专题20用折线法求线性方程组的全部解

专题20 用折线法求线性方程组的全部解

本专题介绍根据系数矩阵或增广矩阵直接求解齐次线性方程组或非齐次线性方程组的简单方法：“折线法”。

为了叙述方便，用1,2n依次标记系数矩阵从左至右的n列。

一、 单位列和标准列

将矩阵中只有一个元素为1，其余所有元素均为0的一列称为矩阵的单位列。

若两个单位列中的元素1不在同一行上，则称这两个标准列为线性无关的单位列。同理，若r个标准列中的元素1均不在同一行上，则称这r个标准列为r个线性无关的单位列。

1021如：矩阵0114中的第1,2列为单位列，且为一组线性无关的单位列，第3,4列为非单0000

位列。

100再如：矩阵011中的第1,2,3列均为单位列，第1,2列可以视为一组线性无关的单位列，第000

1,3列也可以视为一组线性无关的单位列。

秩为r的矩阵经过初等“行”变换必可化出r个线性无关的单位列，这r个线性无关的单位列称为一组标准列；除这r个线性无关的一组标准列之外的列称为非标准列，非标准列有nr个。

1021上面两个例子中，矩阵0114的第1,2列组成一组标准列，第3,4列为非标准列。矩阵0000100

011中如果将第1,2列视为一组标准列，那么第3列就是非标准列；如果将第1,3列视为一组标000

准列，那么第2列就是非标准列。

注意：化单位列时使用的变换是初等“行”变换，绝对不能使用初等“列”变换，这是解线性方程组的要求，详见。

有了单位列和标准列的知识准备，下面就可以讨论“折线法”。

二、 齐次线性方程组的通解

齐次线性方程组必有解，至少有0解。齐次线性方程组的通解可以按如下步骤来求解： ① 写出线性齐次方程组的系数矩阵A，设A为mn矩阵。 ② 用初等行变换化阶梯形判定系数矩阵的秩 当rAn时，AX0只有0解。

当rArn时，AX0存在无穷多解，即存在基础解系，且基础解系包含nr个线性无关解向量η1,η2,

,ηnr，此时方程组的通解可以表示成：

Xk1η1k2η2knrηnr，k1,k2knr为任意非零常数。

③ 利用初等“行”变换，将方程组的系数矩阵A化为含r个线性无关的标准列的形式。 ④ 齐次方程组的一个解向量ηi可以这样得到：

选择一个非标准列，将该非标准列上某一个元素与它在行上相对应的某标准列上的1连线，并沿这个标准列画折线，再将该元素变号写在折线的另一端（标准列的下面）。所有的标准列下面都写上数字后，再将所选择的这个非标准列下面写1，其余非标准列下面写0（没有其余非标准列的不写）。这样系数矩阵的下面就写出了一个行向量。将之转置就得到一个解向量。

⑤ 根据上述方法，每个非标准列均可以写出一个解向量，nr个非标准列一共写出nr个解向量，这些解向量一定线性无关，只需分别乘上常数k1,k2knr再求和即可得到齐次方程组的通解。

