立体几何平行、垂直、体积试题
1．（2014•广州模拟）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为正三角形，侧面AA 1C 1C 是正方形，E 是A 1B 的中点，F 是棱CC 1上的点． （Ⅰ）当V E ﹣ABF
=
时，求正方形AA 1C 1C 的边长；
（Ⅱ）当A 1F+FB最小时，求证：AE ⊥平面A 1FB ．
解：（Ⅰ）设正方形AA 1C 1C 的边长为x 由于E 是A 1B 的中点，△EAB 的面积为定值．Ks5u ∵CC 1∥平面AA 1B ，∴点F 到平面EAB 的距离为定值
即为点C 到平面平面AA 1B 的距离 又V E ﹣ABF =VF ﹣ABE ，且即
3
=
，∴x =8，x=2…（5分）
（Ⅱ）解法一：将侧面BCC 1B 1展开到侧面A 1ACC 1得到矩形ABB 1A 1，连结A 1B ，交C 1C
于点F ，此时点F 使得A 1F+BF最小．此时FC 平行且等于A 1A 的一半，∴F 为C 1C 的中点．…（7分）
取AB 中点O ，连接OE ，EF ，OC ，∴OEFC 为平行四边形，∵△ABC 为正三角形，∴OC ⊥AB ，又AA 1⊥平面ABC ，∴OC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A，∴OC ⊥平面A 1AB ，∵AE ⊂平面A 1AB ，∴OC ⊥AE ，又EF ∥OC ，∴AE ⊥EF …（11分） 由于E 是A 1B 的中点，所以AE ⊥A 1B ，又A 1B ∩EF=E， 所以直线AE 与平面A 1FB 垂直…（12分）
解法二：将侧面BCC 1B 1展开到侧面A 1ACC 1得到矩形ABB 1A 1，连结A 1B ，交C 1C 于点F ，此时点F 使得A 1F+BF最小．此时FC 平行且等于A 1A 的一半，∴F 为C 1C 的中点．…（7分）
过点E 作EG ∥A 1F 交BF 于G ，则G 是BF 的中点，过点G 作GH ⊥BC ，交BC 于H ，则又
，于是在Rt △AGH 中，
．
；
．．
在Rt △ABA 1中，．
222
在△AEG 中，AE +GE=AG，∴AE ⊥EG ，∴AE ⊥A 1F ．…（11分） 由于E 是A 1B 的中点，所以AE ⊥A 1B ，又A 1B ∩A 1F=E， 所以直线AE 与平面A 1FB 垂直…（12分）
2．（2013•淄博一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥MC ； （Ⅱ）在线段AB 是否存在点E ，使得AP ∥平面NEC ，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ， 又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以MA ⊥平面ABCD ， 所以MA ⊥BD ，又因为AC ∩MA=A，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面AMC 又因为AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥MC ； （2）当E 为线段AB 中点时，会使AP ∥平面NEC ，下面证明： 取NC 中点F ，连接EF ，PF ，可得AE ∥CD ，且AE=CD ， 由三角形的中位线可知，PF ∥CD ，且
PF=CD ，
故可得AE ∥PF ，且AE=PF，即四边形AEPF 为平行四边形， 故可得AP ∥EF ，又AP ⊄平面NEC ，EF ⊂平面NEC ， 所以AP ∥平面NEC ，
故当E 为线段AB 中点时，会使AP ∥平面NEC
3．（2013•资阳二模）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且
．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1； （Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．
证明：（I ）取AB 的中点M ，∵
，∴F 为AM 的中点，
又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M
在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点， ∴A 1D ∥BM ，A 1D=BM， ∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD ∴EF ∥BD ． ∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ， ∴EF ∥平面BC 1D ．
（II ）设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15， 则
，
∵=
=∴∴AG=
，∴．
，
所以符合要求的点G 不存在．
4．（2013•枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC 水平放置．
（1）求证：AE ∥平面DCF ； （2）当
时，求该多面体的体积．
证明：（1）证法1（线面平行的判定定理法）： 过点E 作EG ⊥CF 于G ，连结DG
由题设条件可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形， 所以AD ∥EG ，且AD=EG．
