第一部分 双曲线相关知识点讲解
一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
1双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1-PF2=2a
点．
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
x2y2y2x2
2.双曲线的标准方程2-2=1和2-2=1（a＞0，b＞0）.这里b2=c2-a2，
abab
其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的内外部：
22x0y0x2y2
(1)点P(x0,y0)在双曲线2-2=1(a>0,b>0)的内部⇔2-2>1.
abab
22x0y0x2y2
(2)点P(x0,y0)在双曲线2-2=1(a>0,b>0)的外部⇔2-2
abab
三.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2y2x2y2b
(1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y=±x.
aabab
xyx2y2b
(2)若渐近线方程为y=±x⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ.
abaab
x2y2x2y2
(3)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x
abab
轴上，λ
y2x2
2－2=1（a＞0，b＞0）
ab
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） ⑷渐近线：
x2y2x2y2b
①若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程2-2=0⇒y=±x
aabab
xyxyb
②若渐近线方程为y=±x⇒±=0⇒双曲线可设为2-2=λ
abaab
22
x2y2x2y2
③若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点
abab
在x轴上，λ
x2y2x2y2
④与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线系方程是2-2=λ(λ≠0)abab
222
xy2xy
-2=1 ⑤ 与双曲线2-2=1共焦点的双曲线系方程是2
a+kb-kab
六.弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB
1-x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝
+
1
y1-y2。 k2
第二部分 典型例题分析
题型1：运用双曲线的定义
x2y2
-=1的左 例1. 如图所示，F为双曲线C:
916
焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称，
则P1F+P2F+P3F-P4F-P5F-P6F的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27
[解析] P1F-P6F=P2F-P5F=P3F-P4F=6，选C
y2
=1上的一点F1、练习：设P为双曲线x-F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：12
|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ） A．6 B．12 C．12 D．24
2
解析：a=1,b=,c=,由|PF 1|:|PF2|=3:2 ①
又|PF1|-|PF2|=2a=2,② 由①、②解得|PF1|=6,|PF2|=4.
|PF1|2+|PF2|2=52,|F1F2|2=52,
∴PF1F2为直角三角形，
∴S∆PF1F2=
11
|PF1|⋅|PF2|=⨯6⨯4=12.故选B。 22
题型2 求双曲线的标准方程
y2x2
例2 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双
164
曲线C的方程．
y2x2
解：设双曲线方程为2－2=1.由题意易求c=2.
ab
(32)24
又双曲线过点（32，2），∴－=1. 2
a2b
又∵a+b=（2），∴a=12，b=8.
2
2
2
2
2
y2x2
故所求双曲线的方程为－=1.
128
练习：1已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此
2
双曲线的方程为 ； 解：设双曲线方程为x2-4y2=λ， 当λ>0时，化为
x2
-y2
λ
y2
4
=1，∴2
5λ
=10∴λ=20， 4
y25-=1，∴2-当λ
x2y2y2x2
=1或-=1 综上，双曲线方程为-
520205
2.已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为
y2y22
=1(x1) A．x-88
2
y2y22
=1（x > 0） D．x-=1(x>1) C．x+810
2
[解析]PM-PN=BM-BN=2，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 题型3 与渐近线有关的问题 例3.焦点为（0，6），且与双曲线x
2
2
-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是
A．x
2
12
-
y2
=1 24
B．
y2x2
-=1 1224
C．
y2x2
-=1 2412
D．x
2
24
-
y2
=1 12
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
1
练习：过点（1，3）且渐近线为y=±x的双曲线方程是
2
x2
解：设所求双曲线为-y2=k
4x2354y2x22
-代入（1）：-y=443535
k=（1，3）代入：(1) 点
135
-9=-.44
1即为所求.
题型4 弦中点问题——设而不求法
例4. 双曲线x2-y2=1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. y=2x-1 B. y=2x-2 C. y=2x-3 D. y=2x+3
解:设弦的两端分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则有：
⎧x12-y12=1y1-y2x1+x22222
. ⇒x-x-y-y=0⇒=()()⎨212122
x-xy+yx-y=11212⎩22
⎧x1+x2=4y-yx+x
∵弦中点为（2，1），∴⎨.故直线的斜率k=12=12=2.
x1-x2y1+y2⎩y1+y2=2
则所求直线方程为：y-1=2(x-2)⇒y=2x-3，故选C.
y2
=1上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，练习：1.在双曲线x-2
2
求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.
⎧212
x-y=1⎪1⎪121
⇒(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0那么：⎨
2⎪x2-1y2=1
22⎪⎩2
(1).
∵M（1，1）为弦AB的中点，
⎧x1+x2=2∴⎨
⎩y1+y2=2
代入(1)：2(x1-x2)-(y1-y2)=0，∴kAB=
y1-y2
=2 x1-x2
故存在符合条件的直线AB，其方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
11y2
=1，发现左式=1-=＜1，故点M其一：将点M（1，1）代入方程x-
222
2
（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率kAB=2，而双曲线的渐近
线为y=.
