探究数学中的开放性问题
尺八镇初级中学 管武
新课程标准倡导培养学生创新能力和实践能力，重视学生综合运用数学知识解决数学问题的能力。为了实现这个目标在命题上都做了有益的尝试, 涌现出了许多不少别具创意、独特新颖的探索规律、条件、结论的开放性问题。这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用。
一、开放题常见的题型
开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．
1、条件开放型：指结论已知，而条件需探求，并且具有开放性，这类问题称为条件开放题。在解决此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求。 例1、如图， D、E 分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为合适的条件：__________________，使得△ADE ∽△ABC.
分析：这是一道条件开放题，只要寻求其成立的一个充
分条件即可. 如∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE：AC 等∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE：AC D
等. C 2、结论开放型：指在一定条件下，探求问题的结论，属于结论开放题．解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。这类问题结论开放，学生可自主探索，自由发展。 A 例2、如图AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 弦OD ⊥CB 于点E ，、
于点D 交BC （1）请写出三个不同类型的正确结论。
（2）连结CD ，设∠CDB =α，∠ABC =β，试找出α与β E
C
D B 之间的一种关系式并给予证明。 （图4） 3、条件和结论都开放型：指条件和结论都开放的试题，这类开放性试题旨
在让学生经历多角度认识问题，多策略思考问题，尝试解释不同答案合理性的数学活动，培养和提高创新意识及自主探索新知识的能力。体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”。
例3、如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题_____________________.
(1)AE=AD C (2)AB=AC (3)OB=OC
(4)∠B=∠C A D
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二、按知识分类
１、操作设计类开放题
例4、如图，河边有一条笔直的公路l ，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B
求：
（1）列出你测量所使用的测量工具；
（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；
（3）用字母表示测得的数据，求出B 点到公 公路
路的距离．
2、猜想型开放题
例5、定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为n
2k （其中k 是使n 2k 为奇数的正整数），并且运算重
复进行．例如，取n ＝26，则：
F ② F ① F ② … 26 13 44 11 第一次 第三次 第二次
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是_____________________________．
3、概率类开放题
例6、三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球．
（1）用列表或画树状图的方法求经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是多少？
（2）由（1）进一步探索：经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？
（3）就传球次数n 与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小，提出你的猜想（写出结论即可）．
4、几何推理开放题
例7、某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
① 如图1，在正三角形ABC 中，M 、N 分
A 别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于A
点O ，若∠BON = 60°，则BM = CN . N ② 如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于C B 点O ，若∠BON = 90°, 则BM = CN . B
图1然后运用类比的思想提出了如下的
命题：
③ 如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、N E 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交N
于点O ，若∠BON = 108°，则BM = CN . A D
A 任务要求 M
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一C B 个进行证明； 图3
第2页共3页 N D O M C 图2O D 图4
M （2）请你继续完成下面的探索： N ① 如图4，在正n （n ≥3）边形ABCDEF …中，M 、N 分D A
别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，问当∠
BON 等于多少度时，结论BM = CN 成立？（不要求B C 证明） 图5② 如图5，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE
上的点，BM 与CN 相交于点O ，当∠BON = 108°时，请问结论BM =
CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
5、动态几何开放题
例8、半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC:CA E
︵= 4:3，点P 在 AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．
（1）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；
（2）当点P 运动到AB 弧的中点时，求CQ 的长．
(3 )当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长．
6、课题研究型开放题
例9、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系
（1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，
为什么？ （3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以
顺利通过，为什么？ 开放性试题作为考查考生创新意识的渠道之一，有利于考生
自主发挥水平，同时也能有效地考查考生的学习潜质。为此，在教学实践中应加强数学开放题训练，使学生掌握这类问题的解题策略。更重要的是，要加强过程教学，充分激发学生的数学思维，提高学生分析问题与解决问题能力。这样标本兼治，才能使学生在面对开放题时，能够游刃有余，得心应手。
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探究数学中的开放性问题
尺八镇初级中学 管武
新课程标准倡导培养学生创新能力和实践能力，重视学生综合运用数学知识解决数学问题的能力。为了实现这个目标在命题上都做了有益的尝试, 涌现出了许多不少别具创意、独特新颖的探索规律、条件、结论的开放性问题。这类试题不仅考查了学生观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力而且把解题的过程、考试的过程，变成了学生研究的过程，变成了探索规律、发现规律的过程，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用。
一、开放题常见的题型
开放性试题从结构特征上看主要分为三类：条件开放题、结论开放题及条件和结论都开放的试题。其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索．
1、条件开放型：指结论已知，而条件需探求，并且具有开放性，这类问题称为条件开放题。在解决此类问题时，通常采取执果索因的策略进行探求。 例1、如图， D、E 分别在AC 、AB 上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为合适的条件：__________________，使得△ADE ∽△ABC.
