65数字.图形规律

65数字、图形规律

1.(2015年安徽中考) 按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，„，若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜想x 、y 、z 满足的关系式是 .

【考查内容】规律型；数字的变化类.

【答案】xy =z

[1**********]13【解析】∵2×2=2，2×2=2，2×2=2，2×2=2，…，∴x 、y 、z 满足的关系式是：xy =z .

故答案为：xy =z .

2．(2015年汕尾中考) 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为（）

第2题图

【考查内容】三角形全等，勾股定理.

【答案】B

【解析】令折叠后D 点的对应点为D ', 可设DF 长为x 则FC 长为4-x , CD '=AD ，由勾股定理解得x =33，易知△FD 'C ≌△EBC , 作FG ⊥AB ，则有GE =4-2⋅=1, FG =AD

=2,则22

3. (2015年广东深圳中考) 在数字1,2,3中任选两个组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是

【考查内容】树状图法．

【答案】1 3

【解析】如图所示：

第3题图

共有6种情况，能被3整除的有12，21两种．因此概率为

故答案为：21=． 631． 3

4. (2015年广东深圳中考) 观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图

形有个太阳

图1 图2 图3 图4

【考查内容】规律型：图形的变化类．

【答案】21

【解析】第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2

个太阳．故答案为：21．

n -1，第5个图形有2=16个太阳，所以第5个图形共有5+16=214

5.(2015年南宁中考) 对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号Max {a , b }表示a 、b 中的较大值，如：Max {2,4}=4，按照这个规定，方程Max {x , -x }=2x +1的解为（） x

A. 1-2 B. 2-2 C. 1+2或1-2 D. 1+2或-1

【考查内容】解分式方程

【答案】D

2x +12，去分母得：x +2x +1=0，x

2x +12即x =-1；当x ＞-x ，即x ＞0时，所求方程变形得：x =，即x -2x =1，

x 【解析】当x ＜-x ，即x ＜0时，所求方程变形得：-x =

解得：x =1x =1，经检验x =-

1与x =1.

6.(2015年呼和浩特中考) 以下是某手机店1～4月份的两个统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为(

)

第6题图

A.4月份三星手机销售额为65万元

B.4月份三星手机销售额比3月份有所上升

C.4月份三星手机销售额比3月份有所下降

D.3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额

【考查内容】直方图和折线图的理解应用.

【答案】B

【解析】A 中的65万，从直方图中看，65万元是4月份所有品牌的手机总销售额，包括苹果、三星、魅族、诺基亚等手机，而不是三星手机的在当月的销售额，BCD 中3月份三星手机的销售金额为：60万×18%=10.8万，而4月份三星手机的销售金额为：65万×17%=11.05万，因为11.05＞10.8万，所以，4月份三星手机销售额比3月份有所上升.

7. （2015年常德中考）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1. 这个结论在数学上还没有得到证明. 但举例验证都是正确的. 例如：取自然数5. 最少经过下面5步运算可得1，即：

⨯3+1÷2÷2÷2÷25−−−→16−−→8−−→4−−→2−−→1，如果自然数m 最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为

【考查内容】规律型：数字的变化类；推理与论证.

【答案】128、21、20、3

【解析】根据分析，可得：

⨯2⨯2⨯2⨯21−−−−−→2−−−−−→4−−−−−→8−−−−−→16 此处不能3x +1此处不能3x +1此处不能3x +1此处不能3x +1x 非自然数x 非自然数x 非自然数x 非自然数

⨯2⎧⎧−−−−−→128⎪下一个数是偶数⨯2⨯2⎪−−−−−→32−−−−−→64⎨下一个数是偶数此处不能3x +13x +1−−−−−→21⎪x 非自然数⎪下一个数是奇数⎪⎩16⎨则所有符合条件的m 的值⨯2⎧→20⎪⎪−−−−−下一个数是偶数3x +1⨯2→5−−−−−→10⎨⎪−−−−−下一个数是奇数此处不能3x +13x +1−−−−−→3x 非自然数⎪⎪下一个数是奇数⎩⎩

为：128、21、20、3.

8. （2015益阳中考）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，，则第n 个图案中有根小棒

（1）（2）（3）

第8题图

【考查内容】规律型：图形的变化类.

【答案】5n +1

【解析】∵第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2-1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3-2=16根小棒，，∴第n 个图案中有5n +n -（n -1）=5n +1根小棒. 故答案为：5n +1.

9.(2015年株洲中考) “皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式, 公式表达式为

b -1, 孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积, a 和b 中有一个表示多边形那边上2

（含原点）的整点个数, 另一个表示多边形内部的整点的个数, 但不记得究竟是a 还是b 表示S =a +多边形内部的整点的个数, 请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证, 得到公式中表示多边形内部整点个数的字母是；并运用这个公式求得如图2中多边形的面积是

图

图第9题图

【考查内容】找到规律, 求出a , b 表示的意义

【答案】a ;17.5

【解析】由图1的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为

b -1可知, b 为偶数, 故b =8, a =1, 即b 为边上整点的个2

数, a 为多边形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证：b =10, a =2, 代入公式

b S =a +-1＝6；利用长×宽也可以算出等于6, 验证正确. 利用数出公式中的b =7, a =15, 28, 里面的点为1；由公式S =a +

代入公式求得S ＝17.5

10.(2015年苏州中考) 如图，在矩形ABCD 中，AD =a cm ，AB =b cm （a ＞b ＞4），半径为2cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD 均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．

（1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 cm （用含a 、b 的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s

时间内圆心

O 移动的距离；

（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．

第10题图

【考查内容】动点问题

【解】（1）a+2b.

（2）在整个运动过程中，点P 移动的距离为（a+2b ）cm.

圆心O 移动的距离为2（a －4）cm.

由题意，得a+2b =2（a －4）. ①

点P 移动2s 到达B 点，即点P 用2s 移动了b cm,

点P 继续移动3s ，到达BC 的中点，即点P 用了3s 移动了1a cm. 2

1a b ∴=. ② 23

由①②解得⎨⎧a =24. ⎩b =8

b =4cm/s. 2 点P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等， ∴⊙O 移动的速度为

∴这5s 时间内圆心O 移动的速度为5⨯4=20cm.

(3) 存在这种情形.

解法一：设点P 移动的速度为v 1cm/s. ⊙O 移动的速度为v 2cm/s.

由题意得v 1a +2b 20+2⨯105设直线OO 1与AB 交于点E ，CD ===. 如图，v 22(a -4) 2(20-4) 4

交于点F ，⊙O 1与AD 相切于点G . 若PD 与⊙O 1相切，切点为H ，则O 1G = O 1H . 易得△DO 1G ≌△DO 1H . ∴∠ADB =∠BDP . BC ∥AD . ∴∠ADB =∠CBD .

∴∠BDP =∠CBD . ∴BP =DP . 设BP =x cm ，则DP =x cm ，PC =（20－x ）cm. 在Rt △PCD 中，由勾股定理得PC +CD =PD . 即（20－x ）+10=x . 解得x = ∴此时点P 移动的距离为10+

∴22222225. 22525=cm. EF ∥AD ，∴△BEO 1∽△BAD . 22EO 1BE EO 18=，=. ∴EO 1=16cm. ∴OO 1=14cm. 即AD BA 2010

①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm.

45 ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为=. 1428

455≠， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切. 284

②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2⨯（20－4）－14=18cm.

455 ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为==. ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切. 18364

第10题图

解法二：点P 移动的距离为45v 5cm(见解法一) OO 1=14cm（见解法一），1=. 2v 24 ∴⊙O 应该移动的距离为454⨯=18cm. 25

①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ≠18cm. .

∴此时PD 与⊙O 1不可能相切.

②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2⨯（20－4）－14=18cm. ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切.

解法三：点P 移动的距离为45cm . (见解法一) 2

OO 1=14cm（见解法一）由v 15=可设点P 移动的速度为5k cm/s，⊙O 移动的速v 24

9度为4k cm/s.∴点P 移动的时间为=s. 5k 2k

①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的时间为1479=≠ . . 4k 2k 2k

∴此时PD 与⊙O 1不可能相切.

