等腰三角形和等边三角形
编稿：薛海龙 审稿：徐晓阳 责编: 康红梅
本周内容：
等腰三角形、等边三角形
本周重点：
等腰三角形、等边三角形性质、判定、运用
本周难点：
正确运用等腰三角形、等边三角形的性质和判定进行推理论证
学习建议：
一、知识分析
等腰三角形是一种特殊的三角形，研究完一般三角形的性质及形状大小关系后，再研究等腰三角形，符合从一般到特殊，再从特殊到一般的认知规律，又由于等腰三角形是轴对称图形，所以教科书把这部分内容安排在了“轴对称”这一章，就是要用轴对称研究等腰三角形的有关性质，利于我们从对称的观点来认识等腰三角形。等腰三角形除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，所以它比一般三角形应用更广泛。解等腰三角形相关问题时，既要关注全等三角形的运用，又应不拘于全等三角形，要善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径。
等腰三角形及等边三角形的性质和判定是这部分的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，在学习性质和判定时，应加强理解和掌握，做到灵活应用。
二、知识学习目标：
了解等腰三角形、等边三角形的有关概念；探索并掌握等腰三角形的性质及判定方法；能灵活利用等腰三角形的性质和判定解决相关问题。
三、典型题例分析
1、已知：如图，ABC中，AB=AC，AD=BD=BC
求ABC各内角度数
解析：分析图形的结构特征，容易发现图中有三个等腰三角形，可以利用等边对等角，把边的关系转化为角之间的关系。为了便于计算，可以利用方程的思想加以解决。 解：∵在ABC中，AD=BD=BC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
∵ ∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
∴
在
在
答：
2、已知：如图，AB=AC，AD=AE，B、D、E、C四点共线，求证：BD=CE ABC各内角为36 。 ABC中， ABC中，AB=AC （等边对等角） （三角形内角和为180）
解析：
1）可以利用等边对等角，找到角之间的关系，证明
ACD全等；从而可证BD=CE； ABD与ACE全等或ABE
与
2）可以过点A作BC边上的垂线，利用等腰三角形的性质：等腰三角形三线合一加以解决。体会两类解法的优劣。
证明：过A点作AF
在
在ABC中， AB=AC，AF 于F点 BF=CF（等腰三角形底边高与底边中线重合） ADE中，
AD=AE，AFDE DF=EF（等腰三角形底边高与底边中线重合） BF-DF=CF-EF BD=CE
3、已知：如图，AD是ΔBAC的角平分线，AC=AB+BD，
求证：∠B=2∠C
解析：角平分线是构造轴对称变换解决几何问题的重要几何特征，条件中出现线段和差时，可考虑的辅助线为：
1、将长线段截短；2、将短线段延长，这两种方法的实质是利用图形变换的思想构造辅助线。
证明：在AC上截取AE=AB，连结DE
在AD平分 （角平分线定义） ABD和AED中，
≌ （SAS） （全等三角形对应角相等） BD=ED（全等三角形对应边相等） AC=AB+BD，AC=AE+EC 又AB=AE DE=EC
（等边对等角）
EDC中，
（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
在
小结：“长截短，或短延长”的辅助线作法十分常见，目的是为了构造全等三角形，或等腰三角形。从而进行角或线段的转化。
4、已知：如图，在ABC中，AB=AC，∠B=700，AD为BC边上的高，DE=DA且DE//BA，
求∠CAE的度数。
解析：此题是等腰三角形和平行线性质的综合应用。灵活利用性质进行角的计算和转化是解决这个问题的关键。
解：在
在ADE中，
DE//AB ABC中， AB=AC，ADBC （等边对等角） （等腰三角形底边高与顶角角平分线重合）
答：
为60。
5、已知：如图，ABC中，BD、CD是角平分线，EF过D点，且EF//BC，AB=12，
AEF的周长。 AC=10，求
解析：由角平分线，平行线出发，可推出等腰三角形。这是一个基本图形。从而可推出线段ED、FD，分别与BE、CF相等，进而把EF转化为BE+CF，从而可把
转化为AB与AC的和。
解：∵在
ABC中，BD平分∠ABC， AEF的周长∴∠EBD=∠CBD， 又∵EF//BC， ∴ ED=EB 同理可证FD=FC ∴ΔAEF的周长=AE+AF+EF =AE+AF+ED+FD =AE+AF+EB+FC =AB+AC ∵ AB=12,AC=10, ∴ΔAEF的周长=22.
