分段函数实际应用的教学设计
陈学军
一、课程分析
职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。
二、分段函数的实际应用在本课程中的地位：
（1）函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。
（2）本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。
三、教材分析
本节内容是在学生熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。由生活生产中的实际问题入手，求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景，可以引导学生分析得出，分段函数作图可以略讲由学生自己完成。
四、学情分析
（1）知识层面：学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质，对函数有一定程度的认识和理解；在本学期对函数知识又进一步系统的学习，加深学生对函数概念和性质的理解，为学习分段函数奠定良好的基础。
（2）能力层面：学生对函数具有一定的理解，在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式，通过分段函数的应用，培养学生分析与解决问题的能力，了解什么是数学建模，提高学生基本科学素质。
五、教学目标
（1）知识目标：能够根据简单的实际问题，建立分段函数的关系式，会画分段
函数的图象并求简单的分段函数的定义域和值域。
（2）能力目标：引导学生理解数学建模的方法，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想以及从一般到特殊等学习数学的方法；加强学生对实际生活中的数学背景知识及应用的认知，学生不仅可以将其应用到专业学习上，更能从数学的角度提升对各种问题知识感性认识和理解分析能力。
（3）情感态度与价值观：引导学生将实际问题用数学语言抽象概括，建立相应的数学模型，培养学生分析问题及概括总结的能力，形成主动探求知识、合作交流的意识与品质。
六、教学重难点
重点： 1、根据数学建模的方法，建立实际问题的分段函数关系式，解决问题。
2、分段函数图像的做法。
难点： 建立实际问题的分段函数关系式。
七、教学方法
情景教学法、讨论法、讲授法。通过创设情景让学生合作、探究分段函数图像的概念和性质，直观感受函数的实际应用。
八、教学过程：
（一）、课前复习：
1．分段函数的定义
分段函数概念：在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数, 简称分段函数。
2．作出以下分段函数的图像，
分别求出f(-2), f(0), f(3)的值。 ⎧x , x ∈(0, +∞) y =⎨⎩-x +1, x ∈(-∞, 0]
定义域：分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集。
函数值：求分段函数的函数值f （x ）时，应该首先判断x 所属的取值范围，然后再把x 代入到相应的解析式中进行计算。
注意：分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．
（二）、新课讲授：
应用1:用水收费问题
在我国的很多城市的生活用水远远低于世界平均水平，为了加强公民的节水意识，某城市制定了每户每月用水标准（含用水费和污水处理费）：
3问题
1:若用水8 m 应交水费是多少?
3m 问题2:若用水10 应交水费是多少?
问题3:若用水12 m 应交水费是多少?
学生进行分组讨论，教师引导学生：“用水量超过10m 时，超过的部分要提高收费标准，是提醒公民，超过标准消耗水是要付出高代价的，从而增强公民的节水意识. ”
教师提出问题：在上个案例中，设每户每月的用水量为x m ，应交的水费为y （元），试写出y 与x 的函数解析式。
学生通过前面的思考，列出：
333那么，每户每月用水量x 与应交水费 y之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？并作出函数图像。， 0
教师进行综合，将函数写成：y=
， x>10
回顾反思:
1、应用函数解决实际问题的方法步骤。
2、了解什么是数学建模；怎样利用数学建模方法分析解决问题。
团队学习1：计算水费
清远市居民生活用水价格阶梯式计价：
第一级（每户每月30立方米及以下的用水量）用水价格为1.2元/立方米；
第二级（每户每月30-38立方米的用水量）用水价格为1.6元/立方米； 第三级(每户每月38立方米及以上的用水量) 用水价格为2.2元/立方米。
问题1：如果小明家6月份用水40立方米，需要缴纳多少水费？
问题2：如果小明家7月份缴纳水费48.8元水费，则该月用水多少立方米？ 应用2:出租车计费问题
某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km 时，收费7元；行程超过3km ，但不超过10km 时，在收费7元的基础上，超过3km 的部分每公里收费1.0元；超过10km 时，超过10km 部分每公里收费1.5元.
