϕ的值; (2)求的单调增区间.
10. f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0，|ϕ|
则f (x ) ＝_____（答：f (x ) =2sin(
9. 已知函数f (x )=A sin (ωx +ϕ) x ∈R , ω>0, 0
π
2
) 15πx +) ）； 23
⎛⎝
π⎫
⎪的部分图像如图5所示。 2⎭
⎛⎝
π⎫⎛
⎪-f x +⎪的单调递增区间。 12⎭12⎭⎝
π⎫
10. 函数f (x ) =A sin(ωx -
之间的距离为
π
6
+1（A >0, ω>0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴
π， 2
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；
πα
（Ⅱ）设α∈(0,) ，则f () =2，求α的值。
22
11. 已知向量=(sin x , 1)，= 3A cos x , 为6. （Ⅰ）求A ；
⎛⎝A ⎫
cos 2x ⎪(A >0)，函数f (x )=⋅的最大值2⎭
π
个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来12
1⎡5π⎤的倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象。求g (x )在⎢0, 上的值域。 ⎥2⎣24⎦
（Ⅱ）将函数y =f (x )的图象像左平移
三、正弦定理与余弦定理解三角形 1.A+B+C=π
（1）当涉及A 、B 、C 三个都包含的关系式时可与此方程联立求某角的值 A +C =2B 可知B=60°
（2）sin (A+B ) =sin C cos (A+B ) =－cos C
2. 正弦值与余弦值的推导
（1）cosA 的值可直接推出sinA 的值 （在一、二象限sinA 都是正的） （2）sinA 的值不可直接推出cosA 的值 （除非告知A 是锐角或者sin 3. 关于cosA=m的应用 （1）求sinA 的值
A B ) =－t a n C t a n (+
A A 可知cos ） 22
222
（2）利用余弦定理a =b +c -2bc cos A ,cos A =求其他量
2
2
2
4. 正弦定理
（1）直接利用正弦定理求值
（2）边与角的比值互换 xsinA+ysinB=zsinC 变换为 xa+yb=zc
xsin 2A+ysin2B=zsin2C 变换为 xa 2+yb2=zc2（与余弦定理挂钩） 5. 有关bc （1）S=
1
bcsinA （面积） 2
b 2+c 2-a 2
（2）cosA=
2bc
（3）若告知bc 的值，那么可以根据正弦定理求6. 若直接告知一个角的大小
（1）判断是否为特殊角或者可以拆分为特殊角
b
，进而求出b 、c 的值 c
（2）与90°作比较，判断其他角的范围
7.cosA 、 b+c（b-c ） 、 a 、 bc 的知三求一
(b+c) 2-2bc -a 2(b-c) 2+2bc -a 2
cosA==
2bc 2bc
8. 求A 的大小
（1）一般情况下利用cosA 求
（2）若告知（或判断）为锐角三角形，则一般用sinA 求 9. 范围问题(不等式或者化成同名三角函数)
（1）已知C 的大小，求sin A +sin B 的范围（或者a+c） （2）已知C 和c 的大小，求a+c的范围
1. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =2，cos B =
（Ⅰ）若b =3，求sin A 的值；
（Ⅱ）若∆ABC 的面积S ∆ABC =3，求b ，c 的值
2. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C =
4． 5
3π，sin A =. 45
（Ⅰ）求cos A ，sin B 的值；
（Ⅱ）若ab =a ，b 的值.
3. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，
满足sin （Ⅰ）求bc 的值； （Ⅱ）若b +c =6，求a 的值．
A B C 的面积为2．=，且∆A
2
4. 在∆ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a , b , c 是三个内角对应的三边，已知
b 2+c 2-a 2=bc ．
222
（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若sin B +sin C =2sin A ，且a =1，求∆ABC 的面积.
5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c =2b cos A . （I ）求证：A=B； （II ）若△ABC 的面积S =
6. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A = ( I ) 求cos C 的值；
(Ⅱ) 若ac=24，求a ，c 的值．
7. 在∆ABC 中，a , b , c 分别为角A , B , C 所对的边。a +c =2b ，且a =2c 。 (I)求cos A 的值； (II)
若S ∆ABC =
154
,cos C =, 求c 的值. 25
3
, C =2A ． 4
，求b 的值。 4
8在∆ABC 中，A +C =
2B ，s inA =
a
（I ）求边b 的长； （II ）求∆ABC 的面积．
9. 在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , B =
（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求∆ABC 的面积.
10. 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C
=2c sin A
π
3
，cos A =
4
, b = 5
(Ⅰ) 确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7, 且△ABC 的面积为
33
2
, 求a ＋b 的值。
11. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b sin A ．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若a =c =5，求b ．
12. 在∆ABC 中，角A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
，且
sin A =
1B =。 2
（I ）求sin(A +B ) 的值。（II ）求a =2，求a 、b 、c 的值。
13. 已知∆A B C 的三个内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , ∠A 是锐角, 且
b =2a ⋅sin B .
22
（Ⅰ）求∠A 的度数； （Ⅱ）若a =7，∆ABC 的面积为10，求b +c 的值.
14. 设∆ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B =
o
4
, b =2. 5
（Ⅰ）当A =30时，求a 的值；（Ⅱ）当∆ABC 的面积为3时，求a +c 的值.
15. 在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos 2C =-（Ⅰ）求sin C ； （Ⅱ）当c =
2a ，且b =a .
16. 在∆ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a , b , c ，已知tan B =(Ⅰ) 求tan A ；
(Ⅱ) 求∆ABC 的面积.
3
. 4
11，tan C =，且c =1. 23
C 所对应的边分别为a ，b ，s n i 17. 在∆ABC 中，角A ，B ，且4c ，
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A +sin B 的最大值．
2
A +B
2-2
C =
7． 2
18. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c =2a ，C =（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求cos(2A -) 的值.
