函数弹性及其在价格理论中的应用

函数弹性及其在价格理论中的应用

张国峰,数学与计算机科学学院

摘 要:函数弹性是微积分中的一个重要概念,它在价格理论中有着重要的应

用.本文介绍了函数弹性的定义及其性质,同时也讨论它在价格理论中的一些应用并给出了具体实例进行说明.

关键字:函数弹性;数学模型;需求弹性;供给弹性

On Elasticity of Function and Some Applications in Price

Theorems

Guofeng zhang ,College of Mathematics and Computer Science

Abstract:Elasticity of function is a key object of calculus of fluxion,it has some important

applications in price theorems. In this paper, we introduce the definition and properties of elasticity of function. At the same time, we discuss some applications in price theorems and give some particular examples.

Key words:Elasticity of function, Mathematical model, Elasticity of consumer demand,

Elasticity of supply

1.1 导数:

设函数y=f(x)在U(x0)有定义,在x0自变量x的改变量∆x,相应函数的该变量限

f(x0+∆x)-f(x0)∆y

存在,称函数f(x)在x0可导(或存在导=lim

∆x→0∆x∆x→0∆xlim

数),此极限称为函数f(x)在x0的导数(或微商),表为f'(x0)或

f'(x0)=lim

∆x→0

dy

dx

x=x0

,即

dyf(x0+∆x)-f(x0)

∆xdx

x=x0

=li∆x→0

f(x0+∆x)-f(x0)

∆x

若极限lim

f(x0+∆x)-f(x0)∆y

不存在,称函数f(x)在x0不可导。 =lim

∆x→0∆x∆x→0∆x

f(x0+∆x)-f(x0)f(x0+∆x)-f(x0)∆y∆y

若极限lim+ 与 lim- =lim+=lim-

∆x→0∆x∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆x

都存在,则分别称为函数f(x) 在x0右可导和左可导,其极限分别称为函数f(x)在

x0的右导数和左导数,分别表为f+'(x0)与f-'(x0),即

f+(x0)= lim'

∆x→0+

f(x0+∆x)-f(x0)f(x)-f(x0)

=lim+

x→x∆xx-x00

f(x)-f(x0)f(x0+∆x)-f(x0)

与f-'(x0)= lim=lim-

∆x→0x→x0∆xx-x0

+

定理1 若函数y=f(x)在x0处可导,则函数y=f(x)在x0处连续。 1.2 原函数

f(x)在区间I有定义,存在函数F(x)。若存在∀x∈I,有F'(x)=f(x),则称

函数F(x)的原函数,或简称F(x)是f(x)的原函数。

定理2 若F(x)是函数f(x)在区间I的一个原函数,则函数f(x)的无限多

个原函数仅限于F(x)+C(∀C∈R)的形式。

1.3 不定积分:

函数f(x)的所有的原函数F(x)+C(∀C∈R)称为函数f(x)的不定积分,表为

⎰f(x)dx=F(x)+C (F'(x)=f(x))

其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,C称为积分常数。

1.4 弹性

弹性概念在经济学中得到广泛的应用。一般说来,只要两个经济变量之间存

在着函数关系,我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。具体地说,它是这样一个数字,它告诉我们,当一个经济变量发生1%的变动时,由它引起的另一个经济变量变动的百分比。

在经济学中,弹性的一般公式为:

弹性函数=

因变量的变动比例

自变量的变动比例

设两个经济变量之间的函数关系为Y=f(X),则弹性的一般公式还可以表示为:

∆Y

∆YX …………… (Φ)

e==⋅

∆X∆XYX

式中,e为弹性系数;∆X、∆Y分别为X、Y的变动量。该式表示:当自变量变化百分之一时,因变量Y变化百分之几。

若经济变量的变化量趋于无穷小,即:当(Φ)式中的∆X→0,且∆Y→0时,则弹性公式为:

∆YdY

dYX

………… (Θ) e=lim==⋅

∆x→0∆XdXdXY

XX

通常将(Φ)式称为弧弹性公式,将(Θ)式称为点弹性。

1.5 弹性函数

对于一般的x,如果y=f(x)是可导函数,且f'(x)≠0,则有

ηy=

EyE∆y/y∆yxx=f(x)=lim=lim⋅=f'(x).

∆x→0∆x→0ExEx∆x/x∆xyfx是x的函数,称为f(x)的弹性函数(简称为弹性)。 [说明]

(1)弹性的意义:函数f(x)在点x处的弹性ηy=Ey反映了x变化幅度∆x对

Ex

x

f(x)的变化幅度∆y的大小的影响,也就是f(x)对x变化反映的强烈程度(或灵敏

y

度)。具体地, Ef(x0)表示在x=x0处,当x改变1%时,f(x)近似地改变了

Ex

E

f(x0)%。在应用问题中解释弹性的具体意义时,我们还是略去“近似”二字。 Ex

(2) 由弹性的定义

ηy=

Eyxy'边际函数⎫

=y'⋅==⎛ ⎪

yExy⎝平均函数⎭x

这样,弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。

(3) 我们在讨论经济问题时,通常是比较其弹性的绝对值的大小,并且常常根据其绝对值的大小对弹性进行如下分类:

① 当y=1时,称这个弹性为单位弹性; ② 当y>1时,称这个弹性为相当有弹性; ③ 当y

2.几种价格弹性

(1) 需求的价格弹性

设某商品需求函数Q=Q(p)在p=p0处可导,则该商品在p=p0处的需求弹性为

ηp=p

=-Q'(p0)⋅

p0 Q(p0)

