平面向量的坐标运算、线段的定比分点·能力培养与测试 一、选择题
1．已知a=(3，－1)，b=(－1，2)，则－3a－2b的坐标是
[ ]
A．(7，1) B．(－7，－1) C．(－7，1) D．(7，－
1)
[ ]
3．已知A，B两点坐标分别为(a，－b)，(－a，b)，点C分
－2，那么C点的坐标是
所成的比为
[ ]
A．(－3a，3b) B．(3a，－3b) C．(a，b) D．(－a，b) 4．如图，G为△ABC的重心，则
＋
－
等于
[ ]
A．0 B．4
C．4
D．4
[ ]
二、填空题
6．△ABC的三条边的中点的坐标分别是（2，1），（－3，4），（－2，1），则△ABC的重心坐标为________．
则
x=________．
8．已知a＝（5，10），b=（－3，－4），c＝（2，3），且c=la＋kb，则l＝________，k＝________．
9．已知平行四边形ABCD中，有
的坐标是________．
10．已知
＝（k，12），
=（4，5），
＝（10，k），且A，B，
=（－2，1），
=（3，7），则向量
C三点共线，则k的值为________．
三、解答题
11．已知
ABCD的顶点A的坐标为（－2，1），一组对边AB与CD的中点分别为M（3，0），N（－1，－2），求
ABCD其余各个顶点的坐标．
12．如图，
∥
＝（6，1），
＝（x，y），
=（－2，－3），且
，确定x，y的关系式．
13．证明G为△ABC重心的充要条件是
+
+
=0．
14．如图，五边形ABCDE中，点M，N，P，Q分别是AB，CD，BC，DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点．
15．设
ABCD一边AB的中点为E，一边AD上有一点F，且F分
的比λ的值．
的比
为m∶n，BF与CE交于点K，求K分
参考答案
一、选择题 1．(B)． 2．(B)．
P(－1，－
)．
3．(A)．
4．(D)．
由于G为△ABC的重心，于是有
=－2
，
＋
＋
=0，则
＋
－
又
=－2 ，故
＋
－
=4 ．
5．(C)．
二、填空题 6．(－1，2)
设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)．由中点坐标公式，得
由(Ⅰ)得a1＋b1＋c1=－3， 由(Ⅱ)得a2＋b2＋c2=6，
另解 据例6的结论，△ABC的重心与其各边中点为顶点的三角形的重心相同．于是，
7．x=0或x=－1 由于a与b共线，则
2(x2－5x)＋12x=0，2x2＋2x＝0，x=0，x=－1．
由(2，3)＝l(5，10)＋k(－3，－4)=(5l－3k，10l－4k)．
9．(2，－1)
由向量加法的平行四边形法则
=
＋
=(1，8)，
=(2，－1)．
或由平行四边形性质知
=－
=(2，－1)． 10．k=11或k=－2
因为A，B，C三点共线，所以
与
共线． 而
=
－
=(4－k，－7)
＝
－
＝(6，k－5)．
∴ (4－k)(k－5)－6×(－7)＝0． 解得 k=11或k=－2． 另有解法：设B分
的比为λ，则
=
－
解得 k=11或k=－2． 三、解答题
11．解法一 设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)． ∵ M(3，0)为AB的中点，且A(－2，1)．
∴ b1＝8，b2=－1， ∴ B(8，－1)．
又∵ M(3，0)，N(－1，－2)， ∴ MN的中点O的坐标为(1，－1)．
由平行四边形的性质知O点也为AC及BD的中点．
解得 c1=4，c2=－3． d1＝－6，d2=－1．
∴ C(4，－3)，D(－6，－1)．
解法二 设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)． ∵ M与N分别为AB与CD的中点， ∴
=
．
又 A(－2，1)，M(3，0)，N(－1，－2)． ∴
＝(5，－1)，
=(－1－d1，－2－d2)．
∴ (5，－1)＝(－1－d1，－2－d2)． ∴ d1＝－6， d2=－1． 即 D(－6，－1)． 又
=
，
=(c1＋1，c2＋2)．
∴ (5，－1)＝(c1＋1，c2＋2)． 解得 c1＝4，c2＝－3． ∴ C(4，－3)． 又
=
，
=(b1－3，b2－0)＝(b1－3，b2)，
(5，－1)＝(b1－3，b2)， ∴ b1＝8，b2=－1． ∴ B(8，－1)． 12．∵
＝(6，1)，
＝(x，y)，
＝(－2，－3)，
∴
＝
＋
＋
=(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3) ＝(4＋x，y－2)． 又∵
∥
，
∴
∥
．
故 x(y－2)－y(4＋x)＝0，
xy－2x－4y－xy＝0， ∴ x＋2y＝0． 13．充分性(由