2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
⎧2y2
=12⎪x-2
⇒2x-2x-1=2⇒2x2-4x+3=0()2⎨
⎪y=2x-1⎩
(2)
这里∆=16-24 0，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 结论；不存在符合题设条件的直线.
y2
=1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、2. 已知双曲线x-2
2
Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。
解：设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2)
则
⎧2y12
=1(1)⎪x1-
⎪2⎨2
⎪x2-y2=1(2)2⎪2⎩
﹙1﹚
-(2)得
(x1-x2)(x1+x2)
=
⎧x+x2=2(4)1
(y1-y2)(y1+y2)(3) 因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以⎨1 2⎩y1+y2=2(5)
1
(y1-y2) 2
将(4)、(5)代入（3）得 x1-x2= 若x1≠x2，则直线l的斜率k=
y1-y2
=2 其方程为2x-y-1=0
x1-x2
，
⎧y=2x-1⎪2
得2x-4x+3=0 根据∆=-8
=1⎪x-2⎩
3.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=
的双曲线过点P(6，6) 3
(1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
x2y26262a2+b2212
=, (1)如图，设双曲线方程为2-2=1由已知得2-2=1,e=
3ababa2
x2y2
解得a=9,b=12 所以所求双曲线方程为-=1
912
2
2
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2则有
22
⎧x1+x2=4⎧y1-y2124⎪12x1-9y1=1084
,⇒==，∴k=∴l的方程为 l⎨⎨22
3x1-x293⎪12x2-9y2=108⎩y1+y2=4⎩
⎧12x2-9y2=108
4⎪2y= (x－2)+2,由⎨,消去y,整理得x－4x+28=0 ∵Δ=16－4×2843y=(x-2)⎪
3⎩
＜0,∴所求直线l不存在 题型5 综合问题
1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0
)，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C的方程
.
)
（Ⅱ）若直线l:y=kxA和B且OA∙OB>2（其中O
为原点），求k的取值范围
x2y22222
解（1）设双曲线方程为2-2=1由已知得a=c=2，再由a+b=2，得b=1
ab
x2
-y2=1. 故双曲线C的方程为3
x2
-y
2=1得(1-3k2)x2--9=0 （2
）将y=kx3⎧1-3k2≠0⎪
由直线l
与双曲线交与不同的两点得⎨
∆=⎪⎩
()
2
+36(1-3)=36(1-k)>0
22
即k≠
2
12
且k
3
-9
xA+yB=,xAyB=，由OA∙OB>2得xAxB+yAyB>2，
22
1-3k1-3k
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxAkxb=(k2+1)xAxB(xA+xB)+2
-93k2+7
. =(k+1)+k+2=2
22
1-3k1-3k3k-1
2
13k2+7-3k2+92
2>0于是，即解此不等式得22
33k-13k-1
由①+②得
1
3
故的取值范围为(-1,⎫ ⎪⎪⎝⎭
2.
已知两定点F
1(F2满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲
线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。 （Ⅰ）求ｋ的取值范围；
（Ⅱ）如
果AB=,且曲线E上存在点C，使OA+OB=mO,求C
m的值和∆ABC的面积S。
解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E
是以F1,F2
(
)为焦点的双曲
)
线的左支，且c=a=1，易知b=1，故曲线E的方程为x2-y2=1(x
⎧y=kx-1设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意建立方程组⎨2 2
x-y=1⎩消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0，有
⎧1-k2≠0
⎪22
⎪∆=(2k)-8(1-k)>0⎪⎪
解得
12
⎪1-k2⎪-2⎪x1x2=>0⎪1-k2⎩
∵
AB=
x1-
x2=
==
依题意得
=
28k-55k+25=0
42
∴k2=
55或k2=
，但
∴k=- 742
x+y+1=0 2
设C(x0,y0)，由已知OA+OB=mOC，得(x1,y1)+(x2,y2)=(mx0,my0)
故直线AB
的方程为
⎛x+xy+y⎫
∴(mx0,my0)= 12,12⎪，(m≠0)
m⎭⎝m
2k222
=-y1+y2=k(x1+x2)-2=2-2=2=8
又x1+x2=2
k-1k-1k-1
8⎫，将点C的坐标代入曲线E的方程，得80-64=1得m=±4， ∴点C22m⎪⎪mm⎝⎭
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴m=4，点C
的坐标为2，C到AB
()
=
1 3
11
∴∆ABC的面积S=⨯=23
第一部分 双曲线相关知识点讲解
一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：
1双曲线定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1-PF2=2a
点．
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
x2y2y2x2
2.双曲线的标准方程2-2=1和2-2=1（a＞0，b＞0）.这里b2=c2-a2，
abab
其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.