②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的时间为 2⨯(20-4) -149=. ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切 . 4k 2k

11. （2015年徐州中考）如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，第n 个正方形的边长为 .

第11

【考查内容】解直角三角形.

【答案】

n -1

【解析】第1

个正方形边长为1，

第三个正方形边长为4=

2，第四个正方形边长为

3…，依次类推第n 个正方形的边长为n -1.

12. （2015年江西中考）如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD

，B 与D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得．．．

四边形的变化．下面判断错误的是( )

．．

第12A. 四边形ABCD 由矩形变为平行四边形

B. BD 的长度增大

C. 四边形ABCD 的面积不变

D. 四边形ABCD 的周长不变

【考查内容】四边形.

【答案】C

【解析】∵向右扭动框架, 矩形变为平行四边形 , 底长不变，高变小，所以面积变小. ∴选

13. （2015年江西中考）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．

特例探索

(1)如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝a ＝b ＝

如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝，b ＝；

第13题图

第13题图归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a 2

，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

(3)如图4，在□ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD

，BC ，CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝

AB ＝3．求AF 的长．

第13题图【考查内容】特殊三角形.

【解】（1）如图1，连接EF , 则EF 是△ABC 的中位线，

图1CY0021

∴EF =1AB 2

∵∠ABE =45°, AE ⊥EF ∴△ABP 是等腰直角三角形，

∵EF ∥AB ，∴△EFP 也是等腰直角三角形，

∴AP =BP =2 ，EP =FP =1, ∴

AE =BF ∴a =b =如图2，连接EF , 则EF 是△ABC 的中位线.

图

∵∠ABE =30°, AE

⊥BF , AB =4,∴AP =2, BP= ∵

EF ∥1AB , ∴PE

PF =1,∴AE

∴a =, b =2

(2) a 2+b 2=5c 2.

如图3，连接EF ，

图

2222 设AP =m ,BP =n , 则c =AB =m +n . ∵EF ∥111AB , ∴PE =BP =n , 222

1112122222PF =AP =m , ∴AE =m +n , BF =n +m , 2244

∴b 2=AC 2=4AE 2=4m 2+n 2, a 2=BC 2=4BF 2=4n 2+m 2.

∴a 2+b 2=5(m 2+n 2) =5c 2

（3）

（3

）题图如上图，延长EG , BC 交于点Q , 延长QD , BA 交于点P , 延长QE , BE 分别交PB ，PQ 于点连接EF .

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC , AB ∥CD ,

∵E , G 是分别是AD , CD 的中点，∴△EDG

≌△QCG ≌△EAM , ∴CQ =DE DG =AM =1.5，∴BM =4.5.

∵CD CQ 3，∴BP =9, ∴M 是BP 的中点； ==BP

BQ BP ∵AD ∥FQ , ∴四边形ADQF 是平行四边形，∴AF ∥PQ ,

∵E , F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ∥BF , ∴四边形ABFE 是平行四边形，∴OA =OF ,

由AF ∥PQ 得：

O A B A 31OA OF OF BF 1==, ∴, ∴PN =QN , ∴N 是PQ 的点； ====, P N B P 93PN QN QN BQ 3

∴△BQP 是“中垂三角形”，

∴PQ 2=5BQ 2-BP 2=5⨯(2-92=144,

∴PQ =12, ∴AF =

1PQ =4. 3

15. （2015年山东济南中考）在平面直角坐标系中有三个点A （1，-1）、B （-1，-1）、C

（0,1），点P （0,2）关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4、P 5、P 6，……...则点P 2015的坐标是( )

A.(0,0) B.(0,2) C.(2, -4) D.( -4,2)

【考查内容】点在坐标系中对称

【答案】A

【解析】点P （0,2）关于A 的对称点为P 1（2，-4），P 1关于B 的对称点为P 2（-4,2），

P 2关于C 的对称点为P 3（4,0），按此规律继续以A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4（-2，-2）、P 5（0,0）、P 6（0,2），∴2015÷5=403，. 则点P 2015的坐标是（0,0），故选A.

15. (2015年成都中考) 已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线AC 11，B 1D 1相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以B 1D 1为对角线作菱形BC 12D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2D 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D ，2…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则A n 点的坐标为____________．

【考查内容】递推

【答案】（3n -1，0）

【解析】由题意，A ，点A 2的坐标为（3，0），即（31点的坐标为（1，0）的坐标为（9，0），即（3坐标为（3

n -1

3-1

2-1

，0）, 点A 3

，0）, 点A 4的坐标为（27，0），即（3

4-1

，0）, „, ∴点A n 的

，0）.

16. (2015年湖州中考) 放学后，小明骑车回家，他经过的路程s (千米) 与所用时间t (分钟) 的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是____千米/分钟

【考查内容】函数图象. 【答案】0.2

【解析】由图象可得，小明10分钟走了2千米路程，小明的骑车速度为

＝0.2千米/分钟. 10

17. （

2015年绍兴中考）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒

条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，„，则第6次应拿走（）

A. ②号棒 B. ⑦号棒 C. ⑧号棒 D. ⑩号棒【考查内容】规律型：图形的变化类．【答案】D

【解析】仔细观察图形发现：第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒.

18.(2015年南宁中考

) 如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿x 轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A 第二次将点A 第1，1向右移动6个单位长度到达点A 2，三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点A 3，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点A n ，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 .

第18题图

【考查内容】规律型：图形的变化类；数轴【答案】13

1-3=-2；第二次【解析】第一次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，则A 1表示的数，-2+6=4；第三次从点A 2向左从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，则A 2表示的数为

移动9个单位长度至点A 3，则A 3表示的数为4-9=-5；第四次从点A 3向右移动12个单位长度至点A 4，则A 4表示的数为-5+12=7；第五次从点A 4向左移动15个单位长度至点

A 5，则A 5表示的数为7-15=-8; ; 则A 7表示的数为-8-3=-11，A 9表示的数为

-11-3=-14，A 11表示的数为-14-3=-17，A 13表示的数为-17-3=-20, A 6表示的

数为7+3=10，A 8表示的数为10+3=13，A 10表示的数为13+3=16，A 12表示的数为

16+3=19. 所以点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是13.

请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n 层各个图形的几何点数. 【考查内容】规律型：图形的变化类..

【解析】∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，

∴第六层的几何点数是6，第n 层的几何点数是n ； ∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1－1、3=2×2－1、5=2×3－1， ∴第六层的几何点数是：2×6－1=11，第n 层的几何点数是2n －1； ∵前三层五边形的几何点数分别是：1=3×1－2、2=3×2－2、3=3×3－2， ∴第六层的几何点数是：3×6－2=16，第n 层的几何点数是3n －2；前三层六边形的几何点数分别是：1=4×1－3、5=4×2－3、9=4×3－3，

14浙江杭州2

20. 如图, 正方形OABC 的一个顶点O 是平面直角坐标系的原点，顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上， P 为边OC 上的一个动点，且BP ⊥PQ , BP=PQ，当点P 从点C 运动到点O 时，可知点Q 始终在某函数图象上运动，则其函数图象是( )

第20题图 A. 线段 B. 圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 不同于以上的不规则曲线【答案】A

【解析】根据题意，如图，过Q 点作QD ⊥x 轴，垂足为D ，

第20题图设Q （x ，y ），P (x 0) , P

且

QP=BP，∴在Rt △QDP 和Rt △PBC 根据勾股定理可得：

，正方形的边长为a ，则B （a ，a ），∵QD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，

x 2+y 2-2a 2

，又∵QP ⊥BP ， (x -x P ) +y =(a -x P ) +a ，解得x P =

2x -2a

∴直线QP 和直线BP 的斜率关系为：k QP =-k BP ，即

y a

=-， x -x P a -x P

x 2+y 2-2a 2a (x +y ) a (x +y )

=解得，x P =，∴x P =，整理得：

2x -2a a +y a +y

⎡(a -y ) +(x -a ) +4ay ⎤⎣⎦(a -y ) =0，∵a ＞0，y ＞0，∴a -y =0，

即y=a，∴点Q 运动的函数图像是一条线段. 故选A.

