分式方程与反比例函数知识点总结

分 式

1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

A

叫做分式。 B

1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零

2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 A A  C A A  C 其中A、B、C为整式



B B  C B B  C （C0） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免

出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式

1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式

3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，

把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5. 条件分式求值

1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接

代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。

11a3abb

4 ，则求 例：已知  

ab2a2b7b

2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。

abc3a2b5c

例：若   ，则求

234abc

6. 分式的运算：

1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

acacacadad

;bdbdbdbcbc anan

()n

3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 bb

4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算

5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

ababacadbcadbc, cccbdbdbdbd

7. 整数指数幂.

1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a01(a0)；

2） 任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即 a（a0)

n



ba

()n()nab

1

an

注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即

n

3） 科学计数法：把一个数表示为a×10(1≤∣a∣＜10,n为整数)的形式，称为科学计数法。

n

注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a×10的形式，n为正整数；

-n

（2）绝对值小于1的数可以表示为a×10的形式，n为正整数.

（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1 （4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)

4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：aaa（2）幂的乘方：(am)namn; （3）积的乘方：(ab)nanbn； （4）同底数的幂的除法：aaa

m

n

mn

m

n

mn

；

( a≠0)；

anan

（5）商的乘方：()n()；(b≠0)

bb

8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：

（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 2）分式方程的解法：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 3）烈分式方程解实际问题

（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实

际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型；

a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．

d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．

1. 定义：形如y＝

反比例函数

k

（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其中x是自变量，y是函数，自变量xx

的取值是不等于0的一切实数。

说明：1）y的取值范围是一切非零的实数。

2）反比例函数的解析式也可以写成xy=k ；ykx1；yk

2. 用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数y＝

1

（k为常数，k≠0） x

k

只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k的值，从而x

确定其解析式。

3. 反比例函数的画法：

1）列表；2）描点；3）连线 注：（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中

心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，

使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标

轴

4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条

对称轴：直线y=x和 y= －x；对称中心是：原点

5. 性质:：

说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交点。 6. 反比例函数y＝

表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

k

（k≠0）中的比例系数k的几何意义 x

如图，过双曲线y＝

k

（k≠0）上的任意一点P（x , y）做x轴、y轴的垂线PA、PB，所得矩形 x

OBPA的面积S=PA·PB=∣xy∣=∣k∣。

推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为

k2

7. 经典例题考察：

1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k（k≠0），那么x与y这两个量成反比例的关系，这里的x、y可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如y－1与x+1成反比例，则

y1

数y

kk

；若y与x2 成反比例，则y2成反比例关系，x和y不一定是反比例函数；但反比例函x1x

k

（k≠0）必成反比例关系。 x

2）坐标系中的求不规则图形的面积

3）反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题 8. 实际问题与反比例函数的应用

1）步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型→利用反比例函数解决相关问题，建立反比例函数

模型是解决问题的关键。

思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。

题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到函数关系式，

并解决问题。 2）反比例函数的应用

（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积 （2）反比例函数在其他学科中的应用，

a) 物理学中，电压一定时，电阻R与电流强度I成反比例函数，I

UR

kv

b) 当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密

度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积v的反比例函数，解析式可以表达为c) 收音机刻度盘的波长l与频率f关系式: l

k

f

F S

d) 压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例关系，即P

e) 当汽车输出功率P一定时，汽车行驶速度v与汽车所受的负载即阻力F成反比例关系，

v

P F

(3) 反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。 注：实际问题中一定要注意自变量x的取值范围。

分 式

1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

A

叫做分式。 B

1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零

2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 A A  C A A  C 其中A、B、C为整式



B B  C B B  C （C0） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免

出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式

1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式

3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，

把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 4. 分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5. 条件分式求值

1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接

代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。

11a3abb

4 ，则求 例：已知  

ab2a2b7b

2）参数法：当出现连比式或连等式时，常用参数法。

abc3a2b5c

例：若   ，则求

234abc

6. 分式的运算：

1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

acacacadad

;bdbdbdbcbc anan

()n

3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 bb

4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算

5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

ababacadbcadbc, cccbdbdbdbd

7. 整数指数幂.

1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即a01(a0)；

2） 任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即 a（a0)

n



ba

()n()nab

1

an

注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即

n

3） 科学计数法：把一个数表示为a×10(1≤∣a∣＜10,n为整数)的形式，称为科学计数法。

n

注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a×10的形式，n为正整数；

-n

（2）绝对值小于1的数可以表示为a×10的形式，n为正整数.

（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1 （4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)

4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：aaa（2）幂的乘方：(am)namn; （3）积的乘方：(ab)nanbn； （4）同底数的幂的除法：aaa

m

n

mn

m

n

mn

；

( a≠0)；

anan

（5）商的乘方：()n()；(b≠0)

bb

8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：

（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 2）分式方程的解法：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根． 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 3）烈分式方程解实际问题

（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实

际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型；

a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．

d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．

1. 定义：形如y＝

反比例函数

k

（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其中x是自变量，y是函数，自变量xx

的取值是不等于0的一切实数。

说明：1）y的取值范围是一切非零的实数。

2）反比例函数的解析式也可以写成xy=k ；ykx1；yk

2. 用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数y＝

1

（k为常数，k≠0） x

k

只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k的值，从而x

确定其解析式。

3. 反比例函数的画法：

1）列表；2）描点；3）连线 注：（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中

心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值

（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，

使画出的图象更精确

（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线

（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标

轴

4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条

对称轴：直线y=x和 y= －x；对称中心是：原点

5. 性质:：

说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x轴、y轴，但与x轴、y轴没有交点。 6. 反比例函数y＝

表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

k

（k≠0）中的比例系数k的几何意义 x

如图，过双曲线y＝

k

（k≠0）上的任意一点P（x , y）做x轴、y轴的垂线PA、PB，所得矩形 x

OBPA的面积S=PA·PB=∣xy∣=∣k∣。

推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为

k2

7. 经典例题考察：

1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k（k≠0），那么x与y这两个量成反比例的关系，这里的x、y可以表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如y－1与x+1成反比例，则

y1

数y

kk

；若y与x2 成反比例，则y2成反比例关系，x和y不一定是反比例函数；但反比例函x1x

k

（k≠0）必成反比例关系。 x

2）坐标系中的求不规则图形的面积

3）反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题 8. 实际问题与反比例函数的应用

1）步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型→利用反比例函数解决相关问题，建立反比例函数

模型是解决问题的关键。

思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。

题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到函数关系式，

并解决问题。 2）反比例函数的应用

（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积 （2）反比例函数在其他学科中的应用，

a) 物理学中，电压一定时，电阻R与电流强度I成反比例函数，I

UR

kv

b) 当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密

度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积v的反比例函数，解析式可以表达为c) 收音机刻度盘的波长l与频率f关系式: l

k

f

F S

d) 压力F一定时，压强P与受力面积S成反比例关系，即P

e) 当汽车输出功率P一定时，汽车行驶速度v与汽车所受的负载即阻力F成反比例关系，

v

P F

(3) 反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。 注：实际问题中一定要注意自变量x的取值范围。