4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的内外部：
22x0y0x2y2
(1)点P(x0,y0)在双曲线2-2=1(a>0,b>0)的内部⇔2-2>1.
abab
22x0y0x2y2
(2)点P(x0,y0)在双曲线2-2=1(a>0,b>0)的外部⇔2-2
abab
三.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2y2x2y2b
(1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y=±x.
aabab
xyx2y2b
(2)若渐近线方程为y=±x⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ.
abaab
x2y2x2y2
(3)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x
abab
轴上，λ
y2x2
2－2=1（a＞0，b＞0）
ab
⑴范围：|x|≥a，y∈R
⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） ⑷渐近线：
x2y2x2y2b
①若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程2-2=0⇒y=±x
aabab
xyxyb
②若渐近线方程为y=±x⇒±=0⇒双曲线可设为2-2=λ
abaab
22
x2y2x2y2
③若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点
abab
在x轴上，λ
x2y2x2y2
④与双曲线2-2=1共渐近线的双曲线系方程是2-2=λ(λ≠0)abab
222
xy2xy
-2=1 ⑤ 与双曲线2-2=1共焦点的双曲线系方程是2
a+kb-kab
六.弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB
1-x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝
+
1
y1-y2。 k2
第二部分 典型例题分析
题型1：运用双曲线的定义
x2y2
-=1的左 例1. 如图所示，F为双曲线C:
916
焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1,2,3)关于y轴对称，
则P1F+P2F+P3F-P4F-P5F-P6F的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27
[解析] P1F-P6F=P2F-P5F=P3F-P4F=6，选C
y2
=1上的一点F1、练习：设P为双曲线x-F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：12
|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ） A．6 B．12 C．12 D．24
2
解析：a=1,b=,c=,由|PF 1|:|PF2|=3:2 ①
又|PF1|-|PF2|=2a=2,② 由①、②解得|PF1|=6,|PF2|=4.
|PF1|2+|PF2|2=52,|F1F2|2=52,
∴PF1F2为直角三角形，
∴S∆PF1F2=
11
|PF1|⋅|PF2|=⨯6⨯4=12.故选B。 22
题型2 求双曲线的标准方程
y2x2
例2 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双
164
曲线C的方程．
y2x2
解：设双曲线方程为2－2=1.由题意易求c=2.
ab
(32)24
又双曲线过点（32，2），∴－=1. 2
a2b
又∵a+b=（2），∴a=12，b=8.
2
2
2
2
2
y2x2
故所求双曲线的方程为－=1.
128
练习：1已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此
2
双曲线的方程为 ； 解：设双曲线方程为x2-4y2=λ， 当λ>0时，化为
x2
-y2
λ
y2
4
=1，∴2
5λ
=10∴λ=20， 4
y25-=1，∴2-当λ
x2y2y2x2
=1或-=1 综上，双曲线方程为-
520205
2.已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为
y2y22
=1(x1) A．x-88
2
y2y22
=1（x > 0） D．x-=1(x>1) C．x+810
2
[解析]PM-PN=BM-BN=2，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 题型3 与渐近线有关的问题 例3.焦点为（0，6），且与双曲线x
2
2
-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是
A．x
2
12
-
y2
=1 24
B．
y2x2
-=1 1224
C．
y2x2
-=1 2412
D．x
2
24
-
y2
=1 12
[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
1
练习：过点（1，3）且渐近线为y=±x的双曲线方程是
2
x2
解：设所求双曲线为-y2=k
4x2354y2x22
-代入（1）：-y=443535
k=（1，3）代入：(1) 点
135
-9=-.44
1即为所求.
题型4 弦中点问题——设而不求法
例4. 双曲线x2-y2=1的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. y=2x-1 B. y=2x-2 C. y=2x-3 D. y=2x+3
解:设弦的两端分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则有：
⎧x12-y12=1y1-y2x1+x22222
. ⇒x-x-y-y=0⇒=()()⎨212122
x-xy+yx-y=11212⎩22
⎧x1+x2=4y-yx+x
∵弦中点为（2，1），∴⎨.故直线的斜率k=12=12=2.
x1-x2y1+y2⎩y1+y2=2
则所求直线方程为：y-1=2(x-2)⇒y=2x-3，故选C.
y2
=1上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，练习：1.在双曲线x-2
2
求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.
【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.
⎧212
x-y=1⎪1⎪121
⇒(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0那么：⎨
2⎪x2-1y2=1
22⎪⎩2
(1).
∵M（1，1）为弦AB的中点，
⎧x1+x2=2∴⎨
⎩y1+y2=2
代入(1)：2(x1-x2)-(y1-y2)=0，∴kAB=
y1-y2
=2 x1-x2
故存在符合条件的直线AB，其方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：
11y2
=1，发现左式=1-=＜1，故点M其一：将点M（1，1）代入方程x-
222
2
（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率kAB=2，而双曲线的渐近
线为y=.
