国标H型钢和剖分T型钢截面扭转惯性矩计算

徐　翔, 等:国标H 型钢和剖分T 型钢截面扭转惯性矩计算

国标H 型钢和剖分T 型钢截面扭转惯性矩计算3

徐　翔　郝际平

(西安建筑科技大学　西安　710055)

(G B/T11263-1998) 提供的截面, 应用数值分析和Matlab 数学计算软件, 摘　要　对《热轧H 型钢和剖分T 型钢》

求解型钢截面的扭转惯性矩并编制成表格, 以便设计应用。关键词　热轧H 型钢　剖分T 型钢　扭转惯性矩　数值方法

CALCU LATION OF T ORSIONAL MOMENT OF INERTIA FOR H OT R D H AN D

CUT T SECTION STEE L IN u X &Xi ′an 　710055)

ABSTRACT 　of of numerical analyses and the software Matlab , this paper computes the

torsion moment of of hot rolled H sections and cut T sections in the national standard (G B/T11263-1998) 1The result is presented in tabular forms to facilitate design use 1

KE Y WOR DS 　hot rolled H section 　cut T section 　torsion moment of inertia 　numerical method

　　热轧H 型钢以其优异的截面特性, 成为工字钢的换代产品。剖分T 型钢由H 型钢一分为二得到, 可以代替双角钢T 型截面, 使构造简化、节省钢材和工时。这两种型钢, 国外发达国家在建筑中早已大量应用。随着《热轧H 型钢

(G B/T11263-1998) 的颁布实施, 莱钢、和剖分T 型钢》马钢

——型钢组成板件的厚度。t i —

4〕

　　2) 采用课本、计算手册〔等资料中提供的拟合公式。如

文献〔1〕中用下式计算T 型截面, 文献〔4〕中也给出了类似的H 型及T 型截面计算公式。

I t =

α() 3B t 4

(1-0163) +η+αD 3B 3

以及鞍钢一轧等万能型钢生产线的引进投产, 我国已基本具备了生产应用热轧H 型钢和剖分T 型钢的能力。

由于G B/T11263-1998的截面特性表中未列出型钢尤其是剖分T 型钢的扭转惯性矩, 当需要考虑型钢构件的扭转效应(如轴心受压构件的弯扭屈曲、压弯构件及梁的弯矩作用平面外稳定性分析计算) 时, 需要研究和设计人员自行计算, 给工作带来不便。通常的计算是采用简化公式或放大系数等方法, 扭转惯性矩计算结果精度不高, 个别截面的结果误差竟达3214%。本文采用偏微分方程的数值解法, 给出所有国标G B/T11263-1998规定截面的更为精确的扭转惯性矩数值, 以方便设计应用。

1　关于简化计算方法的思考

(2)

η=其中　

D =

(0115+011) t 2t 2

() 2()

2r +t 2

式中α———T 型钢取110,H 型钢取210;

B ———截面的宽度; H ———截面的高度; t 1———腹板厚度; t 2———翼缘厚度;

——倒角半径。r —

　　上述方法是根据薄膜比拟试验观察数据或根据数值分析方法算得的数据拟合出的具有高度概括性的实用公式, 能直观地反映出倒角对扭转惯性矩的影响程度。然而, 一方面设计中每次都计算它较繁琐, 另一方面正是由于它的概括性使得利用公式计算具体截面时存在偏差。计算方法中的数据拟合总是同偏差并存, 其目标是最大偏差的最小化〔5〕。这些实用公式均未考虑截面端部的影响。

目前, 考虑腹板和翼缘交接处倒角影响的扭转惯性矩计算公式通常用有以下几种:

1) 采用大于110的倒角增强系数v , 按如下材料力学中

的公式计算:

I t =

∑b t 3

i i

(1)

式中　v ———倒角增强系数, H 型钢取1129〔1,2〕, 剖分T 型

3〕

钢取112〔;

　　　b i ———型钢组成板件的宽度;

