7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）第一课时
一、教学内容分析
本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面
已经介绍了等比数列的前n 项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣．
本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题．
二、教学目标设计
1．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；
3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识. 三、教学重点及难点
教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.
四、教学用具准备 实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、复习引入
思考下列问题：
1、0.9和1哪个数大？为什么？
2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.
对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果. 引导学生回答以下问题：
（1）如果你认为0.9
（2）如果你认为0.91成
∙
∙
∙
∙
∙
立？
换一个角度来看，事实上
0.9=0.99⋅⋅⋅9⋅⋅⋅=0.9+0.09+⋅⋅⋅+0.00⋅⋅⋅09+⋅⋅⋅
(n -1)个0
∙
(n -1)个0
0.09，⋅⋅⋅，0.00⋅⋅⋅09，⋅⋅⋅是首项为0.9，公比为而0.9，
1
的无穷等比数列，它的前n 10
项和为
⎡⎛1⎫n ⎤0.9⎢1- ⎪⎥(n -1)个0n
10⎝⎭1⎢⎥⎣⎦=1-⎛⎫. S n =0.9+0.09+⋅⋅⋅+0.00⋅⋅⋅09= ⎪1⎝10⎭1-10
于是可以把0.9看作S n 当n →∞时的极限，从而
n
⎡⎛1⎫n ⎤⎛1⎫
0.9=lim S n =lim ⎢1- ⎪⎥=lim 1-lim ⎪=1.
n →∞n →∞n →∞n →∞1010⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∙
∙
对于问题2，同样进行分析.
对比以上两个问题，它们有何共同特征？
二、讲授新课
1、无穷等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将0.9看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限. 请同学们思考，是否无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？
指出：当无穷等比数列的公比q 满足|q |
a 1(1-q n ) a a ∵ S n ==1-1⋅q n （|q |
1-q 1-q 1-q
∙
a 1(1-q n ) a
∴ lim S n =lim =lim 1⋅lim (1-q n )
n →∞n →∞n →∞1-q n →∞1-q
=
a 1a
(lim 1-lim q n ) =1. 1-q n →∞n →∞1-q
lim q n =0. ∵ 0
→∞
∴ lim S n =
n →∞
a 1
． 1-q
让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．
强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0
2、无穷等比数列的各项和的定义
提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．
我们把|q |
S =
a 1
（|q |
强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0
3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化下列循环小数为分数： （1）0.29； （2）3.431.
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限. 解：（1）0.29=0.29+0.0029+⋅⋅⋅+0.00⋅⋅⋅029+⋅⋅⋅
∙∙
2(n -1)个0
∙∙
∙∙
等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以
0.29=
∙∙
0.2929
=.
1-0.0199
∙∙
（2）3.431=3.4+0.031+0.00031+0.0000031+⋅⋅⋅，
等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以
0.031431427
3.431=3.4+=3++=3.
1-0.0110990990
∙∙
师生共同总结得出：
循环小数化为分数的法则：
1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99„„9，其中9的个
数是循环节数字的个数．
2．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99„900„0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同．
练习：P 471,2
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）第二课时
钱森
1．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；
3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.
教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.
例2（补充） 求下列循环小数的和． 0.29+0.0029+0.000029+⋅⋅⋅
分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和．
解：同例1可求得，
∙∙∙∙292929
0.29=0.0029=0.000029=，，，„
[1**********]0∙∙∙∙
∙∙
∙∙
292929
++⋅⋅⋅ ∴ 原式=+
[1**********]0
291
上式表示首项为，公比为的无穷等比数列的各项和．
99100
29
=2900
∴ 原式=． 98011-
100
10
练习：求下列循环小数的和：0.3+0.03+0.003+⋅⋅⋅．答案：
27
∙
∙
∙
例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无限继续下去. 求所有这些正方形周长的和与面积的和．
分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.
解：由题意得
第1个正方形的边长a 1=1，第n 个 正方形的边长
B
A
A D
B 1
C 1
a n =A n B n =
C
==a n -1，n ≥2.
2
即所有正方形的边长组成的数列为
⎛⎫11, , , , ⋅⋅⋅, 2⎪⎪224⎝⎭
n -1
, ⋅⋅⋅，
于是所有正方形的周长组成的数列为
⎛4, ⋅⋅⋅, 4⋅ 2⎝⎭
n -1
, ⋅⋅⋅，
这是首项为4
和l 为
l =2
=8+所有正方形的面积组成的数列为
1111
1, , , , ⋅⋅⋅, n -1, ⋅⋅⋅， 2482
1
这是首项为1、公项为的无穷等比数列，
2
故所有的正方形的面积之和S 为 S =
11-12=2.
4
2
练习：P 473.
1
补充练习：（可以和作业的思考题（2）联系讲解）
在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点A 1、B 1，得矩形ABB 1A 1；取A 1B 1、DC 中点A 2、B 2，得一小矩形A 2B 1CB 2；再取A 1D 、A 2B 2中点A 3、B 3，得一小矩形A 1A 2B 3A 3；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和．
所有面积组成首项为，公比为的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.
1
2
12
三、课堂小结
1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=
a 1
(q
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；
3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 满足0
思考题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为S n ，求lim
S n
． n →∞S n -1
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明
1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用．求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．所以，在新课引入时，利用课本的问题2让学生充分的讨论. 得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．
2．本节课的设计意图在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的过程中体会无穷的思想，真正理解为什么要用极限来定义一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念理解后，应用也就水到渠成了．
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）第一课时
一、教学内容分析
本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面
已经介绍了等比数列的前n 项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣．
本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题．
二、教学目标设计
1．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；
3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识. 三、教学重点及难点
教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.