π. 4
π3
四、判断三角形形状
1.要熟练掌握正弦定理与余弦定理，找准边与角的互换关系 2.sinA=sinB → A=B→
sin2A=sin2B → A=B或者A+B=90° sin(A-B)=0 → A=B cos(A-B)=1 → A=B sin(A+B)=1 →A+B=90°
cos(A+B)=0 →A+B=90 3sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β
α(±β) =c o αs c o βs s i n αs i n β c o s
练习题
1、已知在△ABC 中，b =c ∙cos A ，试判断△ABC 的性状。
b =c ⋅cos A
∴2b 2=2bc ⋅cos A =b 2+c 2-a 2 ∴a 2+b 2=c 2
∴ΔABC 为直角三角形
2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，试判断△ABC 的形状。
cos A ＞sin B ∴cos A ＞cos(-B )
2∴A ＜
π
π
2
-B
∴A +B ＜∴C ＞
π
2
π
2
∴ΔABC 为钝角三角形
3、已知在△ABC 中，b =a ∙sin C ，且c =a ∙sin(
π
2
-B ) ，试判断△ABC 的形状。
c =a ⋅sin(-B ) =a ⋅cos B
2
∴2c 2=2ac ⋅cos B =a 2+c 2-b 2 ∴b 2+c 2=a 2
∴ΔABC 为直角三角形，且sin C =
π
c a
b =a ⋅sin C
∴b =c
∴ΔABC 为等腰直角三角形
4、已知在△ABC 中，2sin A ∙cos B =sin C ，试判断△ABC 的性状。
2sinA ⋅cosB =sin C ∴2a ⋅cos B =c
∴2ac ⋅cos B =c =a +c -b ∴a =b
∴ΔABC 为等腰三角形
5、已知在△ABC 中，sin A =2sin B ∙cos C ，且sin A =sin B +sin C ，试判断△ABC 的性状。
2
2
2
2222
sin 2A =sin 2B +sin 2C ∴a =b +c
2
2
2
sinA =2sinB ⋅cosC ∴a =2b ⋅cos C
∴a =2ab ⋅cos C =a +b -c ∴b =c
∴ΔABC 为等腰直角三角形
6、已知在△ABC 中，(a+b +c)(b+c -a) =3bc ，且sin A =2sin B ∙c o sC ，试判断△ABC 的性状。
2
2
2
2
sinA =2sinB ⋅cosC ∴a =2b ⋅cos C
∴a =2ab ⋅cos C =a +b -c ∴b =c
(a+b +c)(b+c -a) =3bc ∴(2b+a)(2b-a) =3b 2∴a =b
2
2
2
2
∴ΔABC 为等边三角形
7、已知在△ABC 中，∠B =60︒，且b =ac ，试判断△ABC 的性状。
2
∠B =60︒
1a 2+c 2-b 2
∴cos B ==
22ac
∴ac =a 2+c 2-b 2=a 2+c 2-ac ∴(a -c ) 2=0∴a =c
∴ΔABC 为等边三角形
8、已知在△ABC 中，∠B =60︒，且2b =a +c ，试判断△ABC 的性状。
∠B =60︒
1a 2+c 2-b 2
∴cos B ==
22ac
(a +c ) 222
∴ac =a +c -
4
∴4ac =4a 2+4c 2-a 2-c 2-2ac ∴(a -c ) 2=0∴a =c
∴ΔABC 为等边三角形 9、已知在△ABC 中，
sin A cos B cos C
==，试判断△ABC 的性状。 a b c
sin A cos B cos C
==a b c ∴sin B =cos B ，sin C =cos C ∴B =C =
π
4
∴ΔABC 为等腰直角三角形
10、已知在△ABC 中，(a -b ) ∙sin(A +B ) =(a +b ) ∙sin(A -B ) ，试判断△ABC 的性状。
2
2
2
2
(a 2-b 2) ∙sin(A +B ) =(a 2+b 2) ∙sin(A -B )
∴(a 2-b 2) ⋅sin C =(a 2+b 2) ⋅(sinA ⋅cos B -sin B ⋅cos A ) ∴(a 2-b 2) ⋅2c 2=(a 2+b 2) ⋅(2ac ⋅cos B -2bc ⋅cos A )
∴(a 2-b 2) ⋅2c 2=(a 2+b 2) ⋅(a 2+c 2-b 2) -(b 2+c 2-a 2) ∴(a 2-b 2) ⋅c 2=(a 2+b 2) ⋅(a 2-b 2)
∴a 2-b 2=0或a 2+b 2=c 2
[
]
21
∴ΔABC 为等腰三角形或直角三角形
11、在△ABC 中，(a +b +c )(sinA +sin B -sin C ) =3a ∙sin B ，且b ∙c o s A =a ∙c o s B ，试判断△ABC 的性状。
b ∙cos A =a ∙cos B
∴sin A ⋅cos B -sin B ⋅cos A =0
∴sin(A -B ) =0∴A =B ⇒a =b
(a +b +c )(sinA +sin B -sin C ) =3a ∙sin B ∴(2a +c )(2a -c ) =3a 2∴4a -c =3a ∴a =c
2
2
2
∴ΔABC 为等边三角形
12、已知在△ABC 中，a tan B =b tan A ，试判断△ABC 的性状。
2
2
a 2tan B =b 2tan A a 2b b 2a ∴=
cos B cos A a cos B sin A ∴== b cos A sin B
∴2sin A cos A =2sin B cos B ∴sin 2A =sin 2B
∴A =B ⇒a =b 或2A +2B =π⇒A +B =
∴ΔABC 为等腰三角形或直角三角形 13、已知在△ABC 中，
π
2
a cos
2
=
b cos
2
=
c cos
2
，试判断△ABC 的性状。
a cos
A B
cos 22sin A sin B ∴=
cos cos
22A A B B 2sin ⋅cos 2sin ⋅cos
= ∴
A B cos cos
22A B ∴sin =sin
22∴A =B
22
=
b
同理：A=B=C
∴ΔABC 为等边三角形 14、已知在△ABC 中，cos
2
A b +c =，试判断△ABC 的性状。 22c
cos 2
A b +c
=22c
cos A +1b +c ∴=
22c
b b 2+c 2-a 2
∴cos A ==
c 2bc
∴a 2+b 2=c 2
∴ΔABC 为直角三角形
15、已知在△ABC 中，2a sin A =(2b +c ) sin B +(2c +b ) sin C ，且sin B +sin C =1，试判断△ABC 的性状。
2a sin A =(2b +c ) sin B +(2c +b ) sin C ∴2a 2=2b 2+bc +2c 2+bc ∴-bc =b 2+c 2-a 2
b 2+c 2-a 21∴cos A ==-
2bc 2
2π∴A =
3
sin B +sin C =1
∴sin B +sin(-B ) =1
31
∴sin B +cos B -sin B =1
2231
∴cos B +sin B =1
22∴sin(+B ) =13∴
π
π
π3
+B =
π2
∴B =C =
π6
sin A +sin B
，试判断△ABC 的形状。
cos A +cos B
∴ΔABC 为等腰三角形 16、已知在△ABC 中，sin C =
23
sin C =
sin A +sin B cos A +cos B
A +B A -B 2sin ⋅cos
∴sin(A +B ) = 2cos ⋅cos
22
A +B A -B 2sin ⋅cos
A +B A +B ∴2sin ⋅cos =
A +B A -B 222cos ⋅cos 22
A +B 2
) -1=02
∴cos(A +B ) =0 ∴2(cos∴A +B =
π
2
A -B a -b
=，试判断△ABC 的形状。 2a +b
∴ΔABC 为直角三角形 17、已知在△ABC 中，tan
tan
A -B sin A -sin B
=2sin A +sin B A -B A +B A -B sin 2cos ⋅sin
=∴
cos 2sin ⋅cos
222A +B A +B ∴sin -cos =0
222A +B 2A +B
∴sin -cos =0
2222A +B πA +B π∴sin ⋅cos -cos ⋅sin =0
2424A +B π∴sin(-) =0
24A +B π∴-=0
24∴A +B =
π2
∴ΔABC 为直角三角形
24
五、高考真题
一、选择题
1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知a 是第二象限角, sin a =
5
13
, 则cos a = A ．-
12
13
B ．-
5513
C ．
13
D ．1213
2 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））函数f (x ) =(1-cos x )sin x 在[-π, π]的图像大致为
3 ．（2013年高考四川卷（文））函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
π
2
的部分图象