《2x 》＝2《x 》不成立；当m 为非负整数时，《m +2x 》1.4；当x =1. 4时，＝m ＋《2x 》；《2x －1》＝5，则5-≤2x -1

131113

，解得≤x ＜；《x 》＝x , 所以

2244

31313

x -≤x

22222

⑤错误，③④正确，故选B.

14浙江杭州5

（k +1）y +kx =1（k 为正整数）22. 设直线，与两坐标轴所围成的三角形的面积为S k 2，3，⋯，2000）（k =1，，则S 1+S 2+ +S 2000的值为（）

A ．

[**************]3

B ． C ． D ． [**************]1

【答案】A

，0），与y 轴的交点k

111111

坐标为（0，）．则S △ABO =⨯⨯，S 1=，S 2=，

k +12k k +12⨯22⨯2⨯3

【解析】直线kx +（k +1）y =1（k 为正整数），与x 轴的交点坐标为（…

S 2000=

，

2⨯2000⨯2001

111++…+ 2⨯22⨯2⨯32⨯2000⨯2001

1111

++⋅⋅⋅+) =⨯(

21⨯21⨯2⨯32000⨯2001

S 1+S 2+S 3+⋯+S 2000=

1⎛1111111⎫= 1-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪2⎝[1**********]01⎭

1000=. 2001

故答案为：

1000

． 2001

14浙江杭州6

23．在同一平面内，若两圆圆心距是1，

两圆半径分别是1，则两圆的位置关系是（） A ．内含 B ．外离 C ．相交 D ．内切【答案】C

【解析】

1＞1，故两圆相交.

14浙江杭州8

24. 将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，

直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n -1和直线l n +1：y =(n +1) x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记

W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（）

2111 B. C. D. 3234

【解析】根据题意可知，直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积

111

S 1=1⨯⨯=，直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积

224111

S 2=1⨯⨯=，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n -1和直线l n +1：y =(n +1) x +n

6212

111

+… 及x 轴围成的三角形面积S n =，所以W =S 1+S 2+…+S n =+

2412

111111111

=(1-+-+⋯+-) =(1-) ，所以当n 越来越大时，

2n (n +1) 2223n n +12n +1

1111

) 的值接近，所以当n 越来越大时，W 最接近的常数的值接近0，所以(1-

n +122n +11

是. 故选B. 2

【答案】B

14浙江温州1

25. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为256，发现第1次得到的结果是64，第2次得到的结果是16，…，请你探索第2012次得到的结果为

第25题图HJFA38

【答案】16 【解析】第三次结果是4，第四次结果是1，第五次结果是16，…第3n 次结果为4，第3n +1次结果为1，第3n +2次结果为16，

14浙江温州1

26. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =5，正方形D 1E 1FG 1、E 1、G 11的顶点D 1分

2012-2

=670，所以第2012次结果为16. 3

【解析】如图，可得AC =5CE 1，所以CE 1=1，CD 1=2

，即第一个正方形的面积为5；

第26题图HJFA50

14浙江温州3

27. 已知两直线y 1=kx +k -1、y 2=(k +1) x +k (k 为正整数) . 设这两条直线与x 轴所围成的三角形的面积为S k , 则S 1+S 2+S 3+„+S 2013的值是（） A.

[**************]3

B. C. D. [**************]8

⎧y 1=kx +k -1⎧x =-1

的解为⎨,

y =(k +1) x +k y =-1⎩2⎩

【答案】D 【解析】∵方程组⎨

∴两直线的交点是（-1, -1）. ∵直线y 1=k x +k 1-与x 轴的交点为

1-k -k 11-k -k

-,0）, y 2=,0）, ∴S k =×|-1|×|| （k +1）x +k 与x 轴的交点为（

k k +12k k +[1**********]=|-|,∴S 1+S 2+S 3+⋯+S 2013=（1-+-+-+…+）-2k k +[***********]0132013=×（1-）==. 故选D. [1**********]028

（

14浙江温州5

28. 古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，称为三角形数，把1，4，9，16，称为正方形数. “三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”则下列等式符合以上规律的是（）

A. 6+15=21 B. 9+16=25 C. 36+45=81 D. 54+

66=120

第28题图

【答案】C

【解析】由题干条件可得36为平方数，45为三角数，且36+45=81，81为平方数，故选C.

14浙江温州5

29. 用“※”定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有a ※b =2a -b . 例如3※4=2×32-4=14，

那么(-5)※(-8) = . 【答案】58

【解析】(-5)※(-8) =2⨯(-5) 2-(-8) =58.

14浙江温州5

30. 为了求1+2+22+23+ +2100的值，可令S =1+2+22+23+ +2100，

则2S =2+22+23+24+ +2101，因此2S －S =2101－1，所以S =2101－1，即1+2+22+23+ +2100=2－1，仿照以上推理计算1+3+3+3+ +3

101

2014

的值是32015-1【答案】

【解析】设1+3+3+3+ +3

2014

=S , 则3+32+33+ +32015=3S ，两式相减可得

2S =3

2015

32015-1

. -1, 即S =

14浙江温州5

31. 观察下列关于自然数的等式：

32-4⨯12=5 ① 52-4⨯22=9 ② 72-4⨯32=13 ③

…

根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：9－2

（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性. 【解】（1）第四个等式：9-4⨯4=17；

（2n +1）-4n =2（2n +1）-1，（2）第n 个等式为：

（2n +1）-4n =4n +4n +1-4n =4n +1，左边=

（2n +1）-1=4n +2-1=4n +1. 右边=2

（2n +1）-4n =2（2n +1）-1. 故等式成立. 左边=右边∴

14浙江温州8

32．如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n 是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n -1A n ＝1，分

别过点A 1，A 2，A 3，…A n 作x 轴的垂线交反比例函数y ＝(x ＞0) 的图象于点B 1，B 2，B 3，…B n ,

x 过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2……，记△B 1P 1B 2的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2……，△B n P n B n +1的面积为S n ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝

第32题图YL24

【分析】根据题意可知，点B 1(1,1),B 2(2,), B 3(3,), ⋯, B n (n , ) ，面积

12131n

11111111S 1=⨯, S 2=⨯, S 3=⨯, ⋯, S n =⨯，所以

21⨯222⨯323⨯42n ⨯(n +1)

111111S 1+S 2+S 3+⋯+S n =⨯+⨯+⋯+⨯

21⨯222⨯32n ⨯(n +1)

111111=(1-+-+⋯+-) 2223n n +111n =(1-) =. 2n +12(n +1)

【答案】

2(n +1)

14浙江温州11 33. 观察算式：

1⨯3+1=4=22； 2⨯4+1=9=32； 3⨯5+1=16=42 ； 4⨯6+1=25=52；

……

（）；（1）请根据你发现的规律填空：6×8＋1＝

（2）请含n 的等式表示上面的规律：；

（3）用找到的规律解决下面的问题：

计算： 1+

⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛1⎫1⎫⎛

1+1+⨯⋅⋅⋅⨯1+⎪⎪⎪ ⎪

1⨯3⎭⎝2⨯4⎭⎝3⨯5⎭⎝99⨯101⎭

【解】（1）7；

（2）n (n +2)+1=(n +1)； (3)原式=

1⨯3+12⨯4+13⨯5+199⨯101+1

⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 1⨯32⨯43⨯599⨯101

[1**********]⨯100200

=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯==. 1⨯32⨯43⨯599⨯1011⨯101101

14浙江温州14

A.6 B.12 C.32 D.64 【答案】C

【解析】由题意即图形可得A , A 2B 2=2OA 1=2A 1B 1=2, A 3B 3=2A 2B 2=4, 1B 1=OA 1=1故A 6B 6=25⨯A 1B 1=32

, 故选C.