上面的④就是折线法的关键，看上去很复杂，其实非常容易，给读者举几个例子即可马上掌握。

10211．设系数矩阵可化为0114，先选取第3列非标准列，有：（实线框的是选取的第3列0000

非标准列，虚线框的是另一个非标准列）

2

1

将写出的这个行向量转置就可以得到一个解向量为。

10

再选取第4列非标准列，有：

14

同理得到另一个解向量为。

01

2114

因此线性方程组的通解为Xk1k2。

1001

1002．设系数矩阵可化为011，且将第1,2列视为一组标准列，那么第3列就是非标准列， 000

00

以第3列可以写出一个解向量为1，因此线性方程组的通解为Xk1。 11

注意：也可以将第1,3列视为一组标准列，第2列作为非标准列，结果是一样的，读者可以自己

尝试做一下。

x12x25x40

【例1】解齐次线性方程组x15x2x39x40

2xxx6x0

4123

1205【解】该齐次线性方程组的系数矩阵为1519，利用初等行变换可以将之化为2116

1205

0314，第1,3列为标准列，2,4列为非标准列，则根据非标准列可以写出两个线性无关的解0000

向量为：

25

10

因此该齐次线性方程组的通解为Xk1k2

3401

x2x40

x2xx0124

【例2】求线性方程组的通解。

x2xx0231x13x2x3x40

【解】利用初等“行”变换，该线性方程组的系数矩阵可化为：

0

1111010

12010210

3110

1

000

011

001011000

100

0101 11

00

11

于是方程的通解为：Xk。（k为任意非零常数）

11

注意：本例也可以通过系数矩阵的第一次化简结果

求得解向量。

b2aba1b1a11n

ababab21222n的齐次线性方程组的通解。【例3】求系数矩阵为A（其中

anbnanb1anb2

a1,a2an不全为0，b1,b2bn不全为0）

【解】利用初等“行”变换，并设b10，则系数矩阵可化为：

b1b200A



00bn1b2/b1

000000bn/b1

0 



0

系数矩阵化为只有一个标准列的形式，用“折线法”可得到一个解向量为

同理得到其他解向量，n1个非标准列，共得到n1个线性无关的解向量。 因此，直接得到方程的通解为：

b2/b1b3/b110Xk10k21

00b2/b1

1

（k1,k2kn1为任意非零常数） k0。

0n1

三、 非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的通解由其“导出组的通解”和非齐次线性方程组的一个“特解”构成，利用

“折线法”可以直接通过方程组增广矩阵求得非齐次线性方程组的通解。步骤如下：

① 写出线性齐次方程组的增广矩阵Ab，设A为mn矩阵，则Ab为mn1矩阵。方程组增广矩阵相比系数矩阵多出一列b，这列由非齐次方程组各方程的常数项构成，称之为增广列。 ② 用初等行变换化阶梯形来判定系数矩阵的秩和增广矩阵的秩，若二者的秩相等（设均为r），则非齐次方程组有解。

③ 利用初等“行”变换，将方程组的增广矩阵化为含r个线性无关的标准列的形式，注意标准列不能在增广列上。

④ 非齐次线性方程组的通解中“导出组通解部分”可以直接由增广矩阵竖线左边的部分写出，方法与求齐次方程组的通解相同（即前面讲到的）。

⑤ “特解部分”可以直接由增广列写出，写法如下：

将增广列上的某一个元素与它在行上对应的某标准列上的1连线，并沿该标准列画折线，再将该元素写在折线的另一端（注意“不变号”）。所有的标准列下面都写上数字后，再将非增广列的非标准列（即竖线左边的非标准列）下写0，增广列下不要写任何数。这样系数矩阵的下面就写出了一个行向量。将之转置就得到一个特解。

