空气动力学CH4

2012/3/20

空气动力学 Aerodynamics

第4章高速可压无粘流动

武俊梅

目

录

4.1 热力学基本概念及关系 4.2 一维等熵流动 4.3 马赫波与膨胀波 4.4 正激波 4.5 斜激波 4.6 喷管

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一. 热力学基本概念热力系统：热力学中人为分隔出来的研究对象。系统与外界之间能进行能量交换的根本原因，在于两者之间的热力状态的差异。热力状态：指热力系统在某瞬间表现出的工质热力性质的总状况，反映工质大量分子热运动的平均特性。状态参数：从各个不同方面描述工质状态特性的各种物理量。温度 T、压强 p、密度ρ（或比容 v）：容易测量也比较直观，称为基本状态参数。

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4.1 热力学基本概念及关系

可压缩流动的基本特征:

＊流速很高．＊密度是变量．＊必须考虑流动过程中的能量转换与温度的变化．因此，在可压缩流动中，速度变化、压强变化、密度变化、温度变化是耦合在一起的，不仅需要流体力学的基本方程、还需热力学的一些概念及基本方程来约束这些量之间的关系。

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比热单位物量的物质，温度升高或降低1K所吸收或放出的热量。用c 表示，质量比热 kJ  kg  K  不仅取决于物质性质，还与气体热力过程和所处状态有关。

定容比热：

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内能 E、e

热力系统处于宏观静止状态时，系统内所有微观粒子所具有的能量之和。它取决于系统本身的状态，与系统内工质的分子结构及微观运动形式有关。包括：内动能、内位能及维持一定分子结构的化学能和原子核内部的原子能。没化学反应、核反应时：

定压比热：

cv  cp  1 R  1

内能 = 内动能 + 内位能

定容比热与定压比热的关系：

梅耶公式： c p  c v  R 比热比：

e  f (T ,  )

空气：



cp cv

  1

  1.4

完全气体：

e  f (T )  cvT

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焓 H、h

开口系统——有物质流进、流出的热力系统。它与外界之间随物质流传递的能量包括：

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熵 S、s 可逆过程：当系统进行正、反两个过程后，系统与外界均能完全回复到初始状态。可逆条件：1）传热无温差，作膨胀功无压力差； 2）过程没有耗散效应，如机械运动没有摩擦。熵，定义为：

1 p e总  e  v 2  gz  2 

定义： h  e 



ds  (

q

) re

kJ/kgK

焓：表示随流动工质传递的总能量中，取决于工质微观热力状态

的那部分。完全气体：

Attention：熵也是一个状态参数！

h c vT  RT  c pT

7 8

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二. 热力

学第一定律热力系统，能量守恒与转化关系： Q  E  W

dt 时间段内，1kg工质完成的微元过程：

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系统由状态1（p1,ρ1,T1）变化到状态2 （p2,ρ2,T2），熵的变化：

s  s2  s1  cv ln s  s2  s1  c p ln

T2   R ln 1 T1 2 T2 p  R ln 2 T1 p1

q  de  w

可逆过程：q  Tds

w  pdv  pd ( ) 

Tds  q  de  d ( )  p 1

三. 热力学第二定律

孤立系统：与外界没有任何热量、功、质量的交换的系统。



dp  dh 



可逆过程： dsiso  0 不可逆过程： dsiso  0

完全气体：

de  cv dT

dh  c p dT

1 1 Tds  q  cvT  pd ( )  c pT  dp



任何实际过程都是不可逆过程，它只能沿着孤立系统熵增加的方向进行，称为热力学第二定律，也称为熵增原理。

9 10

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dsiso  0

Q1：熵增大的原因？

例题1:

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Boeing747飞机在10km高空飞行，机翼上某点压强p=1.92×104pa 求：该点的温度T。解：10km高空大气参数为：p∞=0.265×105pa，T∞=223.3K 根据等熵过程方程：

 /( 1)

对于高速气体流动，过程不可逆的因素有：粘性摩擦、激波的出现、温度梯度导致的热传导。但对于流场大部分区域，速度梯度、温度梯度都不大，可以忽略粘性摩擦和温差传热，在没有激波出现的区域，可以认为是可逆绝热过程，也即等熵过程。

p2   2   T2         p1   1   T1 



 /(  1)



 常数

p T      p T   p  T  T  p    

(  1) / 

等熵过程过程方程：

s  s2  s1  cv ln T2   R ln 1  0 T1 2 T2 T1

    2  2 

 1

T2 p2 1   T1 p1  2

 1.92   223.3     2.65 

0.4 / 1.4

 203.7 K

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h  c pT

当地声速：

4.2 一维等熵流动

一维定常绝热流动的控制方程

cp 

 R  1

h

可压定常流比不可压流复杂，流动参数增加为4个：速度、压强、密度和温度。需要四个方程才能求解。对于一维流动：

a  RT

 1

连续性方程伯努利方程

vA  常数

v2 dp   常数 2   h

绝热稳定流动能量方程

1 1 d (V 2 )  dp  0  2

v2  常数 2

v2 a2   常数 2  1

绝热定常流动能量方程状态方程

dh 



dp  0



 RT

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驻点声速：总静温之比：

一维定常绝热流参数间的基本关系式

对于一维可压定常绝热流，利用上述方程组可以

求出各流动参数沿流线（或沿管轴线）的变化，但需要给定参考点上的参数值。常用参考点为驻点或临界点。 Q2：为什么？ 1. 使用驻点参数的关系式驻点：速度为0的点，动能为0，焓达到最大，称为总焓、驻点焓或滞止焓。温度最高，称为驻点温度或滞止温度，压强达到最大，称为总压。驻点焓： h 

v2 a2 a   0 2  1  1

T

cp 

v2  T0 2c p

 R,  1

c 2  RT

 1 2 T0 v2  1  1 Ma T 2c pT 2

由于在高速气流中直接测量静温相当困难，而总温T0容易测量，故通常通过测量T0和Ma来计算当地静温T。上式从绝热过程能量方程出发得到，可逆和不可能过程都适用。

v2  h0 2

h  c pT

T 为当地静温。

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驻点温度： T 

v2  T0 2c p

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在一维等熵流动（绝热无粘、可逆）中，总温保持不变，总压沿着流线不变，并由状态方程得，驻点密度也不变：

