带电粒子在复合场中运动问题
1．如图，在xoy 平面内有一边界半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁场的
磁感强度为B ，方向垂直xoy 平面指向纸内。从阴极K 逸出的质量为m 、电量为e 的电子（初速度可看作零），经过加速电压为U 的电场加速后，从原点O 沿Y 轴正方向射入匀强磁场中。已知电子运动的轨道半径大于R 。求：
（1）电子从O 点进入磁场时的速度大小。
（2）若圆形磁场区域的圆心O ＇处于不同的位置（原点O 始终在磁场区域的边界上），电子从磁场区域射出时的偏转角也将不同。求电子从磁场区域射出时偏转角可达到的最大值。
2. 设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场. 已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的, 电场强度的大小E=4.0伏/米, 磁感应强度的大小B=0.15特. 今有一个带负电的质点以v=20米/秒的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动, 求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示).
K
3. 如图所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B
；在
x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E 。一质量为m ，电量为-q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出。射出之后，第三次到达x 轴时，它与点O 的距离为L 。求此粒子射出时的速度v 和运动的总路程s （重力不计）。
4. 如图所示，在y ＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在y ＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy 平面（纸面）向外。一电量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y ＝h 处的点P 1时速率为v 0，方向沿x 轴正方向；然后，经过x 轴上x ＝2h 处的 P 2点进入磁场，并经过y 轴上y ＝ 2h 处的P 3点。不计重力。求
（l ）电场强度的大小。
（2）粒子到达P 2时速度的大小和方向。 （3）磁感应强度的大小。
x
5. 如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度B=2L=0.2m、场强
，质量
；磁场右边是宽度
、方向向左的匀强电场，一带电粒子电荷量
，以v
的速率沿
垂直射入
磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。求： （1）大致画出带电粒子的运动轨迹； （2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径； （3）带电粒子飞出电场时的动能
6. 如图所示，在xOy 坐标平面的第一象限内有沿方向的匀强电场，在第四象限内有沿+y
方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，且电场强度大小
。
与第一象限相同。现有一质量为m ，带电量为+q的质点，以某一初速度沿向从坐标为
方
的P 点开始运动，第一次经过x 轴的点为Q 点，Q 点的坐标为（l ，
0），经过匀速圆周运动后第二次过x 轴的点为坐标原点。若质点运动的初动能
为2mgl ，求：
（1）粒子经过Q 点时的速率v 和电场强度E 的大小； （2）粒子在第四象限运动的时间t 。
1解答（2）由图可知： Φm =∠OO ’’A
圆轨道对应的弦越长，圆心角越大，即偏转角越大。当弦长为圆
v
形磁场的直径时，电子射出磁场区域时的偏转角最大为Φm 。 sin
φm
2
=
e R RBe e ∴ φ=2arcsin RB ==RB m
2mU r mv 02mU
2. 解：根据带电质点做匀速直线运动的条件, 得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹
力的合力必定为零. 由此推知此三个力在同一竖直平面内, 如右图所示, 质点的速度垂直纸面
向外.
解法一:由合力为零的条件, 可得
求得带电质点的电量与质量之比
因质点带负电, 电场方向与电场力方向相反, 因而磁场方向也与电场力方向相反. 设磁场方向与重力方向之间夹角为θ, 则有
qEsin θ=qvBcosθ
,
即磁场是沿着与重力方向夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向.
3. 解：粒子运动路线如图示有
L ＝4R ①
粒子初速度为v ，则有
2
qvB=mv/R ② 由①、②式可算得 v=qBL/4m ③
设粒子进入电场作减速运动的最大路程为l ，加速度为
2
a ，v =2al ④ qE=ma ⑤
粒子运动的总路程 s=2πR+2l ⑥
由①、②、④、⑤、⑥式，得s=πL/2+qB2L 2/(16mE) ⑦
4解：（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P 1到P 2的时间为t ，电场强度的大小为E ，粒子在电场中的加速度为a ，由牛顿第二定律及运动学公式有
qE ＝ ma ① v 0t ＝ 2h ②
12
at =h ③ 2
由④
①、②、③式解得
2m v 0E =
2qh
（2）粒子到达P 2时速度沿x 方向的分量仍为v 0，以v 1
x
表示速度沿y 方向分量的大小，v 表示速度的大小，θ表示速度和x 轴的夹角，则有
2v 1=2ah ⑤
22
+v 0 v =v 1 ⑥
tan θ=
v 1
⑦ v 0
由②、③、⑤式得
v 1＝v 0 ⑧ 由⑥、⑦、⑧式得
v =2v 0 ⑨
θ=45︒ ⑩
（3）设磁场的磁感应强度为B ，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二v 2
定律qvB =m ⑾
r
r 是圆周的半径。此圆周与x 轴和y 轴的交点分别为P 2、P 3。因为OP 2＝OP 3， θ＝45°，由几何关系可知，连线P 2P 3为圆轨道的直径，由此可求得
r ＝2h ⑿
由⑨、⑾、⑿可得B =
mv 0
qh
5. 解析：（1）轨迹如图。
（2
）带电粒子在磁场中运动时，由牛顿运动定律，有
①
m ②
（3）
③
6. 解析：（1）带电质点从第一次经过x 轴到第二次过x 轴做匀速圆周运动，故重力与电场力平衡。
①
从P 点到Q 点，由动能定理得
②
解得 ③
（2）设其初速度为，则由，得设带电质点在Q 点时速度与x 轴夹角为
⑤
由几何关系可得 ⑥
由 ⑦
解得
⑧
④
带电粒子在复合场中运动问题
1．如图，在xoy 平面内有一边界半径为R 的圆形匀强磁场区域，磁场的
磁感强度为B ，方向垂直xoy 平面指向纸内。从阴极K 逸出的质量为m 、电量为e 的电子（初速度可看作零），经过加速电压为U 的电场加速后，从原点O 沿Y 轴正方向射入匀强磁场中。已知电子运动的轨道半径大于R 。求：
（1）电子从O 点进入磁场时的速度大小。
（2）若圆形磁场区域的圆心O ＇处于不同的位置（原点O 始终在磁场区域的边界上），电子从磁场区域射出时的偏转角也将不同。求电子从磁场区域射出时偏转角可达到的最大值。
2. 设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场. 已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的, 电场强度的大小E=4.0伏/米, 磁感应强度的大小B=0.15特. 今有一个带负电的质点以v=20米/秒的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动, 求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示).