如图所示, 则ω, ϕ的值分别是
25
）（
（ ）
A ．2, -
π
π
π3
B ．2, -
π
6
C ．4, -
6
D ．4,
3
4 ．（2013年高考湖南（文））在锐角∆ABC 中, 角A,B 所对的边长分别为a,b. 若2sinB=
3b,
则角A 等于______ A ．
π
3
B ．
π
4
C ．
π
6
D ．
π
12
5 ．（2013年高考福建卷（文））将函数f (x ) =sin(2x +θ)(-
π
2
π
2
) 的图象向右平移
ϕ(ϕ>0) 个单位长度后得到函数g (x ) 的图象, 若f (x ), g (x ) 的图象都经过点
P (0,
3
2
) , 则ϕ的值可以是 A ．5π5π3 B ．
C ．
π
6
2
D ．
π
6
6 ．（2013年高考陕西卷（文））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若
b cos C +c cos B =a sin A , 则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形
D ．不确定
7 ．（2013年高考辽宁卷（文））在∆ABC , 内角A , B , C 所对的边长分别为
a , b , c . a s i n B c o C
s +c s i B n c =1
2
且b a >, b , 则∠B =
A ．
π
πC ．
2π6
B ．
3 D ．
5π36
8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知b=2,B=错误！
未找到引用源。,C=错误！未找到引用源。, 则△ABC 的面积为 A ．2错误！未找到引用源。+2
B ．错误！未找到引用源。+1
9 ．（2013年高考江西卷（文）
）若sin
α
2
=
3
cos α= A ．-23
B ．-
13
C ．错误！未找到引用源。
26
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
C ．2错误！未找到
（ ）
D ．错误！未找到
10．（2013年高考山东卷（文））∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,
若B =2A , a =
1, b =, 则c = A
．B ．2
C
D ．1
2
（ ）
11．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=错误！未找到引用源。, 则cos (α+错误！未
找到引用源。)=
A ．错误！未找到引用源。
12．（2013年高考广东卷（文））已知sin(
B ．错误！未找到引用源。
（ ）
C ．错误！未找到（ ）
5π1
+α) =, 那么cos α= 25
A ．-215
B ．-
5
C ．15 D ．25
13．（2013年高考湖北卷（文））
将函数y x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个
单位长度后, 所得到的图象关于y 轴对称, 则m 的最小值是 A ．
π
π12
B ．
π6
C ．
π D ．
536
14．（2013年高考大纲卷（文））若函数y =sin
(ωx +ϕ)(ω>0)的部分图像如图，则ω=
A ．5 B ．4
C ．3
D ．2
15．（2013年高考天津卷（文））函数f (x ) =sin ⎛ π⎫⎡π⎤⎝2x -4⎪⎭在区间⎢⎣0, 2⎥⎦
上的最小值是
A ．-1
B
． C
D ．0
16．（2013年高考安徽（文））设
∆ABC 的内角A , B , C 所对边的长分别为a , b , c , 若
b +c =2a ,3sin A =5sin B , 则角C =
A ．
π
2π
3
B ．
C ．
3π5π34
D ．
6
17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角
∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为
a , b , c , 23cos 2A +cos 2A =0, a =7, c =6, 则b =
27
）
）
）
）
）
（（（（（
A ．10 B ．9 C ．8 D ．5
18．（2013年高考浙江卷（文））函数f(x)=sin xcos x+
3
的最小正周期和振幅分别2
（ ）
D ．2π,2
是
A ．π,1
B ．π,2 C ．2π,1
19．（2013年高考北京卷（文））在△ABC中, a =3, b =5, sin A =
1
, 则sin B = 3
D ．1
（ ）
A ．
1 5
B ．
5 9
C
20．（2013年高考山东卷（文））函数y =x cos x +
sin x 的图象大致为
二、填空题
21．（2013年高考四川卷（文））设sin 2α=-sin α, α∈(
π
2
, π) , 则tan 2α的值是________.
22．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数y =cos(2x +ϕ)(-π≤ϕ
π
错误！2
未找到引用源。个单位后, 与函数y =sin(2x +
π
3
) 的图像重合, 则|ϕ|=___________.
B 、C 所对的边分别是a , b , c . 23．（2013年上海高考数学试题（文科））已知∆ABC 的内角A 、
若a +ab +b -c =0, 则角C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).
24．（2013年上海高考数学试题（文科））若cos x cos y +sin x sin y =
2
2
2
1
, 则3
cos (2x -2y )=________.
25．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设当x =θ时, 函数f (x ) =sin x -2cos x 取得最大值, 则
cos θ=______.
26．（2013年高考江西卷（文））设f(x)=错误！未找到引用源。sin3x+cos3x,若对任意实数
x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是_____.
三、解答题
27．（2013年高考大纲卷（文））设∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为
a , b , c , (a +b +c )(a -b +c ) =ac .
28
(I)求B
(II)
若sin A sin C =
求C .
28．（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
(1) 求f (
2π
3
) 错误！未找到引用源。的值; (2) 求使错误！未找到引用源。 f (x )
4
成立的x 的取值集合
29．（2013年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . b sin A =3c sin B , a = 3, cos B =
2
3
. (Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin ⎛
⎝
2B -π⎫3⎪⎭的值.
30．（2013年高考广东卷（文））
已知函数
f (x ) =⎛
⎝x -π⎫12⎪⎭
, x ∈R .
(1) 求f
⎛π⎫
⎝3⎪⎭
的值; 29
已知
(2) 若cos θ=
3⎛3π⎫, θ∈ ,2π⎪, 求5⎝2⎭π⎫⎛
f θ-⎪.
6⎭⎝
31．（2013年高考山东卷（文））
设函数f (x ) =
-2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0) , 且y =f (x ) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求f (x ) 在区间[π,
π
4
,
3π
]上的最大值和最小值 2
32．（2013年高考浙江卷（文））在锐角△ABC中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,
且2asinB=3b .
(Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
.
33．（2013年高考陕西卷（文））
已知向量a =(cosx , -), b =x ,cos2x ), x ∈R , 设函数
1
2
f (x ) =a ·b .
30
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
⎡π⎤(Ⅱ) 求f (x) 在⎢0, ⎥上的最大值和最小值. ⎣2⎦
34．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)
在△ABC 中, 内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,
且a =b +c . (Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积, 求S +3cos B cos C 的最大值, 并指出此时B 的值.