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2. 使用临界参考量的参数关系式在一维绝热中，沿流线某点的流速恰好等于当地的声速时（Ma=1），称该点为临界点或临界截面，该处的参数称为临界参数。因为：所以：

 1 p0  (1  Ma 2 )  1 p 2

0  1  (1  Ma ) 2 

1 2  1



p2   2   T2         p1   1   T1 



 /( 1)

T0  1 2  1 Ma T 2

a  RT

可见，温度、压强、密度总静参数比都与Ma数有关，为使用方便，将空气一维等熵流动各参数与驻点参数之比与马赫数的关系列成表格，便于应用。见教材附录表A.6。 Attention：在Ma

T*  a*  2  0.833    T0  a   1

( 2  1 )  0.528  1

等熵流动： p*



(  1.4)

* 2  1 ( )  0.634 0  1

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根据

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根据： a* 

T*  a*  2     0.833 T0  a   1

 1

有

2 a*  a0 ，  1

一维绝热流动中，临界声速a*代表总能量，是一个定值。所以，可以将临界声速a*（非当地声速）取为参考速度。定义，速度系数：  

说明临界声速也可以代表一维绝热流动的总能量。能量方程变为：

v a*

速度只与与 λ 成正比。

a   1 a* v2 a2   0  2  1  1  1 2

λ 与Ma的关系：

Ma 2  v 2 v 2 a* a0 2 T0     2   a 2 a*2 a0 2 a 2  1 T

v2 (  1) Ma 2  2 2  (  1) Ma 2 a*

2 2

在气流参数的计算中，因为沿流线各处温度不同，声速不同，按 Ma数

计算流速或按流速计算Ma数，都要先计算声速，有时并不方便。

T0  1 2  1 Ma T 2

2 

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2 

v2 (  1) Ma 2  2 2  (  1) Ma 2 a*

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则一维等熵流动静、总参数之比与速度系数之间的关系为：

2 2   1 2 Ma   1 2  1  1

 1 2 T  1    ( )  1 T0   1 2  1 p  (1   )   ( )  1 p0



Ma  0,   0 Ma  1,   1

λ与Ma的关系： Ma  1,   1

Q3：都代表什么流动？

   1 2  1  (1   )   ( ) 0  1  ( ),  ( ),  ( )

T0  1 2 Ma  1 T 2 2 2   1 Ma 2   1 2 1   1

p2   2   T2         p1   1   T1 



 /( 1)

Ma  1,   1 Ma   ,  

随  的变化，一些教材或手册也将它们之

 1  6 (  1.4)  1

间的关系列表给出，便于应用。

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3. 熵变与总压之间的关系 T p T p s  s2  s1  c p ln 2  R ln 2  cv ln 2  (  1)cv ln 2 T1 p1 T1 p1

T  p   (  1)cv ln ( 2 )  1 ( 1 ) p2    T1 

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4.3 马赫波与膨胀波

微弱扰动的传播区—马赫锥

超声速流场和亚声速流场有许多质的差别，其中一个很重要的方面就是小扰动的传播范围，或者说扰动的影响区不同。

总静压比：

p01  T01     p1   T1 

 /(  1)

p02  T02     p2   T2 

 /( 1)

1. v=0，流体静止，扰动波面为同心球面。扰动影响全流场。

总温不变： T01  T02 得： s  (  1)cv ln(

p02 说明：熵变与总压变化有关。 ) p01 绝热可逆过程：总压不变，熵不变，

即等熵过程；绝热不可逆过程：总压减小，熵增大。

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2. v

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3. v > a，Ma>1，超声速流动，前 i 秒的球面波沿来流方向移动，但因流速高于扰动传播速度，扰源的影响不能达到O点（扰源）的上游，仅局限在所有扰动球面波的包络面——圆锥面内。圆锥面称为马赫锥。锥的边界线称为马赫线。马赫锥的半顶角：左伸特征线

  arcsin

1 Ma

tan  

Ma  1

右伸特征线

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数学上，马赫线称为特征线，是指流动参数的导数

有突跃的线。 v v 0  0 , 马赫线上法线方向: 马赫线外：  

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马赫波

超声速气流遇到微小扰动时，气流方向要改变，流动参数也有微小变化，在马赫线的法线方向参数发生变化。例：超声速气流经过AOB面，在O点有微小折角。速度方向偏转，经过马赫线参数如何变化？将马赫线前后的速度分解为切向τ 和法向n 的速度。切向速度不变：

4. v=a，Ma=1，声速流动，此时马赫锥面张开为一的铅垂面，此面右侧为扰源的影响区。

  900

结论：声速和超声速流动中，气流在到达马赫线之前，感受不到扰动，也不会感受到扰源的存在。

v  v ' v  v cos 

v '  (v  dv) cos(   d )

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v cos   (v  dv) cos(  d )