从而四边形ADGE 为平行四边形，故AE ∥DG …（4分） 又因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．…（6分） 证法2：（面面平行的性质法）
因为四边形BEFC 为梯形，所以BE ∥CF ． 又因为BE ⊄平面DCF ，CF ⊂平面DCF ， 所以BE ∥平面DCF ．…（2分）
因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥DC ．同理可证AB ∥平面DCF ． 又因为BE 和AB 是平面ABE 内的两相交直线， 所以平面ABE ∥平面DCF ．…（4分） 又因为AE ⊂平面ABE ，所以AE ∥平面DCF …（6分） （2）由三视图知AB ⊥平面BEFC ，AD ⊥平面DCF ，所以AB 、AD 分别为四棱锥A ﹣BEFC 和三棱锥A ﹣DCF 的高．…（7分） 在Rt △EGF 中，因为所以∠GFE=60°，且GF=1 又因为∠CEF=90° 故
CF=
=
=4
，
从而BE=CG=3．…（9分）
多面体的体积V=V四棱锥A ﹣BEFC +V三棱锥A ﹣
DCF
．（12分）
5．（2013•延庆县一模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=2，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面EBD ； （Ⅱ）求三棱锥C ﹣PAD 的体积V C ﹣PAD ； （Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点M ，满足PC ⊥平面MBD ，若存在，求PM 的长；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）证明：设AC 、BD 相交于点F ，连接EF ， ∵ABCD 底面ABCD 为菱形，∴F 为AC 的中点， 又∵E 为PA 的中点，∴EF ∥PC ． 又∵EF ⊄平面EBD ，PC ⊂平面EBD ， ∴PC ∥平面EBD ． （Ⅱ）解：∵底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°， ∴△ACD 是边长为2正三角形， 又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA 为三棱锥P ﹣ACD 的高， ∴V C ﹣PAD
=
．
（Ⅲ）解：在侧棱PC 上存在一点M ，满足PC ⊥平面MBD ，下面给出证明． ∵PA ⊥底面ABCD ，
又ABCD 底面ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥PC ． 在△PBC 内，可求，BC=2， 在平面PBC 内，作BM ⊥PC ，垂足为M ， 设PM=x，则有
，解得
．
连接MD ，∵PC ⊥BD ，BM ⊥PC ，BM ∩BD=B，BM ⊂平面BDM ，BD ⊂平面BDM ， ∴PC ⊥平面BDM ． 所以满足条件的点M 存在，此时PM 的长为
．
6．（2013•许昌二模）在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=1，AD=，AB ⊥BC ，CD ⊥BD ，如图1，把△ABD 沿BD 翻折，使得平面A'BD ⊥平面BCD ，如图2． （Ⅰ）求证：CD ⊥A'B ； （Ⅱ）求三棱锥A' ﹣BDC 的体积．
解答： （Ⅰ）证明：∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD=BD，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面A ′BD ， ∵AB ⊂平面A ′BD ∴CD ⊥A ′B ； （Ⅱ）解：如图1，在Rt △ABD 中，BD=∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC=30° 在Rt △BDC 中，DC=BDtan30°=∴S △BDC =
=
=2
如图2，在Rt △A ′BD 中，过点A ′作A ′E ⊥BD 于E ，则A ′E ⊥平面BCD ∵
∴V A ′﹣BDC =
=
=
=
7．（2013•渭南二模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点． （Ⅰ）若PB=PD，求证：BD ⊥CQ ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．
解答： 解：（Ⅰ）证明：连接AC ，交BD 于O ．
因为底面ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点． 所以AC ⊥BD ，O 为BD 中点． 因为PB=PD，所以PO ⊥BD ． 因为PO ∩BD=O，所以BD ⊥平面PAC ． 因为CQ ⊂平面PAC ，所以BD ⊥CQ ． （Ⅱ）解：因为PA=PC，所以△PAC 为等腰三角形． 因为O 为AC 中点，所以PO ⊥AC ． 由（Ⅱ）知PO ⊥BD ，且AC ∩BD=O，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P ﹣ABCD 的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=， 所以PO=． 所以V P ﹣ABCD =×2
×
=2
，即V P ﹣ABCD =2
．
