中考数学专题---- 之三角板拼图
一．选择题（共5小题）
1．（2011•乐山）如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A'B'C' 的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B' 落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A'B'C' 平移的距离为（ ）
2题图
2．（2011•昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）
3．（2012•聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ）
4．如图，桌面上叠放着一块三角板和一把直尺，将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，若∠1=46°．则∠2等于（ ）A44° B46° C54° D56°
5．把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=（ ） A75° B165° C135° D150°
二．填空题（共18小题）
6．如图，一副三角板拼成如图所示，则∠BAC=
．
6题
7．一副三角板，如图所示放置，则∠ABD= 8题
8．一副三角板，已知细长三角板的一条直角边长度是3，等腰直角三角板的直角边长度为2，两个三角板如图叠放在一起，求图中α的度数是 _________ ．
9．将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比A 1：A 2等于 _________ ．
9题 10题 11题 12题
10．（2007•江苏）用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 _________ 度．
11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的余角的度数是 _________ ．
12．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α= _________ 度．
13．今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm 的圆洞，现将三角板a 的30°角的那一头插入三角板b 的圆洞内（如图2），则三角板a 通过三角板b 的圆洞的那一部分的最大面积为 _________ cm ．（不计三角
2板的厚度，精确到0.1cm ）
2
14．一副三角板如图摆放，若∠AGB=90°，则∠AFE=
14题 15题 16题 17题
15．一副三角板如图所示放置，直角顶点重合，斜边在同一条直线上，则∠CAD=．
16．（2009•聊城）一副三角板，如图所示叠放在一起，则∠α的度数是度．
17．把一副三角板如图所示拼在一起，那么图中∠EBC=°．
18．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于°．
18题图 19题图 20题图
19．将一副三角板按如图所示摆放在一起，连接DA ，则tan ∠BDA 的值是
20．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（∠B=60°）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果∠BDE=70°，那么∠AMD 的度数是
21．如图，将两块三角板放在一起，则∠α= _________ 度．
21题图 22题图 23题图
22．如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC=°．
23．一副三角板如图所示放置，则∠α+∠β=度．
三．解答题（共7小题）
24．三角板如图所示放置，在图上加弧线的角为多少度？
25．将一副直角三角板按如图放置，使含30°角的三角板的短边与含45°的三角板的一条直角边重合，求∠AGD 的度数．
26．把含30°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），求sin ∠ADE 的值．
27．如图，是一副三角板拼成的图案，求∠ADC ，∠FEC ，∠EFC ，∠CFA ．
28．两个大小不同的等腰直角三角板，如图1所示：
1）若两个等腰直角三角板如图2放置，求证：EC ⊥BD ．
（2）若两个等腰直角三角板如图3放置，使B 、C 、D 在同一条直线上，连接EC 交AD 于点M ，你认为EC 与BD 是否仍然垂直？请说明理由．
29．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：
（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，现让三角板DEF 绕点O 旋转，使DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求的值；
（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个等腰直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求出的值．
30．在Rt △ABC 中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别与边AB 、BC 或其延长线上交于D 、E 两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．
（1）直角三角板绕点P 旋转过程中，当BE= _________ 时，△PEC 是等腰三角形；
（2）直角三角板绕点P 旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；
（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的点M 处，设AM ：MC=m：n （m 、n 为正数），试判断MD 、ME 的数量关系，并说明理由．
中考数学专题---之三角板拼图参考答案
一．选择题（共5小题）
1．C 2. C 3.C 4. A 5. B
二．填空题（共18小题）