1 设某种商品的需求函数为Q=50-p,p为价格(0

求的价格弹性;(2) 讨论当价格为多少时,弹性分别为单位弹性、相当有弹性、相当无弹性。

解 (1) 根据弹性的计算公式,有

ηQ=

EQppp'

=Q'=(50-p)⋅=-

( 0

(2) 令Q=1,解出p=25,即当价格p=25时为单位弹性。说明此时需求量增加(或减少)的百分数与价格下降(或上涨)的百分数相等,即价格的相对少许变化不会引起相对需求量的较大变化。

令Q>1,解出25

令Q

在市场经济中,企业最关心的是商品涨价(∆p>0)或降价(∆p

设需求函数为Q=Q(p),则总收益函数(市场销售总额)为R=pQ=p⋅Q(p),故边际总收益:

⎡p⎤R'=pQ'(p)+Q(p)=Q(p)⎢1+Q'(p)⋅=Q(p)(1+ηQ) ⎥Qp⎦⎣

这样,由微分的应用知,当商品价格p有微小变化(∆p比较小)时,商品销售收益(市场销售总额)的改变量为:

∆R≈dR=R'∆p=(1+ηQ)Q(p)∆p

在现实生活中,绝大多数商品的需求函数是单调减函数(价格上升时需求量减少,价格下降时需求量增加),因而有Q'(p)

上式又可写作:

∆R≈dR=1-QQ(p)∆p

()

这样,根根需求的价格弹性ηQ的大小,我们可作如下需求弹性对总收益的影响分析:

(1) 当商品的需求的价格弹性Q>1时,商品涨价(∆p>0),将使商品销售的总收益减少(∆R0)。 (2) 当商品的需求的价格弹性Q0),将使商品销售的总收益增加(∆R>0);商品降价(∆p

例2 已知某集团公司生产经营的某品牌电器的需求弹性Q在1.5~3.5之间,如果该公司计划在下一年度内将价格降低10%,问这种电器的销售量的增长率将会增加多少? 总收益将会增长多少?

解: 由需求弹性ηQ=Q'p=dQ⋅p知:

Q

dpQdQdp,从而有 =ηQQp

∆QdQdp∆p.

≈=ηQ=ηQQQpp

再由∆R≈dR=1-QQ(p)∆p和R=pQ=p⋅Q(p)得

∆RdR1-QQ(p)∆p∆p≈==1-Q. RRpQpp

()

()

()

因而,当Q=1.5时,

∆R∆Q

≈(1-1.5)⨯(-0.1)=5%. ≈-1.5⨯(-0.1)=15%, RQ

当Q=3.5时,

∆R∆Q

≈(1-3.5)⨯(-0.1)=25%. ≈-3.5⨯(-0.1)=35%, RQ

即当下一个年度内将价格降低10%以后,该公司这种电器的销量将会增长

15%~35%,总收益将会增加5%~25%。

(2) 供给的价格弹性

设某商品供给函数S=S(p)在p=p0处可导,则该商品在p=p0处地供给弹性,为

εp=p

(3) 收益的价格弹性

E(p)=R'(p)⋅

=S'(p0)⋅

p0

S(p0)

pp

=Q(p)(1-η)⋅=1-η R(p)P⋅Q(p)

(4) 点弹性

定义: 设函数y=f(x)在点x0处可导,函数的相对改变量

∆yf(x0+∆x)-f(x0)= y0fx0与自变量的相对改变量

∆y/y0∆x

之比称为函数f(x)从x0到x0+∆x两点间的平

∆x/x0x0

∆y/y0

的极限称为函数f(x)∆x/x0

均相对变化率,或称为两点间的弹性。当∆x→0时,

在x=x0处的相对变化率,或称为函数f(x)在x=x0处的点弹性。记作

ηyx=x,

EyEx

或 Ef(x0)

x=x0

Ex

3、价格弹性的几何理解 3.1 几何理解

对点弹性而言,不妨设需求曲线为Q=Q(P)。式中,P为价格,Q为需求量。此时设Ed表示价格弹性,则有Ed=

从图中可知:D为需求曲线,其表达式为0=Q(P),点A的坐标为A(P,Q) 过A点的曲线D的切线斜率为tga=Kd=

dQOB

=-

式中,Kd为切线的斜率。 dPOC

dQP* dPQ

因为Ed=

dQOBdQP

=-*,tga=Kd=,A点的坐标为P=AE,Q=AF,P=OE,dPOCdPQ

Q=OF 所以Ed=

OBOE

* OCAE

OBBE

=

因为△BOS∽△BEA,所以, OCAE

因为Ed=-得Ed=-

BE

OE

OBAEBEAEOBOE

***,Ed=,所以Ed=- OCOEAEOEOCAE

而且因为AE∥0C,Ed=-

BEBA

所以Ed=-(平行切割) OEAC

显然,D线上任意一点处的弹性是以切点内分上部、下部线段的比值取负号。

3.2 价格弹性与斜率的关系及应用

从Ed=

dQP

*中看出,图中A点切线的斜率是与Ed相关的,但不是同一种概dPQ

念,即价格弹性不是斜率。

从图中看,当切点位于切线中点时有:|Ed|=1 显然,AB上|Ed|1。

这样,即使是同一条需求曲线D上不同点处的价格弹性均不一样。那么,P处于何处时可降价呢?当价格P位于P>F且接近c的较高部位时,降价可使需求量Q增加;反之,当价格P位于P