展开，忽略二阶小量：

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结论：

1. 超声速气流经一小的正偏转角 dθ，速度增大；（气流外折，流通断面扩大）压强减小；密度减小；温度降低。 2. 超声速气流经一小的负偏转角 dθ，速度减小；（气流内折，流通断面缩小）压强增大；密度增大；温度通过。

dv  tan   d  v

d Ma 2  1

气体发生膨胀膨胀马赫波

表示超声速气流通过马赫波，气流速度变化 dv 与方向偏转 dθ 之间的微分关系式。因为忽略了粘性，气流偏转角又为小量，可以看做等熵流动。其它量的变化关系如下：

气体发生压缩压缩马赫波

dp Ma 2 d  p Ma 2  1

d





Ma 2 Ma 2  1

d

dT (  1) Ma 2  d T Ma 2  1

马赫波后，压强系数为： C p 

( p  dp )  p 2  d 1 2 Ma 2  1 v 2

3. 超声速气流经一有限偏转角 θ，也会发生膨胀或压缩，但流动参数与偏转角之间的关系需要进一步专门确定。

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1  arcsin

1 1   n  arcsin Ma1 Man

说明：后产生的每一道膨胀波相对于波前气流的倾斜角均比前面的小，所以膨胀波不可以彼此相交。

膨胀波

膨胀：气流密度不断下降、速度不断提高的过程。气流经过一个凸壁面，可以看成气流连续经过无数多个小外折角，每一个折点都会产生一道膨胀马赫波，气流每经过一道膨胀波，就被加速一次。

1   2     n

Ma 2  Ma1  dMa1 Ma 3  Ma 2  dMa 2 Ma 4  Ma 3  dMa 3

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如果O1、O2、O3无限靠近，则外折角dθ1、dθ2、 dθ3…累积成为一有限折角θ，马赫线O1L1、O2L2、O3L3…集中成为一扇形膨胀波束，统称为膨胀波。从O1 点发出的每一条膨胀马赫波使气流逐渐偏转、加速、膨胀，马赫数

不断增大。由于每一次变化都是微小的，连续的，所以整个偏转、变化过程可以看成是等熵过程。对于一定的来流，波后马赫数 Ma2 与偏转角 θ 直接相关。

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超声速气流经过外折角θ后的参数计算

马赫数变化与气流偏转角的微分关系式：

v  a  Ma 

dv dMa da   v Ma a

a 2  RT 

da dT  a 2T

dMa dT dv   Ma 2T v dv d

v  Ma 2  1

dT (  1) Ma 2 d  T Ma 2  1

dMa  Ma

1

 1

Ma 2 2 d Ma 2  1

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 

Ma2 Ma1

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由于按公式计算Ma2要用迭代求解方法，直接计算不方便，气动手册中常根据以上公式列出空气（γ=1.4）超声速膨胀加速数值表，方便工程应用。膨胀波的相关特性及计算为喷管等的设计提供了理论基础。

(1 

 1

Ma  1

dMa

Ma 2 ) Ma

 

  1   1 2 2 arctan ( Ma2  1)  arctan Ma2  1   1   1 

  1   1 2 2 arctan ( Ma1  1)  arctan Ma1  1   1   1 

膨胀波后参数计算步骤： 1）根据 Ma1和 θ，按上式计算出加速后的马赫数 Ma2； 2）根据Ma2查附录表A.6，获得T2/T20、p2/p20、ρ2/ρ20； 3）膨胀过程是等熵流动，T20=T10、p20=p10、ρ20=ρ10； 4）最后求得气流偏转θ角后，膨胀后的静参数T2、p2、ρ2等。

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4.4 正激波（Normal Shock Wave）

激波特征

管内正激波的形成

  c1  c1  c1

1）激波的强度很大，激波面扫过，压强由p1突跃为p2； 2）激波是一个极其薄的区域，厚度很小，大约相当于分子平均自由程的大小，标准状态下，空气分子的平均自由程约为10－4 mm。 3）气流经过激波发生激烈的压缩，压缩过程很迅速，所以可以看作是绝热压缩过程，但压缩过程出现强烈的摩擦和能量损失，参数的变化不再是等熵过程，前面的等熵过程参数之间的关系不再适用于激波前、后参数变化的计算了。 4）激波理论就是解决激波前、后参数变化的计算问题。

突跃压缩面S －S面，称为激波。激波扫过，气流就突然受到压缩。因 S－S面与流向垂直，所以称为正激波。

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激波控制方程组

p11 v1 T1

p22 T2

普朗特激波公式联立求解上述方程组，得到波

p11 v1 T1

p22 T2

连续方程动量方程

1v1 A   2 v2 A

前、波后速度的关系——普朗特激波公式。

p1 A  p2 A   2 v2 Av2  1v1 Av1

p1  p2   2 v2  1v1

2 2 2

不同于伯努利方程！

2 2

a* 1 v1  v2

波前、波后速度系数的关系

：

能量方程：

  1 a* v1 a v a  1 a 2  2  2  1 2  1  1 2

p1 p 状态方程：  2 1T1  2T2

1  2  1

正激波前为超声速，波后一定为亚声速。波前速度系数越大、波后速度系数越小。

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激波前后密度的关系：

正激波前后流动参数的关系式

(  1) Ma 2 2  (  1) Ma 2

速度系数与马赫数的关系： 2 

1v1 A   2 v2 A

v1 1 2   1 v 2 2

2  2 v1 (  1) Ma1   2 1 v2 (  1) Ma1  2

1  2  1

激波前后马赫数的关系：

Ma2 

1

 1

Ma1

激波前后总温不变： T02  T01

Ma12 

 1

Ma1  1, Ma1  ,

Ma2  1 Ma2 

 1 2 1 Ma1 2   1 Ma 2  T2 T2 T01 2  (  1) Ma1 2 2 2    ( Ma1  ) 2 2  1  1  1 T1 T02 T1 (  1) Ma1 Ma12  2

 1 2

激波前后温度的关系：

T0  1 2 Ma  1 T 2

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激波前后压强关系：

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激波前后总压的变化：

p2  2 T2  1 2 2 Ma1     p1 1 T1   1  1

激波强度P： P 



 RT

s  (  1)cv ln(

p02 ) p01

 2    (  1) Ma1  2   2   2 s  cv ln 1  ( Ma1  1)    2  1 (  1) Ma1        

 1

2 p p2  p1 2   ( Ma1  1)  1 p1 p1



Ma1  1,

p  0 ，Δp越大，激波越强。

p02  2  1  2 Ma1   p01   1    1 

 1

2     1 Ma1   1   2 1 Ma 2      1  



激波前后熵的变化：

 2  p     (  1) Ma1  2   2   2 s  cv ln  2 ( 1 )   cv ln 1  ( Ma1  1)    2    1 p  (  1 ) Ma    1 2  1      