14浙江温州18

35. 如图，△ABC 的面积为1

，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面

，再分别取AC 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 依次取下、B 2C 的中点A 3、B 3，14

3333

去„．利用这一图形，能直观地计算出+2+3+ +n ＝________．

4444

积为

第35题图【答案】1-

，所以三角形A 1B 1C 的面积为4

【分析】由图，根据题意知，四边形A 1ABB 1的面积为

31133

=，同理可得：四边形A 2A 1B 1B 2的面积为⨯=2，三角形A 2B 2C 的面积为444443

1-2，…，

33331+2+3+ +n =S △A n B n C =1-n . 44444

15安徽安庆模拟 36. 观察下列等式：

521

=1 ① 6610212-=2 ②

7715213-=3 ③

……

（1）请写出第四个等式：；

（2）观察上述等式的规律，猜想第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明其正确性. 【考查内容】等式的运算规律

2021=4. 99

5n 1

=n 2⨯（2）第n 个等式是n -. n +5n +5

【解】（1）4-

5n n 2+5n -5n n 21===n 2⨯证明：∵左边=n -=右边，∴等式成立. n +5n +5n +5n +5

15安徽合肥庐阳二模

37. 将正整数按如图所示的规律排列下去. 若用有序实数对(m ，n ) 表示第m 排、从左到右第n 个数，如(3，2) 表示实数

第37题图

（1）图中(7，3) 位置上的数；数据45对应的有序实数对是 . （2）第2n 行的最后一个数为，并简要说明理由.

【考查内容】正整数按规律排列. 【解】（1）23 ；(9，7). （2）2n (n +1).

理由：第2n 排的最后一个数是从2开始数的第(2+4+6+⋯+2n ) 个正偶数，故此数为2(2+4+6+⋯+2n )=2⨯

(2+2n ) n

=2n (n +1). 2

15安徽合肥蜀山二模

38. 现有一组有规律排列的数：1、-

1、-

⋯其中，1、-

问：

（1）第50个数是什么数？

（2）把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？

（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？

【考查内容】数列的运用．【解】（1）∵50÷6=8⋯⋯2,

∴第50个数是-1．（2）∵2015÷6=335⋯⋯5

，1+(-1) (= ∴从第1个数开始的前2015

（3

）∵12+(-1) 2+2+(2+2+(2=12,

520÷12=

43⋯⋯4且12+(-1) 2+2=4,

∴43×6+3=261，即共有261个数的平方相加.

15安徽淮北联考

39. 观察下列各式你会发现什么规律？ 1×5=5, 而5=32-22 2×6=12，而12=42-22 3×7=21，而21=52-22 ……

（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；

（2）将你猜想的规律用只含一个字母n 的等式表示出来，并说明等式的正确性. 【考查内容】式子的类比规律【解】

（1）10×14=140，而140=122-22. （2）n ×(n +4)=(n +2)2-22 . 而(n +2)2-22=n 2+4n +4-4 =n 2+4n ∴n ×(n +4)=(n +2)2-2.

15安徽江淮

40. 观察下列命题：

的一个交点; x 8

命题2. 点(2,4)是直线y =2x 与双曲线y =的一个交点;

x 27

命题3. 点(3,9)是直线y =3x 与双曲线y =的一个交点;

命题1. 点(1,1)是直线y =x 与双曲线y =

…

（1）猜想出命题n (n 是正整数):_________________________________________ ；（2）证明你猜想的命题n 是正确的.

【考查内容】图形的有关概念

n 3

【解】(1)命题n :点（n , n ）是直线y =nx 与双曲线y =的一个交点（n 是正整数）.

(2)把⎨

⎧x =n ⎩y =n

代入y =nx ，左边=n ，右边=n ⋅n =n .

因为左边=右边，所以点(n , n 2) 在直线上. 同理可证：点（n , n 2）在双曲线上，

n 3

所以点（n , n ）是直线y =nx 与双曲线y =的一个交点，命题正确.

15安徽省宿州萧城联考

41．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1, 2, 3}、{-2, 7, 8, 19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素. 如果一个集合满足：当实数a 是集合的元素时，实数8-a 也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合. 下列集合为好的集合的是( )

1, 7, 8} D. {2,6} A. {1, 2} B. {1, 4, 7} C. {

【考查内容】集合的理解

【答案】B

【解析】由题意知要满足8-a 也是集合中的元素，则8-a 一定是集合中的元素, 8-1=7，8-4=4, 8-7=1, 所以a 为1、4、7时满足题意，故选B.

15安徽十校联考

42. 如图，有如下正三角形，第一幅图有5个三角形，第二幅图有17个三角形，按此作图规律. 第四幅图中有三角形_____________个

第42题图

【考查内容】图形的规律【答案】 161

【解析】有规律为后一个图形是前一个图形的3倍加2.

15安徽芜湖模拟

43. 如图所示，①中多边形（边数为

12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n (n …3) 求a 29

„ ① ② ③ ④

第43

【考查内容】图形的规律【答案】870

【解析】观察图形不难得出规律①中是正三角形变化的有12条边，②是由正方形变化的有20条边，由次类推可以得出规律是多边形边数乘以它的变数加上1就是其变化得到的边数，因此a 29=29⨯(29+1) =870.

15安徽芜湖模拟

44. 阅读材料：求1+2+2+2+2+⋯+2

2013

的值.

解：设S =1+2+2+2+2+⋯+2

2012

+22013，将等式两边同时乘以2得：

2S =2+2+2+2+2+⋯+2

2013

+2201, 4将下式减去上式得：

2S -S =2

2014

-1，即S =22014-1，即1+2+22+23+24+⋯+22013=22014-1.

请你仿照此法计算：1+3+3+3+3+

⋯+3

2014

的值.

【考查内容】对材料题的理解与观察，考查学生的拓展能力. 解：设S

=1+3+3+3+3+…+3

2014

， ①

2014

两边乘以3得：3S =3+3+3+3+…+3+32015， ②

15安庆中考二模

a a 3a 5a 7

, „则第n 个式子是＿＿＿＿＿＿＿＿＿（n 为正45. 一组按规律排列的式子：, , ,

2468

整数）.

【考查内容】数字规律

a 2n -1

【答案】

【解析】从分子看, 其规律为a 的2n -1次方, 从分母来看, 其规律为2n .

15广东预测（2）

46. 如图是用火柴棒拼成的图形，则第n 个图形需.

① ② ③ ④

CY029 CY030 CY031 CY032

第46题图

【考查内容】观察图像找规律. 【答案】2n +1

【解析】根据题图可知：

第1个图形中，三角形的个数为1，火柴棒的根数为3；第2个图形中，三角形的个数为2，火柴棒的根数为5；第3个图形中，三角形的个数为3，火柴棒的根数为7；第4个图形中，三角形的个数为4，火柴棒的根数为9； „„

所以第n 个图形中，三角形的个数为n , 火柴棒的根数为3+2(n -1) =2n +1. 故答案为2n +1.

15广东中考预测（三） 47. 观察下列等式：

第一个等式：a 1=

311

-=； 22

1⨯2⨯21⨯22⨯2

411

-第二个等式：a 2==； 323

2⨯3⨯22⨯23⨯2511

-第三个等式：a 3==；

3⨯4⨯243⨯234⨯24

611

-第四个等式：a 4==．

4⨯5⨯254⨯245⨯25

按上述规律，回答以下问题：（1）直接写出第10个等式；

（2）用含n 的代数式表示第n 个等式，并证明；（3）计算：a 1+a 2+a 3+„+a 20的值. 【考查内容】根据规律列式【解】（1）a 10=

1211

=-. 111011

10⨯11⨯210⨯211⨯2

（2）a n =

n +211

．证明如下： =-n +1n n +1

n (n +1) ⋅2n ⋅2(n +1) ⋅2

n +2112(n +1) -n

＝＝左边，等式成-=

n (n +1) ⋅2n +1n ⋅2n (n +1) ⋅2n +1n (n +1) ⋅2n +1

34522

+++ +

1⨯2⨯222⨯3⨯233⨯4⨯2420⨯21⨯221

右边＝立.

（3）a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20=

11111111

-) +(-) +(-) + +(-) =(223342021

1⨯22⨯22⨯23⨯23⨯24⨯220⨯221⨯21111-=- =

1⨯221⨯221221⨯221

21⨯220-1

. =

21⨯221

15江苏连云港灌云中学二模

48. 如图, 直线y=x+1分别与x 轴、y 轴相交于点A 、B , 以点A 为圆心, AB 长为半径画弧交x 轴于点A 1, 再过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1, 以点A 为圆心, AB 1长为半径画弧交x 轴于点

A 2, „, 按此做法进行下去, 则点A 8的坐标是(

)

第48题图

A. （15,0） B. （

16,0） C. （

） D. （1,0）

【考查内容】图形规律【答案】A

【解析】根据图形规律可得AA

1AA

2„ AA n =

可得

AA 8=16,故A 8的坐标为（15,0）.

