皮亚杰的儿童数学思维发展观
布尔巴基学派的数学结构主义思想对皮亚杰的数学认识论产生了一定的影响. 布尔巴基学派把数学的研究对象归结为代数结构、序列结构、拓扑结构三种基本母结构为基础的结构系统. 皮亚杰研究发现，这三类结构看起来十分抽象，但在年龄小到六、七岁的儿童思维中却发现了与这三类结构相似的结构. 但这些萌芽的数学结构还不能称之为数学结构，必须通过反身抽象和内部的协调建构才能形成，越是基础的结构越要经过多次的建构. 这种建构的连续重复的进行，形成了数学的各种理论层次和各个发展时期. 思维发展的各个阶段----
皮亚杰以运演为标志把儿童思维发展划分为四大年龄阶段：
１. 感知运动阶段（2岁左右）
２. 前运演阶段（2—7岁）又分为
(1)前概念思考期（2—4岁）
(2)直觉思考期（4—7岁）
３. 具体运演阶段（7—11、12岁）
４. 形式运演阶段（11、12—14、15岁）
１. 感知运动阶段
儿童能自发的发现数量关系，这时的儿童具有目测能力（即凭短时的直觉，说出物体的数目），能根据数量的多少来判断小的集合的多少，它的发展优先于数的能力的发展.
2. 前运演阶段
数字对于儿童（人的个体初始状态）来说是非常抽象的，处于前运演阶段的儿童，对具体、静止的事物形成强烈的依赖性，因此对处在幼儿期的儿童，大量的直观动作是必不可少的. 必须让儿童通过一系列的“匹配”活动，自己形成抽象的数字，例如，扳着手指头数数等，是进行数字计算的必要前提. 很多教师在教学中存在的偏差是急于求成，人为地取消了学生认识数的过程中的“匹配”活动，显然这样做是与思维发展的规律相违背的.
(1)前概念思考期
前概念思考期的儿童开始有初期的概念形式，即前概念. 他们以事物的相似性来区分物体种类，不能理解“所有”和“某些”之间的量的区别. 他们的思想既不是归纳的，也不是演绎的，而是直接推理的. 皮亚杰认为，在这个水平上儿童还没有掌握组成推理的基本形式，例如，像下述公式所表达的那样的传递性：如果A （R ）B ，而且B （R ）C ，则A （R ）C. 例如，被试看见在一起的两根棍子A ＜B ，然后又看见两根棍子B ＜C ，他不能推出A ＜C ，除非他同时看到它们.
(2)直觉思考期
儿童不是根据某些逻辑规则，而以直觉的方式来思考问题，这一时期儿童思考的最大特点是：既使
因物体所处的位置不同，儿童仍能了解其数目、长度、质量或面积维持恒定的能力. 但是却没有可逆思维和定量的概念. 首先，是函数的概念，例如：人们把一条线折成互成直角的两个线段A 和B ，拉这条线，他能推测出，线段B 拉长与线段A 变短是互为函数的，但他并不因此就认为A+B的整个长度是不变的，因为儿童判断长度的方法是次序性的（依到达终点的顺序来决定长短：比较长=比较短），而不是凭各个间隔长的总量来判断的. 其次是同一性的关系（尽管长度大小有改变，但还是同一条线段）. 因为儿童没有定量的概念，儿童在心智上无法作反逆的思维过程.
例如：
准备10根吸管，让孩子从1数到10. 然后问：假如最后一根是十，那么第一根是第几？将吸管全部集中让孩子数一次. 之后，再分散全部吸管，并问：现在我所拥有的吸管数目是多少？还是一样？可利用手指头重复这项活动.
讨论
前运演阶段的儿童能一一计算，但不知道数字的含义儿童要充分了解数目，必须知道以下几项： 首先，分类——每个手指头的长度都不一样，因此，数它时不该受到指头长短的影响，而必须理解基数的概念.
其次，基数——不论物体如何排列，其数目仍然不变.
再次，序数——一个物体的顺序排列位置可决定它的号数.