＋
＋
=0推证G为△ABC重心)．
如图，延长AG到D，使GD=AG，且AD与BC交于M，连结BD，CD．
∵
＋
＋
＝0，
∴
＝－(
＋
)，
即
＝
＋
．
又∵
=
，
∴
=
＋
．
由向量加法的平行四边形法则知四边形GBDC为平行四边形．
由于平行四边形的对角线互相平分，可知M为BC的中点，M也为GD的中点． ∴ AM是中线，且G在AM上． 又
＝
，
＝2
，
∴
＝2
，
∴
＝
，
∴ G为△ABC的重心．
下面证明必要性(由G为△ABC的重心推证
如图，延长AG与BC交于D点，
＋
＋
=0)．
∴ AD为BC边中线，D为BC中点． ∵ G是△ABC的重心，
由向量加法的平行四边形法则，可知
＋
又由于G为△ABC的重心， ∴
＝2
．
＝2
．
∴
＝
＋
．
于是
＋
＋
=0．
必要性的证明也可用例5的结论． 14．证法一 在平面上任取一点O，
∵ K和L分别为MN和PQ的中点，
连结AC，EC，在△ABC和△EDC中，有
证法二 坐标法．
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设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)，E(e1，e2)．由中点坐标公式可得
同理可求得
而
=(e1－a1，e2－a2)，
15．证法一 ∵ K分
的比为λ，
又 B，K，F三点共线，
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由于
与
不共线，以
与
为一组基底表示
是唯一的．由
①与②可得
两式相除，消去t，得
证法二 设B(0，0)，A(a1，a2)，C(c1，c2)，则
=(a1，a2)，
c2)，
=
＋
=(a1＋c1，a2＋c2)．
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=(c1，
∵ B，K，F三点共线，即
∴ k1f2－k2f1＝0，
与
共线．
∴ (2c1＋λa1)[na2＋m(a2＋c2)]－(2c2＋λa2)·[na1＋m(a1＋c1)]=0． 整理为2(m＋n)(c1a2－c2a1)－λm(a1c2－a2c1)=0， ∵
与
不共线，
∴ a1c2－a2c1≠0，
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平面向量的坐标运算、线段的定比分点·能力培养与测试 一、选择题
1．已知a=(3，－1)，b=(－1，2)，则－3a－2b的坐标是
[ ]
A．(7，1) B．(－7，－1) C．(－7，1) D．(7，－
1)
[ ]
3．已知A，B两点坐标分别为(a，－b)，(－a，b)，点C分
－2，那么C点的坐标是
所成的比为
[ ]
A．(－3a，3b) B．(3a，－3b) C．(a，b) D．(－a，b) 4．如图，G为△ABC的重心，则
＋
－
等于
[ ]
A．0 B．4
C．4
D．4
[ ]
二、填空题
6．△ABC的三条边的中点的坐标分别是（2，1），（－3，4），（－2，1），则△ABC的重心坐标为________．
则
x=________．
8．已知a＝（5，10），b=（－3，－4），c＝（2，3），且c=la＋kb，则l＝________，k＝________．
9．已知平行四边形ABCD中，有
的坐标是________．
10．已知
＝（k，12），
=（4，5），
＝（10，k），且A，B，
=（－2，1），
=（3，7），则向量
C三点共线，则k的值为________．
三、解答题
11．已知
ABCD的顶点A的坐标为（－2，1），一组对边AB与CD的中点分别为M（3，0），N（－1，－2），求
ABCD其余各个顶点的坐标．
12．如图，
∥
＝（6，1），
＝（x，y），
=（－2，－3），且
，确定x，y的关系式．
13．证明G为△ABC重心的充要条件是
+
+
=0．
14．如图，五边形ABCDE中，点M，N，P，Q分别是AB，CD，BC，DE的中点，K和L分别是MN和PQ的中点．
15．设
ABCD一边AB的中点为E，一边AD上有一点F，且F分
的比λ的值．
的比
为m∶n，BF与CE交于点K，求K分
参考答案
一、选择题 1．(B)． 2．(B)．
P(－1，－
)．
3．(A)．
4．(D)．
由于G为△ABC的重心，于是有
=－2
，
＋
＋
=0，则
＋
－
又
=－2 ，故
＋
－
=4 ．
5．(C)．
二、填空题 6．(－1，2)
设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)．由中点坐标公式，得
由(Ⅰ)得a1＋b1＋c1=－3， 由(Ⅱ)得a2＋b2＋c2=6，
另解 据例6的结论，△ABC的重心与其各边中点为顶点的三角形的重心相同．于是，