15江苏苏州青云中学二模

+f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2013)+f (2014)+f (2015)的结果是（）

A.2014 B.2014.5 【考查内容】函数的计算【答案】B

【解析】因为f （x ）＝

C.2015 D.2015.5

1111x

，得到f （）＝，f （1）＝，所以f （）+ f（x ）=1，

1+x x 2x 1+x

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

原式=f ⎪+f (2015)+f ⎪+L +

f ⎪+f (3)+f ⎪+f (2)+f

(1)=2014.5.

⎝2015⎭⎝2014⎭⎝3⎭⎝2

⎭

15山东淄博桓台期中

50. 如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第六个图形中所有正三角形的个数

有_______________.

第50题图

【答案】1457

【解析】根据题意，第1个图形中，共有4⨯3+1=5个正三角形，第2个图形中，共有

4⨯31+4⨯30+1=17个正三角形，第3个图形中，共有4⨯32+4⨯31+4⨯30+1=53个正三角形，，以此类推，第6个图形中所有正三角形的个数有

530

4⨯3+4⨯43+4⨯3+42⨯3+14

⨯

3+⨯4. 3+1=1457

15山东淄博临淄期中

51. 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐, 现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接. 若用餐的人数有90人, 则这样的餐桌需要（）张？

A.15 B.16 C.21 D.22 【答案】D

【解析】1张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人, 2张长方形餐桌的四周可坐4⨯2

+2=10人, 3张长方形餐桌的四周可坐4⨯3+2=14人

, „

张长方形餐桌的四周可坐4n +2人； 4

n +2=90, 解得n =22.

15山东淄博临淄期中

52. 如图, 在等腰Rt △OAA 1中,

∠OAA 1=90°, OA =1,以OA 1为直角边作等腰Rt △OA

1A 2, 以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3, „, 则OA n 的长度为_________.

第52

OA n =【解析】OA 1=OA , OA 2=OA 1OA 3

=OA 2

所以根据规律知

15山东淄博沂源模拟

53. (15淄博模拟) 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10

个点，第3个图形中共有19个点，„

第二个图第三个图

第53题图

按此规律第5个图形中共有点的个数是.

【答案】46

【解析】根据规律知后一个图比上一个图多三个点，∴第5个图形的点数应为1+3+6+9+12+15=46.

65数字、图形规律

1.(2015年安徽中考) 按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，„，若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜想x 、y 、z 满足的关系式是 .

【考查内容】规律型；数字的变化类.

【答案】xy =z

[1**********]13【解析】∵2×2=2，2×2=2，2×2=2，2×2=2，…，∴x 、y 、z 满足的关系式是：xy =z .

故答案为：xy =z .

2．(2015年汕尾中考) 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为（）

第2题图

【考查内容】三角形全等，勾股定理.

【答案】B

【解析】令折叠后D 点的对应点为D ', 可设DF 长为x 则FC 长为4-x , CD '=AD ，由勾股定理解得x =33，易知△FD 'C ≌△EBC , 作FG ⊥AB ，则有GE =4-2⋅=1, FG =AD

=2,则22

3. (2015年广东深圳中考) 在数字1,2,3中任选两个组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是

【考查内容】树状图法．

【答案】1 3

【解析】如图所示：

第3题图

共有6种情况，能被3整除的有12，21两种．因此概率为

故答案为：21=． 631． 3

4. (2015年广东深圳中考) 观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图

形有个太阳

图1 图2 图3 图4

【考查内容】规律型：图形的变化类．

【答案】21

【解析】第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2

个太阳．故答案为：21．

n -1，第5个图形有2=16个太阳，所以第5个图形共有5+16=214

A. 1-2 B. 2-2 C. 1+2或1-2 D. 1+2或-1

【考查内容】解分式方程

【答案】D

2x +12，去分母得：x +2x +1=0，x

2x +12即x =-1；当x ＞-x ，即x ＞0时，所求方程变形得：x =，即x -2x =1，

x 【解析】当x ＜-x ，即x ＜0时，所求方程变形得：-x =

解得：x =1x =1，经检验x =-

1与x =1.

)

第6题图

A.4月份三星手机销售额为65万元

B.4月份三星手机销售额比3月份有所上升

C.4月份三星手机销售额比3月份有所下降

D.3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额

【考查内容】直方图和折线图的理解应用.

【答案】B

⨯3+1÷2÷2÷2÷25−−−→16−−→8−−→4−−→2−−→1，如果自然数m 最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为

【考查内容】规律型：数字的变化类；推理与论证.

【答案】128、21、20、3

【解析】根据分析，可得：

为：128、21、20、3.

8. （2015益阳中考）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，，则第n 个图案中有根小棒

（1）（2）（3）

第8题图

【考查内容】规律型：图形的变化类.

【答案】5n +1

9.(2015年株洲中考) “皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式, 公式表达式为

b -1, 孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积, a 和b 中有一个表示多边形那边上2

图

图第9题图

【考查内容】找到规律, 求出a , b 表示的意义

【答案】a ;17.5

【解析】由图1的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为

b -1可知, b 为偶数, 故b =8, a =1, 即b 为边上整点的个2

数, a 为多边形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证：b =10, a =2, 代入公式

b S =a +-1＝6；利用长×宽也可以算出等于6, 验证正确. 利用数出公式中的b =7, a =15, 28, 里面的点为1；由公式S =a +

代入公式求得S ＝17.5

（1）如图①，点P 从A →B →C →D ，全程共移动了 cm （用含a 、b 的代数式表示）；

（2）如图①，已知点P 从A 点出发，移动2s 到达B 点，继续移动3s ，到达BC 的中点．若点P 与⊙O 的移动速度相等，求在这5s

时间内圆心

O 移动的距离；

（3）如图②，已知a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切？请说明理由．

第10题图

【考查内容】动点问题

【解】（1）a+2b.

（2）在整个运动过程中，点P 移动的距离为（a+2b ）cm.

圆心O 移动的距离为2（a －4）cm.

由题意，得a+2b =2（a －4）. ①

点P 移动2s 到达B 点，即点P 用2s 移动了b cm,

点P 继续移动3s ，到达BC 的中点，即点P 用了3s 移动了1a cm. 2

1a b ∴=. ② 23

由①②解得⎨⎧a =24. ⎩b =8

b =4cm/s. 2 点P 移动的速度与⊙O 移动的速度相等， ∴⊙O 移动的速度为

∴这5s 时间内圆心O 移动的速度为5⨯4=20cm.

(3) 存在这种情形.

解法一：设点P 移动的速度为v 1cm/s. ⊙O 移动的速度为v 2cm/s.

由题意得v 1a +2b 20+2⨯105设直线OO 1与AB 交于点E ，CD ===. 如图，v 22(a -4) 2(20-4) 4

交于点F ，⊙O 1与AD 相切于点G . 若PD 与⊙O 1相切，切点为H ，则O 1G = O 1H . 易得△DO 1G ≌△DO 1H . ∴∠ADB =∠BDP . BC ∥AD . ∴∠ADB =∠CBD .

∴22222225. 22525=cm. EF ∥AD ，∴△BEO 1∽△BAD . 22EO 1BE EO 18=，=. ∴EO 1=16cm. ∴OO 1=14cm. 即AD BA 2010

①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm.

45 ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为=. 1428

455≠， ∴此时PD 与⊙O 1不可能相切. 284

②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2⨯（20－4）－14=18cm.

455 ∴此时点P 与⊙O 移动的速度比为==. ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切. 18364

第10题图

解法二：点P 移动的距离为45v 5cm(见解法一) OO 1=14cm（见解法一），1=. 2v 24 ∴⊙O 应该移动的距离为454⨯=18cm. 25

①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为14cm ≠18cm. .

∴此时PD 与⊙O 1不可能相切.

②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的距离为2⨯（20－4）－14=18cm. ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切.