３. 具体运演阶段
对大小关系表现出如下特征：儿童能同时利用“＜”和“＞”这两个关系而不是一种关系排斥另一种关系；儿童能进行具体运演，也就是能在同具体事物相联系的情况下，进行逻辑运演，这时儿童的思维已具有可逆性和守恒性.
而守恒是这一阶段的主要标志，儿童已有了一般的逻辑结构，如群、格、群集等. 这时的群集运算有五个特征，即组合性和直接性，如A+A′=B；逆向性，如A+A′=B，则B-A ′=A；同一性，如+A-A=0；重复性，如A+A=A；结合性（A+A′）+B=A+（A ′+B）.
4. 形式运演阶段
思维的特点是“有能力处理假设而不只单纯地处理客体”、“认识超越于现实本身”、“而不需具体事物作中介了”. 此阶段能够真正使用逻辑思考，是逻辑思维的高级阶段.
附带叙述:皮亚杰理论的局限性
１. 他过于强调逻辑思维对数学概念发展的影响，忽略了数学语词的学习，特别是数学符号系统掌握和理解，以及相关的数学学习经验对儿童数概念及逻辑思维发展有重要的影响作用.
２. 由于皮亚杰的理论关注学的主体，因此，容易忽视教的主体所代表的文化传统作用.
３. 皮亚杰的数学观，只是从心理的发生发展来解释认识的获得，认为儿童的智力发展主要地是对客体适应的结果，而且这在很大程度上又是由主体生理上的成熟程度决定的，因此，皮亚杰的智力发展理论就表现出了浓厚的生物学色彩. 或者说，皮亚杰事实上就是由生物学特别是生物进化理论获得了基本概念框架.
皮亚杰事实上就是由生物学特别是生物进化理论获得了基本概念框架，也正因为如此，他的这些观点在现代遭到了普遍的批评. 例如，人们提出，与被动的适应相比，我们更应清楚地看到人类的主观能动性；另外，生理上的成熟程度也不应看成决定儿童智力发展水平的唯一要素，特别是，应充分肯定教育和训练在儿童智力发展中的重要作用；再者，在看到普遍性的同时，我们又应清楚地看到儿童智力发展的个体特殊性和不平衡.
皮亚杰的儿童数学思维发展观
布尔巴基学派的数学结构主义思想对皮亚杰的数学认识论产生了一定的影响. 布尔巴基学派把数学的研究对象归结为代数结构、序列结构、拓扑结构三种基本母结构为基础的结构系统. 皮亚杰研究发现，这三类结构看起来十分抽象，但在年龄小到六、七岁的儿童思维中却发现了与这三类结构相似的结构. 但这些萌芽的数学结构还不能称之为数学结构，必须通过反身抽象和内部的协调建构才能形成，越是基础的结构越要经过多次的建构. 这种建构的连续重复的进行，形成了数学的各种理论层次和各个发展时期. 思维发展的各个阶段----
皮亚杰以运演为标志把儿童思维发展划分为四大年龄阶段：
１. 感知运动阶段（2岁左右）
２. 前运演阶段（2—7岁）又分为
(1)前概念思考期（2—4岁）
(2)直觉思考期（4—7岁）
３. 具体运演阶段（7—11、12岁）
４. 形式运演阶段（11、12—14、15岁）
１. 感知运动阶段
儿童能自发的发现数量关系，这时的儿童具有目测能力（即凭短时的直觉，说出物体的数目），能根据数量的多少来判断小的集合的多少，它的发展优先于数的能力的发展.
2. 前运演阶段
数字对于儿童（人的个体初始状态）来说是非常抽象的，处于前运演阶段的儿童，对具体、静止的事物形成强烈的依赖性，因此对处在幼儿期的儿童，大量的直观动作是必不可少的. 必须让儿童通过一系列的“匹配”活动，自己形成抽象的数字，例如，扳着手指头数数等，是进行数字计算的必要前提. 很多教师在教学中存在的偏差是急于求成，人为地取消了学生认识数的过程中的“匹配”活动，显然这样做是与思维发展的规律相违背的.