8．（2013•潍坊一模）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD=6，BC=4，AB=2，点E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使平面ABCD ⊥平面EFDC ，设AD 中点为P ．
（ I ）当E 为BC 中点时，求证：CP ∥平面ABEF （Ⅱ）设BE=x，问当x 为何值时，三棱锥A ﹣CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．
解答：
解：（ I ）证明：取AF 得中点Q ，连接QE 、QP ，则有条件可得QP 与DF 平行且相等， 又DF=4，EC=2，且DF ∥EC ， ∴QP 与 EC 平行且相等， ∴PQEC 为平行四边形， ∴CP ∥EQ ，又EQ ⊂平面ABEF ，CP ⊄平面ABEF ， ∴CP ∥平面ABEF ． （Ⅱ）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC=EF，BE=x， ∴AF=x （0＜x ≤4），FD=6﹣x ， ∴V A ﹣CDF
=
=（6x ﹣x ）=[9﹣（x ﹣3）]，
2
2
故当x=3时，V A ﹣CDF 取得最大值为3． 9．（2013•天河区三模）如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC=12，E 为CD 的中点，将△DAE 沿AE 折起，使面DAE ⊥面ABCE ；再过点D 作DQ ∥AB ，且（Ⅰ）求证：面DAE ⊥面BEQ ； （Ⅱ）求直线BD 与面DAE 所成角的正弦值； （Ⅲ）求点Q 到面DAE 的距离．
．
解答：
（I ）证明：折叠前，矩形ABCD 中，连接BE ， 在△ABE 中，，AB=12，
222∴AE +BE=AB， ∴AE ⊥BE ， ∵面DAE ⊥面ABCE ，交线为AE ， ∴BE ⊥平面DAE ， 而BE ⊂BEQ ，∴面DAE ⊥面BEQ ； （II ）由（I ）知，BE ⊥平面DAE ，∴∠BDE 是直线BD 与平面DAE 所成的角， 在Rt △BDE 中，，DE=6， ∴
．
．
故直线BD 与平面DAE 所成角的正弦值为（III ）设点Q 到平面DAE 的距离为h ， ∵DQ ∥EC 且DQ=EC， ∴四边形DQCE 为平行四边形， QC ∥DE ，从而QC ∥平面DAE ，
故点Q 到平面DAE 的距离等于点C 到平面DAE 的距离， 作DH ⊥AE 与H ， ∵面DAE ⊥面BEQ ，交线为AE ， ∴DH ⊥平面ABCE ，则DH 是D 到面ABCE 的距离，而由V Q ﹣ADE =VC ﹣ADE =VD ﹣AEC ∴又
，
，
．
．
∴． ∴点Q 到平面DAE 的距离为
．
10．（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，PD ⊥平面ABCD ，AD=1，AB=，BC=4． （I ）求证：BD ⊥PC ；
（II ）设AC 与BD 相交于点O ，在棱PC 上是否存在点E ，使得OE ∥平面PAB ？若存在，确定点E 位置．
解答： 证明：（Ⅰ）在Rt △ABD 中，∵AD=1，AB=
=4，∴BD=2．
∴∠ABD=30°， ∴∠DBC=60°．
222
在△BCD 中，由余弦定理得DC =2+4﹣2×2×4cos60°=12，
222∴DB +DC=BC， ∴∠BDC=90°．∴BD ⊥DC ． ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BD ． 又PD ∩DC=D，∴BD ⊥平面PDC ． ∴BD ⊥PC ． （II ）存在点E ，使得OE ∥平面PAB ，此时
．证明如下：
在PC 上取点E 使得由AD ∥BC ，∴
，
，连接OE ．
，可得OE ∥PA ．
又∵PA ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB ， ∴OE ∥平面PAB ． 11．（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，PD ⊥面ABCD ．AD=1，，BC=4． （1）求证：BD ⊥PC ；
（2）求直线AB 与平面PDC 所成角； （3）设点E 在棱PC 、上，
，若DE ∥面PAB ，求λ的值．
解答：
解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°， ∵BC ∥AD ∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分） 222
BC =DB+DC，∴BD ⊥DC ， ∵PD ⊥面ABCD ，∴BD ⊥PD ，PD ∩CD=D，∴BD ⊥面PDC ， ∵PC 在面PDC 内，∴BD ⊥PC （5分）
（2）在底面ABCD 内过D 作直线DF ∥AB ，交BC 于F ， 分别以DA 、DF 、DP 为x 、y 、z 轴建立如图空间坐标系，（6分） 由（1）知BD ⊥面PDC ，∴就是面PDC 的法向量，（7分） A （1，0，0），B （1，分）
设AB 与面PDC 所成角大小为θ，cos θ=
=
，（9分）
，0），P （0，0，a ）
=（0，
，0），
=（1，
，0），（8
∵θ∈（0°，90°）∴θ=30°（10分） （3）在（2）中的空间坐标系中A 、（1，0，0），B 、（1，，0），（11分）
=（﹣3，=
+
，﹣a ），
=（﹣3λ，
λ，﹣a λ），
λ，﹣a λ）=（﹣3λ，
，0），P （0，0，a ）C 、（﹣3
，
=（0，0，a ）+（﹣3λ，，0），
λ，a ﹣a λ）（12分）
=（0，=（1，0，﹣a ），