解法三：点P 移动的距离为45cm . (见解法一) 2

OO 1=14cm（见解法一）由v 15=可设点P 移动的速度为5k cm/s，⊙O 移动的速v 24

9度为4k cm/s.∴点P 移动的时间为=s. 5k 2k

①当⊙O 首次到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的时间为1479=≠ . . 4k 2k 2k

∴此时PD 与⊙O 1不可能相切.

②当⊙O 在返回途中到达⊙O 1的位置时，⊙O 移动的时间为 2⨯(20-4) -149=. ∴此时PD 与⊙O 1恰好相切 . 4k 2k

第11

【考查内容】解直角三角形.

【答案】

n -1

【解析】第1

个正方形边长为1，

第三个正方形边长为4=

2，第四个正方形边长为

3…，依次类推第n 个正方形的边长为n -1.

12. （2015年江西中考）如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD

，B 与D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得．．．

四边形的变化．下面判断错误的是( )

．．

第12A. 四边形ABCD 由矩形变为平行四边形

B. BD 的长度增大

C. 四边形ABCD 的面积不变

D. 四边形ABCD 的周长不变

【考查内容】四边形.

【答案】C

【解析】∵向右扭动框架, 矩形变为平行四边形 , 底长不变，高变小，所以面积变小. ∴选

特例探索

(1)如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝a ＝b ＝

如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝，b ＝；

第13题图

第13题图归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a 2

，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

(3)如图4，在□ABCD 中，点E ，F ，G 分别是AD

，BC ，CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝

AB ＝3．求AF 的长．

第13题图【考查内容】特殊三角形.

【解】（1）如图1，连接EF , 则EF 是△ABC 的中位线，

图1CY0021

∴EF =1AB 2

∵∠ABE =45°, AE ⊥EF ∴△ABP 是等腰直角三角形，

∵EF ∥AB ，∴△EFP 也是等腰直角三角形，

∴AP =BP =2 ，EP =FP =1, ∴

AE =BF ∴a =b =如图2，连接EF , 则EF 是△ABC 的中位线.

图

∵∠ABE =30°, AE

⊥BF , AB =4,∴AP =2, BP= ∵

EF ∥1AB , ∴PE

PF =1,∴AE

∴a =, b =2

(2) a 2+b 2=5c 2.

如图3，连接EF ，

图

2222 设AP =m ,BP =n , 则c =AB =m +n . ∵EF ∥111AB , ∴PE =BP =n , 222

1112122222PF =AP =m , ∴AE =m +n , BF =n +m , 2244

∴b 2=AC 2=4AE 2=4m 2+n 2, a 2=BC 2=4BF 2=4n 2+m 2.

∴a 2+b 2=5(m 2+n 2) =5c 2

（3）

（3

）题图如上图，延长EG , BC 交于点Q , 延长QD , BA 交于点P , 延长QE , BE 分别交PB ，PQ 于点连接EF .

∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC , AB ∥CD ,

∵E , G 是分别是AD , CD 的中点，∴△EDG

≌△QCG ≌△EAM , ∴CQ =DE DG =AM =1.5，∴BM =4.5.

∵CD CQ 3，∴BP =9, ∴M 是BP 的中点； ==BP

BQ BP ∵AD ∥FQ , ∴四边形ADQF 是平行四边形，∴AF ∥PQ ,

∵E , F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE ∥BF , ∴四边形ABFE 是平行四边形，∴OA =OF ,

由AF ∥PQ 得：

O A B A 31OA OF OF BF 1==, ∴, ∴PN =QN , ∴N 是PQ 的点； ====, P N B P 93PN QN QN BQ 3

∴△BQP 是“中垂三角形”，

∴PQ 2=5BQ 2-BP 2=5⨯(2-92=144,

∴PQ =12, ∴AF =

1PQ =4. 3

15. （2015年山东济南中考）在平面直角坐标系中有三个点A （1，-1）、B （-1，-1）、C

A.(0,0) B.(0,2) C.(2, -4) D.( -4,2)

【考查内容】点在坐标系中对称

【答案】A

【解析】点P （0,2）关于A 的对称点为P 1（2，-4），P 1关于B 的对称点为P 2（-4,2），

【考查内容】递推

【答案】（3n -1，0）

【解析】由题意，A ，点A 2的坐标为（3，0），即（31点的坐标为（1，0）的坐标为（9，0），即（3坐标为（3

n -1

3-1

2-1

，0）, 点A 3

，0）, 点A 4的坐标为（27，0），即（3

4-1

，0）, „, ∴点A n 的

，0）.

16. (2015年湖州中考) 放学后，小明骑车回家，他经过的路程s (千米) 与所用时间t (分钟) 的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是____千米/分钟

【考查内容】函数图象. 【答案】0.2

【解析】由图象可得，小明10分钟走了2千米路程，小明的骑车速度为

＝0.2千米/分钟. 10

17. （

2015年绍兴中考）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒

条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，„，则第6次应拿走（）

A. ②号棒 B. ⑦号棒 C. ⑧号棒 D. ⑩号棒【考查内容】规律型：图形的变化类．【答案】D

18.(2015年南宁中考

第18题图

【考查内容】规律型：图形的变化类；数轴【答案】13

A 5，则A 5表示的数为7-15=-8; ; 则A 7表示的数为-8-3=-11，A 9表示的数为

-11-3=-14，A 11表示的数为-14-3=-17，A 13表示的数为-17-3=-20, A 6表示的

数为7+3=10，A 8表示的数为10+3=13，A 10表示的数为13+3=16，A 12表示的数为

16+3=19. 所以点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是13.

请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n 层各个图形的几何点数. 【考查内容】规律型：图形的变化类..

【解析】∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，

14浙江杭州2

第20题图 A. 线段 B. 圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 不同于以上的不规则曲线【答案】A

【解析】根据题意，如图，过Q 点作QD ⊥x 轴，垂足为D ，

第20题图设Q （x ，y ），P (x 0) , P

且

QP=BP，∴在Rt △QDP 和Rt △PBC 根据勾股定理可得：

，正方形的边长为a ，则B （a ，a ），∵QD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，

x 2+y 2-2a 2

，又∵QP ⊥BP ， (x -x P ) +y =(a -x P ) +a ，解得x P =

2x -2a

∴直线QP 和直线BP 的斜率关系为：k QP =-k BP ，即

y a

=-， x -x P a -x P

x 2+y 2-2a 2a (x +y ) a (x +y )

=解得，x P =，∴x P =，整理得：

2x -2a a +y a +y

⎡(a -y ) +(x -a ) +4ay ⎤⎣⎦(a -y ) =0，∵a ＞0，y ＞0，∴a -y =0，

即y=a，∴点Q 运动的函数图像是一条线段. 故选A.

《2x 》＝2《x 》不成立；当m 为非负整数时，《m +2x 》1.4；当x =1. 4时，＝m ＋《2x 》；《2x －1》＝5，则5-≤2x -1

131113

，解得≤x ＜；《x 》＝x , 所以

2244

31313

x -≤x

22222

⑤错误，③④正确，故选B.

14浙江杭州5

（k +1）y +kx =1（k 为正整数）22. 设直线，与两坐标轴所围成的三角形的面积为S k 2，3，⋯，2000）（k =1，，则S 1+S 2+ +S 2000的值为（）

A ．

[**************]3

B ． C ． D ． [**************]1

【答案】A

，0），与y 轴的交点k

111111

坐标为（0，）．则S △ABO =⨯⨯，S 1=，S 2=，

k +12k k +12⨯22⨯2⨯3

【解析】直线kx +（k +1）y =1（k 为正整数），与x 轴的交点坐标为（…

S 2000=

，

2⨯2000⨯2001

111++…+ 2⨯22⨯2⨯32⨯2000⨯2001

1111

++⋅⋅⋅+) =⨯(

21⨯21⨯2⨯32000⨯2001

S 1+S 2+S 3+⋯+S 2000=

1⎛1111111⎫= 1-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪2⎝[1**********]01⎭

1000=. 2001

故答案为：

1000

． 2001

14浙江杭州6

23．在同一平面内，若两圆圆心距是1，

两圆半径分别是1，则两圆的位置关系是（） A ．内含 B ．外离 C ．相交 D ．内切【答案】C

【解析】

1＞1，故两圆相交.