四、教学用具准备 实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、复习引入
思考下列问题：
1、0.9和1哪个数大？为什么？
2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.
对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果. 引导学生回答以下问题：
（1）如果你认为0.9
（2）如果你认为0.91成
∙
∙
∙
∙
∙
立？
换一个角度来看，事实上
0.9=0.99⋅⋅⋅9⋅⋅⋅=0.9+0.09+⋅⋅⋅+0.00⋅⋅⋅09+⋅⋅⋅
(n -1)个0
∙
(n -1)个0
0.09，⋅⋅⋅，0.00⋅⋅⋅09，⋅⋅⋅是首项为0.9，公比为而0.9，
1
的无穷等比数列，它的前n 10
项和为
⎡⎛1⎫n ⎤0.9⎢1- ⎪⎥(n -1)个0n
10⎝⎭1⎢⎥⎣⎦=1-⎛⎫. S n =0.9+0.09+⋅⋅⋅+0.00⋅⋅⋅09= ⎪1⎝10⎭1-10
于是可以把0.9看作S n 当n →∞时的极限，从而
n
⎡⎛1⎫n ⎤⎛1⎫
0.9=lim S n =lim ⎢1- ⎪⎥=lim 1-lim ⎪=1.
n →∞n →∞n →∞n →∞1010⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∙
∙
对于问题2，同样进行分析.
对比以上两个问题，它们有何共同特征？
二、讲授新课
1、无穷等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将0.9看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限. 请同学们思考，是否无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？
指出：当无穷等比数列的公比q 满足|q |
a 1(1-q n ) a a ∵ S n ==1-1⋅q n （|q |
1-q 1-q 1-q
∙
a 1(1-q n ) a
∴ lim S n =lim =lim 1⋅lim (1-q n )
n →∞n →∞n →∞1-q n →∞1-q
=
a 1a
(lim 1-lim q n ) =1. 1-q n →∞n →∞1-q
lim q n =0. ∵ 0
→∞
∴ lim S n =
n →∞
a 1
． 1-q
让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．
强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0
2、无穷等比数列的各项和的定义
提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．
我们把|q |
S =
a 1
（|q |
强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0
3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化下列循环小数为分数： （1）0.29； （2）3.431.
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限. 解：（1）0.29=0.29+0.0029+⋅⋅⋅+0.00⋅⋅⋅029+⋅⋅⋅
∙∙
2(n -1)个0
∙∙
∙∙
等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以
0.29=
∙∙
0.2929
=.
1-0.0199
∙∙
（2）3.431=3.4+0.031+0.00031+0.0000031+⋅⋅⋅，
等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以
0.031431427
3.431=3.4+=3++=3.
1-0.0110990990
∙∙
师生共同总结得出：
循环小数化为分数的法则：
1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99„„9，其中9的个
数是循环节数字的个数．
2．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99„900„0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同．
练习：P 471,2
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）第二课时
钱森
1．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；
3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.
教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用. 教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.
例2（补充） 求下列循环小数的和． 0.29+0.0029+0.000029+⋅⋅⋅
分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和．
解：同例1可求得，
∙∙∙∙292929
0.29=0.0029=0.000029=，，，„
[1**********]0∙∙∙∙
∙∙
∙∙
292929
++⋅⋅⋅ ∴ 原式=+
[1**********]0
291
上式表示首项为，公比为的无穷等比数列的各项和．
99100
29
=2900
∴ 原式=． 98011-
100
10
练习：求下列循环小数的和：0.3+0.03+0.003+⋅⋅⋅．答案：
27
∙
∙
∙
例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无限继续下去. 求所有这些正方形周长的和与面积的和．
分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.
解：由题意得
第1个正方形的边长a 1=1，第n 个 正方形的边长
B
A
A D
B 1
C 1
a n =A n B n =
C
==a n -1，n ≥2.
2
即所有正方形的边长组成的数列为
⎛⎫11, , , , ⋅⋅⋅, 2⎪⎪224⎝⎭
n -1
, ⋅⋅⋅，
于是所有正方形的周长组成的数列为
⎛4, ⋅⋅⋅, 4⋅ 2⎝⎭
n -1
, ⋅⋅⋅，
这是首项为4
和l 为
l =2
=8+所有正方形的面积组成的数列为
1111
1, , , , ⋅⋅⋅, n -1, ⋅⋅⋅， 2482
1
这是首项为1、公项为的无穷等比数列，
2
故所有的正方形的面积之和S 为 S =
11-12=2.
4
2
练习：P 473.
1
补充练习：（可以和作业的思考题（2）联系讲解）
在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点A 1、B 1，得矩形ABB 1A 1；取A 1B 1、DC 中点A 2、B 2，得一小矩形A 2B 1CB 2；再取A 1D 、A 2B 2中点A 3、B 3，得一小矩形A 1A 2B 3A 3；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和．
所有面积组成首项为，公比为的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.
1
2
12
三、课堂小结
1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=
a 1
(q
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；
3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 满足0
思考题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为S n ，求lim
S n
． n →∞S n -1
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明
1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用．求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．所以，在新课引入时，利用课本的问题2让学生充分的讨论. 得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．
2．本节课的设计意图在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的过程中体会无穷的思想，真正理解为什么要用极限来定义一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念理解后，应用也就水到渠成了．