6．7．∠ABD=．89．A 1：A 2等于 2： ．10．α为 22 度．11． 15° ．
21213cm ．14． 105 度．15．∠CAD= 75 °．16．∠α 105 度．17．∠EBC= 105 °．
18．．19．20．．21．∠α=度．22．．23．∠α+∠β=度．
三．解答题（共7小题）
24．三角板如图所示放置，在图上加弧线的角为多少度？
解：（1）根据图象知：图上加弧线的角为：45°+30°=75° （2）根据图象知：图上加弧线的角为：45°﹣30°=15°
25．将一副直角三角板按如图放置，使含30°角的三角板的短边与含45°的三角板的一条直角边重合，求∠AGD 的度数．
解：根据题意知，∠F=30°，∠DCF=90°，∠D=45°．
∵∠FIC=90°﹣∠F=60°，∠DIG=∠FIC ，∠AGD=∠D+∠DIG ，
∴∠AGD=∠D+∠FIC=45°+60°=105°，即∠AGD 的度数是105度
26．把含30°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），求sin ∠ADE 的值．
解：过点E 作EF ⊥AD ，且交AD 于点F ；
设BD=x，则AB=x，BE=
在Rt △AEF 中，AE=x﹣易得EF=则AF=EF=
在Rt △DEF 中， •AE=x ， x ，AD=x=x ； x ； x ；
根据三角函数的定义可得：sin ∠ADE=答：sin ∠ADE 的值为 =；
27．如图，是一副三角板拼成的图案，求∠ADC ，∠FEC ，∠EFC ，∠CFA ．故答案为：45°，15°，75°，105°．
28．两个大小不同的等腰直角三角板，如图1所示：
（1）若两个等腰直角三角板如图2放置，求证：EC ⊥BD ．
（2）若两个等腰直角三角板如图3放置，使B 、C 、D 在同一条直线上，连接EC 交AD 于点M ，你认为EC 与BD 是否仍然垂直？请说明理由．
（1）证明：
∵△EAD 和△MAB 是等腰直角三角形，
∴AE=AD，AM=AB，∠EAD=∠MAB=90°，
在△EAM 和△DAB 中
∴△EAM ≌△DAB （SAS ），
∴∠AEM=∠ADB ，
∵∠DAB=90°，
∴∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠MEA=90°，
∴∠ECB=180°﹣90°=90°，
∴EC ⊥BD ；
（2）解：EC ⊥BD ，
理由是：∵△EAD 和△CAB 是等腰直角三角形，
∴AE=AD，AC=AB，∠EAD=∠CAB=90°，
∴∠EAM+∠DAC=∠BCA+∠DAC ，
∴∠EAC=∠BAD ，
在△EAC 和△DAB 中
∴△EAC ≌△DAB （SAS ），
∴∠CEA=∠ADB ，
∵∠EAM=90°，
∴∠CEA+∠EMA=90°，
∵∠EMA=∠DMC ，
∴∠DMC+∠BDA=90°，
∴∠ECD=180°﹣90°=90°，
∴EC ⊥BD ．
29．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：
（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，现让三角板DEF 绕点O 旋转，使DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求的值；
（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个等腰直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求出的值．
解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠OAN=∠B=45°；
又∵∠BOM=∠AON=90°﹣∠AOM ，
∴△MBO ≌△NAO ，
∴AN ：BM=1：1=1．
（2）Rt △ABC 中，AO ⊥BC ，则∠NAO=∠MBO ，
又∵∠BOM=90°﹣∠AOM ，
∠AON=90°﹣∠AOM
∴∠BOM=∠AON
∴△MBO ∽△NAO ，
∴AN ：BM=AO：BO=tan∠B=tan60°=
30．在Rt △ABC 中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别与边AB 、BC 或其延长线上交于D 、E 两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．
（1）直角三角板绕点P 旋转过程中，当BE= 0、2或4±2 时，△PEC 是等腰三角形；
（2）直角三角板绕点P 旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；
（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的点M 处，设AM ：MC=m：n （m 、n 为正数），试判断MD 、
ME 的数量关系，并说明理由．
（1）解：当BE=0时，即点B 和点E 重合，故可知△PEC 是等腰三角形，
当BE=2时，即E 是BC 的中点，可得△PEC 是等腰三角形
由题干条件知PC=2，当CP=CE时△PEC 是等腰三角形，BE=4﹣2；
当E 在BC 的延长线上时，CE=CP，△PEC 是等腰三角形，BE=4+2；
故答案为0、2或4±2．
（2）证明：连接BP ．
∵AB=BC 且∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
又∵P 是AC 中点，
∴BP ⊥AC ，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
∴∠CPE+∠EPB=90°，
∵DP ⊥PE ，
∴∠BPD+∠EPB=90°，
∴∠BPD=∠CPE ，
在△DPB 和△EPC 中
∵，
∴△DPB ≌△EPC ，
∴PD=PE，
（3）解：MD 、ME 的数量关系是：，
理由如下：
过M 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为G 、H ．
由作图知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠
B=90°，
∴∠GMH=90°，
∴∠GMD+∠DMH=90°，∵∠DMH+∠HME=90°， ∴∠GMD=∠HME
∴△MGD ∽△MHE ， ∴①， ∵， ∴，
∵∠MGA=∠B=90°，
∴GM ∥BC ， ∴即②