35．（2013年高考四川卷（文））在∆ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且 222
3cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin(A +c ) =-. 5
(Ⅰ)求sin A 的值;
(Ⅱ)
若a =b =5, 求向量BA 在BC 方向上的投影.
36．（2013年高考江西卷（文））在△ABC中, 角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知
sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;(2) 若C=
用源。的值.
37．（2013年高考湖北卷（文））在△ABC 中, 角A , B , C 对应的边分别是a , b , c . 已知2π错误！未找到引用源。, 求错误！未找到引3
cos 2A -3cos(B +C ) =1.
(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC
的面积S =b =5, 求sin B sin C 的值.
.
38．（2013年高考安徽（文））设函数f (x ) =sin x +sin(x +π
3) .
(Ⅰ)求f (x ) 的最小值, 并求使f (x ) 取得最小值的x 的集合;
(Ⅱ)不画图, 说明函数y =f (x ) 的图像可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到.
f x ）=(2cosx -1)sin 2x +39．（2013年高考北京卷（文））已知函数（21cos 4x . 2
f x ）(I)求（的最小正周期及最大值;
(II)若α∈(
40．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有2个小题. 第1小题满分6分, 第2小题满π2, π) ,
且（f α）=, 求α的值. 分8分.
已知函数f (x ) =2sin(ωx ) , 其中常数ω>0.
(1)令ω=1, 判断函数F (x ) =f (x ) +f (x +π
2) 的奇偶性并说明理由;
(2)令ω=2, 将函数y =f (x ) 的图像向左平移π个单位, 再往上平移1个单位, 得到函6
数y =g (x ) 的图像. 对任意的a ∈R , 求y =g (x ) 在区间[a , a +10π]上零点个数的所
有可能值.
41．（2013年高考辽宁卷（文））
设向量a =⎡π⎤x ,sin x , b =(cos x ,sinx ), x ∈⎢0, ⎥. ⎣2⎦)
(I)若a =b . 求x 的值； (II)设函数f (x )=a b , 求f (x )的最大值.
三角函数
三角函数的图像和性质：
三个三角函数值在每个象限的符号：
sinα cosα tanα·
特殊角的三角函数值：
1. 诱导公式
2. 和差角公式
①sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β ②cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β ③t an (α±β) =
t an α±t an β
1 t an α⋅t an β
3. 二倍角公式及万能公式 ①sin 2θ=2sin θcos θ=
2
2
2t an θ
1+t an 2θ
2
2
1-t an 2θ
②cos 2θ=cos θ-sin θ=2cos θ-1=1-2sin θ=
1+t an 2θ
③t an 2θ=
2t an θ1-cos 2θ1+cos 2θ22
sin θ=cos θ= ④ ⑤
221-t an 2θ
4. 三倍角公式： ①sin 3θ=3sin θ-4sin 3θ ②cos 3θ=-3cos θ+4cos 3θ 5. 辅助角公式：
a sin θ+b cos θ=(θ+ϕ), 其中tan ϕ=
sin θ+
b
. 如：
a
π⎫π⎫⎛⎛
θ=2sin θ+⎪θ-cos θ=2sin θ-⎪,
3⎭6⎭⎝⎝
π
sin θ+cos θ=2(sinθ+)
4
6. 正弦定理：
===2R (R 为三角形外接圆的半径). c a b
,sin B =,sin C =变式：(i )a :b :c =；(ii )sin A =；s i n A :s i n B :s i n C
2R 2R 2R
(iii )a =2R sin A , b =2R sin B , b =2R sin C ；
7. 余弦定理：
222等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. a =b +c -2bc cos A ,cos A =
2
2
2
8. 面积公式：
S =ah a =ab sin C =r (a +b +c ) （其中r 为三角形内切圆半径）. 222
常用技巧
①巧变角
如α=(α+β) -β=(α-β) +β，2α=(α+β) +(α-β) ，
α+βα+ββ
=α---β ，2α=(β+α) -(β-α) ，α+β=2⋅
2222
2π1π3
1、已知tan(α+β) =，tan(β-) =，那么tan(α+) 的值是_____
225444
()(
)
2、0
π
2
β
1α2490) =-，sin(-β) =，求cos(α+β) 2923729
②三角函数名互化(切割化弦) 1、求值sin50(1) 1
2、已知
1sin αcos α2
=1, tan(α-β) =-，求tan(β-2α) 的值
81-cos 2α3
③公式变形使用 (韦达定理)
（tan α±tan β=tan (α±β)(1tan αtan β)
若α+β=45°（1+tanα）（1+tanβ）=2
1、A 、B 为锐角，且满足tan A tan B
=tan A +tan B +1，则cos(A +B ) ＝
_____-
2、∆ABC ，
tan A +tan B Atan B ，sin Acos A =
3、已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜求α ＋β 的值
， ____三角形等边 π3
，π
22
4、在∆ABC 中， (1+tan A)(1+tan B ) =2，则log 2sinC ＝_____-
1 2
④三角函数次数的降升
1+cos 2α1-cos 2α22
降幂公式：cos α=，sin α=与
22
22
升幂公式：1+cos 2α=2cos α，1-cos 2α=2sin α
1、若α∈
(π, π)
2
、f (x ) =
5sin xcos x -2x +
32α为_____///sin
2x ∈R ) 递增区间＿＿[k π-
π
12
,k π+
5π
](k ∈Z ) 12
⑤式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同) 。如
1、求证：
1+sin α1-2sin 2
1+tan =1-tan 2
α；
2
1
1cos 2x 2、化简：
22tan(-x )sin 2(+x )
44
2cos 4x -2cos 2x +
⑥常值变换主要指“1”的变换 (齐次式)
1=sin 2x +cos 2x =sec 2x -tan 2x =tan x ⋅cot x =tan =
sin =
42322
已知tan α=2，求sin α+sin αcos α-3cos α
5
⑦正余弦的内存联系 “知一求二”
(sinθ±cos θ) 2=1±2sin θcos θ=1±sin 2θ
t 2-1
1、若 sin x ±cos x =t ，则sin x cos x = ±
2
ππsin 2α+2sin 2α
=k (
2、已知
421+tan α
⑧辅助角公式中辅助角的确定：
θ角的a sin x +b cos x =(x +θ)(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，
b
确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 a
1、
若方程sin x x =c 有实数解，则c 的取值范围是___________. ///[－2,2]
值由tan θ=
2、当函数y =2cos x -3sin x 取得最大值时，tan x 的值是______///-
3、如果f (x )=sin (x +ϕ)+2cos(x +ϕ) 是奇函数，则tan ϕ= ///－2
3 2
一、化作同名三角函数
1. sin θcos θ=
sin 2θ1-c o s 2θ1+cos 2θ2
s i n θ= cos 2θ=
222
b
2. a sin θ+b cos θ=(θ+ϕ), 其中tan ϕ=. 如：
a
sin θπ⎫π⎫⎛⎛
θ=2sin θ+⎪θ-cos θ=2sin θ-⎪,
3⎭6⎭⎝⎝
π
sin θ+cos θ=2(sinθ+)
4
3. 与向量挂钩 a=（x 1，y 1） b=（x 2，y 2） a •b=x1x 2+y1y 2
2. 已知函数f (x ) =cos