2，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
⎧2y2
=12⎪x-2
⇒2x-2x-1=2⇒2x2-4x+3=0()2⎨
⎪y=2x-1⎩
(2)
这里∆=16-24 0，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 结论；不存在符合题设条件的直线.
y2
=1,问过点A（1，1）能否作直线l,使l与双曲线交于P、2. 已知双曲线x-2
2
Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。
解：设符合题意的直线l存在，并设P(x1,x2)、Q(x2,y2)
则
⎧2y12
=1(1)⎪x1-
⎪2⎨2
⎪x2-y2=1(2)2⎪2⎩
﹙1﹚
-(2)得
(x1-x2)(x1+x2)
=
⎧x+x2=2(4)1
(y1-y2)(y1+y2)(3) 因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以⎨1 2⎩y1+y2=2(5)
1
(y1-y2) 2
将(4)、(5)代入（3）得 x1-x2= 若x1≠x2，则直线l的斜率k=
y1-y2
=2 其方程为2x-y-1=0
x1-x2
，
⎧y=2x-1⎪2
得2x-4x+3=0 根据∆=-8
=1⎪x-2⎩
3.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=
的双曲线过点P(6，6) 3
(1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
x2y26262a2+b2212
=, (1)如图，设双曲线方程为2-2=1由已知得2-2=1,e=
3ababa2
x2y2
解得a=9,b=12 所以所求双曲线方程为-=1
912
2
2
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2则有
22
⎧x1+x2=4⎧y1-y2124⎪12x1-9y1=1084
,⇒==，∴k=∴l的方程为 l⎨⎨22
3x1-x293⎪12x2-9y2=108⎩y1+y2=4⎩
⎧12x2-9y2=108
4⎪2y= (x－2)+2,由⎨,消去y,整理得x－4x+28=0 ∵Δ=16－4×2843y=(x-2)⎪
3⎩
＜0,∴所求直线l不存在 题型5 综合问题
1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0
)，右顶点为（Ⅰ）求双曲线C的方程
.
)
（Ⅱ）若直线l:y=kxA和B且OA∙OB>2（其中O
为原点），求k的取值范围
x2y22222
解（1）设双曲线方程为2-2=1由已知得a=c=2，再由a+b=2，得b=1
ab
x2
-y2=1. 故双曲线C的方程为3
x2
-y
2=1得(1-3k2)x2--9=0 （2
）将y=kx3⎧1-3k2≠0⎪
由直线l
与双曲线交与不同的两点得⎨
∆=⎪⎩
()
2
+36(1-3)=36(1-k)>0
22
即k≠
2
12
且k
3
-9
xA+yB=,xAyB=，由OA∙OB>2得xAxB+yAyB>2，
22
1-3k1-3k
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxAkxb=(k2+1)xAxB(xA+xB)+2
-93k2+7
. =(k+1)+k+2=2
22
1-3k1-3k3k-1
2
13k2+7-3k2+92
2>0于是，即解此不等式得22
33k-13k-1
由①+②得
1
3
故的取值范围为(-1,⎫ ⎪⎪⎝⎭
2.
已知两定点F
1(F2满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲
线E，直线ｙ＝kx－1与曲线E交于A、B两点。 （Ⅰ）求ｋ的取值范围；
（Ⅱ）如
果AB=,且曲线E上存在点C，使OA+OB=mO,求C
m的值和∆ABC的面积S。
解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E
是以F1,F2
(
)为焦点的双曲
)
线的左支，且c=a=1，易知b=1，故曲线E的方程为x2-y2=1(x
⎧y=kx-1设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意建立方程组⎨2 2
x-y=1⎩消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0，有
⎧1-k2≠0
⎪22
⎪∆=(2k)-8(1-k)>0⎪⎪
解得
12
⎪1-k2⎪-2⎪x1x2=>0⎪1-k2⎩
∵
AB=
x1-
x2=
==
依题意得
=
28k-55k+25=0
42
∴k2=
55或k2=
，但
∴k=- 742
x+y+1=0 2
设C(x0,y0)，由已知OA+OB=mOC，得(x1,y1)+(x2,y2)=(mx0,my0)
故直线AB
的方程为
⎛x+xy+y⎫
∴(mx0,my0)= 12,12⎪，(m≠0)
m⎭⎝m
2k222
=-y1+y2=k(x1+x2)-2=2-2=2=8
又x1+x2=2
k-1k-1k-1
8⎫，将点C的坐标代入曲线E的方程，得80-64=1得m=±4， ∴点C22m⎪⎪mm⎝⎭
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴m=4，点C
的坐标为2，C到AB
()
=
1 3
11
∴∆ABC的面积S=⨯=23