6、已知：如图，在
交AD于F。
求证：AE=AF ABC中，BAC=90，ADBC于D，BE是角平分线，
解析：这道题的方法很多，可以利用角平分线的性质，从点E或点F向角两边做垂线，利用三角形全等和平行线的性质推出∠AFE=∠AEF，从而得出AE=AF。也可由三角形的外角进行转化，从而推出∠AFE=∠AEF，得出AE=AF。
证明：在Rt
ABE中，
AD
BC
BE是角平分线
（角平分线定义）
（对顶角相等） AE=AF（等角对等边）
7、已知：如图，在
求证：DE=DF ABC，AB=AC，BE=CF
解析：证明两条线段相等有两种思路：一是证明两条线段所在的两个三角形全等，这就需要利用旋转变换的思想构造辅助线；二是把这两条线段转化到一个三角形里面，证明三角形为等腰三角形，可延长CB至M，使BM=CD，连结EM，从而利用全等三角形把FD转化到EM，只需证明三角形EMD为等腰三角形即可。
证明：过E点作EM//AF交BC于M
EM//AF
在
1=F
，2=3，4=5 ABC中， AB=AC B=4 5=B EB=EM EB=FC EM=FC
EMD和FCD中，
在
≌ （AAS） DE=DF（全等三角形对应边相等） 8、已知：如图，
的度数。 中，AB＝AC，，AD＝CE， 求
解析：这道题综合考察了等边三角形的性质与判定，并借助全等三角形使问题加以解决。 解：在 ∴中，AB＝AC， 为等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形）
中 ∴AC＝BC， 在和
∴
∴
≌ （SAS） （全等三角形对应角相等） （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
9、已知：如图，B、C、E三点共线，
，都是等边三角形，连结AE、BD分别较CD、AC于N、M，连结MN。求证：AE＝BD，MN//BE
解析：本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE=BD；为证明MN//BE，可先证明三角形MNC为等边三角形，再利用角去转化证明。
证明：，都是等边三角形
和中 ∴BC＝AC，CE＝CD，
∴ 在
≌（已证） （SAS）
∴BD＝AE（全等三角形对应边相等）
在（全等三角形对应角相等） 和中
（已证） ≌（ASA）
∴MC＝NC（全等三角形对应边相等）
∴
∴
∴
是等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形） （内错角相等，两直线平行）
10、已知：如图在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，求证：AB=CD—BD．
解析1：要证明AB=CD—BD，把CD—BD转化
为一条线段，在DC上取一点E，使BD=DE，只要再证出EC=AB即可．
证明：在DC上取一点E，使BD=DE
在△ABD和△AED中，AD⊥BC，BD=DE，AD=AD．
∴△ABD≌△AED．∴AB=AE，∠B=∠AED．
又∵∠B=2∠C=∠AED=∠C+∠EAC．∴∠C=∠EAC．∴AE=EC．
∴AB=AE=EC=CD—DE=CD—BD．
解析2：证明AB=CD—BD，即只要证明出AB+BD=CD即可．延长DB到点E，使BE=AB，只要证出DE=DC即可．
证明：延长DB到点E，使BE=AB
∴∠E=∠EAB．
∵∠B=∠E+∠EAB=2∠E，∠B=2∠C，
∴∠E=∠C．
在△AED和△ADC中，AD⊥BC，∠E=∠C，AD=AD．
∴△AED≌△ADC．∴ED=DC．
∴AB=BE=DE—BD=CD—BD．
评注：上述两种解法事实上也是用的取长补短方法，为达到目的，利用轴对称构造的全等三角形．
等腰三角形和等边三角形
编稿：薛海龙 审稿：徐晓阳 责编: 康红梅
本周内容：
等腰三角形、等边三角形
本周重点：
等腰三角形、等边三角形性质、判定、运用
本周难点：
正确运用等腰三角形、等边三角形的性质和判定进行推理论证
学习建议：
一、知识分析