激波后静压强突跃增大，但总压减小，总压的减小值称为激波阻力，简称波阻。波阻将有用的动能转变为无用的摩擦热。波阻随波前马赫数的增大而增大。注意：膨胀波使气流加速是逐渐完成的，不计能量耗散，总压保持不变。

激波前后，熵增大，因为激波层内非常大的速度梯度和强烈压缩导致强烈的摩擦耗散。

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激波前后参数变化结论：波前马赫数越大，1）激波强度P越大； 2）波后气流速度越低； 3）静压p2/p1比越大； 4）温度比T2/T1越大； 5）密度比ρ2/ρ1越大，但最终趋于一定值； 6）总压比p20/p10越小，但最终趋于一定值； 6）熵增越大； 7）波阻越大。为方便应用，激波前后参数变化随来流马赫数的变

化列表给出，见附录表A.5。减小波阻是研究超声速流动问题的主要任务。在可能发生正激波的位置，尽量减小波前马赫数，可以减小波阻。

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兰金—许贡纽方程

消去其中的 Ma1 ，得到波前、波后压强比和密度比的关系，称为激波突跃绝热（计能量耗散）关系式，或兰金——许贡纽关系式。

p2  1 2 2  Ma1  p1   1  1

2 2 (  1) Ma1  2 1 (  1) Ma1  2

p2   1  2 p  1  1 1   1  p2  1   1 p1

p2   1  ， 2  6 p1 1  1



 1.4 

与等熵（绝热无能量耗散）过程的压强、密度关系式完全不同。

 2  p2      1   p1 

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兰金—许贡纽关系式 + 完全气体状态方程得到激波前后温度变化与压强变化的关系。相同p2/p1下，说明激波波后温度比等熵压缩波波后温度升高更多。因为激波层的摩擦耗散热进一步加热了气体。

在压强比较小时，二者几乎一致，说明计算弱激波参数变化也可以近似按等熵过程处理。

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空气动力学 Aerodynamics

v 2  a 2  Ma 2 

公式应用举例——可压缩气流流速的测量

不可压流毕托管测速：

v  2( p0  p) / 

 1   p

2a 2  p0  1/    1 ( ) 

当Ma>0.32时，整个过程密度的相对变化大于5%，需要考虑密度的变化。仍然可以用毕托管测气流速度，但计算公式要变。亚声速可压流毕托管测速：

可见，单获得总压、静压还不能得到速度，需要同时获得当地气流声速。超声速可压流毕托管测速：毕托管正前产生一道弓形激波，中间相当于正激波。毕托管测出的总压是激波后的总压p20 ，小于波前总压p10。

p0   1 2  1 Ma )  (1  2 p



2  p0  1/   ( ) Ma   1  1   p 

算出速度

p02 p02 p2   p1 p2 p1

空气动力学 Aerodynamics

p02  1 2  (1  Ma2 )  1 p2 2



Ma2 

1

 1

Ma1 2

空气动力学 Aerodynamics 4.5 斜激波（Oblique Shock Wave）

Ma1 

 1

斜激波定义

气流经过激波面，速度大小、方向都要改变的激波。

p2  1 2 2 Ma1   p1   1  1

 (  1) 2 Ma12  p02  f ( Ma1 )    2 p1  4Ma1  2(  1) 

称为雷利毕托管公式。

 /( 1)

1    2Ma1  1

超音速气流流过凹壁（壁面内折）或楔形物体时，气流受到压缩，在折转点会连续不断地发出压缩马赫波，这些弱压缩波聚集而成的强压缩波即斜激波。

可以迭代求出Ma1

，较难。一般在手册中列表（见附录表A.5）给出它们的对应关系。获得Ma数后，与当地声速一道可以确定出气流速度。

51 52

空气动力学 Aerodynamics

v2t  v1t

斜激波流谱

1n  2 n  1

但：

1   2  1

激波斜角β：激波面与波前气流方向的夹角。

  90



的斜激波为正激波。

气流折角δ：波后气流偏离波前气流方向的夹角。斜激波波前、波后气流速度分解：切向速度不变，只有法向分速发生突跃。斜激波相当于波前速度为法向分速 v1n 的正激波。

结论： 1）正激波的关系式可以用于斜激波的波前、波后参数的计算。 2）计算时注意替换：在正激波的所有公式中，将v1替换为v1n，将v2替换为v2n，将Ma1替换为Ma1n，将Ma2替换为 Ma2n。 Ma1n  Ma1  sin  Ma2 n  Ma2  sin(    )

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空气动力学 Aerodynamics

斜激波前后温度关系：

斜激波波前、波后参数关系式

2 2

斜激波前后马赫数关系： Ma2 sin (    ) 

1

 1

Ma1 sin 2 

Ma12 sin 2  

 1

 1 T2 2  (  1) Ma1 sin 2  2 2 Ma1 sin 2   )  ( 2  1 T1 (  1) Ma1 sin 2    1

斜激波前后总压比：

2 2 (  1) Ma1 sin 2   斜激波前后密度关系： 2 1 (  1) Ma1 sin 2   2



 p02  2 2  1 Ma1 sin 2   1  p01    1 







 1

 (  1) Ma12 sin 2    1   2 2  (  1) Ma1 sin   2 



斜激波前后压强关系：斜激波强度P： P 

p2  1 2 2 Ma1 sin 2    p1   1  1

p p2  p1 2 2   ( Ma1 sin 2   1) p1 p1  1

以上关系式说明，气流经过斜激波的参数变化除与波前马赫数有关外，还与激波斜角β有关，而激波斜角又取决于波前马赫数Ma1以及气流折角δ 。

空气动力学 Aerodynamics

β、 Ma1 、δ的关系

空气动力学 Aerodynamics

激波图线

1）由图可见，对于给定Ma1和δ的情况，都有两个不同的β。 2）β大者，称为强激波； β小者，称为弱激波。根据实验观察，方向决定（壁面内折，楔形物体绕流）的斜激波，永远是只出现弱激波，不出现强波。弱激波后一般还是超声速。

v2t  v1t v1n  v1t  tan  v2 n  v2t  tan(    )