设=（x ，y ，z ）为面PAB 的法向量， 由•=0，
•=0，得x ﹣az=0，取x=a，z=1，=（a ，0，1），（14分）
⊥，∴•=0，﹣3a λ+a﹣a λ=0，∴λ=（15分）
得y=0，由由D 、E ∥面PAB 得：
12．（2013•石家庄二模）如图，在四棱锥A ﹣BCDE 中，底面BCDE 为直角梯形，且BE ∥CD ，CD ⊥BC ．侧面ABC ⊥底面BCDE ，F 为AC 的中点，BC=BE=4CD=2，AB=AC．
（Ⅰ）求证：FD ⊥CE ；
（Ⅱ）若规定正视方向与平面ABC 垂直，且四棱锥A ﹣BCDE 的侧（左）视图的面积为，求点B 到平面ACE 的距离．
解答：
（Ⅰ）证明：过F 作FH ⊥BC 于H ，连接DH ，将直角梯形BCDE 补成正方形BCGE ，…（2分）
连接BG
∵侧面ABC ⊥底面BCDE ，平面ABC ∩底面BCDE=BC
∴FH ⊥底面BCDE
∴FH ⊥BC
∵F 为AC 的中点，
∴H 为BC 的四等分点，…（4分） ∵，∴DH ∥BG
∴DH ⊥EC
∵FH ∩DH=H
∴EC ⊥平面FHD
∴FD ⊥CE …（6分）
（Ⅱ）解：由题意可知△ABC 的高为h=
∴AB=AC=2
∴V A ﹣BCE ===…（8分）
在△AEC 中，AE=EC=2
∵V B ﹣ACE =
∴h ′= ，AC=2，S △AEC =
∴点B 到平面ACE 的距离为…（12分）
13．（2013•汕头一模）如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD 为矩形，PD 丄平面ABCD ，EC ∥PD ，且 PD=2EC．
（1）若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥PD
（2）若矩形ABCD 的周长为10，PD=2，求该简单组合体的体积的最大值．
解答：
证明：（1）连接AC 、BD 相较于点F ，则F 为BD 的中点，连接NF ．
又N 为PB 的中点，∴
又∵EC ∥PD ，且 PD=2EC． ∴， ．
∴四边形NFCE 为平行四边形，
∴NE ∥FC ．
∵PD 丄平面ABCD ，∴PD ⊥FC ．
∴PD ⊥NE ．
（2）该几何体可以看成是由三棱锥P ﹣ABD 和四棱锥B ﹣PDCE 组合而成，
∵PD ⊥平面ABCD ，且底面是周长为10的矩形，
设AB=x，（0＜x ＜5）．则CD=x，AD=BC=5﹣x ． ∴
V P ﹣ABD === =．
∵PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ，CD ⊥PD ．
又∵BC ⊥CD ，PD ∩CD=D，∴BC ⊥平面PDCE ．
∴V B ﹣
PDCE ==． =
=
∴V P ﹣ABCD =VP ﹣ABD +VB ﹣PDCE =
=∴该简单组合体的 体积的最大值是=
．当且仅当x=5﹣x ，0＜x ＜5，解得x=时取等号． ．
14．（2013•南京二模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA．
（1）求三棱锥E ﹣BAD 的体积；
（2）求证：PC ∥平面BDE ．
解答：
解：（1）过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，
∵PB ⊥平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，
又平面PAB ∩平面ABCD=AB，EF ⊂平面PAB ，
∴EF ⊥平面ABCD ，即EF 为三棱锥E ﹣BAD 的高，
∵EF ∥PB ，PE=2EA，PB=1，∴EF=，
∵CD ⊥BD ，梯形ABCD 为直角梯形，∴∠A=90°，
∵AB=AD=1，∴V E ﹣BAD =×S △BAD ×
EF=．
（2）证明：连接AC 交BD 与G ，连接EG ，
∵∠A=90°，AB=AD=1，∴BD=，∠CBD=45°，
∵CD ⊥BD ，∴BC=2，
∵AD ∥BC ，BC=2，AD=1，∴=，
∵PE=2EA，∴EG ∥PC ，
又PC ⊄平面BDE ，EG ⊂平面BDE ，
∴PC ∥平面BDE ．
15．（2013•乐山二模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且PA=AB=2．
（1）证明：BC ⊥面AMN ；
（2）在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥面ACE ；若存在，求出PE 的长，若不存在，说明理由．
解答：
解：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC 为正三角形，得AB=BC=CA
∵M 是BC 的中点，∴BC ⊥AM
∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC
∵PA 、AM 是平面AMN 内的相交直线，∴BC ⊥面AMN ；
（2）线段PD 上存在一点E ，且当E 为PD 中点时，有NM ∥面ACE ．
证明如下
取PD 中点E ，连结NE 、EC 、AE
∵△PAD 中，N 、E 分别为PA 、PD 的中点，∴NE ∥AD 且NE=AD
又∵菱形ABCD 中，MC ∥AD 且MC=AD
∴MC ∥NE 且MC=NE，可得四边形MNEC 是平行四边形
∴MN ∥EC ，
∵MN ⊄平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，∴MN ∥平面ACE
因此，存在PD 中点E 使得NM ∥面ACE ．此时 PE=．