14浙江杭州8

24. 将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，

W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（）

2111 B. C. D. 3234

【解析】根据题意可知，直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积

111

S 1=1⨯⨯=，直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积

224111

S 2=1⨯⨯=，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n -1和直线l n +1：y =(n +1) x +n

6212

111

+… 及x 轴围成的三角形面积S n =，所以W =S 1+S 2+…+S n =+

2412

111111111

=(1-+-+⋯+-) =(1-) ，所以当n 越来越大时，

2n (n +1) 2223n n +12n +1

1111

) 的值接近，所以当n 越来越大时，W 最接近的常数的值接近0，所以(1-

n +122n +11

是. 故选B. 2

【答案】B

14浙江温州1

25. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x 的值为256，发现第1次得到的结果是64，第2次得到的结果是16，…，请你探索第2012次得到的结果为

第25题图HJFA38

【答案】16 【解析】第三次结果是4，第四次结果是1，第五次结果是16，…第3n 次结果为4，第3n +1次结果为1，第3n +2次结果为16，

14浙江温州1

26. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =5，正方形D 1E 1FG 1、E 1、G 11的顶点D 1分

2012-2

=670，所以第2012次结果为16. 3

【解析】如图，可得AC =5CE 1，所以CE 1=1，CD 1=2

，即第一个正方形的面积为5；

第26题图HJFA50

14浙江温州3

27. 已知两直线y 1=kx +k -1、y 2=(k +1) x +k (k 为正整数) . 设这两条直线与x 轴所围成的三角形的面积为S k , 则S 1+S 2+S 3+„+S 2013的值是（） A.

[**************]3

B. C. D. [**************]8

⎧y 1=kx +k -1⎧x =-1

的解为⎨,

y =(k +1) x +k y =-1⎩2⎩

【答案】D 【解析】∵方程组⎨

∴两直线的交点是（-1, -1）. ∵直线y 1=k x +k 1-与x 轴的交点为

1-k -k 11-k -k

-,0）, y 2=,0）, ∴S k =×|-1|×|| （k +1）x +k 与x 轴的交点为（

k k +12k k +[1**********]=|-|,∴S 1+S 2+S 3+⋯+S 2013=（1-+-+-+…+）-2k k +[***********]0132013=×（1-）==. 故选D. [1**********]028

（

14浙江温州5

A. 6+15=21 B. 9+16=25 C. 36+45=81 D. 54+

66=120

第28题图

【答案】C

【解析】由题干条件可得36为平方数，45为三角数，且36+45=81，81为平方数，故选C.

14浙江温州5

29. 用“※”定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有a ※b =2a -b . 例如3※4=2×32-4=14，

那么(-5)※(-8) = . 【答案】58

【解析】(-5)※(-8) =2⨯(-5) 2-(-8) =58.

14浙江温州5

30. 为了求1+2+22+23+ +2100的值，可令S =1+2+22+23+ +2100，

则2S =2+22+23+24+ +2101，因此2S －S =2101－1，所以S =2101－1，即1+2+22+23+ +2100=2－1，仿照以上推理计算1+3+3+3+ +3

101

2014

的值是32015-1【答案】

【解析】设1+3+3+3+ +3

2014

=S , 则3+32+33+ +32015=3S ，两式相减可得

2S =3

2015

32015-1

. -1, 即S =

14浙江温州5

31. 观察下列关于自然数的等式：

32-4⨯12=5 ① 52-4⨯22=9 ② 72-4⨯32=13 ③

…

根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：9－2

（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性. 【解】（1）第四个等式：9-4⨯4=17；

（2n +1）-4n =2（2n +1）-1，（2）第n 个等式为：

（2n +1）-4n =4n +4n +1-4n =4n +1，左边=

（2n +1）-1=4n +2-1=4n +1. 右边=2

（2n +1）-4n =2（2n +1）-1. 故等式成立. 左边=右边∴

14浙江温州8

32．如图，已知A 1，A 2，A 3，…A n 是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n -1A n ＝1，分

别过点A 1，A 2，A 3，…A n 作x 轴的垂线交反比例函数y ＝(x ＞0) 的图象于点B 1，B 2，B 3，…B n ,

第32题图YL24

【分析】根据题意可知，点B 1(1,1),B 2(2,), B 3(3,), ⋯, B n (n , ) ，面积

12131n

11111111S 1=⨯, S 2=⨯, S 3=⨯, ⋯, S n =⨯，所以

21⨯222⨯323⨯42n ⨯(n +1)

111111S 1+S 2+S 3+⋯+S n =⨯+⨯+⋯+⨯

21⨯222⨯32n ⨯(n +1)

111111=(1-+-+⋯+-) 2223n n +111n =(1-) =. 2n +12(n +1)

【答案】

2(n +1)

14浙江温州11 33. 观察算式：

1⨯3+1=4=22； 2⨯4+1=9=32； 3⨯5+1=16=42 ； 4⨯6+1=25=52；

……

（）；（1）请根据你发现的规律填空：6×8＋1＝

（2）请含n 的等式表示上面的规律：；

（3）用找到的规律解决下面的问题：

计算： 1+

⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛1⎫1⎫⎛

1+1+⨯⋅⋅⋅⨯1+⎪⎪⎪ ⎪

1⨯3⎭⎝2⨯4⎭⎝3⨯5⎭⎝99⨯101⎭

【解】（1）7；

（2）n (n +2)+1=(n +1)； (3)原式=

1⨯3+12⨯4+13⨯5+199⨯101+1

⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 1⨯32⨯43⨯599⨯101

[1**********]⨯100200

=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯==. 1⨯32⨯43⨯599⨯1011⨯101101

14浙江温州14

A.6 B.12 C.32 D.64 【答案】C

【解析】由题意即图形可得A , A 2B 2=2OA 1=2A 1B 1=2, A 3B 3=2A 2B 2=4, 1B 1=OA 1=1故A 6B 6=25⨯A 1B 1=32

, 故选C.

14浙江温州18

35. 如图，△ABC 的面积为1

，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面

，再分别取AC 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 依次取下、B 2C 的中点A 3、B 3，14

3333

去„．利用这一图形，能直观地计算出+2+3+ +n ＝________．

4444

积为

第35题图【答案】1-

，所以三角形A 1B 1C 的面积为4

【分析】由图，根据题意知，四边形A 1ABB 1的面积为

31133

=，同理可得：四边形A 2A 1B 1B 2的面积为⨯=2，三角形A 2B 2C 的面积为444443

1-2，…，

33331+2+3+ +n =S △A n B n C =1-n . 44444

15安徽安庆模拟 36. 观察下列等式：

521

=1 ① 6610212-=2 ②

7715213-=3 ③

……

（1）请写出第四个等式：；

（2）观察上述等式的规律，猜想第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明其正确性. 【考查内容】等式的运算规律

2021=4. 99

5n 1

=n 2⨯（2）第n 个等式是n -. n +5n +5

【解】（1）4-

5n n 2+5n -5n n 21===n 2⨯证明：∵左边=n -=右边，∴等式成立. n +5n +5n +5n +5

15安徽合肥庐阳二模

37. 将正整数按如图所示的规律排列下去. 若用有序实数对(m ，n ) 表示第m 排、从左到右第n 个数，如(3，2) 表示实数

第37题图

（1）图中(7，3) 位置上的数；数据45对应的有序实数对是 . （2）第2n 行的最后一个数为，并简要说明理由.

【考查内容】正整数按规律排列. 【解】（1）23 ；(9，7). （2）2n (n +1).

理由：第2n 排的最后一个数是从2开始数的第(2+4+6+⋯+2n ) 个正偶数，故此数为2(2+4+6+⋯+2n )=2⨯

(2+2n ) n

=2n (n +1). 2

15安徽合肥蜀山二模

38. 现有一组有规律排列的数：1、-

1、-

⋯其中，1、-

问：

（1）第50个数是什么数？

（2）把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？

（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？

【考查内容】数列的运用．【解】（1）∵50÷6=8⋯⋯2,

∴第50个数是-1．（2）∵2015÷6=335⋯⋯5

，1+(-1) (= ∴从第1个数开始的前2015

（3

）∵12+(-1) 2+2+(2+2+(2=12,

520÷12=

43⋯⋯4且12+(-1) 2+2=4,

∴43×6+3=261，即共有261个数的平方相加.

