114星系天文学@中科大z05银河系运动学

第五章银河系运动学

§5.1 恒星的空间运动 §5.2 恒星本动速度分布 §5.3 银河系的自转 §5.4 奥尔特理论和较差自转 §5.5 大尺度径向运动 §5.6 运动学参数及其计算

§5.1 恒星的空间运动

任何运动都是相对运动，恒星运动也不例外。天文观测在地球上进行，除了地球自转、公转外，还要参与太阳携带地球（以及整个太阳系）在银河系内的运动。本章内容包括： 1.各别恒星相对太阳的空间运动； 2.太阳相对某一星群的空间运动； 3.各别恒星相对星群形心的运动本动； 4.银河系大尺度运动。

一. 基本概念和克莱伯定理恒星空间速度可以分解为视向分量 Vr 和切向（横向）分量 Vt ，Vt 又可以沿 (α , δ ) 方向分解为赤经、赤纬分量 (Vα ,Vδ )，所以有

V 2 = Vr + Vα + Vδ

2 2 2

当然，根据工作需要也可以把 Vt 沿银经、银纬方向分解。需要注意的是在分解过程中，决定 (r , α , δ ) 三个方向的坐标系原点位于被研究的那个恒星所在的位置上。对于不同的恒星，坐标系的原点和坐标轴空间取向都是不同的，称为局部坐标系，又可以有局部赤道坐标系或局部银道坐标系之分。

视向速度Vr 是空间速度V 在视线上的投影，而由总自行 µ 得出的切向速度Vt 是V 在天球切平面上的投影。因此对于一群星来说就应当有 Vt > | Vr | 。克莱伯于1891 年提出了两条描述Vt、Vr、V 之间统计关系的定理，称为克莱伯定理（证明从略）： (i) 恒星运动速度在任一轴上投影长度的平均值等于空间速度平均值的一半，用在Vr 上，有 | Vr | = V / 2 。 (ii) 恒星运动速度在任何平面上投影长度平均值等于 π V / 4 ，如果用在切向速度上, 有 Vt = π V / 4 。由此可以得出 (5-1) | Vr | : Vt : V = 2 : π : 4 克莱伯定理仅当恒星运动完全无规则时才是正确的。

二. 太阳空间运动

1. 基本概念自行和视向速度都是恒星相对太阳运动的反映。太阳本身也在运动，这种运动必然会在恒星相对太阳的运动中反映出来。因此，观测到的恒星空间运动应该由两部分组成： (i) 恒星本身的运动，称为本动。 (ii) 太阳运动的反映，称为视差动。

实际上在观测到的恒星运动中扣去视差动之后所剩下的部分中还可能包含有几种成份。比如，因银河系较差自转引起的系统性运动部分，如恒星属于某一星群则还有星群的系统性运动，银河系其他形式的大尺度运动等。剩下的才是恒星自身的“本动”，从这一点来说本动并没有绝对的含义。太阳运动总是指对于某个参考系统的相对运动。因此，对不同参考系就可能表现为有不同的太阳运动。坐标系通常要通过一些具体的天体来实现，由于银河系较差自转及其他

一些原因，不同的星群，比如太阳附近星群及远离太阳的星群绕银河中心旋转的速度就不同，那么利用它们求得的太阳运动也就不同了。

太阳运动可用它在直角坐标系中的三个速度分量或者极坐标中的运动速率V⊙和向点位置 (A, D)来表示；所谓向点是太阳运动矢量所指向的天球上点，与向点对径地方的点称为背点。通常根据工作的具体要求，上述直角坐标系或极坐标系可以是赤道坐标系或银道坐标系。设(X, Y, Z)为日心赤道直角坐标系中太阳相对星群形心运动的三个分量，(A, D)为向点的赤经、赤纬，则它们之间显然有以下的关系

X = V⊙ cos A cos D Y = V⊙ sin A cos D Z = V⊙ sin D     

(5-2)

容易知道，(-X, -Y, -Z) 就是星群形心相对于太阳的运动分量。

2. 确定太阳运动的基本公式设 (x, y, z) 为星群内某一恒星的日心赤道直角坐标，    ( x, y, z )为它的运动速度分量。我们现在来建立( x, y, z )    与 (Vr ,Vα ,Vδ ) 之间的关系。这个关系可由下列矩阵给出

 − sin α  RN =  cosα  0  − cosα sin δ − sin α sin δ cos δ cosα sin δ   sin α cos δ  sin δ  

(5-3)

我们有

  x Vα   4.74rµα cos δ          y  = RN  Vδ  = RN  4.74rµδ  z V     Vr r     

(5-4)

以及

 Vα   4.74rµα cos δ   x        Vδ  =  4.74rµδ  = R' N  y  V    z Vr  r    

(5-5)

式(5-4)明确写出为

 x = −4.74rµα sin α cos δ − 4.74rµδ cosα sin δ + Vr cosα cos δ  y = 4.74rµα cosα cos δ − 4.74rµδ sin α sin δ + Vr sin α cos δ  z = 4.74rµδ cos δ + Vr sin δ     

(5-6)

上式便是确定太阳运动直角坐标分量的基本公式。这里有两点是需要注意的：(i) 式(5-6)对每颗恒星就有一组，(ii) 在银道坐标系中可以列出类似的表达式，这时只要把 (α , δ ) 换成为(l, b)，把 ( µα , µ δ ) 换成 ( µ l , µ b )，    而把 ( x, y, z ) 理解为在银道直角坐标系中的运动分量就可以了。

3. 利用视向速度确定太阳运动式(5-5)中的第三式为

   Vr = x cosα cos δ + y sin α cos δ + z sin δ

(5-7)

根据定义，我们有

  x = x'− X   y = y '−Y   z = z '− Z     

(5-8)

   其中 (x ′, y ′, z ′) 为恒星的本动速度分量。

式(5-8)代入式(5-7)就有

X cos α cos δ + Y sin α cos δ + Z sin δ + Vr = Vr′

(5-9)

这里

   Vr′ = x' cos α cos δ + y ' sin α cos δ + z ' sin δ

(5-10)

是恒星本动速度的视向分量，有时称为本动视向速度。上述方法也可用于较远的恒星、球状星团以至

河外星系，对于这类天体要取得较好的自行资料往往很困难，甚至完全不可能。

4. 利用自行确定太阳运动类似地可以由式(5-5)的第一、二式导出如下形式的方程：

− X sin α + Y cos α + 4.74rµα cos δ = Vα′ − X cos α sin δ − Y sin α sin δ + Z cos δ + 4.74rµ δ = Vδ′   

(5-11)

这里 Vα′ 和 Vδ′ 为本动速度在(α, δ )两个方向上的切向速度分量。

每一颗恒星有式(5-11)的两个方程，可以利用 n 颗星的 2n 个方程来解算(X, Y, Z)。现在的问题比视向速度来得复杂，因为必须知道每颗恒星的距离 r，而在通常情况下这是难以做到的。因此，就要通过一定的方法来估算恒星的距离。比如利用恒星的视星等和由光谱型、光度型估计得到的绝对星等来求得距离模数，或利用平均视差作为自行和视星等函数的经验公式来计算各个星的视差近似值。

5. 利用空间速度确定太阳运动如果知道星群中每颗恒星的自行、视向速度和视差，就可以同时利用自行和视向速度资料计算太阳运动。这时需要利用完整形式的式(5-5)，也就是联合式(5-9)和(5-11)这三种形式的误差方程来解(X, Y, Z)。观测资料多了，未知数自然应该有较好的解算精度。

现在的解算过程要比上面所讲的来得复杂，问题在于自行观测值(μαcosδ, μδ )与视向速度观测值Vr 的精度是不一样的。一方面在式(5-11)中作为方程常数项出现的(4.74 rμαcosδ, 4.74 rμδ) 也就是切向速度 , 与式(5-9)中的常数项Vr 精度是不一样的。其差异可以 (Vα ,Vδ ) 很大，特别当 r 很大的时候，的精度就变得很 (Vα ,Vδ ) 差，远远不能同Vr 的精度相比。另一方面，对不同的恒星, Vα和Vδ的精度也不一样，这一点与Vr 的情况不同。