3. 设函数f (x )=2cos x (sin x +cos x )-1 求函数f (x )
4已知向量=(cosωx -sin ωx ，sin ωx ) ，=(-cos ωx -sin ωx 2cos ωx ) ， 求函数f (x )
5．设向量a =(sinx ,cos x ), b =(cosx ,cos x ), x ∈R , 函数f (x ) =a ⋅(a +b ) 求函数f (x )
2
x x x 1
-sin cos -。求函数f (x ) 2222
二、图像性质与平移
1. y =A sin(ωx +ϕ) A ：振幅； T=
2π
：周期 ωx +ϕ：相位；ϕ：初相； w
2. 函数y =A sin(ωx +ϕ) +k 的图象与y =sin x 图象间的关系：
①函数y =sin x 的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ
②函数y =s i n (x +ϕ)图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数
y =s i n (ωx +ϕ)的图象；
③函数y =sin (ωx +ϕ)图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数
y =A sin(ωx +ϕ) 的图象；
④函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的横坐标不变，纵坐标向上（k >0）或向下（k
3. 要特别注意：对于x 平移来说，左加右减； 对于y 平移来说，上加下减
4. 在y =A sin(ωx +ϕ) 中，令w x+φ=X，则可由sinX 的性质求出y 的单调区间、对称轴、对称中心
5. 由x 的定义域求出wx+φ的求值范围，再利用单位圆求出sin （wx+φ），在求出y 的值域 6. 周期的判断
①最近的两个波峰（波谷）的距离为一个周期 ②相邻的一个波峰和一个波谷的距离为半个周期 ③相邻的两条对称轴的距离为半个周期 ④相邻的两个对称中心的距离为半个周期 ⑤一个连续的递增（递减）区间的距离为半个周期
练习
1. 已知函数f (x ) =2sin(2x -
π
4
)
（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期； （4）求函数的最值及相应的x 值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若x ∈[0,
3π
，求f (x ) 的取值范围； 4
（7）求函数f (x ) 的对称轴与对称中心；
（8）若f (x +ϕ) 为奇函数，ϕ∈[0,2π) ，求ϕ；若f (x +ϕ) 为偶函数，ϕ∈[0,2π) ，求
ϕ。
2. 设函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A ≠0, ω>0, -周期是π，则 （C ）
π
2
π
2
) 的图象关于直线x =
2π
对称，它的3
A 、f (x ) 的图象过点(0, ) B 、f (x ) 在区间[
12
125π2π
, ]上是减函数 123
C 、f (x ) 的图象的一个对称中心是(5π, 0) D 、f (x ) 的最大值是A 3. 对于函数f (x )=2sin 2x +
⎛⎝
π⎫
⎪给出下列结论： 3⎭
①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线x =
π
12
成轴对称；
③图象可由函数y =2sin 2x 的图像向左平移④图像向左平移
π
个单位得到； 3
π
个单位，即得到函数y =2cos 2x 的图像。 12
其中正确结论是_____ （②④）；
4. 已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ) 图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间的距离为
π，3
那么此函数的周期是____ π
5把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（ ）
6. 函数y =2sin(2x -
7. （1）将函数y =
π
4
) -1的图象经过怎样的变换才能得到y =sin x 的图象？
1π1
sin(2x -) 的图象向______平移_______个单位得到函数y =sin 2x 2421πππcos(2x -) 的图象, 可以把函数y =sin(x -) cos(x -) 的图象向2466
的图象(只要求写出一个值) (2) 要得到y =
______平移_______个单位(只要求写出一个值).
8. 如图，函数y =2sin(πx +ϕ) ，x ∈R ，（其中0≤ϕ≤
π
2
1) 。 ）的图象与y 轴交于点(0，
（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图象上的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，求与的夹角。
ωx +ϕ) -9. 设x ∈R , 函数f (x ) =cos (
8
4
2
1π
(ω>0, o
π1
π, 且f () =. (1)求ω和ϕ的值; (2)求的单调增区间.
10. f (x ) =A sin(ωx +ϕ)(A >0, ω>0，|ϕ|
则f (x ) ＝_____（答：f (x ) =2sin(
9. 已知函数f (x )=A sin (ωx +ϕ) x ∈R , ω>0, 0
π
2
) 15πx +) ）； 23
⎛⎝
π⎫
⎪的部分图像如图5所示。 2⎭
⎛⎝
π⎫⎛
⎪-f x +⎪的单调递增区间。 12⎭12⎭⎝
π⎫
10. 函数f (x ) =A sin(ωx -
之间的距离为
π
6
+1（A >0, ω>0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴
π， 2
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；
πα
（Ⅱ）设α∈(0,) ，则f () =2，求α的值。
22
11. 已知向量=(sin x , 1)，= 3A cos x , 为6. （Ⅰ）求A ；
⎛⎝A ⎫
cos 2x ⎪(A >0)，函数f (x )=⋅的最大值2⎭
π
个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来12
1⎡5π⎤的倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象。求g (x )在⎢0, 上的值域。 ⎥2⎣24⎦
（Ⅱ）将函数y =f (x )的图象像左平移
三、正弦定理与余弦定理解三角形 1.A+B+C=π
（1）当涉及A 、B 、C 三个都包含的关系式时可与此方程联立求某角的值 A +C =2B 可知B=60°
（2）sin (A+B ) =sin C cos (A+B ) =－cos C
2. 正弦值与余弦值的推导
（1）cosA 的值可直接推出sinA 的值 （在一、二象限sinA 都是正的） （2）sinA 的值不可直接推出cosA 的值 （除非告知A 是锐角或者sin 3. 关于cosA=m的应用 （1）求sinA 的值
A B ) =－t a n C t a n (+
A A 可知cos ） 22
222
（2）利用余弦定理a =b +c -2bc cos A ,cos A =求其他量
2
2
2
4. 正弦定理
（1）直接利用正弦定理求值
（2）边与角的比值互换 xsinA+ysinB=zsinC 变换为 xa+yb=zc
xsin 2A+ysin2B=zsin2C 变换为 xa 2+yb2=zc2（与余弦定理挂钩） 5. 有关bc （1）S=
1
bcsinA （面积） 2
b 2+c 2-a 2
（2）cosA=
2bc
（3）若告知bc 的值，那么可以根据正弦定理求6. 若直接告知一个角的大小
（1）判断是否为特殊角或者可以拆分为特殊角
b
，进而求出b 、c 的值 c
（2）与90°作比较，判断其他角的范围
7.cosA 、 b+c（b-c ） 、 a 、 bc 的知三求一
(b+c) 2-2bc -a 2(b-c) 2+2bc -a 2
cosA==
2bc 2bc
8. 求A 的大小
（1）一般情况下利用cosA 求
（2）若告知（或判断）为锐角三角形，则一般用sinA 求 9. 范围问题(不等式或者化成同名三角函数)
（1）已知C 的大小，求sin A +sin B 的范围（或者a+c） （2）已知C 和c 的大小，求a+c的范围
1. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =2，cos B =
（Ⅰ）若b =3，求sin A 的值；
（Ⅱ）若∆ABC 的面积S ∆ABC =3，求b ，c 的值
2. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C =
4． 5
3π，sin A =. 45
（Ⅰ）求cos A ，sin B 的值；
（Ⅱ）若ab =a ，b 的值.
3. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，
满足sin （Ⅰ）求bc 的值； （Ⅱ）若b +c =6，求a 的值．
A B C 的面积为2．=，且∆A
2
4. 在∆ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a , b , c 是三个内角对应的三边，已知
b 2+c 2-a 2=bc ．
222
（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若sin B +sin C =2sin A ，且a =1，求∆ABC 的面积.
5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c =2b cos A . （I ）求证：A=B； （II ）若△ABC 的面积S =
6. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A = ( I ) 求cos C 的值；
(Ⅱ) 若ac=24，求a ，c 的值．
7. 在∆ABC 中，a , b , c 分别为角A , B , C 所对的边。a +c =2b ，且a =2c 。 (I)求cos A 的值； (II)
若S ∆ABC =
154
,cos C =, 求c 的值. 25
3
, C =2A ． 4
，求b 的值。 4
8在∆ABC 中，A +C =
2B ，s inA =
a
（I ）求边b 的长； （II ）求∆ABC 的面积．
9. 在∆ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c , B =
（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求∆ABC 的面积.
10. 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C
=2c sin A
π
3
，cos A =
4
, b = 5
(Ⅰ) 确定角C 的大小：（Ⅱ）若c ＝7, 且△ABC 的面积为
33
2
, 求a ＋b 的值。
11. 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b sin A ．
（Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若a =c =5，求b ．
12. 在∆ABC 中，角A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
，且
sin A =
1B =。 2
（I ）求sin(A +B ) 的值。（II ）求a =2，求a 、b 、c 的值。
13. 已知∆A B C 的三个内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , ∠A 是锐角, 且
b =2a ⋅sin B .
22
（Ⅰ）求∠A 的度数； （Ⅱ）若a =7，∆ABC 的面积为10，求b +c 的值.
14. 设∆ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B =
o
4
, b =2. 5
（Ⅰ）当A =30时，求a 的值；（Ⅱ）当∆ABC 的面积为3时，求a +c 的值.
15. 在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos 2C =-（Ⅰ）求sin C ； （Ⅱ）当c =
2a ，且b =a .
16. 在∆ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a , b , c ，已知tan B =(Ⅰ) 求tan A ；
(Ⅱ) 求∆ABC 的面积.
3
. 4
11，tan C =，且c =1. 23
C 所对应的边分别为a ，b ，s n i 17. 在∆ABC 中，角A ，B ，且4c ，
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A +sin B 的最大值．
2
A +B
2-2
C =
7． 2
18. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知c =2a ，C =（Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）求cos(2A -) 的值.
π. 4
π3
四、判断三角形形状
1.要熟练掌握正弦定理与余弦定理，找准边与角的互换关系 2.sinA=sinB → A=B→
sin2A=sin2B → A=B或者A+B=90° sin(A-B)=0 → A=B cos(A-B)=1 → A=B sin(A+B)=1 →A+B=90°
cos(A+B)=0 →A+B=90 3sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β
α(±β) =c o αs c o βs s i n αs i n β c o s
练习题
1、已知在△ABC 中，b =c ∙cos A ，试判断△ABC 的性状。
b =c ⋅cos A
∴2b 2=2bc ⋅cos A =b 2+c 2-a 2 ∴a 2+b 2=c 2
∴ΔABC 为直角三角形
2、已知在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A ＞sin B ，试判断△ABC 的形状。
cos A ＞sin B ∴cos A ＞cos(-B )
2∴A ＜
π
π
2
-B
∴A +B ＜∴C ＞
π
2
π
2
∴ΔABC 为钝角三角形
3、已知在△ABC 中，b =a ∙sin C ，且c =a ∙sin(
π
2
-B ) ，试判断△ABC 的形状。
c =a ⋅sin(-B ) =a ⋅cos B
2
∴2c 2=2ac ⋅cos B =a 2+c 2-b 2 ∴b 2+c 2=a 2
∴ΔABC 为直角三角形，且sin C =
π
c a
b =a ⋅sin C
∴b =c
∴ΔABC 为等腰直角三角形
4、已知在△ABC 中，2sin A ∙cos B =sin C ，试判断△ABC 的性状。
2sinA ⋅cosB =sin C ∴2a ⋅cos B =c
∴2ac ⋅cos B =c =a +c -b ∴a =b
∴ΔABC 为等腰三角形
5、已知在△ABC 中，sin A =2sin B ∙cos C ，且sin A =sin B +sin C ，试判断△ABC 的性状。
2
2
2
2222
sin 2A =sin 2B +sin 2C ∴a =b +c
2
2
2
sinA =2sinB ⋅cosC ∴a =2b ⋅cos C
∴a =2ab ⋅cos C =a +b -c ∴b =c
∴ΔABC 为等腰直角三角形
6、已知在△ABC 中，(a+b +c)(b+c -a) =3bc ，且sin A =2sin B ∙c o sC ，试判断△ABC 的性状。
2
2
2
2
sinA =2sinB ⋅cosC ∴a =2b ⋅cos C
∴a =2ab ⋅cos C =a +b -c ∴b =c
(a+b +c)(b+c -a) =3bc ∴(2b+a)(2b-a) =3b 2∴a =b
2
2
2
2
∴ΔABC 为等边三角形
7、已知在△ABC 中，∠B =60︒，且b =ac ，试判断△ABC 的性状。
2
∠B =60︒
1a 2+c 2-b 2
∴cos B ==
22ac
∴ac =a 2+c 2-b 2=a 2+c 2-ac ∴(a -c ) 2=0∴a =c
∴ΔABC 为等边三角形
8、已知在△ABC 中，∠B =60︒，且2b =a +c ，试判断△ABC 的性状。
∠B =60︒
1a 2+c 2-b 2
∴cos B ==
22ac
(a +c ) 222
∴ac =a +c -
4
∴4ac =4a 2+4c 2-a 2-c 2-2ac ∴(a -c ) 2=0∴a =c
∴ΔABC 为等边三角形 9、已知在△ABC 中，
sin A cos B cos C
==，试判断△ABC 的性状。 a b c
sin A cos B cos C
==a b c ∴sin B =cos B ，sin C =cos C ∴B =C =
π
4
∴ΔABC 为等腰直角三角形
10、已知在△ABC 中，(a -b ) ∙sin(A +B ) =(a +b ) ∙sin(A -B ) ，试判断△ABC 的性状。
2
2
2
2
(a 2-b 2) ∙sin(A +B ) =(a 2+b 2) ∙sin(A -B )