同理 ，
∵AB=BC， ∴③
②③代入①得．
中考数学专题---- 之三角板拼图
一．选择题（共5小题）
1．（2011•乐山）如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A'B'C' 的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B' 落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A'B'C' 平移的距离为（ ）
2题图
2．（2011•昭通）将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）
3．（2012•聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ）
4．如图，桌面上叠放着一块三角板和一把直尺，将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，若∠1=46°．则∠2等于（ ）A44° B46° C54° D56°
5．把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=（ ） A75° B165° C135° D150°
二．填空题（共18小题）
6．如图，一副三角板拼成如图所示，则∠BAC=
．
6题
7．一副三角板，如图所示放置，则∠ABD= 8题
8．一副三角板，已知细长三角板的一条直角边长度是3，等腰直角三角板的直角边长度为2，两个三角板如图叠放在一起，求图中α的度数是 _________ ．
9．将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比A 1：A 2等于 _________ ．
9题 10题 11题 12题
10．（2007•江苏）用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为 _________ 度．
11．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的余角的度数是 _________ ．
12．将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一直线上），那么图中∠α= _________ 度．
13．今有一副三角板（如图1），中间各有一个直径为4cm 的圆洞，现将三角板a 的30°角的那一头插入三角板b 的圆洞内（如图2），则三角板a 通过三角板b 的圆洞的那一部分的最大面积为 _________ cm ．（不计三角
2板的厚度，精确到0.1cm ）
2
14．一副三角板如图摆放，若∠AGB=90°，则∠AFE=
14题 15题 16题 17题
15．一副三角板如图所示放置，直角顶点重合，斜边在同一条直线上，则∠CAD=．
16．（2009•聊城）一副三角板，如图所示叠放在一起，则∠α的度数是度．
17．把一副三角板如图所示拼在一起，那么图中∠EBC=°．
18．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于°．
18题图 19题图 20题图
19．将一副三角板按如图所示摆放在一起，连接DA ，则tan ∠BDA 的值是
20．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（∠B=60°）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果∠BDE=70°，那么∠AMD 的度数是
21．如图，将两块三角板放在一起，则∠α= _________ 度．
21题图 22题图 23题图
22．如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC=°．
23．一副三角板如图所示放置，则∠α+∠β=度．
三．解答题（共7小题）
24．三角板如图所示放置，在图上加弧线的角为多少度？
25．将一副直角三角板按如图放置，使含30°角的三角板的短边与含45°的三角板的一条直角边重合，求∠AGD 的度数．
26．把含30°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），求sin ∠ADE 的值．
27．如图，是一副三角板拼成的图案，求∠ADC ，∠FEC ，∠EFC ，∠CFA ．
28．两个大小不同的等腰直角三角板，如图1所示：
1）若两个等腰直角三角板如图2放置，求证：EC ⊥BD ．
（2）若两个等腰直角三角板如图3放置，使B 、C 、D 在同一条直线上，连接EC 交AD 于点M ，你认为EC 与BD 是否仍然垂直？请说明理由．
29．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：
（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，现让三角板DEF 绕点O 旋转，使DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求的值；
（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个等腰直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求出的值．
30．在Rt △ABC 中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别与边AB 、BC 或其延长线上交于D 、E 两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．
（1）直角三角板绕点P 旋转过程中，当BE= _________ 时，△PEC 是等腰三角形；
（2）直角三角板绕点P 旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；
（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的点M 处，设AM ：MC=m：n （m 、n 为正数），试判断MD 、ME 的数量关系，并说明理由．
中考数学专题---之三角板拼图参考答案
一．选择题（共5小题）
1．C 2. C 3.C 4. A 5. B
二．填空题（共18小题）