等腰三角形是一种特殊的三角形，研究完一般三角形的性质及形状大小关系后，再研究等腰三角形，符合从一般到特殊，再从特殊到一般的认知规律，又由于等腰三角形是轴对称图形，所以教科书把这部分内容安排在了“轴对称”这一章，就是要用轴对称研究等腰三角形的有关性质，利于我们从对称的观点来认识等腰三角形。等腰三角形除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，所以它比一般三角形应用更广泛。解等腰三角形相关问题时，既要关注全等三角形的运用，又应不拘于全等三角形，要善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径。
等腰三角形及等边三角形的性质和判定是这部分的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，在学习性质和判定时，应加强理解和掌握，做到灵活应用。
二、知识学习目标：
了解等腰三角形、等边三角形的有关概念；探索并掌握等腰三角形的性质及判定方法；能灵活利用等腰三角形的性质和判定解决相关问题。
三、典型题例分析
1、已知：如图，ABC中，AB=AC，AD=BD=BC
求ABC各内角度数
解析：分析图形的结构特征，容易发现图中有三个等腰三角形，可以利用等边对等角，把边的关系转化为角之间的关系。为了便于计算，可以利用方程的思想加以解决。 解：∵在ABC中，AD=BD=BC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
∵ ∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
∴
在
在
答：
2、已知：如图，AB=AC，AD=AE，B、D、E、C四点共线，求证：BD=CE ABC各内角为36 。 ABC中， ABC中，AB=AC （等边对等角） （三角形内角和为180）
解析：
1）可以利用等边对等角，找到角之间的关系，证明
ACD全等；从而可证BD=CE； ABD与ACE全等或ABE
与
2）可以过点A作BC边上的垂线，利用等腰三角形的性质：等腰三角形三线合一加以解决。体会两类解法的优劣。
证明：过A点作AF
在
在ABC中， AB=AC，AF 于F点 BF=CF（等腰三角形底边高与底边中线重合） ADE中，
AD=AE，AFDE DF=EF（等腰三角形底边高与底边中线重合） BF-DF=CF-EF BD=CE
3、已知：如图，AD是ΔBAC的角平分线，AC=AB+BD，
求证：∠B=2∠C
解析：角平分线是构造轴对称变换解决几何问题的重要几何特征，条件中出现线段和差时，可考虑的辅助线为：
1、将长线段截短；2、将短线段延长，这两种方法的实质是利用图形变换的思想构造辅助线。
证明：在AC上截取AE=AB，连结DE
在AD平分 （角平分线定义） ABD和AED中，
≌ （SAS） （全等三角形对应角相等） BD=ED（全等三角形对应边相等） AC=AB+BD，AC=AE+EC 又AB=AE DE=EC
（等边对等角）
EDC中，
（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
在
小结：“长截短，或短延长”的辅助线作法十分常见，目的是为了构造全等三角形，或等腰三角形。从而进行角或线段的转化。
4、已知：如图，在ABC中，AB=AC，∠B=700，AD为BC边上的高，DE=DA且DE//BA，
求∠CAE的度数。
解析：此题是等腰三角形和平行线性质的综合应用。灵活利用性质进行角的计算和转化是解决这个问题的关键。
解：在
在ADE中，
DE//AB ABC中， AB=AC，ADBC （等边对等角） （等腰三角形底边高与顶角角平分线重合）
答：
为60。
5、已知：如图，ABC中，BD、CD是角平分线，EF过D点，且EF//BC，AB=12，
AEF的周长。 AC=10，求
解析：由角平分线，平行线出发，可推出等腰三角形。这是一个基本图形。从而可推出线段ED、FD，分别与BE、CF相等，进而把EF转化为BE+CF，从而可把
转化为AB与AC的和。
解：∵在
ABC中，BD平分∠ABC， AEF的周长∴∠EBD=∠CBD， 又∵EF//BC， ∴ ED=EB 同理可证FD=FC ∴ΔAEF的周长=AE+AF+EF =AE+AF+ED+FD =AE+AF+EB+FC =AB+AC ∵ AB=12,AC=10, ∴ΔAEF的周长=22.