7．x=0或x=－1 由于a与b共线，则
2(x2－5x)＋12x=0，2x2＋2x＝0，x=0，x=－1．
由(2，3)＝l(5，10)＋k(－3，－4)=(5l－3k，10l－4k)．
9．(2，－1)
由向量加法的平行四边形法则
=
＋
=(1，8)，
=(2，－1)．
或由平行四边形性质知
=－
=(2，－1)． 10．k=11或k=－2
因为A，B，C三点共线，所以
与
共线． 而
=
－
=(4－k，－7)
＝
－
＝(6，k－5)．
∴ (4－k)(k－5)－6×(－7)＝0． 解得 k=11或k=－2． 另有解法：设B分
的比为λ，则
=
－
解得 k=11或k=－2． 三、解答题
11．解法一 设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)． ∵ M(3，0)为AB的中点，且A(－2，1)．
∴ b1＝8，b2=－1， ∴ B(8，－1)．
又∵ M(3，0)，N(－1，－2)， ∴ MN的中点O的坐标为(1，－1)．
由平行四边形的性质知O点也为AC及BD的中点．
解得 c1=4，c2=－3． d1＝－6，d2=－1．
∴ C(4，－3)，D(－6，－1)．
解法二 设B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)． ∵ M与N分别为AB与CD的中点， ∴
=
．
又 A(－2，1)，M(3，0)，N(－1，－2)． ∴
＝(5，－1)，
=(－1－d1，－2－d2)．
∴ (5，－1)＝(－1－d1，－2－d2)． ∴ d1＝－6， d2=－1． 即 D(－6，－1)． 又
=
，
=(c1＋1，c2＋2)．
∴ (5，－1)＝(c1＋1，c2＋2)． 解得 c1＝4，c2＝－3． ∴ C(4，－3)． 又
=
，
=(b1－3，b2－0)＝(b1－3，b2)，
(5，－1)＝(b1－3，b2)， ∴ b1＝8，b2=－1． ∴ B(8，－1)． 12．∵
＝(6，1)，
＝(x，y)，
＝(－2，－3)，
∴
＝
＋
＋
=(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3) ＝(4＋x，y－2)． 又∵
∥
，
∴
∥
．
故 x(y－2)－y(4＋x)＝0，
xy－2x－4y－xy＝0， ∴ x＋2y＝0． 13．充分性(由
＋
＋
=0推证G为△ABC重心)．
如图，延长AG到D，使GD=AG，且AD与BC交于M，连结BD，CD．
∵
＋
＋
＝0，
∴
＝－(
＋
)，
即
＝
＋
．
又∵
=
，
∴
=
＋
．
由向量加法的平行四边形法则知四边形GBDC为平行四边形．
由于平行四边形的对角线互相平分，可知M为BC的中点，M也为GD的中点． ∴ AM是中线，且G在AM上． 又
＝
，
＝2
，
∴
＝2
，
∴
＝
，
∴ G为△ABC的重心．
下面证明必要性(由G为△ABC的重心推证
如图，延长AG与BC交于D点，
＋
＋
=0)．
∴ AD为BC边中线，D为BC中点． ∵ G是△ABC的重心，
由向量加法的平行四边形法则，可知
＋
又由于G为△ABC的重心， ∴
＝2
．
＝2
．
∴
＝
＋
．
于是
＋
＋
=0．
必要性的证明也可用例5的结论． 14．证法一 在平面上任取一点O，
∵ K和L分别为MN和PQ的中点，
连结AC，EC，在△ABC和△EDC中，有
证法二 坐标法．
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设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，D(d1，d2)，E(e1，e2)．由中点坐标公式可得
同理可求得
而
=(e1－a1，e2－a2)，
15．证法一 ∵ K分
的比为λ，
又 B，K，F三点共线，
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由于
与
不共线，以
与
为一组基底表示
是唯一的．由
①与②可得
两式相除，消去t，得
证法二 设B(0，0)，A(a1，a2)，C(c1，c2)，则
=(a1，a2)，
c2)，
=
＋
=(a1＋c1，a2＋c2)．
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=(c1，
∵ B，K，F三点共线，即
∴ k1f2－k2f1＝0，
与
共线．
∴ (2c1＋λa1)[na2＋m(a2＋c2)]－(2c2＋λa2)·[na1＋m(a1＋c1)]=0． 整理为2(m＋n)(c1a2－c2a1)－λm(a1c2－a2c1)=0， ∵
与
不共线，
∴ a1c2－a2c1≠0，
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