15安徽淮北联考

39. 观察下列各式你会发现什么规律？ 1×5=5, 而5=32-22 2×6=12，而12=42-22 3×7=21，而21=52-22 ……

（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；

（2）将你猜想的规律用只含一个字母n 的等式表示出来，并说明等式的正确性. 【考查内容】式子的类比规律【解】

（1）10×14=140，而140=122-22. （2）n ×(n +4)=(n +2)2-22 . 而(n +2)2-22=n 2+4n +4-4 =n 2+4n ∴n ×(n +4)=(n +2)2-2.

15安徽江淮

40. 观察下列命题：

的一个交点; x 8

命题2. 点(2,4)是直线y =2x 与双曲线y =的一个交点;

x 27

命题3. 点(3,9)是直线y =3x 与双曲线y =的一个交点;

命题1. 点(1,1)是直线y =x 与双曲线y =

…

（1）猜想出命题n (n 是正整数):_________________________________________ ；（2）证明你猜想的命题n 是正确的.

【考查内容】图形的有关概念

n 3

【解】(1)命题n :点（n , n ）是直线y =nx 与双曲线y =的一个交点（n 是正整数）.

(2)把⎨

⎧x =n ⎩y =n

代入y =nx ，左边=n ，右边=n ⋅n =n .

因为左边=右边，所以点(n , n 2) 在直线上. 同理可证：点（n , n 2）在双曲线上，

n 3

所以点（n , n ）是直线y =nx 与双曲线y =的一个交点，命题正确.

15安徽省宿州萧城联考

1, 7, 8} D. {2,6} A. {1, 2} B. {1, 4, 7} C. {

【考查内容】集合的理解

【答案】B

【解析】由题意知要满足8-a 也是集合中的元素，则8-a 一定是集合中的元素, 8-1=7，8-4=4, 8-7=1, 所以a 为1、4、7时满足题意，故选B.

15安徽十校联考

42. 如图，有如下正三角形，第一幅图有5个三角形，第二幅图有17个三角形，按此作图规律. 第四幅图中有三角形_____________个

第42题图

【考查内容】图形的规律【答案】 161

【解析】有规律为后一个图形是前一个图形的3倍加2.

15安徽芜湖模拟

43. 如图所示，①中多边形（边数为

„ ① ② ③ ④

第43

【考查内容】图形的规律【答案】870

15安徽芜湖模拟

44. 阅读材料：求1+2+2+2+2+⋯+2

2013

的值.

解：设S =1+2+2+2+2+⋯+2

2012

+22013，将等式两边同时乘以2得：

2S =2+2+2+2+2+⋯+2

2013

+2201, 4将下式减去上式得：

2S -S =2

2014

-1，即S =22014-1，即1+2+22+23+24+⋯+22013=22014-1.

请你仿照此法计算：1+3+3+3+3+

⋯+3

2014

的值.

【考查内容】对材料题的理解与观察，考查学生的拓展能力. 解：设S

=1+3+3+3+3+…+3

2014

， ①

2014

两边乘以3得：3S =3+3+3+3+…+3+32015， ②

15安庆中考二模

a a 3a 5a 7

, „则第n 个式子是＿＿＿＿＿＿＿＿＿（n 为正45. 一组按规律排列的式子：, , ,

2468

整数）.

【考查内容】数字规律

a 2n -1

【答案】

【解析】从分子看, 其规律为a 的2n -1次方, 从分母来看, 其规律为2n .

15广东预测（2）

46. 如图是用火柴棒拼成的图形，则第n 个图形需.

① ② ③ ④

CY029 CY030 CY031 CY032

第46题图

【考查内容】观察图像找规律. 【答案】2n +1

【解析】根据题图可知：

所以第n 个图形中，三角形的个数为n , 火柴棒的根数为3+2(n -1) =2n +1. 故答案为2n +1.

15广东中考预测（三） 47. 观察下列等式：

第一个等式：a 1=

311

-=； 22

1⨯2⨯21⨯22⨯2

411

-第二个等式：a 2==； 323

2⨯3⨯22⨯23⨯2511

-第三个等式：a 3==；

3⨯4⨯243⨯234⨯24

611

-第四个等式：a 4==．

4⨯5⨯254⨯245⨯25

按上述规律，回答以下问题：（1）直接写出第10个等式；

（2）用含n 的代数式表示第n 个等式，并证明；（3）计算：a 1+a 2+a 3+„+a 20的值. 【考查内容】根据规律列式【解】（1）a 10=

1211

=-. 111011

10⨯11⨯210⨯211⨯2

（2）a n =

n +211

．证明如下： =-n +1n n +1

n (n +1) ⋅2n ⋅2(n +1) ⋅2

n +2112(n +1) -n

＝＝左边，等式成-=

n (n +1) ⋅2n +1n ⋅2n (n +1) ⋅2n +1n (n +1) ⋅2n +1

34522

+++ +

1⨯2⨯222⨯3⨯233⨯4⨯2420⨯21⨯221

右边＝立.

（3）a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20=

11111111

-) +(-) +(-) + +(-) =(223342021

1⨯22⨯22⨯23⨯23⨯24⨯220⨯221⨯21111-=- =

1⨯221⨯221221⨯221

21⨯220-1

. =

21⨯221

15江苏连云港灌云中学二模

A 2, „, 按此做法进行下去, 则点A 8的坐标是(

)

第48题图

A. （15,0） B. （

16,0） C. （

） D. （1,0）

【考查内容】图形规律【答案】A

【解析】根据图形规律可得AA

1AA

2„ AA n =

可得

AA 8=16,故A 8的坐标为（15,0）.

15江苏苏州青云中学二模

+f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2013)+f (2014)+f (2015)的结果是（）

A.2014 B.2014.5 【考查内容】函数的计算【答案】B

【解析】因为f （x ）＝

C.2015 D.2015.5

1111x

，得到f （）＝，f （1）＝，所以f （）+ f（x ）=1，

1+x x 2x 1+x

⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫

原式=f ⎪+f (2015)+f ⎪+L +

f ⎪+f (3)+f ⎪+f (2)+f

(1)=2014.5.

⎝2015⎭⎝2014⎭⎝3⎭⎝2

⎭

15山东淄博桓台期中

50. 如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第六个图形中所有正三角形的个数

有_______________.

第50题图

【答案】1457

【解析】根据题意，第1个图形中，共有4⨯3+1=5个正三角形，第2个图形中，共有

4⨯31+4⨯30+1=17个正三角形，第3个图形中，共有4⨯32+4⨯31+4⨯30+1=53个正三角形，，以此类推，第6个图形中所有正三角形的个数有

530

4⨯3+4⨯43+4⨯3+42⨯3+14

⨯

3+⨯4. 3+1=1457

15山东淄博临淄期中

51. 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐, 现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接. 若用餐的人数有90人, 则这样的餐桌需要（）张？

A.15 B.16 C.21 D.22 【答案】D

【解析】1张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人, 2张长方形餐桌的四周可坐4⨯2

+2=10人, 3张长方形餐桌的四周可坐4⨯3+2=14人

, „

张长方形餐桌的四周可坐4n +2人； 4

n +2=90, 解得n =22.

15山东淄博临淄期中

52. 如图, 在等腰Rt △OAA 1中,

∠OAA 1=90°, OA =1,以OA 1为直角边作等腰Rt △OA

1A 2, 以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3, „, 则OA n 的长度为_________.

第52

OA n =【解析】OA 1=OA , OA 2=OA 1OA 3

=OA 2

所以根据规律知

15山东淄博沂源模拟

53. (15淄博模拟) 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图形中共有4个点，第2个图形中共有10

个点，第3个图形中共有19个点，„

第二个图第三个图

第53题图

按此规律第5个图形中共有点的个数是.

【答案】46

【解析】根据规律知后一个图比上一个图多三个点，∴第5个图形的点数应为1+3+6+9+12+15=46.

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