Steel Construction 12003(4) , Vol 118, No 166

3　本文得到陈绍蕃教授的指导, 特此致谢。本项目由莱芜钢

铁集团有限公司资助。

第一作者:徐　翔　男　1970年7月出生　硕士研究生　一级

注册结构工程师

收稿日期:2003-04-01

标准与规范

这些公式一般来说, 形式简单的如式(1) , 在设计中应用较多, 误差较大; 形式复杂的如式(2) , 多应用于对精度要求相对较高的分析研究工作中。对于截面多样的情形, 如木制构件、非标准截面, 可以编制短小的甚至可以在掌上电脑中运行的工具式程序进行计算; 对于数量有限的标准截面, 可以应用数值分析的基础知识和精良的数学软件(如Matlab ) , 编制表格, 使计算更精确, 应用更方便。

2　计算方法简要介绍211　理论根据

　　式(5) ～式(7) 就是本文计算的理论依据。

212　数值计算求解扭转惯性矩I t

Matlab 中提供了偏微分方程求解PDE 工具包。采用三

节点三角形单元有限元方法求解偏微分方程, 由式(5) 、式

(6) 得到各节点的广义薄膜位移u 。然后, 应用数值积分即可

计算式求得薄膜所围成的体积, 其2倍即得扭转惯性矩I t 。

(7) 时采用二重积分的梯形公式, 即计算斜顶三棱柱的体积,

如式(8) 。这种方法虽精度较低, 但编程简单。

I n =

n i =1

[(u 1∑

+u 2i +u 3i ) A i ](8)

根据符拉索夫薄壁杆件理论, 开口薄壁杆件的自由扭转可以用泊松方程描述〔1〕:

9x 29y 2

式中　u 1i , u 2i , u 3i ———薄膜比拟中, 第i 三角形单元角点的

;

　A i i ; 　　n 该。采用, 以便观察求解过程。程序从数据文件中依次读入每种截面的高H 、宽B 、腹板厚t 1、翼缘厚t 2及倒角半径r , 运行时可以显示边界情况, 自动进行单元划分, 以三维图形显示得薄膜位移, 积分得到扭转惯性矩I t 。程序还可以在单元边界中央增加节点, 对单元按图1方式进行细分, 以提高求解精度。

图2a 可以形象地显示出带倒角T 型截面的薄膜比拟形状, 图中高耸的部分就是倒角对扭转惯性矩的贡献; 而在截面的边缘, 薄膜广义位移为0, 满足边界条件即式(6) 。此图形的体积的2倍就是扭转惯性矩, 重积分按式(8) 计算。当单元数量较少时, 结果误差大, 图形粗糙, 如图2b

。

(3)

式中　

′

θ———扭转率;

——G —

∫∫

式中　T ———杆端扭矩。

′

θ取应力函数

2u =

22+=-29x 29y 2

(5)

式中　u (x , y ) ———未知函数。

因在薄膜比拟中, 未知函数u (x , y ) 与薄膜的竖向位移成正比, 不妨称为广义薄膜位移。而式(5) 的边界条件为在截面边缘:

u =0u (x , y ) d x d y

∫∫

(6)

′

　　将

I t =2(7)

图1　

单元细分模式

图2　偏微分方程结果显示

　　经试算发现仅仅通过单元细分, 事后误差I 4n -I n 仍很大。虽然可以不断将单元细分使结果向精确解收敛, 但收敛速度太慢, 即使计算单个截面耗费的机时也很长。由于三节点三角形单元采用双线性形函数, 且积分公式(8) 的误差〔6〕

为o (h 2) , 可以证明在这种单元及细分模式下, 重积分可以

采用龙贝格(Romberg ) 加速算法。以TN150×150截面为例(结果见表1) , 采用加速算法可以迅速得到6位有效数字, 结果相当精确。用此算法对不同高宽比的矩形截面进行计算, 与文献〔4,7〕对比, 验证了其正确性, 结果见表2。

钢结构　2003年第4期第18卷总第66期　

徐　翔, 等:国标H 型钢和剖分T 型钢截面扭转惯性矩计算

表1　TN 150×150截面龙贝格加速计算结果

T 4k

S 4k -1

C 4k -2

R 4k -3

事后误差

01234

[***********][***********]618097694

[***********][***********]