6、已知：如图，在
交AD于F。
求证：AE=AF ABC中，BAC=90，ADBC于D，BE是角平分线，
解析：这道题的方法很多，可以利用角平分线的性质，从点E或点F向角两边做垂线，利用三角形全等和平行线的性质推出∠AFE=∠AEF，从而得出AE=AF。也可由三角形的外角进行转化，从而推出∠AFE=∠AEF，得出AE=AF。
证明：在Rt
ABE中，
AD
BC
BE是角平分线
（角平分线定义）
（对顶角相等） AE=AF（等角对等边）
7、已知：如图，在
求证：DE=DF ABC，AB=AC，BE=CF
解析：证明两条线段相等有两种思路：一是证明两条线段所在的两个三角形全等，这就需要利用旋转变换的思想构造辅助线；二是把这两条线段转化到一个三角形里面，证明三角形为等腰三角形，可延长CB至M，使BM=CD，连结EM，从而利用全等三角形把FD转化到EM，只需证明三角形EMD为等腰三角形即可。
证明：过E点作EM//AF交BC于M
EM//AF
在
1=F
，2=3，4=5 ABC中， AB=AC B=4 5=B EB=EM EB=FC EM=FC
EMD和FCD中，
在
≌ （AAS） DE=DF（全等三角形对应边相等） 8、已知：如图，
的度数。 中，AB＝AC，，AD＝CE， 求
解析：这道题综合考察了等边三角形的性质与判定，并借助全等三角形使问题加以解决。 解：在 ∴中，AB＝AC， 为等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形）
中 ∴AC＝BC， 在和
∴
∴
≌ （SAS） （全等三角形对应角相等） （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）
9、已知：如图，B、C、E三点共线，
，都是等边三角形，连结AE、BD分别较CD、AC于N、M，连结MN。求证：AE＝BD，MN//BE
解析：本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE=BD；为证明MN//BE，可先证明三角形MNC为等边三角形，再利用角去转化证明。
证明：，都是等边三角形
和中 ∴BC＝AC，CE＝CD，
∴ 在
≌（已证） （SAS）
∴BD＝AE（全等三角形对应边相等）
在（全等三角形对应角相等） 和中
（已证） ≌（ASA）
∴MC＝NC（全等三角形对应边相等）
∴
∴
∴
是等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形） （内错角相等，两直线平行）
10、已知：如图在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC，求证：AB=CD—BD．
解析1：要证明AB=CD—BD，把CD—BD转化
为一条线段，在DC上取一点E，使BD=DE，只要再证出EC=AB即可．
证明：在DC上取一点E，使BD=DE
在△ABD和△AED中，AD⊥BC，BD=DE，AD=AD．
∴△ABD≌△AED．∴AB=AE，∠B=∠AED．
又∵∠B=2∠C=∠AED=∠C+∠EAC．∴∠C=∠EAC．∴AE=EC．
∴AB=AE=EC=CD—DE=CD—BD．
解析2：证明AB=CD—BD，即只要证明出AB+BD=CD即可．延长DB到点E，使BE=AB，只要证出DE=DC即可．
证明：延长DB到点E，使BE=AB
∴∠E=∠EAB．
∵∠B=∠E+∠EAB=2∠E，∠B=2∠C，
∴∠E=∠C．
在△AED和△ADC中，AD⊥BC，∠E=∠C，AD=AD．
∴△AED≌△ADC．∴ED=DC．
∴AB=BE=DE—BD=CD—BD．
评注：上述两种解法事实上也是用的取长补短方法，为达到目的，利用轴对称构造的全等三角形．