第2讲 三角形中的角、多边形
知识点梳理：
知识点一：三角形的内角与外角 （一） 三角形的内角：
（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的 角. （2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于
（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.
（二）三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为 °. （2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；
②外角的一条边是三角形的一边；
③外角的另一条边是三角形某条边的 .
（3）性质：
B
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 的和.
②三角形的一个外角 （大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.
知识点二：多边形
（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .
注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
（二）多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从n 边形的一个顶点出发，可以画 条对角线，n 边形一共有 条对角线. （三）多边形的内角和公式：n 边形的内角和为 .
内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数. （四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 .
外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.
1
知识点三：镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就能拼成一个平面图形.
典例分析：
题型一：三角形的内角和
例1、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44︒，求此三角形的最大角。 针对练习
1、在△ABC 中，∠B ＝20°+∠A ，∠C ＝∠B －10°，求∠A 的度数.
2. 如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥B C 于点D ，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE 的度数是
_______
题型二：三角形的内角和外角
例2、如图在直角△ABD 中，∠D =90︒, ∠A =30︒,C 为AD 上一点（不与A 、D 重合），则x 可能是（ ） A 、 10︒ B 、20︒ C 、30︒ D 、25︒ 思考：本题你能求出x 的范围吗？
例3、如图∠ABC 的平分线和△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D ，∠BDC =30︒，求∠A 的度数。
2
1. 如图，CD ∥AB ，∠1=120°，∠2=80°，则∠E 的度数是（ ）
第1题
2. 如图所示，已知D 是△ABC 边AB 上一点，E 是边AC 上的一点，BE 、CD 相交于点F ， （1）若∠A ＝62°，∠ACD ＝15°，∠ABE ＝20°. 求∠BDC 和求∠BFD 的度数； （2）试说明∠BFC ＞∠A.
A
E
D
F
B C
题型三：多边形的内角和外角
例4、
（1）一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是 ，它的内角和是 。
（2）正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的边数为 .
（3）正八边形的每个内角为 °对角线有 条
针对练习
1．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_________．
2. 正十二边形每个内角的度数为
3. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为
考点四：平面镶嵌问题
例5 、一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为（ ）
A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
3
1、下列正多边形中，不能够铺满地面的是（ ）.
(A) 正三角形 (B)正方形 (C) 正六边形 ( D) 正八边形
2、现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ）
A ．2种
3、某公园便道用三种不同的正多边形地砖铺设，其中已选好了用正十二边形和正方形两种，还需要选用 ，使这三种组合在一起把便道铺满.
题型五 综合找规律
如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A 1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点A 2，„，∠An ﹣1BC 的平分线与∠An ﹣1CD 的平分线交于点An ．设∠A=θ．则： （1）求∠A1的度数； （2）∠An 的度数．
针对练习：
1. 如图所示, ∠ABC, ∠ACB 的内角平分线交于点O, ∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D, ∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E, 且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=__ ___,∠E=________.
B ．3种
C ．4种
D ．5种
A
D
E
巩固练习 一、选择题
1、下面各角能成为某多边形的内角的和的是（ ） A 、430° B、4343° C、4320° D、4360°
4
2、下列说法错误．．
的个数是（ ） （1）钝角三角形三边上的高都在三角形的外部
（2）三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角 （3）三角形的一个外角等于它的两个内角的和 （4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角
（5）三角形的三个外角（每个顶点只取一个外角）中，钝角个数至少有2个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、若一个三角形的三个内角度数之比为3：2：1，则与之相邻的三个外角度数之比为（ ） A. 3：2：1 B. 1：2：3 C. 5：4：3 D. 3：4：5
4. 如图，直线l 1∥l 2，∠1=40°，∠2=65°，则∠3=（ ） A ．65° B ．70° C ．75° D ．85°
第5题
5. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）
6. 如图所示，已知△ABC 为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1+∠2 等于（ A 、90° B 、135° C 、270° D 、315°
二．填空题
1．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是 _______。 2．如图，则∠
A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝_________
B
F
C
E
5
）
3．用三种边长相等的正多边形铺地面，已选了正方形和正五边形两种，还应选正_______边形。 4、一个四边形的四个内角中最多有______个钝角, 最多有______个锐角.