1v1n   2v2 n

tan(    ) 1 (  1) Ma1 sin 2   1   2 tan  2 (  1) Ma1 sin 2 

tan   Ma1 sin 2   1   2  1 2 1  Ma1  2  sin   tan    

可见，β、 Ma1 、δ的关系以及斜激波波前、波后参数关系计算式都比较复杂，为方便应用，也可

以绘成图线，称为激波图线。

空气动力学 Aerodynamics

3）δ=0，对应： β=0的是马赫波， β=90°的是正激波。 4）给定Ma1，都存在一个最大气流折角 δmax。 5）不同Ma1下的最大气流折角连成虚线，虚线以下的区域为弱激波。后面的讨论限于弱激波。

空气动力学 Aerodynamics

6）超过δmax ， β、 Ma1 、δ关系式无解，产生一道脱离物体或壁面的激波——脱体激波（detached shock wave） 7）亦可以说，一气流折角，对应一Ma1max， Ma1

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空气动力学 Aerodynamics

结论： 1. δ不变，随Ma1增大，1）β减小，但Ma1 n增大； 2）波后马赫数Ma2增大； 3）静压p2/p1比越大； 4）总比压p20/p10越小； 5）激波强度增大、波阻增大。为减小波阻，在可能发生激波的位置，尽量减小波前马赫数。 2. Ma1不变，随δ增大，1）β增大，Ma1 n增大； 2）波后马赫数Ma2增大； 3）静压p2/p1比越大； 4）总比压p20/p10越小； 5）激波强度越大、波阻越大。为减小波阻，超声速翼型尖头前缘楔角不能大。

空气动力学 Aerodynamics

3）工程实际中，还会因为压强变化产生激波，如超声速喷管出口，出口前气流压强p1低于环境气压pa ，则在出口产生几道激波，增压到环境压强。此时激波强度取决于压强比。

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脱体激波

4.6 喷管（Oblique Shock Wave）

等熵管流的速度与截面积关系

dp d dp

一维流动连续性方程： vA  常数声速公式：

超声速气流在绕过顶角较大的楔形（锥形）物体或钝头物体时，物体前面要产生脱体激波。来流Ma数越大，脱体激波越靠近物体。

d



dv v



dv dA  0 v A

a2 

d

伯努利方程： vdv  



  Ma 2



Ma  1 时，dA  0, dV  0 dA  0, dV  0 Ma  1 时，dA  0, dv  0 dA  0, dv  0 Ma  1 时， dA  0, A 达临界 A

( Ma 2  1)

所以，超声速机翼要采用尖前缘、厚度小、大后掠机翼，以避免产生脱体激波、减小激波斜角，以减小机翼绕流波阻。

dv dA  v A

空气动力学 Aerodynamics

dv dA ( Ma  1)  v A

空气动力学 Aerodynamics

亚声速气流要持续增速到超声速状态，要经过一先先收缩后扩张的管道，中间截面最小，这种管道称为拉瓦尔喷管。

马赫数

加速

减速扩压

喷管是喷气飞机、火箭发动机中的一个重要的部件。喷管设计在空气动力学手册中有专门篇幅介绍。喷管出口压强刚好

等于环境压强（背压），喷管工作处于设计状态；

喷管出口压强大于环境压强，喷管出口发生膨胀波，压力降为环境压强；喷管出口压强小于环境压强，喷管出口产生激波，

Ma>1(超声速) 渐扩喷管渐缩扩压管

压强升高到环境压强。

空气动力学 Aerodynamics 本章基本要求

 掌握声速、马赫数、马赫波、膨胀波、激波的概念；  掌握驻点、临界点的含义，等熵流动总静参数比随马赫数的变化规律。  超声速气流中，什么时候产生膨胀波？什么时候产生激波？  膨胀波、激波波前、波后参数的变化规律（定性）。  什么叫正激波、斜激波、激波斜角、气流折角？  什么叫激波强度？激波强度与那些因素有关？  正激波前后速度系数之间的关系。  什么叫波阻？如何减小波阻？  什么叫脱体激波，脱体激波产生原因及后果是什么？  亚声速、超声速气流中，速度随截面积变化的关系如何？ 71

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空气动力学 Aerodynamics

第4章高速可压无粘流动

武俊梅

目

录

4.1 热力学基本概念及关系 4.2 一维等熵流动 4.3 马赫波与膨胀波 4.4 正激波 4.5 斜激波 4.6 喷管

空气动力学 Aerodynamics

3 4

4.1 热力学基本概念及关系

可压缩流动的基本特征:

空气动力学 Aerodynamics

定容比热：

空气动力学 Aerodynamics

内能 E、e

定压比热：

cv  cp  1 R  1

内能 = 内动能 + 内位能

定容比热与定压比热的关系：

梅耶公式： c p  c v  R 比热比：

e  f (T ,  )