因此，在利用式(5-9)和(5-11)作为误差方程式来组成法方程时，就要引入不同的权。如果以式(5-9)为单位权，则式(5-11)的权应该是

p = (σ r / 4.74rσ µ ) 2

其中σr 代表Vr 的中误差，而 σμ 为 μα cosδ 或 μδ 的中误差。前者的单位是 km/s, 后者为 as/yr, r 以 pc 为单位。只有这样做才能得出合理的结果。

三. 太阳运动的测定结果和本地静止标准

1. 太阳运动太阳运动的测定是相对一群恒星的形心而言的，因为用不同星群的运动资料所确定的结果会有所不同，有时甚至相差很大。这不仅表现在对不同物理性质的恒星群有不同的结果，而且还表现在即使对同一类型的星，星数不同结果也会有所不同。根据利用视向速度、自行及空间速度决定太阳运动速度和向点的大量工作，对于亮星而言，可以取下列平均值 A＝270°，D＝＋30°，V⊙＝19.5 km/s 这个向点称为标准向点，它的银道坐标是

(l II , b II ) = (56  , 23

)

2. 本地静止标准无论对恒星的位置和速度，都要选择一个恰当的坐标系。对于银河系的总体结构和运动情况来说，最合理的是选择以银河系质心为坐标系中心，称为银河静止标准。有关银河系中恒星的运动最终必须同银河静止标准联系起来。但是，只要所涉及到的仅仅是太阳邻域，方便的做法是引入本地静止标准。从动力学角度来看也许应该把太阳附近恒星的运动同这一区域内全部恒星的质心联系起来。但是因为事实上不可能知道各个恒星的质量，所以比较实用的做法是把近距恒星的运动中心作为本地静止标准。

严格来说所谓“近距恒星”应该包括在某一体积元内的全部恒星，比如说距太阳 50pc 一个球形天区内的全部恒星。但是，实际上都是根据 “被研究的恒星” 的平均运动来确定本地静止标准。显然，在这种情况下本地静止标准就随所选用恒星的不同而不同。根据视星等来选恒星以确定本地静止标准，就与根据距离选星，或根据特定的绝对星等 M 和光谱型 Sp 来选星所得到的结果有所不同。最常用的有关本地静止标准的资料是利用肉眼可见的恒星推导出来的。

3. 关于本地静止标准的一般性定义在恒星系统内某一点 p( x, y, z ) ，取一个包含有 p 的空间区域σ，σ相对整个系统是很小的（足够小），其  中有足够多的恒星以应用统计分析。令 V (σ ) 表示σ内恒星相对银河静止标准（基本坐标系）的平均速度，即

 如当把σ不断减小时， V (σ )会趋于一个确定的极  限 V0 ( x, y,z ) 。这一极限与以如何形式减小体积元σ无关，则 V0 ( x, y, z ) 就是点 p 处形心的运动速度。

 1 V (σ ) = ∑Vi n

(5-12)

 称相对于基本坐标系以速度 V0 运动的坐标系为本

地静止标准(LSR), 而恒星相对于它所处空间点的星群形心的运动速度（即相对LSR的运动速度）就是行星的本动速度或剩余速度。通常，LSR指太阳附近空间范围内恒星的形心速度。根据本地静止标准的概念，恒星本动速度也就是相对于本地静止标准的速度，而太阳运动也就是指在本地静止标准中的运动。

四. K 效应

根据以上分析，如取一群太阳向点附近的恒星，求出它们的视向速度平均值，只要星数足够多，因本动视向速度互相抵消，Vr 的均值应在－20km/s左右，即大致等于太阳朝这群星接近的速度。同样对于背点附近的一群星来说，Vr 的均值应约为 +20 km/s。大多数恒星的情况正是如此。但B型星却表现出一种与众不同的性质，这在1905年首先发现, 1910年由卡普坦等人证实。所得到的结果是, 向点附近B型星视向速度Vr平均值为18.4± 2.1 km/s, 而背点附近B型星为28.4 ±

2.1km/s。由此的结论是：太阳相对于B型星的速度为V⊙= (28.4+18.4)/2 = 23.4 km/s，而 B 型星平均以 (28.4 - 18.4)/2 = 5.0 km/s的速度远离太阳。

上述结果表明，由 O-B2 型近距亮星（亮于5 - 6等）组成的子系统，以5 - 6 km/s 的速度远离太阳向外扩张, 这种远离太阳的速度通常以 K 表示, 称为“ K 项”，这种观测现象称为“ K 效应”。目前比较普遍的看法是认为K 效应可能反映了恒星子系统的整体膨胀或收缩。 K > 0 表示系统膨胀，K

X cosα cos δ + Y sin α cos δ + Z sin δ－K + Vr = V 'r

早期的计算结果是对于O-B5型恒星，平均来说 K＝ 4.3 km/s,而对O、B型以外的恒星 K 项接近零。后来进一步分析表明，即使对O、B型恒星，K 的数值还和恒星亮度有关，且差异显著。下页中 2 个表所列数值给出了有关的结果。由于所取的光谱型范围不大，这一范围的绝对星等相差不多，所以视亮度上的差别相当于距离差别，因而表列结果说明，离太阳较近的早型星 K 效应比较大。对若干河外星系的研究表明，这些星系内的恒星运动也有 K 效应的存在。有人把这种观测结果同旋涡星系旋臂的旋开式或旋闭式运动联系起来，但也发现有一些矛盾。

不同光谱型、不同视星等恒星的 K 效应

光谱型星数 K (km/s) B 645 +4.7 A 742 0.0 F 523 -0.6 G 433 -1.0 K M 1118 222 -0.2 0.0 光谱型 O-B2 B3-B5 4.4 6.9 4.8 6.8 星数 K (km/s) 132 ＋6.2 ± 0.7 116 +0.9 ± 1.4 355 +4.6 ± 0.7 272 0.0 ± 0.5

§5.2 恒星本动速度分布

现在我们可以把恒星的本动速度理解为恒星相对于星群形心的运动速度，也叫剩余速度。下面我们来讨论恒星本动速度在分布上的统计规律性问题。如果用 (u, v, w)表示恒星本动速度的直角坐标分量，那么就有

  ∑u = ∑ (x − x ) = 0   ∑v = ∑(y − y ) = 0   ∑ w = ∑ (z − z ) = 0

i i i 0 i 0 i i 0

      

(5-13)

    这是因为 x0 = − X = Σx / n ( y 0 , z 0 类同 )。上式说明恒星本动速度在任一方向上的分量之和总为零。因此，在形心坐标系中恒星的运动具有某种对称性。需注意的是这并非要求必然是球对称分布，而只要满足式(5-13)即可。

一. 单星流假设

最早的研究工作假定，太阳附近恒星的本动速度 (u,v,w) 服从某种随机分布。如果以严格的数学语言来讲，这一假设意味着恒星相对于本地静止标准的剩余速度服从麦克斯韦分布

Φ (u , v, w) = 1

σ 3 (2π )

3 2

 1  (u 2 + v 2 + w2 ) exp − 2  2σ 

(5-14)

   如果以恒星相对于太阳的运动分量 ( x, y, z ) 来表示，则上式可改写为

   Φ ( x, y , z ) = 1

σ 3 (2π )

3 2

 1        exp− ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2  2  2σ 

[

]

(5-15)

图5-1 单星流假设的速度分布

这时可以用若干个参数来描述恒星本动速度的统计特性： (i) 速度弥散度σ；σ是本动速度分布函数中所包含的唯一参数 (ii) , , ；这是沿任一坐标轴方向本动速度分量绝对值的平均值，等于0.798σ。 (iii) 恒星本动的平均速率。函数 Φ (u,v,w) 转换成球坐标形式 Ψ ( S , l , b) 的关系式是

Ψ ( S , l , b) = cos b

3 2

σ (2π )

 1  S 2  S 2 exp −     2 σ    

(5-15)

由此不难得出=1.596σ。 30

二．二星流假设

单星流假设的实质是认为恒星本动速度完全无规则，后来的研究证明，实际情况并非完全如此。 1904年卡普坦利用2400颗近星的自行数据按分区计数的方法来确定太阳向点，结果发现近星的本动矢量在各个不同方向上的分布是不同的。为了更好地说明这些观测资料，他提出了著名的二星流假设。

二星流假设的要点是: (i) 在太阳邻区内的恒星是两个星群的混合。 (ii) 这两个星群相对太阳有不同的平均运动。这种有不同运动特征的星群称为星流。两个星流的总体运动方向正好相反。 (iii) 每颗恒星参与其中一个星流的整体运动，而它们相对于所属星流的平均运动则服从麦克斯韦分布。根据上述假设，太阳附近恒星的速度分布就是两个单星流分布的叠加。