分析：这是一道条件开放题，只要寻求其成立的一个充
分条件即可. 如∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE：AC 等∠B 或∠AED=∠C 或AD ：AB=AE：AC D
等. C 2、结论开放型：指在一定条件下，探求问题的结论，属于结论开放题．解决此类问题时，通常采用由因导果的策略进行探求。这类问题结论开放，学生可自主探索，自由发展。 A 例2、如图AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 弦OD ⊥CB 于点E ，、
于点D 交BC （1）请写出三个不同类型的正确结论。
（2）连结CD ，设∠CDB =α，∠ABC =β，试找出α与β E
C
D B 之间的一种关系式并给予证明。 （图4） 3、条件和结论都开放型：指条件和结论都开放的试题，这类开放性试题旨
在让学生经历多角度认识问题，多策略思考问题，尝试解释不同答案合理性的数学活动，培养和提高创新意识及自主探索新知识的能力。体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”。
例3、如图，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题_____________________.
(1)AE=AD C (2)AB=AC (3)OB=OC
(4)∠B=∠C A D
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二、按知识分类
１、操作设计类开放题
例4、如图，河边有一条笔直的公路l ，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B
求：
（1）列出你测量所使用的测量工具；
（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；
（3）用字母表示测得的数据，求出B 点到公 公路
路的距离．
2、猜想型开放题
例5、定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为n
2k （其中k 是使n 2k 为奇数的正整数），并且运算重
复进行．例如，取n ＝26，则：
F ② F ① F ② … 26 13 44 11 第一次 第三次 第二次
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是_____________________________．
3、概率类开放题
例6、三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球．
（1）用列表或画树状图的方法求经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率是多少？
（2）由（1）进一步探索：经过4次传球后，球仍回到甲手中的不同传球的方法共有多少种？
（3）就传球次数n 与球分别回到甲、乙、丙手中的可能性大小，提出你的猜想（写出结论即可）．
4、几何推理开放题
例7、某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
① 如图1，在正三角形ABC 中，M 、N 分
A 别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于A
点O ，若∠BON = 60°，则BM = CN . N ② 如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于C B 点O ，若∠BON = 90°, 则BM = CN . B
图1然后运用类比的思想提出了如下的
命题：
③ 如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、N E 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交N
于点O ，若∠BON = 108°，则BM = CN . A D
A 任务要求 M
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一C B 个进行证明； 图3
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M （2）请你继续完成下面的探索： N ① 如图4，在正n （n ≥3）边形ABCDEF …中，M 、N 分D A
别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，问当∠
BON 等于多少度时，结论BM = CN 成立？（不要求B C 证明） 图5② 如图5，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE
上的点，BM 与CN 相交于点O ，当∠BON = 108°时，请问结论BM =
CN 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
5、动态几何开放题
例8、半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已知BC:CA E
︵= 4:3，点P 在 AB 上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．
（1）当点P 运动到与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；
（2）当点P 运动到AB 弧的中点时，求CQ 的长．
(3 )当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值，并求此时CQ 的长．
6、课题研究型开放题
例9、一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系
（1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，
为什么？ （3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以
顺利通过，为什么？ 开放性试题作为考查考生创新意识的渠道之一，有利于考生
自主发挥水平，同时也能有效地考查考生的学习潜质。为此，在教学实践中应加强数学开放题训练，使学生掌握这类问题的解题策略。更重要的是，要加强过程教学，充分激发学生的数学思维，提高学生分析问题与解决问题能力。这样标本兼治，才能使学生在面对开放题时，能够游刃有余，得心应手。
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