空气：



cp cv

  1

  1.4

完全气体：

e  f (T )  cvT

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空气动力学 Aerodynamics

焓 H、h

开口系统——有物质流进、流出的热力系统。它与外界之间随物质流传递的能量包括：

空气动力学 Aerodynamics

1 p e总  e  v 2  gz  2 

定义： h  e 



ds  (

q

) re

kJ/kgK

焓：表示随流动工质传递的总能量中，取决于工质微观热力状态

的那部分。完全气体：

Attention：熵也是一个状态参数！

h c vT  RT  c pT

7 8

空气动力学 Aerodynamics

二. 热力

学第一定律热力系统，能量守恒与转化关系： Q  E  W

dt 时间段内，1kg工质完成的微元过程：

空气动力学 Aerodynamics

系统由状态1（p1,ρ1,T1）变化到状态2 （p2,ρ2,T2），熵的变化：

s  s2  s1  cv ln s  s2  s1  c p ln

T2   R ln 1 T1 2 T2 p  R ln 2 T1 p1

q  de  w

可逆过程：q  Tds

w  pdv  pd ( ) 

Tds  q  de  d ( )  p 1

三. 热力学第二定律

孤立系统：与外界没有任何热量、功、质量的交换的系统。



dp  dh 



可逆过程： dsiso  0 不可逆过程： dsiso  0

完全气体：

de  cv dT

dh  c p dT

1 1 Tds  q  cvT  pd ( )  c pT  dp



任何实际过程都是不可逆过程，它只能沿着孤立系统熵增加的方向进行，称为热力学第二定律，也称为熵增原理。

9 10

空气动力学 Aerodynamics

dsiso  0

Q1：熵增大的原因？

例题1:

空气动力学 Aerodynamics

Boeing747飞机在10km高空飞行，机翼上某点压强p=1.92×104pa 求：该点的温度T。解：10km高空大气参数为：p∞=0.265×105pa，T∞=223.3K 根据等熵过程方程：

 /( 1)

p2   2   T2         p1   1   T1 



 /(  1)



 常数

p T      p T   p  T  T  p    

(  1) / 

等熵过程过程方程：

s  s2  s1  cv ln T2   R ln 1  0 T1 2 T2 T1

    2  2 

 1

T2 p2 1   T1 p1  2

 1.92   223.3     2.65 

0.4 / 1.4

 203.7 K

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空气动力学 Aerodynamics

h  c pT

当地声速：

4.2 一维等熵流动

一维定常绝热流动的控制方程

cp 

 R  1

h

可压定常流比不可压流复杂，流动参数增加为4个：速度、压强、密度和温度。需要四个方程才能求解。对于一维流动：

a  RT

 1

连续性方程伯努利方程

vA  常数

v2 dp   常数 2   h

绝热稳定流动能量方程

1 1 d (V 2 )  dp  0  2

v2  常数 2

v2 a2   常数 2  1

绝热定常流动能量方程状态方程

dh 



dp  0



 RT

13 14

空气动力学 Aerodynamics

驻点声速：总静温之比：

一维定常绝热流参数间的基本关系式

对于一维可压定常绝热流，利用上述方程组可以

v2 a2 a   0 2  1  1

T

cp 

v2  T0 2c p

 R,  1

c 2  RT

 1 2 T0 v2  1  1 Ma T 2c pT 2

v2  h0 2

h  c pT

T 为当地静温。

15 16

驻点温度： T 

v2  T0 2c p

空气动力学 Aerodynamics

在一维等熵流动（绝热无粘、可逆）中，总温保持不变，总压沿着流线不变，并由状态方程得，驻点密度也不变：

空气动力学 Aerodynamics

 1 p0  (1  Ma 2 )  1 p 2

0  1  (1  Ma ) 2 

1 2  1



p2   2   T2         p1   1   T1 



 /( 1)

T0  1 2  1 Ma T 2

a  RT

T*  a*  2  0.833    T0  a   1

( 2  1 )  0.528  1

等熵流动： p*



(  1.4)

* 2  1 ( )  0.634 0  1

2012/3/20

空气动力学 Aerodynamics

根据

空气动力学 Aerodynamics

根据： a* 

T*  a*  2     0.833 T0  a   1

 1

有

2 a*  a0 ，  1

一维绝热流动中，临界声速a*代表总能量，是一个定值。所以，可以将临界声速a*（非当地声速）取为参考速度。定义，速度系数：  

说明临界声速也可以代表一维绝热流动的总能量。能量方程变为：

v a*

速度只与与 λ 成正比。

a   1 a* v2 a2   0  2  1  1  1 2

λ 与Ma的关系：

Ma 2  v 2 v 2 a* a0 2 T0     2   a 2 a*2 a0 2 a 2  1 T

v2 (  1) Ma 2  2 2  (  1) Ma 2 a*

2 2

在气流参数的计算中，因为沿流线各处温度不同，声速不同，按 Ma数

计算流速或按流速计算Ma数，都要先计算声速，有时并不方便。

T0  1 2  1 Ma T 2

2 

空气动力学 Aerodynamics

2 

v2 (  1) Ma 2  2 2  (  1) Ma 2 a*

空气动力学 Aerodynamics

则一维等熵流动静、总参数之比与速度系数之间的关系为：

2 2   1 2 Ma   1 2  1  1

 1 2 T  1    ( )  1 T0   1 2  1 p  (1   )   ( )  1 p0



Ma  0,   0 Ma  1,   1

λ与Ma的关系： Ma  1,   1

Q3：都代表什么流动？

   1 2  1  (1   )   ( ) 0  1  ( ),  ( ),  ( )

T0  1 2 Ma  1 T 2 2 2   1 Ma 2   1 2 1   1

p2   2   T2         p1   1   T1 



 /( 1)

Ma  1,   1 Ma   ,  

随  的变化，一些教材或手册也将它们之

 1  6 (  1.4)  1

间的关系列表给出，便于应用。

空气动力学 Aerodynamics

3. 熵变与总压之间的关系 T p T p s  s2  s1  c p ln 2  R ln 2  cv ln 2  (  1)cv ln 2 T1 p1 T1 p1