所以可以有以下的数学形式

Φ ( x, y , z ) =  1        exp− x − x01 ) 2 + ( y − y 01 ) 2 + ( z − z 01 ) 2  3 2σ 12   σ 13 (2π ) 2 f

[

]

 1 2 2 2        exp− + ( x − x02 ) + ( y − y 02 ) + ( z − z 02 )  3 2  2σ 2  3 2 σ 2 (2π ) 1− f

[

]

(5-16)

上式共有 9 个参量。即 f －太阳附近全部恒星中星流 I 所占的比例（1－f 为星流II的比例）， x01 , y01 , z01 ) —— (   星流 I 相对太阳的平均运动分量， x02 , y02 , z02 ) ——星流 (   II 相对太阳的平均运动分量。 1 、 2 ——两个星流的 σ σ 速度弥散度。实际应用上往往认为 σ 1 = σ 2 = σ ，所以只有 8 个参数。

图5-2 给出了二星流假设的速度分布，原点 S 表示太阳静止标准，所以矢量SC1和SC2分别表示星流 I、II 相对太阳的平均运动。作图时用 f = 0.6，即星流 I 恒星占恒星总数的60%。矢量SC给出了全部恒星相对太阳的平均运动，它是 SC1和SC2的加权平均值，其中权与每个星流中的星数成正比。C点必位于C1C2的联线上，有

C1C / C 2 C = (1 − f ) / f = 0.4 / 0.6 = 0.67

C 代表本地静止标准；C 和恒星速度点的联线给

出该恒星的本动速度，而矢量CS表示本地太阳运动。

尽管相对于太阳静止标准而言，两个星流平均说来是沿 SC1和 SC2方向作整体运动，但对本地静止标准来说两个星流是分别沿 CC1和 CC2方向运动，即彼此的总体运动正好相反。矢量 C1C2 代表两个星流之间的相对运动，其方向称为奔赴点方向。

图5-2 二星流假设的速度分布

三. 速度椭球分布假设在卡普坦发表了二星流理论后不久，K.史瓦西指出星流只是一种表观现象，实际上并不存在什么星流。他认为卡普坦发现的恒星本动速度的椭长形分布（图5-2）实际上表明存在一个偏优方向，沿着这个方向运动的恒星要比沿其他方向运动的恒星来得多。因此，史瓦西就用一个椭球分布来表示，也即是用三维正态分布表示恒星本动速度的观测分布，但不同方向有不同的弥散度。

按一般化的椭球假设，太阳附近恒星速度的频数分布具有以下的形式

   Φ ( x, y , z ) = 1 (2π ) σ 1σ 2σ 3 R

3 2

 1     exp − E ( x, y, z )   2

(5-17)

其中

 z − z0   y − y0        1   x − x0   + R22   + R33  E =  R11   σ   σ   σ   R  1    2  3  

2 2 2

 x − x0  y − y0   x − x0  z − z0   y − y0  z − z0              + 2 R23     + 2 R13    + 2 R12   σ   σ  σ   σ  σ    σ 1  2 2   1  3    3  

以及

1 R = r12 r13 r12 1 r23 r13 r23 1

   而 Rij 为 rij 的代数余子式，rij 即三变量 ( x, y, z ) 两两之间的相关系数。    式(5-17)共有9个参数 ( x0 , y 0 , z 0 , σ 1 , σ 2 , σ 3 , r11 , r12 , r13 ) 。三维正态频数函数的等频数面是一些同心椭球面，其中满足方程

   E ( x, y , z ) = 1

的椭球称为速度椭球。速度椭球面上一点的速度点密度（频数）是椭球中心最大密度的 1 / e = 0.61 倍。

通常用来描述速度椭球的9个参数是：恒星群相对    太阳的平均运动分量 ( x0 , y0 , z0 ) ，它们确定了椭球中心在速度空间中的位置；椭球的三条主轴 ( Σ1, Σ2, Σ3) , 即速度分量沿这三条轴方向的弥散度；以及确定主轴方向的球面坐标 (A1,D1; A2,D2; A3,D3), 这里可以是赤道坐标，也可以是银道坐标，因为这三条轴互相正交，其中只有三个独立变量。

如果以椭球中心为原点，以三条主轴为坐标轴，那么在这样的坐标系( ξ, η, ζ )中，速度的频数函数取特别简单的形式

 1  ξ  2  η  2  ζ  2   1   Ψ (ξ ,η ,ζ ) = exp −   + 

 +     3 2  Σ1   Σ 2   Σ3              (2π ) 2 Σ1Σ 2Σ3

(5-18)

图5-3表示速度椭球及其主轴 ( Σ1, Σ2, Σ3)。外围椭球为中介椭球，其轴长为速度椭球主轴的1.54倍，内中包含一半速度点。

图5-3 椭球假设的速度分布

图5-3中速度矢SC表示星群相对太阳的平均运动。椭球中心的位置 C 代表了本地静止标准，所以由 C 出发到某一速度点的联线表示了该速度点所对应的天体的本动。长轴 ξ 表示天体运动存在着一个偏优方向，在这个方向上本动速度分量的绝对值平均为最大。相反，沿 ς 轴这种平均值为最小。在一个与本地静止标准保持相对静止的观测者看来，沿ξ轴运动的恒星与沿其他方向运动的恒星相比，数目多平均速度也大。类似地沿 ς 轴运动的恒星数目最少，平均速度也最小。

四. 二星流假设和椭球假设的比较

在一般形式中，二星流假设和椭球假设的数学表达都包含有9个未知参数；但在实用上，通常假定两个星流有相同的速度弥散度，于是二星流假设的参数减少为8个。对于椭球假设的简化做法是以旋转椭球体来代替三轴椭球体，这时只要7个参数。太阳附近恒星运动的最明显观测特征是速度分布呈椭长形，对此两种假设都能给以很好的解释，图5-2和 5-3说明了这一点。但两者在细节上是有差别的，这主要是：

(i) 椭球假设中速度点的最大密度位于中心 C 点，而二星流假设中则表现为有一个主极大 C1 和一个次极大 C2 。 (ii) 二星流假设的速度分布总是对奔赴点方向表现为旋转对称，椭球假设并不需要如此，但是对于亮星所确定的结果发现总有 (Σ2=Σ3) , 因而速度分布对奔赴点方向也大致表现为旋转对称。 (iii) 椭球分布对于过椭球中心且与长主轴相垂直的平面是严格对称的。对于二星流假设，如果两个星流中的星数不相等，则就不存在类似的对称性。

在对观测资料的解释上，两种假设各有千秋，比如对于亮星的视向速度资料来说，上述 (i) 以椭球假设为好，但(iii)却以二星流假设为好。应当说，这两种假设都是对恒星实际速度分布的一种近似描述。从有关银河系结构的物理意义上来看，二星流假设表现出有很大的弱点。如太阳附近恒星确由两种星流合成，这两个次族还应表现出有其他的重要差别，比如光谱和光度上的差别。但从观测上讲还没有发现这一点。另一方面，人们发现速度椭球的三条主轴与银河系的结构和动力学有着密切的关系，最长轴大致指向银心方向，而最短轴则与银面相垂直（见图5-4）。

图5-4 速度椭球主轴在银河系中的取向

鉴于以上这一点

，本动速度的椭球分布假设目前已为人们所广泛接受。

§5.3 银河系的自转

一. 银河系自转概念的发展

19世纪后期有人开始研究银河系的整体自转。1887 年O.斯特鲁维通过对恒星自行分析，得出如认为银河系作刚体自转，则转动角速度为每世纪0″.41 ± 0″.42，与今天的数值相差不很大。 1924年斯特伦堡发现了恒星运动的不对称性，也就是说在太阳静止标准中，恒星运动的偏优方向与恒星运动的速度大小有关。