∴(a 2-b 2) ⋅sin C =(a 2+b 2) ⋅(sinA ⋅cos B -sin B ⋅cos A ) ∴(a 2-b 2) ⋅2c 2=(a 2+b 2) ⋅(2ac ⋅cos B -2bc ⋅cos A )
∴(a 2-b 2) ⋅2c 2=(a 2+b 2) ⋅(a 2+c 2-b 2) -(b 2+c 2-a 2) ∴(a 2-b 2) ⋅c 2=(a 2+b 2) ⋅(a 2-b 2)
∴a 2-b 2=0或a 2+b 2=c 2
[
]
21
∴ΔABC 为等腰三角形或直角三角形
11、在△ABC 中，(a +b +c )(sinA +sin B -sin C ) =3a ∙sin B ，且b ∙c o s A =a ∙c o s B ，试判断△ABC 的性状。
b ∙cos A =a ∙cos B
∴sin A ⋅cos B -sin B ⋅cos A =0
∴sin(A -B ) =0∴A =B ⇒a =b
(a +b +c )(sinA +sin B -sin C ) =3a ∙sin B ∴(2a +c )(2a -c ) =3a 2∴4a -c =3a ∴a =c
2
2
2
∴ΔABC 为等边三角形
12、已知在△ABC 中，a tan B =b tan A ，试判断△ABC 的性状。
2
2
a 2tan B =b 2tan A a 2b b 2a ∴=
cos B cos A a cos B sin A ∴== b cos A sin B
∴2sin A cos A =2sin B cos B ∴sin 2A =sin 2B
∴A =B ⇒a =b 或2A +2B =π⇒A +B =
∴ΔABC 为等腰三角形或直角三角形 13、已知在△ABC 中，
π
2
a cos
2
=
b cos
2
=
c cos
2
，试判断△ABC 的性状。
a cos
A B
cos 22sin A sin B ∴=
cos cos
22A A B B 2sin ⋅cos 2sin ⋅cos
= ∴
A B cos cos
22A B ∴sin =sin
22∴A =B
22
=
b
同理：A=B=C
∴ΔABC 为等边三角形 14、已知在△ABC 中，cos
2
A b +c =，试判断△ABC 的性状。 22c
cos 2
A b +c
=22c
cos A +1b +c ∴=
22c
b b 2+c 2-a 2
∴cos A ==
c 2bc
∴a 2+b 2=c 2
∴ΔABC 为直角三角形
15、已知在△ABC 中，2a sin A =(2b +c ) sin B +(2c +b ) sin C ，且sin B +sin C =1，试判断△ABC 的性状。
2a sin A =(2b +c ) sin B +(2c +b ) sin C ∴2a 2=2b 2+bc +2c 2+bc ∴-bc =b 2+c 2-a 2
b 2+c 2-a 21∴cos A ==-
2bc 2
2π∴A =
3
sin B +sin C =1
∴sin B +sin(-B ) =1
31
∴sin B +cos B -sin B =1
2231
∴cos B +sin B =1
22∴sin(+B ) =13∴
π
π
π3
+B =
π2
∴B =C =
π6
sin A +sin B
，试判断△ABC 的形状。
cos A +cos B
∴ΔABC 为等腰三角形 16、已知在△ABC 中，sin C =
23
sin C =
sin A +sin B cos A +cos B
A +B A -B 2sin ⋅cos
∴sin(A +B ) = 2cos ⋅cos
22
A +B A -B 2sin ⋅cos
A +B A +B ∴2sin ⋅cos =
A +B A -B 222cos ⋅cos 22
A +B 2
) -1=02
∴cos(A +B ) =0 ∴2(cos∴A +B =
π
2
A -B a -b
=，试判断△ABC 的形状。 2a +b
∴ΔABC 为直角三角形 17、已知在△ABC 中，tan
tan
A -B sin A -sin B
=2sin A +sin B A -B A +B A -B sin 2cos ⋅sin
=∴
cos 2sin ⋅cos
222A +B A +B ∴sin -cos =0
222A +B 2A +B
∴sin -cos =0
2222A +B πA +B π∴sin ⋅cos -cos ⋅sin =0
2424A +B π∴sin(-) =0
24A +B π∴-=0
24∴A +B =
π2
∴ΔABC 为直角三角形
24
五、高考真题
一、选择题
1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知a 是第二象限角, sin a =
5
13
, 则cos a = A ．-
12
13
B ．-
5513
C ．
13
D ．1213
2 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））函数f (x ) =(1-cos x )sin x 在[-π, π]的图像大致为
3 ．（2013年高考四川卷（文））函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ)(ω>0, -
π
2
的部分图象
如图所示, 则ω, ϕ的值分别是
25
）（
（ ）
A ．2, -
π
π
π3
B ．2, -
π
6
C ．4, -
6
D ．4,
3
4 ．（2013年高考湖南（文））在锐角∆ABC 中, 角A,B 所对的边长分别为a,b. 若2sinB=
3b,
则角A 等于______ A ．
π
3
B ．
π
4
C ．
π
6
D ．
π
12
5 ．（2013年高考福建卷（文））将函数f (x ) =sin(2x +θ)(-
π
2
π
2
) 的图象向右平移
ϕ(ϕ>0) 个单位长度后得到函数g (x ) 的图象, 若f (x ), g (x ) 的图象都经过点
P (0,
3
2
) , 则ϕ的值可以是 A ．5π5π3 B ．
C ．
π
6
2
D ．
π
6
6 ．（2013年高考陕西卷（文））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若
b cos C +c cos B =a sin A , 则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形
D ．不确定
7 ．（2013年高考辽宁卷（文））在∆ABC , 内角A , B , C 所对的边长分别为
a , b , c . a s i n B c o C
s +c s i B n c =1
2
且b a >, b , 则∠B =
A ．
π
πC ．
2π6
B ．
3 D ．
5π36
8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知b=2,B=错误！
未找到引用源。,C=错误！未找到引用源。, 则△ABC 的面积为 A ．2错误！未找到引用源。+2
B ．错误！未找到引用源。+1
9 ．（2013年高考江西卷（文）
）若sin
α
2
=
3
cos α= A ．-23
B ．-
13
C ．错误！未找到引用源。
26
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
C ．2错误！未找到
（ ）
D ．错误！未找到
10．（2013年高考山东卷（文））∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,
若B =2A , a =
1, b =, 则c = A
．B ．2
C
D ．1
2
（ ）
11．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=错误！未找到引用源。, 则cos (α+错误！未
找到引用源。)=
A ．错误！未找到引用源。
12．（2013年高考广东卷（文））已知sin(
B ．错误！未找到引用源。
（ ）
C ．错误！未找到（ ）
5π1
+α) =, 那么cos α= 25
A ．-215
B ．-
5
C ．15 D ．25
13．（2013年高考湖北卷（文））
将函数y x +sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m >0) 个
单位长度后, 所得到的图象关于y 轴对称, 则m 的最小值是 A ．
π
π12
B ．
π6
C ．
π D ．
536
14．（2013年高考大纲卷（文））若函数y =sin
(ωx +ϕ)(ω>0)的部分图像如图，则ω=
A ．5 B ．4
C ．3
D ．2
15．（2013年高考天津卷（文））函数f (x ) =sin ⎛ π⎫⎡π⎤⎝2x -4⎪⎭在区间⎢⎣0, 2⎥⎦