5、一个多边形的每一个外角都等于72°, 这个多边形的边数是_________,它的内角和是______度， 对角线有_____条
6. 如图，已知，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E 、F ，点G 在直线EF 上，GH ⊥AB ，若∠EGH=32°，则∠DFE 的度数为____________.
（第7题）
7. 如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A' 重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=____°. 若∠A=α°，则∠1+∠2=____°. （用α表示） 8. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________．
三、解答题
1、已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．
求证：AD ∥BC ．
D
B C
2、如图, 在△ABC 中,D 是BC 边上一点, ∠1=∠2, ∠3=∠4, ∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.
A
4
B
D C
6
3将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F ． （1）求证：CF ∥AB ． （2）求∠DFC 的度数．
拓展提高：
1. （河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）A ．90°
B ．100°
C ．130° D ．180°
2. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（3. （1）如图1是一个五角星ABCDE ，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小. （2）如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么
A
A
A
B
2
E
B 2
E
1
2
E
D C
C
D
图1 图2 图3
A
B
E
A
C
C
图4 图5
7
）
4、（1）如图①∠1＋∠2与∠B ＋∠C 有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC 沿DE 折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B ＋∠C(填“＞”“＜”“=”) ，当∠A ＝40°时，∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2＝______
（3）如图③，是由图①的△ABC 沿DE 折叠得到的，如果∠A ＝30°，则x ＋y ＝360°－
（∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ , 猜想∠BDA ＋∠CEA 与∠A 的关系为
5、一个零件的形状如下图所示，规定∠A ＝90°，∠B 和∠C 分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC ＝
149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因。
6、如图所示, 在△ABC 中, ∠A=α, △ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β, 试探求下列各图中α与β的关系, 并选择一个加以说明.
A A A
P
P
B
(1)
C
(2)
C
C
(3)
8
第2讲 三角形中的角、多边形
知识点梳理：
知识点一：三角形的内角与外角 （一） 三角形的内角：
（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的 角. （2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于
（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.
（二）三角形的外角
（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为 °. （2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；
②外角的一条边是三角形的一边；
③外角的另一条边是三角形某条边的 .
（3）性质：
B
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 的和.
②三角形的一个外角 （大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.
知识点二：多边形
（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .
注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
（二）多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从n 边形的一个顶点出发，可以画 条对角线，n 边形一共有 条对角线. （三）多边形的内角和公式：n 边形的内角和为 .
内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数. （四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 .
外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.
1
知识点三：镶嵌
（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
（二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就能拼成一个平面图形.
典例分析：
题型一：三角形的内角和
例1、若三角形的一个角是另一个角的6倍，而这两个角的和比第三个角大44︒，求此三角形的最大角。 针对练习
1、在△ABC 中，∠B ＝20°+∠A ，∠C ＝∠B －10°，求∠A 的度数.
2. 如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥B C 于点D ，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE 的度数是
_______
题型二：三角形的内角和外角
例2、如图在直角△ABD 中，∠D =90︒, ∠A =30︒,C 为AD 上一点（不与A 、D 重合），则x 可能是（ ） A 、 10︒ B 、20︒ C 、30︒ D 、25︒ 思考：本题你能求出x 的范围吗？
例3、如图∠ABC 的平分线和△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D ，∠BDC =30︒，求∠A 的度数。
2
1. 如图，CD ∥AB ，∠1=120°，∠2=80°，则∠E 的度数是（ ）
第1题
2. 如图所示，已知D 是△ABC 边AB 上一点，E 是边AC 上的一点，BE 、CD 相交于点F ， （1）若∠A ＝62°，∠ACD ＝15°，∠ABE ＝20°. 求∠BDC 和求∠BFD 的度数； （2）试说明∠BFC ＞∠A.
A
E
D
F
B C
题型三：多边形的内角和外角
例4、
（1）一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是 ，它的内角和是 。
（2）正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的边数为 .