斯特伦堡提出了如下的假设：河外星系、球状星团和快速星就像是组成银河系的一个静止不动的框架，它们相对亮星的速度高达 200km/s 以上。但实际上这种表观运动只是亮星对这种参考架朝着 l = 90°方向运动的反映。银河系中心的方向 (l = 0°) 正好与这一方向相垂直，因而恒星运动的不对称性可以解释为太阳邻近恒星绕银心转动的结果，称为斯特伦堡恒星运动不对称性。这种不对称性具体表现为速度 50-60km/s的恒星,运动上不存在任何偏优方向；速度60-100km/s的恒星，运动方向表现有较弱的不对称性；>100km/s恒星的运动方向迴避了以(l, b) = ( 90°, 0°)为中心的几乎半个天球，并有强烈趋于银道面的倾向。快速星运动的这种偏优方向称为恒星运动的不对称性（非对称流）。

对此的解释是：低速星（近星）在太阳静止标准中的速度不能反映银河系的自转，它们与太阳的运动在方向和大小上都差别不大；高速星能反映银河系的自转，而它们相对银河静止标准的运动速度很小。后来林德伯拉德发展了银河系自转的概念。他指出不同成分恒星以不同速度绕银轴运动。不同速度的恒星系统组成银河系中不同的次系，它们互相套叠在一起，但有不同的银面聚度和速度弥散度。太阳所在次系绕轴转动速度比球团次系和快速星次系来得快，因此我们看来这些星在以很大的速度相对太阳而运动。 1927年奥尔特导出了银河系较差自转对近距恒星视向速度和自行的影响公式，并由视向速度资料证实了银河系自转。

二. 两种极限情况的自转模型

这两种极限情况是指刚体自转和开普勒转动。刚体转动遵循向心力和距离成正比的力学规律，所有点的转动角速度都一样，而线速度则与到转动中心的距离成正比。刚体自转相当于银河系中物质完全均匀分布的极限情况。观测资料表明，除了银心附近的 r −1 / 2 不大范围外，刚体自转与恒星实际运动状况有着显著的差异。

如果恒星按照开普勒定律绕银心运动，与行星绕太阳的运动情况相类似，那么这时所受的是中心力, 线速度与 r-1/2成正比（r为银心距）。这相当于银河系物质极大部分集中在

银心附近的极限情况。通过对恒星观测资料的分析表明，银河系的实际自转情况介于这两种极限情况之间。下面将会看到，在局部区域银河系的自转可以用上述两种极限情况之一近似地来加以描述。

三. 典型恒星系统

银河系各部分的运动状况一般地可用下列函数来表示

Φ (U ,V ,W / x, y, z )

(5-19)

Φ 是在一个以点 (x, y, z) 为中心的体积之内，恒星速度分量 (U,V,W ) 的相对分布。现在的问题中要用银河静止标准。目前为止远方恒星的观测资料十分有限，无法通过对观测资料的统计处理来确定函数(5-19)，所以在研究银河系的总体运动状况时，所用的方法在很大程度上取决于运动学和动力学因素。

根据对于银河系以及其他星系总体结构上的认识，可以采用某种简化的银河系模型，即所谓“典型恒星系统”。可以在这一模型中来研究动力学条件，并引出在这一系统中关于运动状态的某种理论。恒星系统内任一点处的运动状态取决于两方面因素，即系统大尺度总体结构特征及局域不规则性，诸如星云、旋臂、星际介质凝聚区等。由于对这类结构的细节了解得很少，作为一级近似，就要设法描述一种简化模型中的运动规律。所谓“典型恒星系统”就是为这一目的而提出来的。构成典型恒星系统的前提是不考虑系统的局部不规则性，但大尺度特征与实际恒星系统又很相像。

典型恒星系统的总体形状是一个扁盘，沿银道面方向伸展，对银道面是对称的，且又同与此平面垂直的银轴呈旋转对称状，通过银轴的任一截面都有相同形状。模型系统与实际系统的相似性应能做到，沿模型系统某一截面的有关恒星密度、速度分布等统计状态，代表了整个实际系统所有这类截面的平均状态。显然，有关典型恒星系统总体形状的假设是以对银河系的实际观测结果为依据的。鉴于上述对称性，运动学分析时比较方便的是采用银心柱坐标。该坐标系以银心为原点，三个坐标是点在银道面上投影的极坐标 R、θ 及点的银面距 z 。相对于银河静止    标准的恒星速度则由直角分量 R、T 和 z 来表示（见图5   5），其中 T 分量与 R 和 z 相垂，以银河系的实际自转方向、也就是银经减小方向取为正向。

图5-5 银河系内的位置和速度坐标

对银河系运动状态研究可分为三个方面的问题: (i) 确定太阳相对银河静止标准的速度分量 (U ⊙ ,V⊙ ,W⊙ ) ;    为把恒星日心速度 ( x, y, z ) 和位置(r, l, b) 转换为有关银    心的量 ( R, T , z ) 和 ( R, z ) ，需要知道 (U ⊙ ,V⊙ ,W⊙ ) 。 (ii) 确定以点 ( R, z ) 为中心的体积之内恒星的平均运动

   R0 ( R, z

)，T0 ( R, z )，z0 ( R, z )

(iii) 研究每个体积之内恒星本动作为体积元位置(R, z) 的函数的分布情况，迄今为止我们对于本动的讨论只限于包含太阳的体积元。

四. 太阳相对于银河系静止系统的运动

恒星运动的全部观测资料都是相对太阳进行的，但有关银河系自转的理论则以银心速度为基础。如果太阳相对银河静止标准的运动分量 (U ⊙ ,V⊙ ,W⊙ ) 为已知，则    由观测到的日心速度分量 ( x, y, z ) 可以从太阳静止标准转换到银河静止标准：

 U = x + U⊙  V = y + V⊙  W = z + W⊙     

(5-20)

这里 (U , V , W ) 是恒星的银心速度分量。

在任何银河系自转理论中，比较方便的做法是把定义本地静止标准的星群的平均银心速度分量 (U 0 ,V0 ,W0 ) 作为基本常数,而不是用太阳本身的运动。这时恒星的    银心速度分量 (U , V , W ) 和观测日心速度分量 ( x, y, z ) 之间有以下形式的关系

 U = U 0 + u⊙ + x  V = V0 + v⊙ + y  W = W0 + w⊙ + z     

(5-21)

五. 动力学条件和平衡因素

恒星的运动为银河系引力场所支配，对于典型恒星系统来说，由于它的对称性质（面对称和轴对称），可以立即得出有关这一系统不同部分引力作用的一些明确的结论。 1. 对位于银道面上的恒星，引力总的合力应该指向银心。这是一种中心力，力的大小是恒星到银心距离 R 的函数。以K(R)表示作用在银道面上、离银心距离为R 地方单位质量物体的中心力。一般来说， K(R) 的解析形式是不知道的，具体情况取决于恒星系统内的质量分布。

现在作进一步的简化，假定恒星系统有相当一部分质量集中在一个近乎球状的中央核内，相对来说核周围很扁的盘状结构中密度则比较低。显然，在这一前提下，力K(R) 在 R = 0 处为零，随着R 的增大，K(R) 会增大并到达某一个极大值。然后，随着R 的继续增大K(R)就减小, 在离开银心很远的地方K(R)近似地为 K 一平方反比力。当 R → ∞ 时， ( R) → 0 。 2. 对于不位于银道面上的恒星来说，整个系统引力作用的合力总是位于过恒星和自转对称轴的截平面上；但一般说来这时合力不表现为中心力，它并不指向银心。

我们用图5-6来说明之。恒星(R,z)所受的合力可用两个分力表示：一个与 R 轴、即与银道面相平行，图中以 K(R,z)表示；另一个与 z 轴平行，即与银面垂直，图中用F(R,z)表示。一般说这两个分量都是 R、z 的函数。对于离开银心C有相当大距离的恒星来说，一般情况下 z 很小而R 很大。这时整个系统对恒星 S 的总作用力可分为两个部分：(i)系统中远离恒星 S 的那些部分的引力，特别是大质量中央核的引力

；(ii)恒星S 附近的质量的局部引力。其中(i)的作用力与指向银心的中心力十分相似; (ii)可称为“局部质量”的引力, 大体上类似于银面上一个薄盘的引力，这是因为恒星和星际介质基本上局限在相对说来比较薄的一层（银盘）内。

图5-6 银道面外一点的受力情况

局部质量产生的平行于银道面的分力可忽略不计。在太阳所处的天区，z 与 R 相比为一小量， K(R,z) 的大小与 z 近乎无关。如设恒星 S 的银面投影为S′ ，则作用在 S 上的力与作用在 S′上的力近似相等。F 的大小既受局部质量的影响，也受远距离质量的影响，它是 R 和 z 的函数，不过随 R 的变化要比随 z 的变化来得小。由对称的原因，在 z = 0 处有F = 0，以及/ ∂z 2 = 0 。 ∂2F