∆QP

*。这时应用可不必知道需求曲线∆PQ

方程即可不知Q=Q(P),只需知道需求曲线两点的价格和需求量即可。

例 1:线性关系的某商店,即:Q=Q(P)是线性的。若价格由1元上升到3

元,需求量由1000个单位下降到800个单位。求该商品的需求弹性。

解:由题意可得

△Q=800-1000=-200(单位)

△P=3-1=2(元)

Q=1000(单元) P=1(元) 则有Ed=∆QP-2001*=*=-0.1弧弹性公式的应用。 ∆PQ21000

针对Q=Q(P),对P的上升/下降,|Ed|应一致,但基准量Q、P不同,|Ed|将不一致。

例 2:实例1变化一下可得,P 由3元下降到1元,Q从800单位上升到1000单位,试求 。

解:△Q=1000-800=200(单元)

△P=1-3=-2(元)

Q=1000(单位)P=3(元)

Ed=∆QP2003*=*=-0.3 ∆PQ-21000

为了不出现上述现象,可用弧弹性公式来进行计算。首先,看看公式的变化。 Ed=∆QP* ∆PQ

Ed=Q2-Q1(P+P)/2Q2-Q1*12=*P1+P2Q1+Q2 P2-P(Q1+Q2)/2P2-P11

式中,Pl,Ql是基期数据;P2,Q2是报告期数据。这样便不再会出现P上升或下降的绝对量一致,Q 下降或上升的绝对量一致, 不一致的问题。

例 3:

对实例1有

Ed=Q2-Q1800-10001+3*P+PQ+Q=*≈-0.22 1212P2-P3-1800+10001

对实例2有

Ed=Q2-Q11000-8001+3*P+PQ+Q=*≈-0.22 1212P2-P1-31000+8001

显然,用弧弹性公式结果是一致的。

4.价格弹性的生活中的应用

1、谷贱伤农

谷贱伤农即当粮食大幅增产后,农民为了卖掉手中的粮食,只能竞相降价。由于粮食是必需品,人们对粮价的变化反应不敏感,其需求曲线是缺乏弹性曲线,粮价下降时,市场对粮食需求量的增加幅度小于价格减少幅度,只有在农民大幅降低粮价后才能将手中的粮食卖出,这就意味着,在粮食丰收时往往粮价要大幅下跌。如果出现粮价下跌的百分比超过粮食增产的百分比,则就出现增产不增收甚至减收的状况,这就是“谷贱伤农”。

由于粮食是人们的生活必需品,这就决定了粮食的可替代性非常差。同时,一般人们会先留出购买粮食的钱再做其他消费规划。即使粮价降低,也不太可能刺激消费,同样,粮价上涨也很难削减需求。何况随着生活水平的提高,粮食支出在消费者预算总支出中所占的比重更小了。这些基本上决定了粮食是一种缺乏弹性的商品,粮价的变化对需求量的影响不大。

所以当粮食价格下降、需求量又没有相应增加时,以卖粮收入为主要经济来源的农民就会面临收入降低的问题。而且,由于粮食的生产周期比较长,农民很难

通过减少种植来及时控制供给,利用市场供求关系变化抬高粮食价格,这时就会产生“谷贱伤农”的问题。

“谷贱伤农”是经济学的一个经典问题。农民粮食收割后到底能卖多少钱取决于两个因素:产量和粮价,是二者的乘积。但这两个变量并不是独立的,而是相互关联的,其关联性由一条向下倾斜的对粮食的需求线来决定。也就是说,价格越低,需求量越大;价格越高,需求量越小。另外还要注意的是,粮食需求线缺少弹性,也就是说,需求量对价格的变化不是很敏感。当粮价下跌时,对粮食的需求量会增加,但增加得不是很多。其基本的道理在于,粮食是一种必需品,对粮食的需求最主要的是由对粮食的生理需求所决定的。此外,当今对大部分人来说,粮食方面的花费在全部花费中所占比例已很小了,并且还会越来越小,这也导致人们对粮价的变化反应不敏感。

2.薄利多销

薄利多销是指低价低利扩大销售的策略。“薄利多销”中的“薄利”就是降价,降价就能“多销”,“多销”就能增加总收益。在销售市场有可能扩大的情况下,通过降低单位商品的利润来降低商品的价格,虽然会使企业从单位商品中获得的利润量减少,但由于销售数量的增加,企业所获利润总额可以增加。只有需求富有弹性的商品才能“薄利多销”。实行薄利多销的商品,必须满足商品需求价格弹性大于1,此时需求富有弹性。因为对于需求富有弹性的商品来说,当该商品的价格下降时,需求量(从而销售量)增加的幅度大于价格下降的幅度,所以总收益增加。 高档消费品的需求价格弹性与粮食不同。一方面,高档消费品的可替代性强,与中低档消费品一般可以相互替代,对消费者来说,高档消费品并不是必需的。而且,高档消费品的价格普遍较高,在消费者预算总支出中所占的比重很大。这些共

同决定了高档消费品的需求对价格是富有弹性的。因此,当高档消费品降价时,其需求量会大幅上升,引起销售总收入的增长,出现“薄利多销”的情况。

但现实中也有反面的例证。例如,钢笔中的贵族“派克”向来以优异的质量和昂贵的价格跻身高档消费品之列,1982年,为了回避与克罗斯公司的正面竞争,派克公司决定转而经营3美元以下的钢笔。公司总经理詹姆斯·彼特森预测这样一定会极大地带动市场需求,刺激消费者购买。然而,出乎他意料的事情发生了:派克钢笔的销量不断下滑,最后降到了对手克罗斯公司销量的50%,并最终导致百年老店派克公司被吉列特(Gillette)文具集团收购。