K
3. 如图所示，在x 轴上方有垂直于xy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B
；在
x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E 。一质量为m ，电量为-q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出。射出之后，第三次到达x 轴时，它与点O 的距离为L 。求此粒子射出时的速度v 和运动的总路程s （重力不计）。
4. 如图所示，在y ＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在y ＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy 平面（纸面）向外。一电量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y ＝h 处的点P 1时速率为v 0，方向沿x 轴正方向；然后，经过x 轴上x ＝2h 处的 P 2点进入磁场，并经过y 轴上y ＝ 2h 处的P 3点。不计重力。求
（l ）电场强度的大小。
（2）粒子到达P 2时速度的大小和方向。 （3）磁感应强度的大小。
x
5. 如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度B=2L=0.2m、场强
，质量
；磁场右边是宽度
、方向向左的匀强电场，一带电粒子电荷量
，以v
的速率沿
垂直射入
磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。求： （1）大致画出带电粒子的运动轨迹； （2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径； （3）带电粒子飞出电场时的动能
6. 如图所示，在xOy 坐标平面的第一象限内有沿方向的匀强电场，在第四象限内有沿+y
方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，且电场强度大小
。
与第一象限相同。现有一质量为m ，带电量为+q的质点，以某一初速度沿向从坐标为
方
的P 点开始运动，第一次经过x 轴的点为Q 点，Q 点的坐标为（l ，
0），经过匀速圆周运动后第二次过x 轴的点为坐标原点。若质点运动的初动能
为2mgl ，求：
（1）粒子经过Q 点时的速率v 和电场强度E 的大小； （2）粒子在第四象限运动的时间t 。
1解答（2）由图可知： Φm =∠OO ’’A
圆轨道对应的弦越长，圆心角越大，即偏转角越大。当弦长为圆
v
形磁场的直径时，电子射出磁场区域时的偏转角最大为Φm 。 sin
φm
2
=
e R RBe e ∴ φ=2arcsin RB ==RB m
2mU r mv 02mU
2. 解：根据带电质点做匀速直线运动的条件, 得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹
力的合力必定为零. 由此推知此三个力在同一竖直平面内, 如右图所示, 质点的速度垂直纸面
向外.
解法一:由合力为零的条件, 可得
求得带电质点的电量与质量之比
因质点带负电, 电场方向与电场力方向相反, 因而磁场方向也与电场力方向相反. 设磁场方向与重力方向之间夹角为θ, 则有
qEsin θ=qvBcosθ
,
即磁场是沿着与重力方向夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向.
3. 解：粒子运动路线如图示有
L ＝4R ①
粒子初速度为v ，则有
2
qvB=mv/R ② 由①、②式可算得 v=qBL/4m ③
设粒子进入电场作减速运动的最大路程为l ，加速度为
2
a ，v =2al ④ qE=ma ⑤
粒子运动的总路程 s=2πR+2l ⑥
由①、②、④、⑤、⑥式，得s=πL/2+qB2L 2/(16mE) ⑦
4解：（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P 1到P 2的时间为t ，电场强度的大小为E ，粒子在电场中的加速度为a ，由牛顿第二定律及运动学公式有
qE ＝ ma ① v 0t ＝ 2h ②
12
at =h ③ 2
由④
①、②、③式解得
2m v 0E =
2qh
（2）粒子到达P 2时速度沿x 方向的分量仍为v 0，以v 1
x
表示速度沿y 方向分量的大小，v 表示速度的大小，θ表示速度和x 轴的夹角，则有
2v 1=2ah ⑤
22
+v 0 v =v 1 ⑥
tan θ=
v 1
⑦ v 0
由②、③、⑤式得
v 1＝v 0 ⑧ 由⑥、⑦、⑧式得
v =2v 0 ⑨
θ=45︒ ⑩
（3）设磁场的磁感应强度为B ，在洛仑兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二v 2
定律qvB =m ⑾
r
r 是圆周的半径。此圆周与x 轴和y 轴的交点分别为P 2、P 3。因为OP 2＝OP 3， θ＝45°，由几何关系可知，连线P 2P 3为圆轨道的直径，由此可求得
r ＝2h ⑿
由⑨、⑾、⑿可得B =
mv 0
qh
5. 解析：（1）轨迹如图。
（2
）带电粒子在磁场中运动时，由牛顿运动定律，有
①
m ②
（3）
③
6. 解析：（1）带电质点从第一次经过x 轴到第二次过x 轴做匀速圆周运动，故重力与电场力平衡。
①
从P 点到Q 点，由动能定理得
②
解得 ③
（2）设其初速度为，则由，得设带电质点在Q 点时速度与x 轴夹角为
⑤
由几何关系可得 ⑥
由 ⑦
解得
⑧
④