3. 如恒星系统是稳定的，系统内部质量分布必然保持不变，不过各个恒星要随时间改变它们的相对位置。这里的稳定是指星系处于统计平衡状态，即对任一个体积元说，因各别恒星的运动，在一段时间内所获得的恒星星数与失去的星数一样多。银河系可能不完全处于平衡状态, 而是经历一种演化过程, 但这一过程必然进行得十分缓慢。因此如在某一时间段内各别恒星的位置发生了相当大的变化，则同一时间间隔中体积元内的统计平衡状态的改变却是非常微小的。

采用典型恒星系统的旋转对称模型，这时通过转轴的全部截面内有着相同的速度分布。只要在每一点的体积   元内径向速度分量的平均值 R0 和垂直分量的平均值 z0 不为零, 整个系统的结构便不会保持不变。但是任意一  个体积元内的周向速度平均值 T0 可以有相当可观的数值而不会影响统计平衡。这里有一个前提，那就是要求  T0 只是 R 和 z 的函数，可以随 R 和 z 的不同而变化，但并不随θ 角而变化。对于实际银河系来说，因存在缓慢的演化形式的变化，同时也并不严格旋转对称，上述的稳定条件也许并不得到满足。但是一般说来我们可以   预期对银河系外围部分来说，任何体积元内的和 z0 R0  与 T0 相比应当是很小的，目前的观测结果至少表明太阳附近的情况正是如此。

§5.4 奥尔特理论和较差自转

一. Oort-Lindblad 理论

Lindblad于1925年首次提出有关银河系自转的理论概念，后来又由Oort作了更为完整的发展。这个理论试图在一级近似的范围内来描述恒星系统的运动状态, 它以典型恒星系统为基础，并根据前面考虑到的因素来导出一些基本公式。 Oort – Lindblad理论的主要特征如下： 1. 在以银道面上一点为中心的任一小范围体积内，恒星的平均运动是环绕银心的一种圆轨道运动。运动的轨道平面与银道面相重合，平均圆

轨道速度受中心力所支配。

于是可有方程

K ( R) = Vc2 / R

(5-22)

而转动方向（朝向银经减小方向）在恒星系统的各个部分都是相同的。但是，转动角速度则随银心的距离而变化。在太阳附近，Vc ≈ 220 km/s。 2. 如某体积元 S 不在银道面上，但银面距不大，则该体积元中恒星的平均运动与 S 的银面投影点附近的运动速度几乎相同。 3. 小体积元内恒星的本动速度取决于各别恒星绕银心的实际运动和上述平均圆轨道运动的偏离。一般来说恒星绕银心的运动轨道不是严格的圆轨道，而是略有偏心，且轨道面与银道面有一小倾角。

恒星在这种偏心而又倾斜的轨道上的运动速度矢，与小体积元内全部恒星的平均圆运动的速度矢之差，就是恒星的本动。 4. 尽管上述特征适用于银盘中大部分恒星，它们向银道面高度集中，但有些天体对银道面并不表现出有集中的趋势（如球状星团）。后者相对银轴转动的平均角速度比较小，绕银轴的运动轨道对银道面会有很大的交角，且往往是很偏心的。银河系外围部分内大部分恒星具有近圆轨道的假设是 O – L 理论的基础。从总体上来说，O – L理论至少在太阳周围一个相当大的天区范围内，对恒星运动的图像作出了很好的描述。

二. 银道面上天体的较差自转效应

先讨论较差自转对银道面上天体自行和视向速度的影响。在图5-7中, S0 表示太阳, 中心位于银道面上，到银心 C 的距离 R0 是相当大的。S 表示位于银道面任意位置上的另一个体积元。从 S0 看来，S 点的位置由日心距 r 及银经 l 、银纬 b 所确定（现在有b = 0）。在银心坐标系中，S 由银心距 R 及经度（即周向角）θ 所确定，其中θ 由太阳的银心向经 CS0 起算，银河系自转方向为正。

现在要确定 S 和 S0 之间的银河系较差自转效应，也就是 S 位置体积元内恒星平均运动与 S0 位置体积元内恒星平均运动之间的差异。

图5-7 银道面上天体的较差自转效应

根据O – L理论，S 和 S0 处的速度矢位于银道面内, 且分别与向径CS及CS0垂直。在中心力K(R) 的作用下, S   和 S0 处的理论预期速度 T 和 T0 为圆轨道速度。因此

 T = RK ( R)  T0 = R0 K ( R0 )     

(5-23)

  容易知道，S 相对于S0 的速度为 T和 T0 之矢量差。这一矢量差在S0S方向上的分量（视向分量）就是我们观测到的 S 的视向速度；而与S0S垂直方向上的分量就是切向分量 tl（以银经增加方向为正）。tl 与银经方向自行分量 μl 之间的关系由下式给出 µl = tl / kr

这儿 k＝4.738，为单位换算因子， μl 以每年角秒表示， r 以pc为单位，而 tl 则以km/s为单位。由图5-7不难得到

  

Vr = T sin(l + θ ) − T0 sin l   cos(l + θ ) − T cos l    t l = krµ l = T 0 

(5-24)

其中银心经度θ 不是直接观测量。由∆CSS0 可知

R sin(l + θ ) = R0 sin l   R cos(l + θ ) = R0 cos l − r 

(5-25)

上式代入式(5-24)以消去θ ，于是就有

   T T0 Vr＝R0  － R R 0    sin l      T T0 t l = krµ l = R0  − R R 0         T  cos l − r  R   

(5-26)

 T 是天体在半径为 R 的圆轨道上的运动速度， 是 R T 的函数，与未知的力 K(R) 有关。因为在方程(5-26)中  以 T / R 的形式出现，为方便起见可以用

 T ( R) ω ( R) = = R K ( R) R

(5-27)

 来代替未知函数 T / R ，这儿ω (R)表示在半径为 R 的圆轨道上天体运动的角速度，于是式(5-26)即为

Vr＝R0 (ω－ω 0 )sin l   t l = krµ l = R0 (ω－ω 0 ) cos l − rω 

(5-28)

可以看出，如ω 不随 R 而变，即恒星系统的旋转是一种刚体转动，则有ω －ω 0 = 0，这时视向速度不能反映自转效应。但是由于存在 rω 这一项，自行观测结果仍然可以反映出自转的效应。

三. Oort公式

为了把 Vr 和 μl 表示为日心极坐标 (r, l) 的函数，必须把天体的银心距 R 表示为 (r, l) 的函数。由图5-7中的 ∆CSS0 有

R 2 = Ro + r 2 − 2rR0 cos l

(5-29)

问题在于不知道K(R)的具体形式，即不知道ω(R)的具体形式。于是就无法以一种函数的解析形式来表示Vr 、 tl 和 (r, l) 间的关系。考虑到大多数情况下被观测恒星的日心距 r 与 R0 相比是很小的, 这时方程(5-28) 和 (5-29)可以通过级数来展开, 从而把视向速度和自行直接表示为 (r, l) 的函数。

把 ω = ω (R) 在 R = R0 处展开为幂级数，保留到一阶项，则有

′ ω = ω 0 + ( R − R0 )ω 0 (5-30)

在同样精度下，又由式(5-29)可得

R = R0 − r cos l

(5-31) (5-32)

所以有

′ ω − ω 0 = −ω 0 r cos l

以式(5-32)代入式(5-28)，经整理可得

Vr = Ar sin 2l   kµ l = A cos 2l + B 

(5-33)

式中

1 ′ A = − ω 0 R0 2 1 ′ B = −ω 0 − ω 0 R0 = −ω 0 + A 2       

(5-34)

称为Oort常数。式(5-33)称为Oort公式，它给出了当 r 不太大时，银 ′ 河系较差自转（存在ω 0 和 ω 0 ）对视向速度 Vr 和自行分量μl 的影响。由其中第一式可知，Vr 与ω 0无关，这说明了恒星视向速度不受系统均匀旋转成份的影响, 而 ′ 只与反映较差自转的 ω 0 有关。通常情况下 Oort 公式对 r