派克公司经历滑铁卢的原因是什么呢?因为对消费者来说,派克钢笔还代表了一种身份和地位,代表了一种让人向往的生活方式。它的大幅降价不但不能有效地提高销量,反而会损害品牌形象和价值,从而影响长期销售。

由以上可见,各种物品的需求弹性是不一样的,大体可以分为两种。一种是需求富有弹性的物品,需求弹性大于l,如奢侈品、化妆品等,这种产品可有可无,如果降价可以多买,如果涨价可以少买,所以在合理的降价范围内,总利润增加了。另一种是需求缺乏弹性的物品,需求弹性小于1,如生活必需品,这里的谷就是其中之一,这些产品不会由于涨价而少买很多,也不会由于降价可以买很多。只有需求富有弹性的商品才能“薄利多销”。因为对于需求富有弹性的商品而言,当该商品降价时,需求增加的幅度大于价格下降的幅度,所以总收益会增加。

价格由P1降到P2时,富有弹性产品增量明显比缺乏弹性产品的增量多

3.质量选择

垄断者不仅选择产量水平,也选择他们生产产品的其他方面,如考虑到产品质量。让我们假定产品数量以数级q来表示,假定效用和成本依赖于质量,假定取社会目标函数为:

W(x,q)=u(x,q)-c(x,q)

(通常我们假定效用函数为拟线性的。)我们假定质量是一种商品,故有∂uq>0。其生产耗费大,故有∂c∂q>0。

垄断者最大利润:

maxp(x,q)x-c(x,q)x,q

该问题的一阶条件为:

p(xm,qm)+∂p(xm,qm)∂c(xm,qm)xm=∂x∂x

∂p(xm,qm)∂c(xm,qm)xm=∂q∂q

让我们在(xm,qm)点计算福利函数微分,我们有:

∂W(xm,qm)∂u(xm,qm)∂c(xm,qm)=-∂x∂x∂x

∂W(xm,qm)∂u(xm,qm)∂c(xm,qm)=-∂q∂q∂q

用一阶条件对上式进行替代,我们发现:

∂p(xm,qm)∂W(xm,qm)=-xm>0........................(Φ)∂x∂x

∂W(xm,qm)∂u(xm,qm)∂p(xm,qm)=-xm.............(Θ)∂q∂q∂q

式 (Φ) 告诉我们,将质量固定,垄断者相对于社会最优水平将生产很少。式(Θ)不会那么容易理解。由于∂p∂q为生产更多质量的边际成本,它必须为正。因而,福利关于质量的导数是两个正数之间的差异,从表面上看,它并不清楚。 如果我们将社会目标函数写成消费者剩余加利润,而不是效用减成本,似乎更加容易看到答案。

W(x,q)=[u(x,q)-p(x,q)x]+[p(x,q)x-c(x,q)]=消费者剩余+利润

现在,对此定义求关于x和q的微分,并在垄断者最大化利润的产量水平处对此进行评价。由于垄断者最大化利润,垄断利润关于产量和质量的导数必须等于零,表明了福利关于数量和质量的导数精确地消费者剩余关于数量和质量的导数。

消费者剩余关于数量的导数总是为正,这是垄断者生产很少产量的另一种说法。消费者剩余关于质量的导数是模糊的——可能为正,也可能为负。其符号依

2∂赖与p(x,p)/(∂x∂p)的符号。

(Θ)另一种解释式的方法是基于保留价格模型的考虑。将p(x,q)认作计量

消费者消费x的保留价格,故u(x,q)即为保留价格的总和。在此解释中,u(x,q)为

(Θ)平均支付意愿,p(x,q)为边际支付意愿,我们可以重写式为:

1∂W(xm,qm)∂u(x,q)=[-p(xm,qm)]x∂q∂qxm

现在我们可以看到,福利关于数量变化的导数与平均支付意愿关于质量变化

的导数减去边际支付意愿关于质量变化的导数称正比。

社会福利依赖于消费者效用或支付意愿的总和。但是,垄断者只关心个人的边际支付意愿。如果这两个值不同,从社会角度看,垄断者的质量选择将不是最优的。

参考文献

[1] 高鸿业,西方经济学第三版(微观部分)[M],中国人民大学出版社,2004

[2] 高鸿业,西方经济学第三版(宏观部分)[M],中国人民大学出版社,2004

[3] 郑玉歆,范金,谭伟,中级微观经济学[M],经济管理出版社,2004

[4] 杨红梅, 价格弹性及应用问题[J]. S山西煤炭管理干部学院学报,2004,17

(1):28,41

[5] 曼昆, 经济学原理[M],北京机械工业出版社,2005

[6] 刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁,数学分析讲义(上)第四版[M],高

等教育出版社,2004

[7] 刘玉琏,傅沛仁,数学分析讲义[M],高等教育出版社,1985

[8] 王艳芬,数学在经济学中的应用[J], 泰山学院学报,2008 (3):1-2

[9] 吴怡,论数学在经济学中的应用[J], 商场现代化,2008 (14):5-8

[10] 张素芬,王琳 ,浅谈数学在经济学中的应用[J], 商场现代化,2008(12):3-7

[11] 林庄,浅谈数学在经济学中的应用[J],引进与咨询,2006(9):4-6.