[***********]618145754

[***********]

-7

表2　矩形截面扭转惯性矩计算结果对比

高宽比

(H/B )

文献值

[***********]2901249

计算值

[***********][***********][1**********]507

高宽比

(H/B )

文献值

[**************]0计算值

[***********][***********][1**********]918

[**************]

[1**********]100

　　从表2可知, 高宽比H/B 为20矩系数013230端部, 如图2a , 0以满足边界条件即式(6) 。所以在热轧H 型钢和剖分T 型钢扭转惯性矩计算结果中, 剖分T 型钢扭转惯性矩的2倍总是略小于相应的

H 型钢计算结果。

。

2) 截面倒角和端部对扭转惯性矩影响为:考虑倒角可提

高扭转惯性矩, 相反考虑端部则减低扭转惯性矩。

3) 本文提供的表格精度较高, 可供设计应用。4) 本文为应用Matlab 的偏微分方程求解PDE 工具包提

供了一个具体实例。

参考文献

3　结　论

1　郭在田1薄壁杆件的弯曲与扭转1北京:中国建筑工业出版社,

1989

2　CSCM 1Tables Pour La Construction Metallique 1Zurich :19803　陈绍蕃1角钢、剖分T 型钢压杆的弯扭屈曲(2) 1钢结构,2001,

16(2) :46～47

4　罗克R J , 等1应力应变公式1汪一骏, 译1北京:中国建筑工业

本文针对国标G B/T11263-1998提供的基本数据以及山东莱钢万力型钢有限公司的《H100～150系列热轧轻型、超轻型H 型钢》企业标准, 应用数值分析的基础知识和Mat 2

lab 数学计算软件, 计算扭转惯性矩数值并编制表格, 分别按

数值方法和式(1) 、式(2) 进行了计算, 相关内容可参考“中华钢结构论坛(http ://www 1okok 1org ) ”中“E21规范、图集、常用数据”专栏。其中包括对山东莱钢集团万力型钢有限公司新近轧制成功的轻型、超轻型H 型钢的截面扭转惯性矩计算结果。对比可见, 总体来说式(1) 误差较大, 式(2) 误差较小。

通过本文分析, 可得结论如下:

1) 应用偏微分方程数值解法中的有限元法考虑倒角及(上接第63页)

出版社,19851223,226～227

5　李庆阳, 王能超, 易大义1数值分析1第四版1北京:清华大学出

版社,2001161,133～135

6　朱伯芳1有限单元法原理与应用1第二版1北京:中国水利水电

出版社,19981158

7　徐芝纶1弹性力学(下册) 1第三版1北京:高等教育出版社,

19981333

撑, 在桁架的全长范围内, 支撑间距不可超过L p (L p 应按

2〕L RFD 规范〔, 第6章取值) 。在特殊桁架区段端部或其间的

　　α———斜杆与水平线的夹角。

式(12-1) 是基于近似分析和实验研究得到的经验公式, 考虑了钢材实际屈服强度的不确定性和腹杆屈服及弦杆转动的应变硬化的作用。

1215　采用利于全截面发展塑性的型材

第一个侧向水平支撑的设计强度均应不低于特殊桁架区段弦杆的抗压强度标准值P nc 的5%。特殊桁架区段以外的侧向水平支撑的设计强度均应不低于相邻的弦杆抗压强度标准值P nc 的215%。

特殊桁架区段中的斜腹杆应采用具有高延性的光面钢筋。有研究表明, 当采用宽厚比小于0118

E s /E y 的单角

参考文献

1　李志明1美国ANSI/AISC SSPEC -2002《钢结构建筑抗震设计

钢用作X 型斜腹杆, 亦能提供相当大的延性。特殊桁架区段中的上、下弦杆应采用利于全截面发展塑性的型材, 以保证形成塑性铰。

1216　侧向水平支撑

规定》介绍(1) 1钢结构,2003(2)