四. 由O– L理论预期的观测效应

假设对有相同日心距而银经不同的恒星测得了视向速度。根据O– L理论预期, 经局部太阳运动改正后不同银经恒星的平均视向速度会随银经变化，当 r 较小时变化规律服从(5-33)第一式，

即在范围 l = 0°- 360° 内出现两个整周期变化的正弦曲线，如图 5-8 所示。在银经为0°、90°、180°、270°的四个点上视向速度为零。速度变化幅度随 r 增大而增大, 但当 r 大到某一数值（如 r > R0/10）后, 高阶项影响越来越显著, 曲线形状也就变得复杂了。

图5-8 平均视向速度随银经变化的情况

对于日心距离为 r 的恒星来说，视向速度曲线的零点发生在S1′ 和 S2′ 方向上，这两点也就是以太阳为圆心、 r 为半径的圆与以银心 C 为圆心、以 R0 为半径的圆的交点（参见图5-9)。由图5-9中 ∆CS0S1′有

cos l ' = r / 2 R0

上式可用以解出视向速度变化曲线的两个零点的日心银经 l1′ 和 l2′ 。如测得距离已知的一些远距天体的视向速度观测值，并由实测结果来发现零视向速度点的银经 l1′ 和 l2′ ，那么就可以利用上式来确定太阳的银心距 R0 。

方程(5-33)中略去高阶项的一个效应是，对于较大的 r/R0值，视向速度随银经的变化不再是一条正弦曲线，其形状变得比较复杂，图58大致说明了这一点，曲线的具体形状与力的形式 K(R) 有关。

图5-9 视向速度曲线零点的位置

五. 不位于银道面上天体的较差自转效应

上节的讨论仅适用银道面上天体，现在推广到更一般的情况。假设任一体积元 S 的银心柱坐标为 (R,z)，日心银道球坐标为(r, l, b)，一般情况下有 z ≠ 0，b ≠ 0（ z = 0, b = 0 时归结为银道面上情况）。恒星的银心速度分    量用 ( R, T , z ) 表示。按O – L理论银河系是稳定的，因而    可以认为与 T 相比 R 和 z 可以略去不计。在太阳处所观测到的恒星S 相对于 S0 的运动情况可以   由 T 和 T0 这两个矢量之差来表示。仍利用图5-7，不过现在图中所示的实际上是 S0 和 S 在银道面上的投影位置。于是图中的 r 应该以 r cosb 来代替（见图5-10）。

图5-10 ξ、Vr 和 tb 之间的几何关系

现在沿投影后的向径 S0S′ 的相对速度分量不再是视向速度分量，我们用ξ来表示。于是方程(5-26)有以下形式

   T T0  ξ = R0  −  sin l R R  0       T T0  T  t l = krµ l cos b = R0  −  R R  cos l − R r cos b o         

(5-35)

经过类似的推导，不难得出推广了的Oort公式

Vr = Ar cos 2 b sin 2l   kµ l = B + A cos 2l  kµ b = −0.5 A sin 2b sin 2l  

(5-36)

其中Oort常数 (A, B) 的含义与式(5-34)相同。

比较方程(5-33)和(5-36)可以看出： 1. 对于给定日心距离 r 来说，在银纬为 b 位置上的恒星的视向速度随银经的变化幅度，要比银道面上恒星的变化来得小。b 越大，变化幅度越小。 2. μl 的表达式是完全一样的，说明 μl 随 l 的

变化幅度以及平均值不仅与 r 无关，而且与 b 无关，但是化为小圆弧后的自行量 μl cosb 则随 b 而变化，在银极处为零。 3. 自行银纬分量 μb 随 l 的变化情况与 Vr 的变化情况十分类似，其变化幅度在 b = 45° 处达到极大，在银道面和银极处则为零。

§5.5 大尺度径向运动

O – L理论的基本假设是银道面内任一体积中恒星的平均运动是一种圆运动，且完全稳定。但银河系总体上很可能在经历着某种形式的缓慢演变。对于一些同银河系类似的河外星系的研究表明，银河系在以比较快的速度作自转运动的同时，还可能存在着少量的径向运动。如果对足够远的恒星进行观测检验的话，这种径向运动也许会变得比较明显。因此就有必要在研究银河系较差自转效应的同时，进而考虑银河系运动的较差径向速度效应。或者说得明确一点，假定银河系内恒星除了绕银心转动外，还参与沿银心向径方向的某种运动，而这种运动的速度又随恒星银心距的不同而不同。

一、银道面上恒星的情况

图5-11中 S 为银道面内一点, 因对称关系，恒星平均运动与银道面平行。因此S点上恒星的平均运动可以分解为两个分量：一个与银心向径 R 相垂直的分    量 T ，另一个是沿 R 方向的分量 R ，其中 R 规定以远   T 离银心为正， 和 R 都是 R 的函数。径向运动 R 可能随 R 而变化，我们并不要求它是一种均匀的扩张或收   缩（比如随 R 的增大，| R | 减小）。但是不管 R(R) 的   具体形式如何，只要不等于零，则由 T 和 R 合成的恒星平均运动就必然是一种旋涡式运动，而不是圆周运动。

图5-11 银道面上恒星的较差自转和较差径向运动效应

由图5-11不难得出 S 点恒星相对太阳在本地静止标准中的视向速度为

    Vr = T sin(l + θ ) − T0 sin l − R cos(l + θ ) + R0 cos l

经过类似的推导，可以得出

Vr = Ar sin 2l + Cr cos 2l + Dr

kµl = A cos 2l + B − C sin 2l

(5-37) (5-38)

式中

C= 1 ′ R0 ε 0 2 1 ′ D = ε 0 + R0 ε 0 = ε 0 + C 2

      

(5-39)

为银河系大尺度径向运动参数，与Oort常数(A, B)的形 ′ 式是很类似的；C 反映了较差径向运动 ε 0，与径向运 ′ 动中的均匀成份 ε 0无关，而参数 D 则与 ε 0 和 ε 0 都有关。  ε ′ = dε / dR

ε ( R) = R / R

二、公式的推广

现在进一步把上面得到的公式推广到 b≠0，即天体不位于银道面上的一般情况。参考上一节的推导过程，不难得出

Vr = r cos 2 b( A sin 2l + C cos 2l + D )   t l = krµ l cos b = r cos b( A cos 2l + B − C sin 2l )  krµ b = t b = −Vr tgb = −r sin b cos b( A sin 2l + C cos 2l + D)  

(5-40)

上式给出在任意 b 值的情况下，

银河系较差自转和较差径向运动对观测量 (Vr , t l , t b ) 的影响。公式只适用 r

需要注意的是反映径向运动状况的参数(C, D)虽然与 Oort常数 (A, B)有着类似的形式（指与 ω ,ω 0 '及 ε 0 , ε 0 '的关系上），但前者在数值上要比后者小一个数量级，特别 ′ 是参数 C = − R0ε 0 / 2 反映较差径向运动，其数值是很小的。由于观测资料的限制，测得也不够准确，相比之下(A, B) 已测得相当准确。

§5.6 运动学参数及其计算

上面叙述了太阳空间运动的确定方法，现在要结合平均视差问题，来讨论经典方法的不严格性和近期进展。

一. 运动学参数

星群的运动状况可以用一系列参数来加以描述，这些参数称为运动学参数，从广义上来说，运动学参数应该包括以下几个方面的内容： (i) 平均太阳运动，或者是恒星群相对太阳的平均运动，两者大小相等、方向相反。平均太阳运动有三个分量 (X, Y, Z)，或者代之以太阳运动速率V⊙及向点坐标 (A, D)。

(ii) 椭球速度分布参数，即剩余速度的协方差阵。这是一个3×3 的对称阵，共有 6 个独立未知参数, 主对角线元素即为速度弥散度，另外三个参数则与速度椭球主轴的空间取向有关。由于椭球主轴一般并不与坐标轴相重合，故非主对角线元素不为零。 (iii) 银河系较差自转参数(ω ,ω′ )，ω为太阳所在位置银河系自转角速度， ω′ 为角速度变化率。这两个参数可以用奥尔特常数代之。 (iv) 银河系径向运动参数( ε, ε ′ ) ，ε 为太阳所在位置银河系的径向运动速度， ε′ 为 ε 的变化率。