上的最小值是
A ．-1
B
． C
D ．0
16．（2013年高考安徽（文））设
∆ABC 的内角A , B , C 所对边的长分别为a , b , c , 若
b +c =2a ,3sin A =5sin B , 则角C =
A ．
π
2π
3
B ．
C ．
3π5π34
D ．
6
17．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角
∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为
a , b , c , 23cos 2A +cos 2A =0, a =7, c =6, 则b =
27
）
）
）
）
）
（（（（（
A ．10 B ．9 C ．8 D ．5
18．（2013年高考浙江卷（文））函数f(x)=sin xcos x+
3
的最小正周期和振幅分别2
（ ）
D ．2π,2
是
A ．π,1
B ．π,2 C ．2π,1
19．（2013年高考北京卷（文））在△ABC中, a =3, b =5, sin A =
1
, 则sin B = 3
D ．1
（ ）
A ．
1 5
B ．
5 9
C
20．（2013年高考山东卷（文））函数y =x cos x +
sin x 的图象大致为
二、填空题
21．（2013年高考四川卷（文））设sin 2α=-sin α, α∈(
π
2
, π) , 则tan 2α的值是________.
22．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））函数y =cos(2x +ϕ)(-π≤ϕ
π
错误！2
未找到引用源。个单位后, 与函数y =sin(2x +
π
3
) 的图像重合, 则|ϕ|=___________.
B 、C 所对的边分别是a , b , c . 23．（2013年上海高考数学试题（文科））已知∆ABC 的内角A 、
若a +ab +b -c =0, 则角C 的大小是________(结果用反三角函数值表示).
24．（2013年上海高考数学试题（文科））若cos x cos y +sin x sin y =
2
2
2
1
, 则3
cos (2x -2y )=________.
25．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设当x =θ时, 函数f (x ) =sin x -2cos x 取得最大值, 则
cos θ=______.
26．（2013年高考江西卷（文））设f(x)=错误！未找到引用源。sin3x+cos3x,若对任意实数
x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是_____.
三、解答题
27．（2013年高考大纲卷（文））设∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为
a , b , c , (a +b +c )(a -b +c ) =ac .
28
(I)求B
(II)
若sin A sin C =
求C .
28．（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=错误！未找到引用源。
(1) 求f (
2π
3
) 错误！未找到引用源。的值; (2) 求使错误！未找到引用源。 f (x )
4
成立的x 的取值集合
29．（2013年高考天津卷（文））在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . b sin A =3c sin B , a = 3, cos B =
2
3
. (Ⅰ) 求b 的值;
(Ⅱ) 求sin ⎛
⎝
2B -π⎫3⎪⎭的值.
30．（2013年高考广东卷（文））
已知函数
f (x ) =⎛
⎝x -π⎫12⎪⎭
, x ∈R .
(1) 求f
⎛π⎫
⎝3⎪⎭
的值; 29
已知
(2) 若cos θ=
3⎛3π⎫, θ∈ ,2π⎪, 求5⎝2⎭π⎫⎛
f θ-⎪.
6⎭⎝
31．（2013年高考山东卷（文））
设函数f (x ) =
-2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0) , 且y =f (x ) 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求f (x ) 在区间[π,
π
4
,
3π
]上的最大值和最小值 2
32．（2013年高考浙江卷（文））在锐角△ABC中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,
且2asinB=3b .
(Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
.
33．（2013年高考陕西卷（文））
已知向量a =(cosx , -), b =x ,cos2x ), x ∈R , 设函数
1
2
f (x ) =a ·b .
30
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
⎡π⎤(Ⅱ) 求f (x) 在⎢0, ⎥上的最大值和最小值. ⎣2⎦
34．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)
在△ABC 中, 内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,
且a =b +c . (Ⅰ)求A ;
(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积, 求S +3cos B cos C 的最大值, 并指出此时B 的值.
35．（2013年高考四川卷（文））在∆ABC 中, 角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 且 222
3cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin(A +c ) =-. 5
(Ⅰ)求sin A 的值;
(Ⅱ)
若a =b =5, 求向量BA 在BC 方向上的投影.
36．（2013年高考江西卷（文））在△ABC中, 角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知
sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
(1)求证:a,b,c成等差数列;(2) 若C=
用源。的值.
37．（2013年高考湖北卷（文））在△ABC 中, 角A , B , C 对应的边分别是a , b , c . 已知2π错误！未找到引用源。, 求错误！未找到引3
cos 2A -3cos(B +C ) =1.
(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC
的面积S =b =5, 求sin B sin C 的值.
.
38．（2013年高考安徽（文））设函数f (x ) =sin x +sin(x +π
3) .
(Ⅰ)求f (x ) 的最小值, 并求使f (x ) 取得最小值的x 的集合;
(Ⅱ)不画图, 说明函数y =f (x ) 的图像可由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到.
f x ）=(2cosx -1)sin 2x +39．（2013年高考北京卷（文））已知函数（21cos 4x . 2
f x ）(I)求（的最小正周期及最大值;
(II)若α∈(
40．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有2个小题. 第1小题满分6分, 第2小题满π2, π) ,
且（f α）=, 求α的值. 分8分.
已知函数f (x ) =2sin(ωx ) , 其中常数ω>0.
(1)令ω=1, 判断函数F (x ) =f (x ) +f (x +π
2) 的奇偶性并说明理由;
(2)令ω=2, 将函数y =f (x ) 的图像向左平移π个单位, 再往上平移1个单位, 得到函6
数y =g (x ) 的图像. 对任意的a ∈R , 求y =g (x ) 在区间[a , a +10π]上零点个数的所
有可能值.
41．（2013年高考辽宁卷（文））
设向量a =⎡π⎤x ,sin x , b =(cos x ,sinx ), x ∈⎢0, ⎥. ⎣2⎦)
(I)若a =b . 求x 的值； (II)设函数f (x )=a b , 求f (x )的最大值.