Ｅ塑曩圈躺ｌＩ
一。
２瞄嘲㈣
著名的均值不等式ｔ。若。。，。。，…，。。∈Ｒ＋，则
ｎ
ｒ，
。１十。２十…十ａ”≥孤ｉｉｉｉ，仅当ａ，一ｎ：一．一ｎ。（”≥２，７２
ＥＮ）时等号成立，，是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值，且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容．因此必须掌握利用重要不等式求函数的最值的方法和技巧・
乏§
』窃Ｉ列
均
１盟
ｔ二
每、蕈拣遣翳链鼹书诵薹奄繇镰ｔ鼍蓬数誊礅篝二整旗◇
（１）注意“正数，，
定
锄静求函数ｙ—ｚ＋睾的值域．
数
理化
题嚣镰２篇主耋篙ａ馓，ｂ∈用Ｒ挚馘～＋６≥
。
理－
解雾值繁一，＋∞）．
误鼽＋≥２
ｘ
４ｊ仅当捌时取等号），所以
麓寥错湖时取等号）．
鬲由
的器：＿当…吼。＋勤＾／泰…仅当一
。２
版
解南
（ｂ）当ｚ＜。时，一ｚ＞。而（一ｚ）＋（一睾）≥
析Ｒ叫’雹嚣蓑墨磬剧儿◇４籼狲卜
均
割善２（－－ｘ）（一砉）划仅当。一一２时取等号）＇肌＋睾≤
鳓》设ｘＥＲ＋求函数ｙ一３ｚ＋专的最小值．
常
技《煎显然使２。一。一≥成立的。不存在，故导致错
巧
误．此痞众用均值定理，需要拆项，同时要使等号成立，需要配
固，瓠．ｒＥ时∥爿≤黧型篡；蓉篡麓．
误解：拿到题很容易？到薯竺竺以有
正解：由题意可知ｙ一萼＋萼＋嘉≥√萼・警・≯１一
圈穆姆躲比躲锻，目煅桃果篙淼二㈤班陈海存
万方数据
２嘶一。期
｜｜ｊ｜瀵壤闺圈蕊豳
喜俪ｆ当且仅当萼一当时取等号）．所以当ｚ一孕，了…一生警匿．
剿渗已知ｚ＋２ｙ一１，ｚ，３，∈Ｒ＋，求ｚ２ｙ的最大值．
误解：ｉ２ｙ≤（兰蔓｝丝）３一玉学（当ｚ—ｙ时取等），又ｘ－Ｉ－２ｙ一
，－ｖ镅ｔ：ｚ，ｙ∈Ｒ＋，贝ｕ
１，所以ｚ—ｙ一号时ｚ２ｙ≤刍．
◇理由兰翥篓三曩篆１…法１，’鬈ｉ霞
用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果．
理化
ｚ２ｙ一丢・ｚ・ｚ・４ｙ≤丢（三学）３一餮
丢（２×羔专塾）３一莠（仅当ｚ一４３，且ｘ＋２ｙ一１，即ｚ一了２，３，一丢时取等
号Ｌ故≯ｙ最大值为参’
霸一
高
中
版
翱》求函数ｙ一２２２＋詈（ｚ＞ｏ）的最小值．
解：ｙ一２２２＋差＋熹≥３√２ｚｒ３２。・五３一＿虿３～３３百（当且仅当２２２一
鹜鬻纛黧震鬻一
暑时取等号）．／Ｚ
嗣静设ｚ＞一１，求函数ｙ—ｈ＋兰￥季＋２’的最小值．
解：ｙ一‘‘ｚ＋１’＋。４２＋Ｅ１（ｚ＋１’＋１］一ｚ＋１＋ｉ各＋５≥
２√（ｚ＋１）孑各＋５—９（当且仅当ｘ＋ｌ一刍时取等号）．
万方数据
烛一一陕西城圊一中高三（１９）班
王斌漤阐
崤酾矿￡列
肇渗塞鬻溪麟一繁
澜辫赣鬻麟
…
的最镰，进而凑积必定值，即零馕镣鬻饔学够蹰霉篱乎１的糍
。一。数移瑚零，瞬时取劐等莺。
嘞静求函数ｙ一３２２＋豕岛的最小值．
解：ｙ一３（２＋ｚ
ｌｌ濑镄麟糕熊鼙
隧｜｛『｝『“攀辫鬓熏鬻纂麓麟ｉ
ｉ
２）＋云等一６≥２√３（２＋ｚ２）ｆ雨１６）一６＝８
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ｏ
ｊｉ一６．
。ｊ。
｝
练习：
１．若ｘ＞ｏ，ｙ＞ｏ，且专＋号一１，求ｘ＋ｙ１
的最小值・
２．求函数ｙ—ｚ２√１一ｚ２（ｏ＜ｚ＜１）的最大值．
３．已知ｏ＜ｚ＜２，求函数＿：ｙ一６。（４～ｚｚ）的最大值．（４）分子变量常数化
Ｌ
嗣渗设ｚ∈Ｒ＋，求函数ｙ一窘岳的最大值・
雪盯．‘ｚ∈Ｒ＋一熹一击一。ｌ兰。４，
懑懿黼赣髓懿
隧澄鬻鬃豢蠢黼囊骥
又。・。
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专＋专＋参≥３√号・号‘当一３，
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锎静已知ｚ，ｙＥＩ王＋４ｚ＋－－ｙ３—１，求．２ｙ的最小值．
解：击一丧．导．吾．号≤丧ｆ导＋喜＋号］３一去．故。ｚｙ≥３２４．
一ｊ整鳞警漤黍尝鬻ｌ攀≮豢熬黎≯渗灞鬻酾螨
。
一
¨
。
。＿。Ｉ『『＿叠
万方数据
运用均值定理解题的错解剖析与常用技巧
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
阮丽丽， 周友良
中学生数理化（高中版）
MATHS PHYSCICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS (SENIOR HIGH SCHOOLEDITION) 2005(10)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-gzb200510009.aspx
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著名的均值不等式ｔ。若。。，。。，…，。。∈Ｒ＋，则
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鳓》设ｘＥＲ＋求函数ｙ一３ｚ＋专的最小值．
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鹜鬻纛黧震鬻一
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万方数据
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１．若ｘ＞ｏ，ｙ＞ｏ，且专＋号一１，求ｘ＋ｙ１
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３．已知ｏ＜ｚ＜２，求函数＿：ｙ一６。（４～ｚｚ）的最大值．（４）分子变量常数化
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解：击一丧．导．吾．号≤丧ｆ导＋喜＋号］３一去．故。ｚｙ≥３２４．
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运用均值定理解题的错解剖析与常用技巧
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
阮丽丽， 周友良
中学生数理化（高中版）
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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsslh-gzb200510009.aspx