立体几何平行、垂直、体积试题
1．（2014•广州模拟）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为正三角形，侧面AA 1C 1C 是正方形，E 是A 1B 的中点，F 是棱CC 1上的点． （Ⅰ）当V E ﹣ABF
=
时，求正方形AA 1C 1C 的边长；
（Ⅱ）当A 1F+FB最小时，求证：AE ⊥平面A 1FB ．
解：（Ⅰ）设正方形AA 1C 1C 的边长为x 由于E 是A 1B 的中点，△EAB 的面积为定值．Ks5u ∵CC 1∥平面AA 1B ，∴点F 到平面EAB 的距离为定值
即为点C 到平面平面AA 1B 的距离 又V E ﹣ABF =VF ﹣ABE ，且即
3
=
，∴x =8，x=2…（5分）
（Ⅱ）解法一：将侧面BCC 1B 1展开到侧面A 1ACC 1得到矩形ABB 1A 1，连结A 1B ，交C 1C
于点F ，此时点F 使得A 1F+BF最小．此时FC 平行且等于A 1A 的一半，∴F 为C 1C 的中点．…（7分）
取AB 中点O ，连接OE ，EF ，OC ，∴OEFC 为平行四边形，∵△ABC 为正三角形，∴OC ⊥AB ，又AA 1⊥平面ABC ，∴OC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A，∴OC ⊥平面A 1AB ，∵AE ⊂平面A 1AB ，∴OC ⊥AE ，又EF ∥OC ，∴AE ⊥EF …（11分） 由于E 是A 1B 的中点，所以AE ⊥A 1B ，又A 1B ∩EF=E， 所以直线AE 与平面A 1FB 垂直…（12分）
解法二：将侧面BCC 1B 1展开到侧面A 1ACC 1得到矩形ABB 1A 1，连结A 1B ，交C 1C 于点F ，此时点F 使得A 1F+BF最小．此时FC 平行且等于A 1A 的一半，∴F 为C 1C 的中点．…（7分）
过点E 作EG ∥A 1F 交BF 于G ，则G 是BF 的中点，过点G 作GH ⊥BC ，交BC 于H ，则又
，于是在Rt △AGH 中，
．
；
．．
在Rt △ABA 1中，．
222
在△AEG 中，AE +GE=AG，∴AE ⊥EG ，∴AE ⊥A 1F ．…（11分） 由于E 是A 1B 的中点，所以AE ⊥A 1B ，又A 1B ∩A 1F=E， 所以直线AE 与平面A 1FB 垂直…（12分）
2．（2013•淄博一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，P 为DN 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥MC ； （Ⅱ）在线段AB 是否存在点E ，使得AP ∥平面NEC ，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ， 又ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，所以MA ⊥平面ABCD ， 所以MA ⊥BD ，又因为AC ∩MA=A，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面AMC 又因为AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥MC ； （2）当E 为线段AB 中点时，会使AP ∥平面NEC ，下面证明： 取NC 中点F ，连接EF ，PF ，可得AE ∥CD ，且AE=CD ， 由三角形的中位线可知，PF ∥CD ，且
PF=CD ，
故可得AE ∥PF ，且AE=PF，即四边形AEPF 为平行四边形， 故可得AP ∥EF ，又AP ⊄平面NEC ，EF ⊂平面NEC ， 所以AP ∥平面NEC ，
故当E 为线段AB 中点时，会使AP ∥平面NEC
3．（2013•资阳二模）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且
．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1； （Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．
证明：（I ）取AB 的中点M ，∵
，∴F 为AM 的中点，
又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M
在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点， ∴A 1D ∥BM ，A 1D=BM， ∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD ∴EF ∥BD ． ∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ， ∴EF ∥平面BC 1D ．
（II ）设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15， 则
，
∵=
=∴∴AG=
，∴．
，
所以符合要求的点G 不存在．
4．（2013•枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC 水平放置．
（1）求证：AE ∥平面DCF ； （2）当
时，求该多面体的体积．
证明：（1）证法1（线面平行的判定定理法）： 过点E 作EG ⊥CF 于G ，连结DG
由题设条件可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形， 所以AD ∥EG ，且AD=EG．