(1)前概念思考期
前概念思考期的儿童开始有初期的概念形式，即前概念. 他们以事物的相似性来区分物体种类，不能理解“所有”和“某些”之间的量的区别. 他们的思想既不是归纳的，也不是演绎的，而是直接推理的. 皮亚杰认为，在这个水平上儿童还没有掌握组成推理的基本形式，例如，像下述公式所表达的那样的传递性：如果A （R ）B ，而且B （R ）C ，则A （R ）C. 例如，被试看见在一起的两根棍子A ＜B ，然后又看见两根棍子B ＜C ，他不能推出A ＜C ，除非他同时看到它们.
(2)直觉思考期
儿童不是根据某些逻辑规则，而以直觉的方式来思考问题，这一时期儿童思考的最大特点是：既使
因物体所处的位置不同，儿童仍能了解其数目、长度、质量或面积维持恒定的能力. 但是却没有可逆思维和定量的概念. 首先，是函数的概念，例如：人们把一条线折成互成直角的两个线段A 和B ，拉这条线，他能推测出，线段B 拉长与线段A 变短是互为函数的，但他并不因此就认为A+B的整个长度是不变的，因为儿童判断长度的方法是次序性的（依到达终点的顺序来决定长短：比较长=比较短），而不是凭各个间隔长的总量来判断的. 其次是同一性的关系（尽管长度大小有改变，但还是同一条线段）. 因为儿童没有定量的概念，儿童在心智上无法作反逆的思维过程.
例如：
准备10根吸管，让孩子从1数到10. 然后问：假如最后一根是十，那么第一根是第几？将吸管全部集中让孩子数一次. 之后，再分散全部吸管，并问：现在我所拥有的吸管数目是多少？还是一样？可利用手指头重复这项活动.
讨论
前运演阶段的儿童能一一计算，但不知道数字的含义儿童要充分了解数目，必须知道以下几项： 首先，分类——每个手指头的长度都不一样，因此，数它时不该受到指头长短的影响，而必须理解基数的概念.
其次，基数——不论物体如何排列，其数目仍然不变.
再次，序数——一个物体的顺序排列位置可决定它的号数.
３. 具体运演阶段
对大小关系表现出如下特征：儿童能同时利用“＜”和“＞”这两个关系而不是一种关系排斥另一种关系；儿童能进行具体运演，也就是能在同具体事物相联系的情况下，进行逻辑运演，这时儿童的思维已具有可逆性和守恒性.
而守恒是这一阶段的主要标志，儿童已有了一般的逻辑结构，如群、格、群集等. 这时的群集运算有五个特征，即组合性和直接性，如A+A′=B；逆向性，如A+A′=B，则B-A ′=A；同一性，如+A-A=0；重复性，如A+A=A；结合性（A+A′）+B=A+（A ′+B）.
4. 形式运演阶段
思维的特点是“有能力处理假设而不只单纯地处理客体”、“认识超越于现实本身”、“而不需具体事物作中介了”. 此阶段能够真正使用逻辑思考，是逻辑思维的高级阶段.
附带叙述:皮亚杰理论的局限性
１. 他过于强调逻辑思维对数学概念发展的影响，忽略了数学语词的学习，特别是数学符号系统掌握和理解，以及相关的数学学习经验对儿童数概念及逻辑思维发展有重要的影响作用.
２. 由于皮亚杰的理论关注学的主体，因此，容易忽视教的主体所代表的文化传统作用.
３. 皮亚杰的数学观，只是从心理的发生发展来解释认识的获得，认为儿童的智力发展主要地是对客体适应的结果，而且这在很大程度上又是由主体生理上的成熟程度决定的，因此，皮亚杰的智力发展理论就表现出了浓厚的生物学色彩. 或者说，皮亚杰事实上就是由生物学特别是生物进化理论获得了基本概念框架.
皮亚杰事实上就是由生物学特别是生物进化理论获得了基本概念框架，也正因为如此，他的这些观点在现代遭到了普遍的批评. 例如，人们提出，与被动的适应相比，我们更应清楚地看到人类的主观能动性；另外，生理上的成熟程度也不应看成决定儿童智力发展水平的唯一要素，特别是，应充分肯定教育和训练在儿童智力发展中的重要作用；再者，在看到普遍性的同时，我们又应清楚地看到儿童智力发展的个体特殊性和不平衡.