函数弹性及其在价格理论中的应用

张国峰,数学与计算机科学学院

摘 要:函数弹性是微积分中的一个重要概念,它在价格理论中有着重要的应

用.本文介绍了函数弹性的定义及其性质,同时也讨论它在价格理论中的一些应用并给出了具体实例进行说明.

关键字:函数弹性;数学模型;需求弹性;供给弹性

On Elasticity of Function and Some Applications in Price

Theorems

Guofeng zhang ,College of Mathematics and Computer Science

Abstract:Elasticity of function is a key object of calculus of fluxion,it has some important

applications in price theorems. In this paper, we introduce the definition and properties of elasticity of function. At the same time, we discuss some applications in price theorems and give some particular examples.

Key words:Elasticity of function, Mathematical model, Elasticity of consumer demand,

Elasticity of supply

1.1 导数:

设函数y=f(x)在U(x0)有定义,在x0自变量x的改变量∆x,相应函数的该变量限

f(x0+∆x)-f(x0)∆y

存在,称函数f(x)在x0可导(或存在导=lim

∆x→0∆x∆x→0∆xlim

数),此极限称为函数f(x)在x0的导数(或微商),表为f'(x0)或

f'(x0)=lim

∆x→0

dy

dx

x=x0

,即

dyf(x0+∆x)-f(x0)

∆xdx

x=x0

=li∆x→0

f(x0+∆x)-f(x0)

∆x

若极限lim

f(x0+∆x)-f(x0)∆y

不存在,称函数f(x)在x0不可导。 =lim

∆x→0∆x∆x→0∆x

f(x0+∆x)-f(x0)f(x0+∆x)-f(x0)∆y∆y

若极限lim+ 与 lim- =lim+=lim-

∆x→0∆x∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x∆x

都存在,则分别称为函数f(x) 在x0右可导和左可导,其极限分别称为函数f(x)在

x0的右导数和左导数,分别表为f+'(x0)与f-'(x0),即

f+(x0)= lim'

∆x→0+

f(x0+∆x)-f(x0)f(x)-f(x0)

=lim+

x→x∆xx-x00

f(x)-f(x0)f(x0+∆x)-f(x0)

与f-'(x0)= lim=lim-

∆x→0x→x0∆xx-x0

+

定理1 若函数y=f(x)在x0处可导,则函数y=f(x)在x0处连续。 1.2 原函数

f(x)在区间I有定义,存在函数F(x)。若存在∀x∈I,有F'(x)=f(x),则称

函数F(x)的原函数,或简称F(x)是f(x)的原函数。

定理2 若F(x)是函数f(x)在区间I的一个原函数,则函数f(x)的无限多

个原函数仅限于F(x)+C(∀C∈R)的形式。

1.3 不定积分:

函数f(x)的所有的原函数F(x)+C(∀C∈R)称为函数f(x)的不定积分,表为

⎰f(x)dx=F(x)+C (F'(x)=f(x))

其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,C称为积分常数。

1.4 弹性

弹性概念在经济学中得到广泛的应用。一般说来,只要两个经济变量之间存

在着函数关系,我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。具体地说,它是这样一个数字,它告诉我们,当一个经济变量发生1%的变动时,由它引起的另一个经济变量变动的百分比。

在经济学中,弹性的一般公式为:

弹性函数=

因变量的变动比例

自变量的变动比例

设两个经济变量之间的函数关系为Y=f(X),则弹性的一般公式还可以表示为:

∆Y

∆YX …………… (Φ)

e==⋅

∆X∆XYX

式中,e为弹性系数;∆X、∆Y分别为X、Y的变动量。该式表示:当自变量变化百分之一时,因变量Y变化百分之几。

若经济变量的变化量趋于无穷小,即:当(Φ)式中的∆X→0,且∆Y→0时,则弹性公式为:

∆YdY

dYX

………… (Θ) e=lim==⋅

∆x→0∆XdXdXY

XX

通常将(Φ)式称为弧弹性公式,将(Θ)式称为点弹性。

1.5 弹性函数

对于一般的x,如果y=f(x)是可导函数,且f'(x)≠0,则有

ηy=

EyE∆y/y∆yxx=f(x)=lim=lim⋅=f'(x).

∆x→0∆x→0ExEx∆x/x∆xyfx是x的函数,称为f(x)的弹性函数(简称为弹性)。 [说明]

(1)弹性的意义:函数f(x)在点x处的弹性ηy=Ey反映了x变化幅度∆x对

Ex

x

f(x)的变化幅度∆y的大小的影响,也就是f(x)对x变化反映的强烈程度(或灵敏

y

度)。具体地, Ef(x0)表示在x=x0处,当x改变1%时,f(x)近似地改变了

Ex

E

f(x0)%。在应用问题中解释弹性的具体意义时,我们还是略去“近似”二字。 Ex

(2) 由弹性的定义

ηy=

Eyxy'边际函数⎫

=y'⋅==⎛ ⎪

yExy⎝平均函数⎭x

这样,弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。

(3) 我们在讨论经济问题时,通常是比较其弹性的绝对值的大小,并且常常根据其绝对值的大小对弹性进行如下分类:

① 当y=1时,称这个弹性为单位弹性; ② 当y>1时,称这个弹性为相当有弹性; ③ 当y

2.几种价格弹性

(1) 需求的价格弹性

设某商品需求函数Q=Q(p)在p=p0处可导,则该商品在p=p0处的需求弹性为

ηp=p

=-Q'(p0)⋅

p0 Q(p0)