从而四边形ADGE 为平行四边形，故AE ∥DG …（4分） 又因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．…（6分） 证法2：（面面平行的性质法）
因为四边形BEFC 为梯形，所以BE ∥CF ． 又因为BE ⊄平面DCF ，CF ⊂平面DCF ， 所以BE ∥平面DCF ．…（2分）
因为四边形ABCD 为矩形，所以AB ∥DC ．同理可证AB ∥平面DCF ． 又因为BE 和AB 是平面ABE 内的两相交直线， 所以平面ABE ∥平面DCF ．…（4分） 又因为AE ⊂平面ABE ，所以AE ∥平面DCF …（6分） （2）由三视图知AB ⊥平面BEFC ，AD ⊥平面DCF ，所以AB 、AD 分别为四棱锥A ﹣BEFC 和三棱锥A ﹣DCF 的高．…（7分） 在Rt △EGF 中，因为所以∠GFE=60°，且GF=1 又因为∠CEF=90° 故
CF=
=
=4
，
从而BE=CG=3．…（9分）
多面体的体积V=V四棱锥A ﹣BEFC +V三棱锥A ﹣
DCF
．（12分）
5．（2013•延庆县一模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=2，E 为PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面EBD ； （Ⅱ）求三棱锥C ﹣PAD 的体积V C ﹣PAD ； （Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点M ，满足PC ⊥平面MBD ，若存在，求PM 的长；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）证明：设AC 、BD 相交于点F ，连接EF ， ∵ABCD 底面ABCD 为菱形，∴F 为AC 的中点， 又∵E 为PA 的中点，∴EF ∥PC ． 又∵EF ⊄平面EBD ，PC ⊂平面EBD ， ∴PC ∥平面EBD ． （Ⅱ）解：∵底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°， ∴△ACD 是边长为2正三角形， 又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA 为三棱锥P ﹣ACD 的高， ∴V C ﹣PAD
=
．
（Ⅲ）解：在侧棱PC 上存在一点M ，满足PC ⊥平面MBD ，下面给出证明． ∵PA ⊥底面ABCD ，
又ABCD 底面ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥PC ． 在△PBC 内，可求，BC=2， 在平面PBC 内，作BM ⊥PC ，垂足为M ， 设PM=x，则有
，解得
．
连接MD ，∵PC ⊥BD ，BM ⊥PC ，BM ∩BD=B，BM ⊂平面BDM ，BD ⊂平面BDM ， ∴PC ⊥平面BDM ． 所以满足条件的点M 存在，此时PM 的长为
．
6．（2013•许昌二模）在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=1，AD=，AB ⊥BC ，CD ⊥BD ，如图1，把△ABD 沿BD 翻折，使得平面A'BD ⊥平面BCD ，如图2． （Ⅰ）求证：CD ⊥A'B ； （Ⅱ）求三棱锥A' ﹣BDC 的体积．
解答： （Ⅰ）证明：∵平面A ′BD ⊥平面BCD ，平面A ′BD ∩平面BCD=BD，CD ⊥BD ， ∴CD ⊥平面A ′BD ， ∵AB ⊂平面A ′BD ∴CD ⊥A ′B ； （Ⅱ）解：如图1，在Rt △ABD 中，BD=∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC=30° 在Rt △BDC 中，DC=BDtan30°=∴S △BDC =
=
=2
如图2，在Rt △A ′BD 中，过点A ′作A ′E ⊥BD 于E ，则A ′E ⊥平面BCD ∵
∴V A ′﹣BDC =
=
=
=
7．（2013•渭南二模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点． （Ⅰ）若PB=PD，求证：BD ⊥CQ ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．
解答： 解：（Ⅰ）证明：连接AC ，交BD 于O ．
因为底面ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点． 所以AC ⊥BD ，O 为BD 中点． 因为PB=PD，所以PO ⊥BD ． 因为PO ∩BD=O，所以BD ⊥平面PAC ． 因为CQ ⊂平面PAC ，所以BD ⊥CQ ． （Ⅱ）解：因为PA=PC，所以△PAC 为等腰三角形． 因为O 为AC 中点，所以PO ⊥AC ． 由（Ⅱ）知PO ⊥BD ，且AC ∩BD=O，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P ﹣ABCD 的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=， 所以PO=． 所以V P ﹣ABCD =×2
×
=2
，即V P ﹣ABCD =2
．
8．（2013•潍坊一模）如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD=6，BC=4，AB=2，点E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使平面ABCD ⊥平面EFDC ，设AD 中点为P ．