（3）正八边形的每个内角为 °对角线有 条
针对练习
1．已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_________．
2. 正十二边形每个内角的度数为
3. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为
考点四：平面镶嵌问题
例5 、一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另一个为（ ）
A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
3
1、下列正多边形中，不能够铺满地面的是（ ）.
(A) 正三角形 (B)正方形 (C) 正六边形 ( D) 正八边形
2、现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ）
A ．2种
3、某公园便道用三种不同的正多边形地砖铺设，其中已选好了用正十二边形和正方形两种，还需要选用 ，使这三种组合在一起把便道铺满.
题型五 综合找规律
如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A 1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点A 2，„，∠An ﹣1BC 的平分线与∠An ﹣1CD 的平分线交于点An ．设∠A=θ．则： （1）求∠A1的度数； （2）∠An 的度数．
针对练习：
1. 如图所示, ∠ABC, ∠ACB 的内角平分线交于点O, ∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D, ∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E, 且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=__ ___,∠E=________.
B ．3种
C ．4种
D ．5种
A
D
E
巩固练习 一、选择题
1、下面各角能成为某多边形的内角的和的是（ ） A 、430° B、4343° C、4320° D、4360°
4
2、下列说法错误．．
的个数是（ ） （1）钝角三角形三边上的高都在三角形的外部
（2）三角形中，至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角 （3）三角形的一个外角等于它的两个内角的和 （4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角
（5）三角形的三个外角（每个顶点只取一个外角）中，钝角个数至少有2个 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、若一个三角形的三个内角度数之比为3：2：1，则与之相邻的三个外角度数之比为（ ） A. 3：2：1 B. 1：2：3 C. 5：4：3 D. 3：4：5
4. 如图，直线l 1∥l 2，∠1=40°，∠2=65°，则∠3=（ ） A ．65° B ．70° C ．75° D ．85°
第5题
5. 如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）
6. 如图所示，已知△ABC 为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1+∠2 等于（ A 、90° B 、135° C 、270° D 、315°
二．填空题
1．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是 _______。 2．如图，则∠
A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝_________
B
F
C
E
5
）
3．用三种边长相等的正多边形铺地面，已选了正方形和正五边形两种，还应选正_______边形。 4、一个四边形的四个内角中最多有______个钝角, 最多有______个锐角.
5、一个多边形的每一个外角都等于72°, 这个多边形的边数是_________,它的内角和是______度， 对角线有_____条
6. 如图，已知，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E 、F ，点G 在直线EF 上，GH ⊥AB ，若∠EGH=32°，则∠DFE 的度数为____________.
（第7题）
7. 如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A' 重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=____°. 若∠A=α°，则∠1+∠2=____°. （用α表示） 8. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则α=________．
三、解答题
1、已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，AD 平分外角∠EAC ．
求证：AD ∥BC ．
D
B C
2、如图, 在△ABC 中,D 是BC 边上一点, ∠1=∠2, ∠3=∠4, ∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.
A
4
B
D C
6
3将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C 作CF 平分∠DCE 交DE 于点F ． （1）求证：CF ∥AB ． （2）求∠DFC 的度数．
拓展提高：
1. （河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）A ．90°
B ．100°
C ．130° D ．180°
2. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（3. （1）如图1是一个五角星ABCDE ，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小. （2）如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么
A
A
A
B
2
E
B 2
E
1
2
E
D C
C
D
图1 图2 图3
A
B
E
A
C
C
图4 图5
7
）
4、（1）如图①∠1＋∠2与∠B ＋∠C 有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC 沿DE 折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B ＋∠C(填“＞”“＜”“=”) ，当∠A ＝40°时，∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2＝______
（3）如图③，是由图①的△ABC 沿DE 折叠得到的，如果∠A ＝30°，则x ＋y ＝360°－
（∠B ＋∠C ＋∠1＋∠2）＝360°－ ＝ , 猜想∠BDA ＋∠CEA 与∠A 的关系为
5、一个零件的形状如下图所示，规定∠A ＝90°，∠B 和∠C 分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC ＝
149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的原因。
6、如图所示, 在△ABC 中, ∠A=α, △ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β, 试探求下列各图中α与β的关系, 并选择一个加以说明.
A A A
P
P
B
(1)
C
(2)
C
C
(3)
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