T  p   (  1)cv ln ( 2 )  1 ( 1 ) p2    T1 

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4.3 马赫波与膨胀波

微弱扰动的传播区—马赫锥

超声速流场和亚声速流场有许多质的差别，其中一个很重要的方面就是小扰动的传播范围，或者说扰动的影响区不同。

总静压比：

p01  T01     p1   T1 

 /(  1)

p02  T02     p2   T2 

 /( 1)

1. v=0，流体静止，扰动波面为同心球面。扰动影响全流场。

总温不变： T01  T02 得： s  (  1)cv ln(

p02 说明：熵变与总压变化有关。 ) p01 绝热可逆过程：总压不变，熵不变，

即等熵过程；绝热不可逆过程：总压减小，熵增大。

23 24

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2. v

空气动力学 Aerodynamics

  arcsin

1 Ma

tan  

Ma  1

右伸特征线

空气动力学 Aerodynamics

数学上，马赫线称为特征线，是指流动参数的导数

有突跃的线。 v v 0  0 , 马赫线上法线方向: 马赫线外：  

空气动力学 Aerodynamics

马赫波

4. v=a，Ma=1，声速流动，此时马赫锥面张开为一的铅垂面，此面右侧为扰源的影响区。

  900

结论：声速和超声速流动中，气流在到达马赫线之前，感受不到扰动，也不会感受到扰源的存在。

v  v ' v  v cos 

v '  (v  dv) cos(   d )

空气动力学 Aerodynamics

v cos   (v  dv) cos(  d )

展开，忽略二阶小量：

空气动力学 Aerodynamics

结论：

dv  tan   d  v

d Ma 2  1

气体发生膨胀膨胀马赫波

气体发生压缩压缩马赫波

dp Ma 2 d  p Ma 2  1

d





Ma 2 Ma 2  1

d

dT (  1) Ma 2  d T Ma 2  1

马赫波后，压强系数为： C p 

( p  dp )  p 2  d 1 2 Ma 2  1 v 2

3. 超声速气流经一有限偏转角 θ，也会发生膨胀或压缩，但流动参数与偏转角之间的关系需要进一步专门确定。

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空气动力学 Aerodynamics

1  arcsin

1 1   n  arcsin Ma1 Man

说明：后产生的每一道膨胀波相对于波前气流的倾斜角均比前面的小，所以膨胀波不可以彼此相交。

膨胀波

1   2     n

Ma 2  Ma1  dMa1 Ma 3  Ma 2  dMa 2 Ma 4  Ma 3  dMa 3

空气动力学 Aerodynamics

超声速气流经过外折角θ后的参数计算

马赫数变化与气流偏转角的微分关系式：

v  a  Ma 

dv dMa da   v Ma a

a 2  RT 

da dT  a 2T

dMa dT dv   Ma 2T v dv d

v  Ma 2  1

dT (  1) Ma 2 d  T Ma 2  1

dMa  Ma

1

 1

Ma 2 2 d Ma 2  1

空气动力学 Aerodynamics

 

Ma2 Ma1

空气动力学 Aerodynamics

(1 

 1

Ma  1

dMa

Ma 2 ) Ma

 

  1   1 2 2 arctan ( Ma2  1)  arctan Ma2  1   1   1 

  1   1 2 2 arctan ( Ma1  1)  arctan Ma1  1   1   1 

35 36

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空气动力学 Aerodynamics

4.4 正激波（Normal Shock Wave）

激波特征

管内正激波的形成

  c1  c1  c1

突跃压缩面S －S面，称为激波。激波扫过，气流就突然受到压缩。因 S－S面与流向垂直，所以称为正激波。

空气动力学 Aerodynamics

激波控制方程组

p11 v1 T1

p22 T2

普朗特激波公式联立求解上述方程组，得到波

p11 v1 T1

p22 T2

连续方程动量方程

1v1 A   2 v2 A

前、波后速度的关系——普朗特激波公式。

p1 A  p2 A   2 v2 Av2  1v1 Av1

p1  p2   2 v2  1v1

2 2 2

不同于伯努利方程！

2 2

a* 1 v1  v2

波前、波后速度系数的关系

：

能量方程：

  1 a* v1 a v a  1 a 2  2  2  1 2  1  1 2

p1 p 状态方程：  2 1T1  2T2

1  2  1

正激波前为超声速，波后一定为亚声速。波前速度系数越大、波后速度系数越小。

空气动力学 Aerodynamics

激波前后密度的关系：

正激波前后流动参数的关系式

(  1) Ma 2 2  (  1) Ma 2

速度系数与马赫数的关系： 2 

1v1 A   2 v2 A

v1 1 2   1 v 2 2

2  2 v1 (  1) Ma1   2 1 v2 (  1) Ma1  2

1  2  1

激波前后马赫数的关系：

Ma2 

1

 1

Ma1

激波前后总温不变： T02  T01

Ma12 

 1

Ma1  1, Ma1  ,

Ma2  1 Ma2 

 1 2 1 Ma1 2   1 Ma 2  T2 T2 T01 2  (  1) Ma1 2 2 2    ( Ma1  ) 2 2  1  1  1 T1 T02 T1 (  1) Ma1 Ma12  2

 1 2

激波前后温度的关系：

T0  1 2 Ma  1 T 2

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激波前后压强关系：

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激波前后总压的变化：

p2  2 T2  1 2 2 Ma1     p1 1 T1   1  1

激波强度P： P 



 RT

s  (  1)cv ln(

p02 ) p01

 2    (  1) Ma1  2   2   2 s  cv ln 1  ( Ma1  1)    2  1 (  1) Ma1        

 1

2 p p2  p1 2   ( Ma1  1)  1 p1 p1



Ma1  1,

p  0 ，Δp越大，激波越强。

p02  2  1  2 Ma1   p01   1    1 

 1

2     1 Ma1   1   2 1 Ma 2      1  



激波前后熵的变化：

激波前后，熵增大，因为激波层内非常大的速度梯度和强烈压缩导致强烈的摩擦耗散。

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化列表给出，见附录表A.5。减小波阻是研究超声速流动问题的主要任务。在可能发生正激波的位置，尽量减小波前马赫数，可以减小波阻。