（ I ）当E 为BC 中点时，求证：CP ∥平面ABEF （Ⅱ）设BE=x，问当x 为何值时，三棱锥A ﹣CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．
解答：
解：（ I ）证明：取AF 得中点Q ，连接QE 、QP ，则有条件可得QP 与DF 平行且相等， 又DF=4，EC=2，且DF ∥EC ， ∴QP 与 EC 平行且相等， ∴PQEC 为平行四边形， ∴CP ∥EQ ，又EQ ⊂平面ABEF ，CP ⊄平面ABEF ， ∴CP ∥平面ABEF ． （Ⅱ）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC=EF，BE=x， ∴AF=x （0＜x ≤4），FD=6﹣x ， ∴V A ﹣CDF
=
=（6x ﹣x ）=[9﹣（x ﹣3）]，
2
2
故当x=3时，V A ﹣CDF 取得最大值为3． 9．（2013•天河区三模）如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC=12，E 为CD 的中点，将△DAE 沿AE 折起，使面DAE ⊥面ABCE ；再过点D 作DQ ∥AB ，且（Ⅰ）求证：面DAE ⊥面BEQ ； （Ⅱ）求直线BD 与面DAE 所成角的正弦值； （Ⅲ）求点Q 到面DAE 的距离．
．
解答：
（I ）证明：折叠前，矩形ABCD 中，连接BE ， 在△ABE 中，，AB=12，
222∴AE +BE=AB， ∴AE ⊥BE ， ∵面DAE ⊥面ABCE ，交线为AE ， ∴BE ⊥平面DAE ， 而BE ⊂BEQ ，∴面DAE ⊥面BEQ ； （II ）由（I ）知，BE ⊥平面DAE ，∴∠BDE 是直线BD 与平面DAE 所成的角， 在Rt △BDE 中，，DE=6， ∴
．
．
故直线BD 与平面DAE 所成角的正弦值为（III ）设点Q 到平面DAE 的距离为h ， ∵DQ ∥EC 且DQ=EC， ∴四边形DQCE 为平行四边形， QC ∥DE ，从而QC ∥平面DAE ，
故点Q 到平面DAE 的距离等于点C 到平面DAE 的距离， 作DH ⊥AE 与H ， ∵面DAE ⊥面BEQ ，交线为AE ， ∴DH ⊥平面ABCE ，则DH 是D 到面ABCE 的距离，而由V Q ﹣ADE =VC ﹣ADE =VD ﹣AEC ∴又
，
，
．
．
∴． ∴点Q 到平面DAE 的距离为
．
10．（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，PD ⊥平面ABCD ，AD=1，AB=，BC=4． （I ）求证：BD ⊥PC ；
（II ）设AC 与BD 相交于点O ，在棱PC 上是否存在点E ，使得OE ∥平面PAB ？若存在，确定点E 位置．
解答： 证明：（Ⅰ）在Rt △ABD 中，∵AD=1，AB=
=4，∴BD=2．
∴∠ABD=30°， ∴∠DBC=60°．
222
在△BCD 中，由余弦定理得DC =2+4﹣2×2×4cos60°=12，
222∴DB +DC=BC， ∴∠BDC=90°．∴BD ⊥DC ． ∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BD ． 又PD ∩DC=D，∴BD ⊥平面PDC ． ∴BD ⊥PC ． （II ）存在点E ，使得OE ∥平面PAB ，此时
．证明如下：
在PC 上取点E 使得由AD ∥BC ，∴
，
，连接OE ．
，可得OE ∥PA ．
又∵PA ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB ， ∴OE ∥平面PAB ． 11．（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，PD ⊥面ABCD ．AD=1，，BC=4． （1）求证：BD ⊥PC ；
（2）求直线AB 与平面PDC 所成角； （3）设点E 在棱PC 、上，
，若DE ∥面PAB ，求λ的值．
解答：
解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°， ∵BC ∥AD ∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分） 222
BC =DB+DC，∴BD ⊥DC ， ∵PD ⊥面ABCD ，∴BD ⊥PD ，PD ∩CD=D，∴BD ⊥面PDC ， ∵PC 在面PDC 内，∴BD ⊥PC （5分）
（2）在底面ABCD 内过D 作直线DF ∥AB ，交BC 于F ， 分别以DA 、DF 、DP 为x 、y 、z 轴建立如图空间坐标系，（6分） 由（1）知BD ⊥面PDC ，∴就是面PDC 的法向量，（7分） A （1，0，0），B （1，分）
设AB 与面PDC 所成角大小为θ，cos θ=
=
，（9分）
，0），P （0，0，a ）
=（0，
，0），
=（1，
，0），（8
∵θ∈（0°，90°）∴θ=30°（10分） （3）在（2）中的空间坐标系中A 、（1，0，0），B 、（1，，0），（11分）
=（﹣3，=
+
，﹣a ），
=（﹣3λ，
λ，﹣a λ），
λ，﹣a λ）=（﹣3λ，
，0），P （0，0，a ）C 、（﹣3
，
=（0，0，a ）+（﹣3λ，，0），
λ，a ﹣a λ）（12分）
=（0，=（1，0，﹣a ），
设=（x ，y ，z ）为面PAB 的法向量， 由•=0，