试求车费y （元）与x （km ）之间的函数解析式，并作出函数图像。
学生通过前面的思考，列出：
那么，距离 x 与收费 y之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？并作出函数图像。
≤3 教师进行综合，将函数写成：（x-3）×1.0 3
团队学习2: ①清远市出租车起步价（3km 内6元）。②超过3km 每公里收费情况（2.4元/公里）。一位旅客由大学城乘出租车到小市约行驶21公里，根据本地出租车计费办法，试求出旅客应付多少费用？
九、归纳小结：
一个模型：分段函数
一个方法：数学建模方法
一种意识：数学“源于生活、寓于生活、 用于生活”
由学生归纳建立分段“收费”这一数学模型的思想方法，即分别写出自变量在不同取值范围时的函数解析式，再综合成一个大括号括成的分段式等式。在求函数值时应注意什么？在画图时又应注意什么？学生通过自己的思考小结，能加深对知识的理解和运用，完成本知识点的学习。
十、课后练习：
1．课本作业P80:练习2、3
分段函数实际应用的教学设计
陈学军
一、课程分析
职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。
二、分段函数的实际应用在本课程中的地位：
（1）函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。
（2）本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。
三、教材分析
本节内容是在学生熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。由生活生产中的实际问题入手，求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景，可以引导学生分析得出，分段函数作图可以略讲由学生自己完成。
四、学情分析
（1）知识层面：学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质，对函数有一定程度的认识和理解；在本学期对函数知识又进一步系统的学习，加深学生对函数概念和性质的理解，为学习分段函数奠定良好的基础。
（2）能力层面：学生对函数具有一定的理解，在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式，通过分段函数的应用，培养学生分析与解决问题的能力，了解什么是数学建模，提高学生基本科学素质。
五、教学目标
（1）知识目标：能够根据简单的实际问题，建立分段函数的关系式，会画分段
函数的图象并求简单的分段函数的定义域和值域。
（2）能力目标：引导学生理解数学建模的方法，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想以及从一般到特殊等学习数学的方法；加强学生对实际生活中的数学背景知识及应用的认知，学生不仅可以将其应用到专业学习上，更能从数学的角度提升对各种问题知识感性认识和理解分析能力。
（3）情感态度与价值观：引导学生将实际问题用数学语言抽象概括，建立相应的数学模型，培养学生分析问题及概括总结的能力，形成主动探求知识、合作交流的意识与品质。
六、教学重难点
重点： 1、根据数学建模的方法，建立实际问题的分段函数关系式，解决问题。
2、分段函数图像的做法。
难点： 建立实际问题的分段函数关系式。
七、教学方法
情景教学法、讨论法、讲授法。通过创设情景让学生合作、探究分段函数图像的概念和性质，直观感受函数的实际应用。
八、教学过程：
（一）、课前复习：
1．分段函数的定义
分段函数概念：在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数, 简称分段函数。
2．作出以下分段函数的图像，
分别求出f(-2), f(0), f(3)的值。 ⎧x , x ∈(0, +∞) y =⎨⎩-x +1, x ∈(-∞, 0]
定义域：分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集。
函数值：求分段函数的函数值f （x ）时，应该首先判断x 所属的取值范围，然后再把x 代入到相应的解析式中进行计算。
注意：分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．
（二）、新课讲授：
应用1:用水收费问题
在我国的很多城市的生活用水远远低于世界平均水平，为了加强公民的节水意识，某城市制定了每户每月用水标准（含用水费和污水处理费）：
3问题
1:若用水8 m 应交水费是多少?
3m 问题2:若用水10 应交水费是多少?
问题3:若用水12 m 应交水费是多少?
学生进行分组讨论，教师引导学生：“用水量超过10m 时，超过的部分要提高收费标准，是提醒公民，超过标准消耗水是要付出高代价的，从而增强公民的节水意识. ”
教师提出问题：在上个案例中，设每户每月的用水量为x m ，应交的水费为y （元），试写出y 与x 的函数解析式。
学生通过前面的思考，列出：
333那么，每户每月用水量x 与应交水费 y之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？并作出函数图像。， 0
教师进行综合，将函数写成：y=
， x>10
回顾反思:
1、应用函数解决实际问题的方法步骤。
2、了解什么是数学建模；怎样利用数学建模方法分析解决问题。
团队学习1：计算水费
清远市居民生活用水价格阶梯式计价：
第一级（每户每月30立方米及以下的用水量）用水价格为1.2元/立方米；
第二级（每户每月30-38立方米的用水量）用水价格为1.6元/立方米； 第三级(每户每月38立方米及以上的用水量) 用水价格为2.2元/立方米。
问题1：如果小明家6月份用水40立方米，需要缴纳多少水费？
问题2：如果小明家7月份缴纳水费48.8元水费，则该月用水多少立方米？ 应用2:出租车计费问题
某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km 时，收费7元；行程超过3km ，但不超过10km 时，在收费7元的基础上，超过3km 的部分每公里收费1.0元；超过10km 时，超过10km 部分每公里收费1.5元.
试求车费y （元）与x （km ）之间的函数解析式，并作出函数图像。
学生通过前面的思考，列出：
那么，距离 x 与收费 y之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？并作出函数图像。
≤3 教师进行综合，将函数写成：（x-3）×1.0 3
团队学习2: ①清远市出租车起步价（3km 内6元）。②超过3km 每公里收费情况（2.4元/公里）。一位旅客由大学城乘出租车到小市约行驶21公里，根据本地出租车计费办法，试求出旅客应付多少费用？
九、归纳小结：
一个模型：分段函数
一个方法：数学建模方法
一种意识：数学“源于生活、寓于生活、 用于生活”
由学生归纳建立分段“收费”这一数学模型的思想方法，即分别写出自变量在不同取值范围时的函数解析式，再综合成一个大括号括成的分段式等式。在求函数值时应注意什么？在画图时又应注意什么？学生通过自己的思考小结，能加深对知识的理解和运用，完成本知识点的学习。
十、课后练习：
1．课本作业P80:练习2、3