1 设某种商品的需求函数为Q=50-p,p为价格(0

求的价格弹性;(2) 讨论当价格为多少时,弹性分别为单位弹性、相当有弹性、相当无弹性。

解 (1) 根据弹性的计算公式,有

ηQ=

EQppp'

=Q'=(50-p)⋅=-

( 0

(2) 令Q=1,解出p=25,即当价格p=25时为单位弹性。说明此时需求量增加(或减少)的百分数与价格下降(或上涨)的百分数相等,即价格的相对少许变化不会引起相对需求量的较大变化。

令Q>1,解出25

令Q

在市场经济中,企业最关心的是商品涨价(∆p>0)或降价(∆p

设需求函数为Q=Q(p),则总收益函数(市场销售总额)为R=pQ=p⋅Q(p),故边际总收益:

⎡p⎤R'=pQ'(p)+Q(p)=Q(p)⎢1+Q'(p)⋅=Q(p)(1+ηQ) ⎥Qp⎦⎣

这样,由微分的应用知,当商品价格p有微小变化(∆p比较小)时,商品销售收益(市场销售总额)的改变量为:

∆R≈dR=R'∆p=(1+ηQ)Q(p)∆p

在现实生活中,绝大多数商品的需求函数是单调减函数(价格上升时需求量减少,价格下降时需求量增加),因而有Q'(p)

上式又可写作:

∆R≈dR=1-QQ(p)∆p

()

这样,根根需求的价格弹性ηQ的大小,我们可作如下需求弹性对总收益的影响分析:

(1) 当商品的需求的价格弹性Q>1时,商品涨价(∆p>0),将使商品销售的总收益减少(∆R0)。 (2) 当商品的需求的价格弹性Q0),将使商品销售的总收益增加(∆R>0);商品降价(∆p

例2 已知某集团公司生产经营的某品牌电器的需求弹性Q在1.5~3.5之间,如果该公司计划在下一年度内将价格降低10%,问这种电器的销售量的增长率将会增加多少? 总收益将会增长多少?

解: 由需求弹性ηQ=Q'p=dQ⋅p知:

Q

dpQdQdp,从而有 =ηQQp

∆QdQdp∆p.

≈=ηQ=ηQQQpp

再由∆R≈dR=1-QQ(p)∆p和R=pQ=p⋅Q(p)得

∆RdR1-QQ(p)∆p∆p≈==1-Q. RRpQpp

()

()

()

因而,当Q=1.5时,

∆R∆Q

≈(1-1.5)⨯(-0.1)=5%. ≈-1.5⨯(-0.1)=15%, RQ

当Q=3.5时,

∆R∆Q

≈(1-3.5)⨯(-0.1)=25%. ≈-3.5⨯(-0.1)=35%, RQ

即当下一个年度内将价格降低10%以后,该公司这种电器的销量将会增长

15%~35%,总收益将会增加5%~25%。

(2) 供给的价格弹性

设某商品供给函数S=S(p)在p=p0处可导,则该商品在p=p0处地供给弹性,为

εp=p

(3) 收益的价格弹性

E(p)=R'(p)⋅

=S'(p0)⋅

p0

S(p0)

pp

=Q(p)(1-η)⋅=1-η R(p)P⋅Q(p)

(4) 点弹性

定义: 设函数y=f(x)在点x0处可导,函数的相对改变量

∆yf(x0+∆x)-f(x0)= y0fx0与自变量的相对改变量

∆y/y0∆x

之比称为函数f(x)从x0到x0+∆x两点间的平

∆x/x0x0

∆y/y0

的极限称为函数f(x)∆x/x0

均相对变化率,或称为两点间的弹性。当∆x→0时,

在x=x0处的相对变化率,或称为函数f(x)在x=x0处的点弹性。记作

ηyx=x,

EyEx

或 Ef(x0)

x=x0

Ex

3、价格弹性的几何理解 3.1 几何理解

对点弹性而言,不妨设需求曲线为Q=Q(P)。式中,P为价格,Q为需求量。此时设Ed表示价格弹性,则有Ed=

从图中可知:D为需求曲线,其表达式为0=Q(P),点A的坐标为A(P,Q) 过A点的曲线D的切线斜率为tga=Kd=

dQOB

=-

式中,Kd为切线的斜率。 dPOC

dQP* dPQ

因为Ed=

dQOBdQP

=-*,tga=Kd=,A点的坐标为P=AE,Q=AF,P=OE,dPOCdPQ

Q=OF 所以Ed=

OBOE

* OCAE

OBBE

=

因为△BOS∽△BEA,所以, OCAE

因为Ed=-得Ed=-

BE

OE

OBAEBEAEOBOE

***,Ed=,所以Ed=- OCOEAEOEOCAE

而且因为AE∥0C,Ed=-

BEBA

所以Ed=-(平行切割) OEAC

显然,D线上任意一点处的弹性是以切点内分上部、下部线段的比值取负号。

3.2 价格弹性与斜率的关系及应用

从Ed=

dQP

*中看出,图中A点切线的斜率是与Ed相关的,但不是同一种概dPQ

念,即价格弹性不是斜率。

从图中看,当切点位于切线中点时有:|Ed|=1 显然,AB上|Ed|1。

这样,即使是同一条需求曲线D上不同点处的价格弹性均不一样。那么,P处于何处时可降价呢?当价格P位于P>F且接近c的较高部位时,降价可使需求量Q增加;反之,当价格P位于P