(v) 星群的平均绝对星等 M ，也就是平均视差。 (vi) 星群中各颗恒星绝对星等 Mi 对于 M 的标准偏差 σM 。以上(v)、(vi) 两类参数表面上与运动状态无关，实际上平均视差的确定与平均太阳运动密切相关，所以这里也归入运动学参数之列。 (iii)、(iv) 两类参数与银河系的整体运动有关，对于这个问题§5.5 中已作了讨论，现在先考虑 (i)、(ii)、 (v)、(vi) 中的 11个参数。

二. 经典解算方法及其缺陷在银道坐标系中用经典方法计算速度弥散度的基本步骤是： (i) 由观测自行计算银经、银纬自行分量。 (ii) 由自行及视向速度确定太阳相对于星群的平均运动。 (iii) 计算恒星运动的剩余速度。 (iv) 计算速度弥散度。 (v) 确定速度椭球主轴的空间取向。

经典方法计算平均视差，实际上是采用两步解算的做法，即先利用视向速度和自行确定平均太阳运动，然后再利用自行（或视向速度）计算平均视差。在进行后一项计算时实际上用的不是独立的自行观测值，而是导出分量 (υ, τ)，它们在诸星之间是不独立的。利

用自行这两个分量求解时，不仅本动速度分量与恒星方向有关，而且这两个分量之间也互相有关。另一个问题是先确定平均太阳运动，然后再利用残差确定速度椭球主轴，这种两步解的做法也是不合理的。因为残差不只是观测误差，它包括了观测误差和本动速度分布。

实际上太阳运动和速度椭球的确定不是严格可分离的，必须用一种严格的方法来合理地解决这一问题，最大似然原理的应用就是在这一背景下提出的。最大似然原理在确定运动学参数上的应用，最早出现于1958年 Rigel 的工作，他推导了一组方程，以同时解算全部运动学参数，但他的方程没有采用直接观测量，因而是不严格。1971年 Clube 对此了改进，在似然方程中全部应用直接观测量而不用导出量，待求的运动学参数共有8个。1983 年 Murray 以残差服从三维分布来代替 Clube 方法中的三个一维分布，自然引入协方差阵，并由此推导出包括前面讲的(i)、(ii)、(v)、 (vi)四类参数，共计11个。

三. Clube方法 1．数学模型对于一群有共同运动学性质的恒星来说，星群相对于太阳存在着某种平均运动，而星群中恒星对于这一平均运动的相对运动（剩余运动）分量服从正态分布。 2．似然函数如果对每颗恒星的每一运动分量分别构成残差

∆vis = vis − Vis

(5-41)

这里，vis=(μαcos δ , μδ ,Vr )为观测运动；Vis 为理论预期运动，与平均太阳运动 uj (j = 1, 2, 3)、星群平均绝对星等及其弥散度σM 有关。残差∆vis 的方差由两部 M 分组成，一部分为观测方差，另一部分则与速度椭球半主轴 σ 2 ( j有关。所以有 = 1,2,3) j

2 ε is = σ 2 (vis ) + σ 2 (Vis )

(5-42)

于是对所有N 颗恒星全部观测的似然函数为

L = ∏∏ pis ( xq )

i =1 s =1 N 3

(5-43)

其中 Pis ( xq ) 是相应于每一个观测(i, s)的后验概率。根据正态分布的假设由下式给出

 1 2 1  − ∆vis − 2 pis ( x q ) = (2πε is ) 2 exp 2 2  ε is        

8 个待求的未知参数，可由非线性方程组 (5-43) 解得。

( xq , q = 1,8) ≡ (u1 , u2 , u3 ,σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , M ,σ M )是

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第五章银河系运动学

§5.1 恒星的空间运动 §5.2 恒星本动速度分布 §5.3 银河系的自转 §5.4 奥尔特理论和较差自转 §5.5 大尺度径向运动 §5.6 运动学参数及其计算

§5.1 恒星的空间运动

V 2 = Vr + Vα + Vδ

2 2 2

二. 太阳空间运动

一些原因，不同的星群，比如太阳附近星群及远离太阳的星群绕银河中心旋转的速度就不同，那么利用它们求得的太阳运动也就不同了。

X = V⊙ cos A cos D Y = V⊙ sin A cos D Z = V⊙ sin D     

(5-2)

容易知道，(-X, -Y, -Z) 就是星群形心相对于太阳的运动分量。

 − sin α  RN =  cosα  0  − cosα sin δ − sin α sin δ cos δ cosα sin δ   sin α cos δ  sin δ  

(5-3)

我们有

  x Vα   4.74rµα cos δ          y  = RN  Vδ  = RN  4.74rµδ  z V     Vr r     

(5-4)

以及

 Vα   4.74rµα cos δ   x        Vδ  =  4.74rµδ  = R' N  y  V    z Vr  r    

(5-5)

式(5-4)明确写出为

(5-6)

3. 利用视向速度确定太阳运动式(5-5)中的第三式为

   Vr = x cosα cos δ + y sin α cos δ + z sin δ

(5-7)

根据定义，我们有

  x = x'− X   y = y '−Y   z = z '− Z     

(5-8)

   其中 (x ′, y ′, z ′) 为恒星的本动速度分量。

式(5-8)代入式(5-7)就有

X cos α cos δ + Y sin α cos δ + Z sin δ + Vr = Vr′

(5-9)

这里

   Vr′ = x' cos α cos δ + y ' sin α cos δ + z ' sin δ

(5-10)

是恒星本动速度的视向分量，有时称为本动视向速度。上述方法也可用于较远的恒星、球状星团以至

河外星系，对于这类天体要取得较好的自行资料往往很困难，甚至完全不可能。

4. 利用自行确定太阳运动类似地可以由式(5-5)的第一、二式导出如下形式的方程：

− X sin α + Y cos α + 4.74rµα cos δ = Vα′ − X cos α sin δ − Y sin α sin δ + Z cos δ + 4.74rµ δ = Vδ′   

(5-11)

这里 Vα′ 和 Vδ′ 为本动速度在(α, δ )两个方向上的切向速度分量。

因此，在利用式(5-9)和(5-11)作为误差方程式来组成法方程时，就要引入不同的权。如果以式(5-9)为单位权，则式(5-11)的权应该是

p = (σ r / 4.74rσ µ ) 2

其中σr 代表Vr 的中误差，而 σμ 为 μα cosδ 或 μδ 的中误差。前者的单位是 km/s, 后者为 as/yr, r 以 pc 为单位。只有这样做才能得出合理的结果。

三. 太阳运动的测定结果和本地静止标准

(l II , b II ) = (56  , 23

)

 1 V (σ ) = ∑Vi n

(5-12)

 称相对于基本坐标系以速度 V0 运动的坐标系为本

四. K 效应

2.1km/s。由此的结论是：太阳相对于B型星的速度为V⊙= (28.4+18.4)/2 = 23.4 km/s，而 B 型星平均以 (28.4 - 18.4)/2 = 5.0 km/s的速度远离太阳。

X cosα cos δ + Y sin α cos δ + Z sin δ－K + Vr = V 'r

不同光谱型、不同视星等恒星的 K 效应

§5.2 恒星本动速度分布

  ∑u = ∑ (x − x ) = 0   ∑v = ∑(y − y ) = 0   ∑ w = ∑ (z − z ) = 0

i i i 0 i 0 i i 0

      

(5-13)

一. 单星流假设

Φ (u , v, w) = 1

σ 3 (2π )

3 2

 1  (u 2 + v 2 + w2 ) exp − 2  2σ 

(5-14)

   如果以恒星相对于太阳的运动分量 ( x, y, z ) 来表示，则上式可改写为

   Φ ( x, y , z ) = 1

σ 3 (2π )

3 2

 1        exp− ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2  2  2σ 

[

]

(5-15)

图5-1 单星流假设的速度分布

Ψ ( S , l , b) = cos b

3 2

σ (2π )

 1  S 2  S 2 exp −     2 σ    

(5-15)

由此不难得出=1.596σ。 30

二．二星流假设

所以可以有以下的数学形式

Φ ( x, y , z ) =  1        exp− x − x01 ) 2 + ( y − y 01 ) 2 + ( z − z 01 ) 2  3 2σ 12   σ 13 (2π ) 2 f

[

]

 1 2 2 2        exp− + ( x − x02 ) + ( y − y 02 ) + ( z − z 02 )  3 2  2σ 2  3 2 σ 2 (2π ) 1− f

[

]

(5-16)