2　American Institute of Steel Construction , Inc. Load and Resistance

Factor Design Specification for the Structural Steel Buildings. 1999

应在特殊桁架区段端部位置对其上、下弦设置侧向支

Steel Construction 12003(4) , Vol 118, No 166

(待续)

徐　翔, 等:国标H 型钢和剖分T 型钢截面扭转惯性矩计算

国标H 型钢和剖分T 型钢截面扭转惯性矩计算3

徐　翔　郝际平

(西安建筑科技大学　西安　710055)

(G B/T11263-1998) 提供的截面, 应用数值分析和Matlab 数学计算软件, 摘　要　对《热轧H 型钢和剖分T 型钢》

求解型钢截面的扭转惯性矩并编制成表格, 以便设计应用。关键词　热轧H 型钢　剖分T 型钢　扭转惯性矩　数值方法

CALCU LATION OF T ORSIONAL MOMENT OF INERTIA FOR H OT R D H AN D

CUT T SECTION STEE L IN u X &Xi ′an 　710055)

ABSTRACT 　of of numerical analyses and the software Matlab , this paper computes the

torsion moment of of hot rolled H sections and cut T sections in the national standard (G B/T11263-1998) 1The result is presented in tabular forms to facilitate design use 1

KE Y WOR DS 　hot rolled H section 　cut T section 　torsion moment of inertia 　numerical method

(G B/T11263-1998) 的颁布实施, 莱钢、和剖分T 型钢》马钢

——型钢组成板件的厚度。t i —

4〕

　　2) 采用课本、计算手册〔等资料中提供的拟合公式。如

文献〔1〕中用下式计算T 型截面, 文献〔4〕中也给出了类似的H 型及T 型截面计算公式。

I t =

α() 3B t 4

(1-0163) +η+αD 3B 3

以及鞍钢一轧等万能型钢生产线的引进投产, 我国已基本具备了生产应用热轧H 型钢和剖分T 型钢的能力。

1　关于简化计算方法的思考

(2)

η=其中　

D =

(0115+011) t 2t 2

() 2()

2r +t 2

式中α———T 型钢取110,H 型钢取210;

B ———截面的宽度; H ———截面的高度; t 1———腹板厚度; t 2———翼缘厚度;

——倒角半径。r —

目前, 考虑腹板和翼缘交接处倒角影响的扭转惯性矩计算公式通常用有以下几种:

1) 采用大于110的倒角增强系数v , 按如下材料力学中

的公式计算:

I t =

∑b t 3

i i

(1)

式中　v ———倒角增强系数, H 型钢取1129〔1,2〕, 剖分T 型

3〕

钢取112〔;

　　　b i ———型钢组成板件的宽度;

Steel Construction 12003(4) , Vol 118, No 166

3　本文得到陈绍蕃教授的指导, 特此致谢。本项目由莱芜钢

铁集团有限公司资助。

第一作者:徐　翔　男　1970年7月出生　硕士研究生　一级

注册结构工程师

收稿日期:2003-04-01

标准与规范

2　计算方法简要介绍211　理论根据

　　式(5) ～式(7) 就是本文计算的理论依据。

212　数值计算求解扭转惯性矩I t

Matlab 中提供了偏微分方程求解PDE 工具包。采用三

节点三角形单元有限元方法求解偏微分方程, 由式(5) 、式

(6) 得到各节点的广义薄膜位移u 。然后, 应用数值积分即可

计算式求得薄膜所围成的体积, 其2倍即得扭转惯性矩I t 。

(7) 时采用二重积分的梯形公式, 即计算斜顶三棱柱的体积,

如式(8) 。这种方法虽精度较低, 但编程简单。

I n =

n i =1

[(u 1∑

+u 2i +u 3i ) A i ](8)

根据符拉索夫薄壁杆件理论, 开口薄壁杆件的自由扭转可以用泊松方程描述〔1〕:

9x 29y 2

式中　u 1i , u 2i , u 3i ———薄膜比拟中, 第i 三角形单元角点的

;