∆QP

*。这时应用可不必知道需求曲线∆PQ

方程即可不知Q=Q(P),只需知道需求曲线两点的价格和需求量即可。

例 1:线性关系的某商店,即:Q=Q(P)是线性的。若价格由1元上升到3

元,需求量由1000个单位下降到800个单位。求该商品的需求弹性。

解:由题意可得

△Q=800-1000=-200(单位)

△P=3-1=2(元)

Q=1000(单元) P=1(元) 则有Ed=∆QP-2001*=*=-0.1弧弹性公式的应用。 ∆PQ21000

针对Q=Q(P),对P的上升/下降,|Ed|应一致,但基准量Q、P不同,|Ed|将不一致。

例 2:实例1变化一下可得,P 由3元下降到1元,Q从800单位上升到1000单位,试求 。

解:△Q=1000-800=200(单元)

△P=1-3=-2(元)

Q=1000(单位)P=3(元)

Ed=∆QP2003*=*=-0.3 ∆PQ-21000

为了不出现上述现象,可用弧弹性公式来进行计算。首先,看看公式的变化。 Ed=∆QP* ∆PQ

Ed=Q2-Q1(P+P)/2Q2-Q1*12=*P1+P2Q1+Q2 P2-P(Q1+Q2)/2P2-P11

式中,Pl,Ql是基期数据;P2,Q2是报告期数据。这样便不再会出现P上升或下降的绝对量一致,Q 下降或上升的绝对量一致, 不一致的问题。

例 3:

对实例1有

Ed=Q2-Q1800-10001+3*P+PQ+Q=*≈-0.22 1212P2-P3-1800+10001

对实例2有

Ed=Q2-Q11000-8001+3*P+PQ+Q=*≈-0.22 1212P2-P1-31000+8001

显然,用弧弹性公式结果是一致的。

4.价格弹性的生活中的应用

1、谷贱伤农

谷贱伤农即当粮食大幅增产后,农民为了卖掉手中的粮食,只能竞相降价。由于粮食是必需品,人们对粮价的变化反应不敏感,其需求曲线是缺乏弹性曲线,粮价下降时,市场对粮食需求量的增加幅度小于价格减少幅度,只有在农民大幅降低粮价后才能将手中的粮食卖出,这就意味着,在粮食丰收时往往粮价要大幅下跌。如果出现粮价下跌的百分比超过粮食增产的百分比,则就出现增产不增收甚至减收的状况,这就是“谷贱伤农”。

由于粮食是人们的生活必需品,这就决定了粮食的可替代性非常差。同时,一般人们会先留出购买粮食的钱再做其他消费规划。即使粮价降低,也不太可能刺激消费,同样,粮价上涨也很难削减需求。何况随着生活水平的提高,粮食支出在消费者预算总支出中所占的比重更小了。这些基本上决定了粮食是一种缺乏弹性的商品,粮价的变化对需求量的影响不大。

所以当粮食价格下降、需求量又没有相应增加时,以卖粮收入为主要经济来源的农民就会面临收入降低的问题。而且,由于粮食的生产周期比较长,农民很难

通过减少种植来及时控制供给,利用市场供求关系变化抬高粮食价格,这时就会产生“谷贱伤农”的问题。

“谷贱伤农”是经济学的一个经典问题。农民粮食收割后到底能卖多少钱取决于两个因素:产量和粮价,是二者的乘积。但这两个变量并不是独立的,而是相互关联的,其关联性由一条向下倾斜的对粮食的需求线来决定。也就是说,价格越低,需求量越大;价格越高,需求量越小。另外还要注意的是,粮食需求线缺少弹性,也就是说,需求量对价格的变化不是很敏感。当粮价下跌时,对粮食的需求量会增加,但增加得不是很多。其基本的道理在于,粮食是一种必需品,对粮食的需求最主要的是由对粮食的生理需求所决定的。此外,当今对大部分人来说,粮食方面的花费在全部花费中所占比例已很小了,并且还会越来越小,这也导致人们对粮价的变化反应不敏感。

2.薄利多销

薄利多销是指低价低利扩大销售的策略。“薄利多销”中的“薄利”就是降价,降价就能“多销”,“多销”就能增加总收益。在销售市场有可能扩大的情况下,通过降低单位商品的利润来降低商品的价格,虽然会使企业从单位商品中获得的利润量减少,但由于销售数量的增加,企业所获利润总额可以增加。只有需求富有弹性的商品才能“薄利多销”。实行薄利多销的商品,必须满足商品需求价格弹性大于1,此时需求富有弹性。因为对于需求富有弹性的商品来说,当该商品的价格下降时,需求量(从而销售量)增加的幅度大于价格下降的幅度,所以总收益增加。 高档消费品的需求价格弹性与粮食不同。一方面,高档消费品的可替代性强,与中低档消费品一般可以相互替代,对消费者来说,高档消费品并不是必需的。而且,高档消费品的价格普遍较高,在消费者预算总支出中所占的比重很大。这些共

同决定了高档消费品的需求对价格是富有弹性的。因此,当高档消费品降价时,其需求量会大幅上升,引起销售总收入的增长,出现“薄利多销”的情况。

但现实中也有反面的例证。例如,钢笔中的贵族“派克”向来以优异的质量和昂贵的价格跻身高档消费品之列,1982年,为了回避与克罗斯公司的正面竞争,派克公司决定转而经营3美元以下的钢笔。公司总经理詹姆斯·彼特森预测这样一定会极大地带动市场需求,刺激消费者购买。然而,出乎他意料的事情发生了:派克钢笔的销量不断下滑,最后降到了对手克罗斯公司销量的50%,并最终导致百年老店派克公司被吉列特(Gillette)文具集团收购。