C1C / C 2 C = (1 − f ) / f = 0.4 / 0.6 = 0.67

C 代表本地静止标准；C 和恒星速度点的联线给

出该恒星的本动速度，而矢量CS表示本地太阳运动。

图5-2 二星流假设的速度分布

按一般化的椭球假设，太阳附近恒星速度的频数分布具有以下的形式

   Φ ( x, y , z ) = 1 (2π ) σ 1σ 2σ 3 R

3 2

 1     exp − E ( x, y, z )   2

(5-17)

其中

2 2 2

以及

1 R = r12 r13 r12 1 r23 r13 r23 1

   E ( x, y , z ) = 1

的椭球称为速度椭球。速度椭球面上一点的速度点密度（频数）是椭球中心最大密度的 1 / e = 0.61 倍。

如果以椭球中心为原点，以三条主轴为坐标轴，那么在这样的坐标系( ξ, η, ζ )中，速度的频数函数取特别简单的形式

 1  ξ  2  η  2  ζ  2   1   Ψ (ξ ,η ,ζ ) = exp −   + 

 +     3 2  Σ1   Σ 2   Σ3              (2π ) 2 Σ1Σ 2Σ3

(5-18)

图5-3表示速度椭球及其主轴 ( Σ1, Σ2, Σ3)。外围椭球为中介椭球，其轴长为速度椭球主轴的1.54倍，内中包含一半速度点。

图5-3 椭球假设的速度分布

四. 二星流假设和椭球假设的比较

图5-4 速度椭球主轴在银河系中的取向

鉴于以上这一点

，本动速度的椭球分布假设目前已为人们所广泛接受。

§5.3 银河系的自转

一. 银河系自转概念的发展

二. 两种极限情况的自转模型

三. 典型恒星系统

银河系各部分的运动状况一般地可用下列函数来表示

Φ (U ,V ,W / x, y, z )

(5-19)

图5-5 银河系内的位置和速度坐标

   R0 ( R, z

)，T0 ( R, z )，z0 ( R, z )

(iii) 研究每个体积之内恒星本动作为体积元位置(R, z) 的函数的分布情况，迄今为止我们对于本动的讨论只限于包含太阳的体积元。

四. 太阳相对于银河系静止系统的运动

 U = x + U⊙  V = y + V⊙  W = z + W⊙     

(5-20)

这里 (U , V , W ) 是恒星的银心速度分量。

 U = U 0 + u⊙ + x  V = V0 + v⊙ + y  W = W0 + w⊙ + z     

(5-21)

五. 动力学条件和平衡因素

图5-6 银道面外一点的受力情况

§5.4 奥尔特理论和较差自转

一. Oort-Lindblad 理论

轨道速度受中心力所支配。

于是可有方程

K ( R) = Vc2 / R

(5-22)

二. 银道面上天体的较差自转效应

现在要确定 S 和 S0 之间的银河系较差自转效应，也就是 S 位置体积元内恒星平均运动与 S0 位置体积元内恒星平均运动之间的差异。

图5-7 银道面上天体的较差自转效应

 T = RK ( R)  T0 = R0 K ( R0 )     

(5-23)

这儿 k＝4.738，为单位换算因子， μl 以每年角秒表示， r 以pc为单位，而 tl 则以km/s为单位。由图5-7不难得到

  

Vr = T sin(l + θ ) − T0 sin l   cos(l + θ ) − T cos l    t l = krµ l = T 0 

(5-24)

其中银心经度θ 不是直接观测量。由∆CSS0 可知

R sin(l + θ ) = R0 sin l   R cos(l + θ ) = R0 cos l − r 

(5-25)

上式代入式(5-24)以消去θ ，于是就有

   T T0 Vr＝R0  － R R 0    sin l      T T0 t l = krµ l = R0  − R R 0         T  cos l − r  R   

(5-26)

 T 是天体在半径为 R 的圆轨道上的运动速度， 是 R T 的函数，与未知的力 K(R) 有关。因为在方程(5-26)中  以 T / R 的形式出现，为方便起见可以用

 T ( R) ω ( R) = = R K ( R) R

(5-27)

 来代替未知函数 T / R ，这儿ω (R)表示在半径为 R 的圆轨道上天体运动的角速度，于是式(5-26)即为

Vr＝R0 (ω－ω 0 )sin l   t l = krµ l = R0 (ω－ω 0 ) cos l − rω 

(5-28)

三. Oort公式

为了把 Vr 和 μl 表示为日心极坐标 (r, l) 的函数，必须把天体的银心距 R 表示为 (r, l) 的函数。由图5-7中的 ∆CSS0 有

R 2 = Ro + r 2 − 2rR0 cos l

(5-29)

把 ω = ω (R) 在 R = R0 处展开为幂级数，保留到一阶项，则有

′ ω = ω 0 + ( R − R0 )ω 0 (5-30)

在同样精度下，又由式(5-29)可得

R = R0 − r cos l

(5-31) (5-32)

所以有

′ ω − ω 0 = −ω 0 r cos l

以式(5-32)代入式(5-28)，经整理可得

Vr = Ar sin 2l   kµ l = A cos 2l + B 

(5-33)

式中

1 ′ A = − ω 0 R0 2 1 ′ B = −ω 0 − ω 0 R0 = −ω 0 + A 2       

(5-34)

四. 由O– L理论预期的观测效应

图5-8 平均视向速度随银经变化的情况

cos l ' = r / 2 R0

图5-9 视向速度曲线零点的位置

五. 不位于银道面上天体的较差自转效应

图5-10 ξ、Vr 和 tb 之间的几何关系

现在沿投影后的向径 S0S′ 的相对速度分量不再是视向速度分量，我们用ξ来表示。于是方程(5-26)有以下形式

   T T0  ξ = R0  −  sin l R R  0       T T0  T  t l = krµ l cos b = R0  −  R R  cos l − R r cos b o         

(5-35)

经过类似的推导，不难得出推广了的Oort公式

Vr = Ar cos 2 b sin 2l   kµ l = B + A cos 2l  kµ b = −0.5 A sin 2b sin 2l  

(5-36)

其中Oort常数 (A, B) 的含义与式(5-34)相同。

§5.5 大尺度径向运动

一、银道面上恒星的情况

图5-11 银道面上恒星的较差自转和较差径向运动效应

由图5-11不难得出 S 点恒星相对太阳在本地静止标准中的视向速度为

    Vr = T sin(l + θ ) − T0 sin l − R cos(l + θ ) + R0 cos l

经过类似的推导，可以得出

Vr = Ar sin 2l + Cr cos 2l + Dr

kµl = A cos 2l + B − C sin 2l

(5-37) (5-38)

式中

C= 1 ′ R0 ε 0 2 1 ′ D = ε 0 + R0 ε 0 = ε 0 + C 2

      

(5-39)

ε ( R) = R / R

二、公式的推广

现在进一步把上面得到的公式推广到 b≠0，即天体不位于银道面上的一般情况。参考上一节的推导过程，不难得出

Vr = r cos 2 b( A sin 2l + C cos 2l + D )   t l = krµ l cos b = r cos b( A cos 2l + B − C sin 2l )  krµ b = t b = −Vr tgb = −r sin b cos b( A sin 2l + C cos 2l + D)  

(5-40)

上式给出在任意 b 值的情况下，

银河系较差自转和较差径向运动对观测量 (Vr , t l , t b ) 的影响。公式只适用 r

§5.6 运动学参数及其计算

上面叙述了太阳空间运动的确定方法，现在要结合平均视差问题，来讨论经典方法的不严格性和近期进展。

一. 运动学参数

∆vis = vis − Vis

(5-41)

2 ε is = σ 2 (vis ) + σ 2 (Vis )

(5-42)

于是对所有N 颗恒星全部观测的似然函数为

L = ∏∏ pis ( xq )

i =1 s =1 N 3

(5-43)

其中 Pis ( xq ) 是相应于每一个观测(i, s)的后验概率。根据正态分布的假设由下式给出

 1 2 1  − ∆vis − 2 pis ( x q ) = (2πε is ) 2 exp 2 2  ε is        

8 个待求的未知参数，可由非线性方程组 (5-43) 解得。

( xq , q = 1,8) ≡ (u1 , u2 , u3 ,σ 1 ,σ 2 ,σ 3 , M ,σ M )是

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114星系天文学@中科大z05银河系运动学

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