。

(3)

式中　

′

θ———扭转率;

——G —

∫∫

式中　T ———杆端扭矩。

′

θ取应力函数

2u =

22+=-29x 29y 2

(5)

式中　u (x , y ) ———未知函数。

因在薄膜比拟中, 未知函数u (x , y ) 与薄膜的竖向位移成正比, 不妨称为广义薄膜位移。而式(5) 的边界条件为在截面边缘:

u =0u (x , y ) d x d y

∫∫

(6)

′

　　将

I t =2(7)

图1　

单元细分模式

图2　偏微分方程结果显示

为o (h 2) , 可以证明在这种单元及细分模式下, 重积分可以

钢结构　2003年第4期第18卷总第66期　

徐　翔, 等:国标H 型钢和剖分T 型钢截面扭转惯性矩计算

表1　TN 150×150截面龙贝格加速计算结果

T 4k

S 4k -1

C 4k -2

R 4k -3

事后误差

01234

[***********][***********]618097694

[***********][***********]

[***********]618145754

[***********]

-7

表2　矩形截面扭转惯性矩计算结果对比

高宽比

(H/B )

文献值

[***********]2901249

计算值

[***********][***********][1**********]507

高宽比

(H/B )

文献值

[**************]0计算值

[***********][***********][1**********]918

[**************]

[1**********]100

H 型钢计算结果。

。

2) 截面倒角和端部对扭转惯性矩影响为:考虑倒角可提

高扭转惯性矩, 相反考虑端部则减低扭转惯性矩。

3) 本文提供的表格精度较高, 可供设计应用。4) 本文为应用Matlab 的偏微分方程求解PDE 工具包提

供了一个具体实例。

参考文献

3　结　论

1　郭在田1薄壁杆件的弯曲与扭转1北京:中国建筑工业出版社,

1989

2　CSCM 1Tables Pour La Construction Metallique 1Zurich :19803　陈绍蕃1角钢、剖分T 型钢压杆的弯扭屈曲(2) 1钢结构,2001,

16(2) :46～47

4　罗克R J , 等1应力应变公式1汪一骏, 译1北京:中国建筑工业

lab 数学计算软件, 计算扭转惯性矩数值并编制表格, 分别按

通过本文分析, 可得结论如下:

1) 应用偏微分方程数值解法中的有限元法考虑倒角及(上接第63页)

出版社,19851223,226～227

5　李庆阳, 王能超, 易大义1数值分析1第四版1北京:清华大学出

版社,2001161,133～135

6　朱伯芳1有限单元法原理与应用1第二版1北京:中国水利水电

出版社,19981158

7　徐芝纶1弹性力学(下册) 1第三版1北京:高等教育出版社,

19981333

撑, 在桁架的全长范围内, 支撑间距不可超过L p (L p 应按

2〕L RFD 规范〔, 第6章取值) 。在特殊桁架区段端部或其间的

　　α———斜杆与水平线的夹角。

式(12-1) 是基于近似分析和实验研究得到的经验公式, 考虑了钢材实际屈服强度的不确定性和腹杆屈服及弦杆转动的应变硬化的作用。

1215　采用利于全截面发展塑性的型材

特殊桁架区段中的斜腹杆应采用具有高延性的光面钢筋。有研究表明, 当采用宽厚比小于0118

E s /E y 的单角

参考文献

1　李志明1美国ANSI/AISC SSPEC -2002《钢结构建筑抗震设计

钢用作X 型斜腹杆, 亦能提供相当大的延性。特殊桁架区段中的上、下弦杆应采用利于全截面发展塑性的型材, 以保证形成塑性铰。

1216　侧向水平支撑

规定》介绍(1) 1钢结构,2003(2)

2　American Institute of Steel Construction , Inc. Load and Resistance

Factor Design Specification for the Structural Steel Buildings. 1999

应在特殊桁架区段端部位置对其上、下弦设置侧向支

Steel Construction 12003(4) , Vol 118, No 166

(待续)

国标H型钢和剖分T型钢截面扭转惯性矩计算

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