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兰金—许贡纽方程

消去其中的 Ma1 ，得到波前、波后压强比和密度比的关系，称为激波突跃绝热（计能量耗散）关系式，或兰金——许贡纽关系式。

p2  1 2 2  Ma1  p1   1  1

2 2 (  1) Ma1  2 1 (  1) Ma1  2

p2   1  2 p  1  1 1   1  p2  1   1 p1

p2   1  ， 2  6 p1 1  1



 1.4 

与等熵（绝热无能量耗散）过程的压强、密度关系式完全不同。

 2  p2      1   p1 

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在压强比较小时，二者几乎一致，说明计算弱激波参数变化也可以近似按等熵过程处理。

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v 2  a 2  Ma 2 

公式应用举例——可压缩气流流速的测量

不可压流毕托管测速：

v  2( p0  p) / 

 1   p

2a 2  p0  1/    1 ( ) 

当Ma>0.32时，整个过程密度的相对变化大于5%，需要考虑密度的变化。仍然可以用毕托管测气流速度，但计算公式要变。亚声速可压流毕托管测速：

p0   1 2  1 Ma )  (1  2 p



2  p0  1/   ( ) Ma   1  1   p 

算出速度

p02 p02 p2   p1 p2 p1

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p02  1 2  (1  Ma2 )  1 p2 2



Ma2 

1

 1

Ma1 2

空气动力学 Aerodynamics 4.5 斜激波（Oblique Shock Wave）

Ma1 

 1

斜激波定义

气流经过激波面，速度大小、方向都要改变的激波。

p2  1 2 2 Ma1   p1   1  1

 (  1) 2 Ma12  p02  f ( Ma1 )    2 p1  4Ma1  2(  1) 

称为雷利毕托管公式。

 /( 1)

1    2Ma1  1

可以迭代求出Ma1

，较难。一般在手册中列表（见附录表A.5）给出它们的对应关系。获得Ma数后，与当地声速一道可以确定出气流速度。

51 52

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v2t  v1t

斜激波流谱

1n  2 n  1

但：

1   2  1

激波斜角β：激波面与波前气流方向的夹角。

  90



的斜激波为正激波。

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斜激波前后温度关系：

斜激波波前、波后参数关系式

2 2

斜激波前后马赫数关系： Ma2 sin (    ) 

1

 1

Ma1 sin 2 

Ma12 sin 2  

 1

 1 T2 2  (  1) Ma1 sin 2  2 2 Ma1 sin 2   )  ( 2  1 T1 (  1) Ma1 sin 2    1

斜激波前后总压比：

2 2 (  1) Ma1 sin 2   斜激波前后密度关系： 2 1 (  1) Ma1 sin 2   2



 p02  2 2  1 Ma1 sin 2   1  p01    1 







 1

 (  1) Ma12 sin 2    1   2 2  (  1) Ma1 sin   2 



斜激波前后压强关系：斜激波强度P： P 

p2  1 2 2 Ma1 sin 2    p1   1  1

p p2  p1 2 2   ( Ma1 sin 2   1) p1 p1  1

以上关系式说明，气流经过斜激波的参数变化除与波前马赫数有关外，还与激波斜角β有关，而激波斜角又取决于波前马赫数Ma1以及气流折角δ 。

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β、 Ma1 、δ的关系

空气动力学 Aerodynamics

激波图线

v2t  v1t v1n  v1t  tan  v2 n  v2t  tan(    )

1v1n   2v2 n

tan(    ) 1 (  1) Ma1 sin 2   1   2 tan  2 (  1) Ma1 sin 2 

tan   Ma1 sin 2   1   2  1 2 1  Ma1  2  sin   tan    

可见，β、 Ma1 、δ的关系以及斜激波波前、波后参数关系计算式都比较复杂，为方便应用，也可

以绘成图线，称为激波图线。

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6）超过δmax ， β、 Ma1 、δ关系式无解，产生一道脱离物体或壁面的激波——脱体激波（detached shock wave） 7）亦可以说，一气流折角，对应一Ma1max， Ma1

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脱体激波

4.6 喷管（Oblique Shock Wave）

等熵管流的速度与截面积关系

dp d dp

一维流动连续性方程： vA  常数声速公式：

超声速气流在绕过顶角较大的楔形（锥形）物体或钝头物体时，物体前面要产生脱体激波。来流Ma数越大，脱体激波越靠近物体。

d



dv v



dv dA  0 v A

a2 

d

伯努利方程： vdv  



  Ma 2



Ma  1 时，dA  0, dV  0 dA  0, dV  0 Ma  1 时，dA  0, dv  0 dA  0, dv  0 Ma  1 时， dA  0, A 达临界 A

( Ma 2  1)

所以，超声速机翼要采用尖前缘、厚度小、大后掠机翼，以避免产生脱体激波、减小激波斜角，以减小机翼绕流波阻。

dv dA  v A

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dv dA ( Ma  1)  v A

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亚声速气流要持续增速到超声速状态，要经过一先先收缩后扩张的管道，中间截面最小，这种管道称为拉瓦尔喷管。

马赫数

加速

减速扩压

喷管是喷气飞机、火箭发动机中的一个重要的部件。喷管设计在空气动力学手册中有专门篇幅介绍。喷管出口压强刚好

等于环境压强（背压），喷管工作处于设计状态；

喷管出口压强大于环境压强，喷管出口发生膨胀波，压力降为环境压强；喷管出口压强小于环境压强，喷管出口产生激波，

Ma>1(超声速) 渐扩喷管渐缩扩压管

压强升高到环境压强。

空气动力学 Aerodynamics 本章基本要求

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