派克公司经历滑铁卢的原因是什么呢?因为对消费者来说,派克钢笔还代表了一种身份和地位,代表了一种让人向往的生活方式。它的大幅降价不但不能有效地提高销量,反而会损害品牌形象和价值,从而影响长期销售。

由以上可见,各种物品的需求弹性是不一样的,大体可以分为两种。一种是需求富有弹性的物品,需求弹性大于l,如奢侈品、化妆品等,这种产品可有可无,如果降价可以多买,如果涨价可以少买,所以在合理的降价范围内,总利润增加了。另一种是需求缺乏弹性的物品,需求弹性小于1,如生活必需品,这里的谷就是其中之一,这些产品不会由于涨价而少买很多,也不会由于降价可以买很多。只有需求富有弹性的商品才能“薄利多销”。因为对于需求富有弹性的商品而言,当该商品降价时,需求增加的幅度大于价格下降的幅度,所以总收益会增加。

价格由P1降到P2时,富有弹性产品增量明显比缺乏弹性产品的增量多

3.质量选择

垄断者不仅选择产量水平,也选择他们生产产品的其他方面,如考虑到产品质量。让我们假定产品数量以数级q来表示,假定效用和成本依赖于质量,假定取社会目标函数为:

W(x,q)=u(x,q)-c(x,q)

(通常我们假定效用函数为拟线性的。)我们假定质量是一种商品,故有∂uq>0。其生产耗费大,故有∂c∂q>0。

垄断者最大利润:

maxp(x,q)x-c(x,q)x,q

该问题的一阶条件为:

p(xm,qm)+∂p(xm,qm)∂c(xm,qm)xm=∂x∂x

∂p(xm,qm)∂c(xm,qm)xm=∂q∂q

让我们在(xm,qm)点计算福利函数微分,我们有:

∂W(xm,qm)∂u(xm,qm)∂c(xm,qm)=-∂x∂x∂x

∂W(xm,qm)∂u(xm,qm)∂c(xm,qm)=-∂q∂q∂q

用一阶条件对上式进行替代,我们发现:

∂p(xm,qm)∂W(xm,qm)=-xm>0........................(Φ)∂x∂x

∂W(xm,qm)∂u(xm,qm)∂p(xm,qm)=-xm.............(Θ)∂q∂q∂q

式 (Φ) 告诉我们,将质量固定,垄断者相对于社会最优水平将生产很少。式(Θ)不会那么容易理解。由于∂p∂q为生产更多质量的边际成本,它必须为正。因而,福利关于质量的导数是两个正数之间的差异,从表面上看,它并不清楚。 如果我们将社会目标函数写成消费者剩余加利润,而不是效用减成本,似乎更加容易看到答案。

W(x,q)=[u(x,q)-p(x,q)x]+[p(x,q)x-c(x,q)]=消费者剩余+利润

现在,对此定义求关于x和q的微分,并在垄断者最大化利润的产量水平处对此进行评价。由于垄断者最大化利润,垄断利润关于产量和质量的导数必须等于零,表明了福利关于数量和质量的导数精确地消费者剩余关于数量和质量的导数。

消费者剩余关于数量的导数总是为正,这是垄断者生产很少产量的另一种说法。消费者剩余关于质量的导数是模糊的——可能为正,也可能为负。其符号依

2∂赖与p(x,p)/(∂x∂p)的符号。

(Θ)另一种解释式的方法是基于保留价格模型的考虑。将p(x,q)认作计量

消费者消费x的保留价格,故u(x,q)即为保留价格的总和。在此解释中,u(x,q)为

(Θ)平均支付意愿,p(x,q)为边际支付意愿,我们可以重写式为:

1∂W(xm,qm)∂u(x,q)=[-p(xm,qm)]x∂q∂qxm

现在我们可以看到,福利关于数量变化的导数与平均支付意愿关于质量变化

的导数减去边际支付意愿关于质量变化的导数称正比。

社会福利依赖于消费者效用或支付意愿的总和。但是,垄断者只关心个人的边际支付意愿。如果这两个值不同,从社会角度看,垄断者的质量选择将不是最优的。

参考文献

[1] 高鸿业,西方经济学第三版(微观部分)[M],中国人民大学出版社,2004

[2] 高鸿业,西方经济学第三版(宏观部分)[M],中国人民大学出版社,2004

[3] 郑玉歆,范金,谭伟,中级微观经济学[M],经济管理出版社,2004

[4] 杨红梅, 价格弹性及应用问题[J]. S山西煤炭管理干部学院学报,2004,17

(1):28,41

[5] 曼昆, 经济学原理[M],北京机械工业出版社,2005

[6] 刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁,数学分析讲义(上)第四版[M],高

等教育出版社,2004

[7] 刘玉琏,傅沛仁,数学分析讲义[M],高等教育出版社,1985

[8] 王艳芬,数学在经济学中的应用[J], 泰山学院学报,2008 (3):1-2

[9] 吴怡,论数学在经济学中的应用[J], 商场现代化,2008 (14):5-8

[10] 张素芬,王琳 ,浅谈数学在经济学中的应用[J], 商场现代化,2008(12):3-7

[11] 林庄,浅谈数学在经济学中的应用[J],引进与咨询,2006(9):4-6.


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