•=0，得x ﹣az=0，取x=a，z=1，=（a ，0，1），（14分）
⊥，∴•=0，﹣3a λ+a﹣a λ=0，∴λ=（15分）
得y=0，由由D 、E ∥面PAB 得：
12．（2013•石家庄二模）如图，在四棱锥A ﹣BCDE 中，底面BCDE 为直角梯形，且BE ∥CD ，CD ⊥BC ．侧面ABC ⊥底面BCDE ，F 为AC 的中点，BC=BE=4CD=2，AB=AC．
（Ⅰ）求证：FD ⊥CE ；
（Ⅱ）若规定正视方向与平面ABC 垂直，且四棱锥A ﹣BCDE 的侧（左）视图的面积为，求点B 到平面ACE 的距离．
解答：
（Ⅰ）证明：过F 作FH ⊥BC 于H ，连接DH ，将直角梯形BCDE 补成正方形BCGE ，…（2分）
连接BG
∵侧面ABC ⊥底面BCDE ，平面ABC ∩底面BCDE=BC
∴FH ⊥底面BCDE
∴FH ⊥BC
∵F 为AC 的中点，
∴H 为BC 的四等分点，…（4分） ∵，∴DH ∥BG
∴DH ⊥EC
∵FH ∩DH=H
∴EC ⊥平面FHD
∴FD ⊥CE …（6分）
（Ⅱ）解：由题意可知△ABC 的高为h=
∴AB=AC=2
∴V A ﹣BCE ===…（8分）
在△AEC 中，AE=EC=2
∵V B ﹣ACE =
∴h ′= ，AC=2，S △AEC =
∴点B 到平面ACE 的距离为…（12分）
13．（2013•汕头一模）如图所示的几何体为一简单组合体，其底面ABCD 为矩形，PD 丄平面ABCD ，EC ∥PD ，且 PD=2EC．
（1）若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥PD
（2）若矩形ABCD 的周长为10，PD=2，求该简单组合体的体积的最大值．
解答：
证明：（1）连接AC 、BD 相较于点F ，则F 为BD 的中点，连接NF ．
又N 为PB 的中点，∴
又∵EC ∥PD ，且 PD=2EC． ∴， ．
∴四边形NFCE 为平行四边形，
∴NE ∥FC ．
∵PD 丄平面ABCD ，∴PD ⊥FC ．
∴PD ⊥NE ．
（2）该几何体可以看成是由三棱锥P ﹣ABD 和四棱锥B ﹣PDCE 组合而成，
∵PD ⊥平面ABCD ，且底面是周长为10的矩形，
设AB=x，（0＜x ＜5）．则CD=x，AD=BC=5﹣x ． ∴
V P ﹣ABD === =．
∵PD ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥PD ，CD ⊥PD ．
又∵BC ⊥CD ，PD ∩CD=D，∴BC ⊥平面PDCE ．
∴V B ﹣
PDCE ==． =
=
∴V P ﹣ABCD =VP ﹣ABD +VB ﹣PDCE =
=∴该简单组合体的 体积的最大值是=
．当且仅当x=5﹣x ，0＜x ＜5，解得x=时取等号． ．
14．（2013•南京二模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA．
（1）求三棱锥E ﹣BAD 的体积；
（2）求证：PC ∥平面BDE ．
解答：
解：（1）过E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，
∵PB ⊥平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，
又平面PAB ∩平面ABCD=AB，EF ⊂平面PAB ，
∴EF ⊥平面ABCD ，即EF 为三棱锥E ﹣BAD 的高，
∵EF ∥PB ，PE=2EA，PB=1，∴EF=，
∵CD ⊥BD ，梯形ABCD 为直角梯形，∴∠A=90°，
∵AB=AD=1，∴V E ﹣BAD =×S △BAD ×
EF=．
（2）证明：连接AC 交BD 与G ，连接EG ，
∵∠A=90°，AB=AD=1，∴BD=，∠CBD=45°，
∵CD ⊥BD ，∴BC=2，
∵AD ∥BC ，BC=2，AD=1，∴=，
∵PE=2EA，∴EG ∥PC ，
又PC ⊄平面BDE ，EG ⊂平面BDE ，
∴PC ∥平面BDE ．
15．（2013•乐山二模）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，PA ⊥面ABCD ，点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且PA=AB=2．
（1）证明：BC ⊥面AMN ；
（2）在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥面ACE ；若存在，求出PE 的长，若不存在，说明理由．
解答：
解：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC 为正三角形，得AB=BC=CA
∵M 是BC 的中点，∴BC ⊥AM
∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC
∵PA 、AM 是平面AMN 内的相交直线，∴BC ⊥面AMN ；
（2）线段PD 上存在一点E ，且当E 为PD 中点时，有NM ∥面ACE ．
证明如下
取PD 中点E ，连结NE 、EC 、AE
∵△PAD 中，N 、E 分别为PA 、PD 的中点，∴NE ∥AD 且NE=AD
又∵菱形ABCD 中，MC ∥AD 且MC=AD
∴MC ∥NE 且MC=NE，可得四边形MNEC 是平行四边形
∴MN ∥EC ，
∵MN ⊄平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，∴MN ∥平面ACE
因此，存在PD 中点E 使得NM ∥面ACE ．此时 PE=．