6．7．∠ABD=．89．A 1：A 2等于 2： ．10．α为 22 度．11． 15° ．
21213cm ．14． 105 度．15．∠CAD= 75 °．16．∠α 105 度．17．∠EBC= 105 °．
18．．19．20．．21．∠α=度．22．．23．∠α+∠β=度．
三．解答题（共7小题）
24．三角板如图所示放置，在图上加弧线的角为多少度？
解：（1）根据图象知：图上加弧线的角为：45°+30°=75° （2）根据图象知：图上加弧线的角为：45°﹣30°=15°
25．将一副直角三角板按如图放置，使含30°角的三角板的短边与含45°的三角板的一条直角边重合，求∠AGD 的度数．
解：根据题意知，∠F=30°，∠DCF=90°，∠D=45°．
∵∠FIC=90°﹣∠F=60°，∠DIG=∠FIC ，∠AGD=∠D+∠DIG ，
∴∠AGD=∠D+∠FIC=45°+60°=105°，即∠AGD 的度数是105度
26．把含30°角的三角板ABC ，绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置（如图所示），求sin ∠ADE 的值．
解：过点E 作EF ⊥AD ，且交AD 于点F ；
设BD=x，则AB=x，BE=
在Rt △AEF 中，AE=x﹣易得EF=则AF=EF=
在Rt △DEF 中， •AE=x ， x ，AD=x=x ； x ； x ；
根据三角函数的定义可得：sin ∠ADE=答：sin ∠ADE 的值为 =；
27．如图，是一副三角板拼成的图案，求∠ADC ，∠FEC ，∠EFC ，∠CFA ．故答案为：45°，15°，75°，105°．
28．两个大小不同的等腰直角三角板，如图1所示：
（1）若两个等腰直角三角板如图2放置，求证：EC ⊥BD ．
（2）若两个等腰直角三角板如图3放置，使B 、C 、D 在同一条直线上，连接EC 交AD 于点M ，你认为EC 与BD 是否仍然垂直？请说明理由．
（1）证明：
∵△EAD 和△MAB 是等腰直角三角形，
∴AE=AD，AM=AB，∠EAD=∠MAB=90°，
在△EAM 和△DAB 中
∴△EAM ≌△DAB （SAS ），
∴∠AEM=∠ADB ，
∵∠DAB=90°，
∴∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠MEA=90°，
∴∠ECB=180°﹣90°=90°，
∴EC ⊥BD ；
（2）解：EC ⊥BD ，
理由是：∵△EAD 和△CAB 是等腰直角三角形，
∴AE=AD，AC=AB，∠EAD=∠CAB=90°，
∴∠EAM+∠DAC=∠BCA+∠DAC ，
∴∠EAC=∠BAD ，
在△EAC 和△DAB 中
∴△EAC ≌△DAB （SAS ），
∴∠CEA=∠ADB ，
∵∠EAM=90°，
∴∠CEA+∠EMA=90°，
∵∠EMA=∠DMC ，
∴∠DMC+∠BDA=90°，
∴∠ECD=180°﹣90°=90°，
∴EC ⊥BD ．
29．现有一副直角三角板，按下列要求摆放：
（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，现让三角板DEF 绕点O 旋转，使DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求的值；
（2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个等腰直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求出的值．
解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠OAN=∠B=45°；
又∵∠BOM=∠AON=90°﹣∠AOM ，
∴△MBO ≌△NAO ，
∴AN ：BM=1：1=1．
（2）Rt △ABC 中，AO ⊥BC ，则∠NAO=∠MBO ，
又∵∠BOM=90°﹣∠AOM ，
∠AON=90°﹣∠AOM
∴∠BOM=∠AON
∴△MBO ∽△NAO ，
∴AN ：BM=AO：BO=tan∠B=tan60°=
30．在Rt △ABC 中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别与边AB 、BC 或其延长线上交于D 、E 两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．
（1）直角三角板绕点P 旋转过程中，当BE= 0、2或4±2 时，△PEC 是等腰三角形；
（2）直角三角板绕点P 旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；
（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的点M 处，设AM ：MC=m：n （m 、n 为正数），试判断MD 、
ME 的数量关系，并说明理由．
（1）解：当BE=0时，即点B 和点E 重合，故可知△PEC 是等腰三角形，
当BE=2时，即E 是BC 的中点，可得△PEC 是等腰三角形
由题干条件知PC=2，当CP=CE时△PEC 是等腰三角形，BE=4﹣2；
当E 在BC 的延长线上时，CE=CP，△PEC 是等腰三角形，BE=4+2；
故答案为0、2或4±2．
（2）证明：连接BP ．
∵AB=BC 且∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
又∵P 是AC 中点，
∴BP ⊥AC ，BP=PC 且∠ABP=∠CBP=45°，
∴∠CPE+∠EPB=90°，
∵DP ⊥PE ，
∴∠BPD+∠EPB=90°，
∴∠BPD=∠CPE ，
在△DPB 和△EPC 中
∵，
∴△DPB ≌△EPC ，
∴PD=PE，
（3）解：MD 、ME 的数量关系是：，
理由如下：
过M 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为G 、H ．
由作图知，∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE=90°
又∵∠
B=90°，
∴∠GMH=90°，
∴∠GMD+∠DMH=90°，∵∠DMH+∠HME=90°， ∴∠GMD=∠HME
∴△MGD ∽△MHE ， ∴①， ∵， ∴，
∵∠MGA=∠B=90°，
∴GM ∥BC ， ∴即②
同理 ，
∵AB=BC， ∴③
②③代入①得．