⑥ 导出组通解部分和特解部分之和就是非齐次线性方程组的通解。

上面的⑤就是折线法的关键，看上去很复杂，其实非常容易，给大家几个例子即可马上掌握。





10

如：若非齐次线性方程组的增广矩阵为

00

1000010

23

11

，则 3100

2

1

用前面讨论的解齐次线性方程组的方法可直接得到导出组通解部分为k

31

特解用下面的方法来写出：

2311

因此非齐次方程组的通解为Xk。（k为任意非零常数）

3110

注意：只有写非齐次方程组的特解时箭头下不变号，而写齐次方程组的解向量和非齐次方程的导出组的解向量时箭头下都要变号。

【例4】设n维向量组α1,α2,α3n3线性无关，讨论当向量组

aα2α1,bα3α2,aα1bα3线性相关时，方程组

x1x2x32x432x3xax7x81234



x12x23x44x2x3a2x4b1

的解。当其有无穷多解时，求其通解。

10a

【解】aα2α1,bα3α2,aα1bα3α1,α2,α3a1

0 0bb

∵α1,α2,α3线性无关，∴向量组aα2α1,bα3α2,aα1bα3线性相关的充要条件为： 10a10

b

a

00，解得：b0或a1。 b

线性方程组的增广矩阵可化为：

111231112323a7801111 A

1203400a121011a2b1000a1b⑴ 当a1时，方程组有唯一解。 ⑵ 当a1,b0时，方程组无解。

⑶ 当a1,b0时，方程组有无穷多组解。

在⑶的情况下：

10A

00231



11110



00210



00000

11

03/2



1101/20011/2



0000

02

1 2 3 4 1 2 3 4

标准列为第1,2,4列。第3列为非标准列，根据非标准列写出导出组的通解部分为 23/211/2

。（读者尝试自己动手利用“折线法”求解） k；根据增广列写出特解为

1001/2

23/211/2

。因此得到方程组的通解为Xk（k为任意非零常数）

1001/2

注意：非齐次线性方程组导出组的通解部分有系数k

，因此可以任意改变非零倍数；特解不能改变倍数，但导出组的一个解与特解之和也是一个特解。

23/211/2

，如：例4的通解为Xk（k为任意非零常数）

1001/2

也可以写为：

223/243/2

121/221/2

k，Xk（k为任意非零常数）

12020021/201/2

或

223/221/2111/213/2

k，（k为任意非零常数） Xk

1101101/201/2

却不能写成：

223/223121/211

k。（k为任意非零常数） Xk

12010021/201

根据这些性质，可知非齐次线性方程组的通解的表示形式不唯一。如果读者利用“折线法”求解非齐次线性方程组得到的结果与例题或习题的参考答案不一样，不要担心，只要正确使用“折线法”，你的结果一定也是正确的。如果实在不放心，读者可以尝试利用：导出组的通解可以任意改变非零倍数；导出组的一个通解与特解之和也是一个特解，这两条性质进行检验。利用这两条性质总可以将你的正确计算结果化为题目答案，也可将题目答案化为你的正确计算结果。

齐次线性方程组的通解部分也有系数k，因此可以任意改变非零倍数。

专题20 用折线法求线性方程组的全部解

本专题介绍根据系数矩阵或增广矩阵直接求解齐次线性方程组或非齐次线性方程组的简单方法：“折线法”。

为了叙述方便，用1,2n依次标记系数矩阵从左至右的n列。

一、 单位列和标准列

将矩阵中只有一个元素为1，其余所有元素均为0的一列称为矩阵的单位列。

若两个单位列中的元素1不在同一行上，则称这两个标准列为线性无关的单位列。同理，若r个标准列中的元素1均不在同一行上，则称这r个标准列为r个线性无关的单位列。

1021如：矩阵0114中的第1,2列为单位列，且为一组线性无关的单位列，第3,4列为非单0000

位列。

100再如：矩阵011中的第1,2,3列均为单位列，第1,2列可以视为一组线性无关的单位列，第000

1,3列也可以视为一组线性无关的单位列。

秩为r的矩阵经过初等“行”变换必可化出r个线性无关的单位列，这r个线性无关的单位列称为一组标准列；除这r个线性无关的一组标准列之外的列称为非标准列，非标准列有nr个。

1021上面两个例子中，矩阵0114的第1,2列组成一组标准列，第3,4列为非标准列。矩阵0000100

011中如果将第1,2列视为一组标准列，那么第3列就是非标准列；如果将第1,3列视为一组标000

准列，那么第2列就是非标准列。

注意：化单位列时使用的变换是初等“行”变换，绝对不能使用初等“列”变换，这是解线性方程组的要求，详见。

有了单位列和标准列的知识准备，下面就可以讨论“折线法”。

二、 齐次线性方程组的通解

齐次线性方程组必有解，至少有0解。齐次线性方程组的通解可以按如下步骤来求解： ① 写出线性齐次方程组的系数矩阵A，设A为mn矩阵。 ② 用初等行变换化阶梯形判定系数矩阵的秩 当rAn时，AX0只有0解。

当rArn时，AX0存在无穷多解，即存在基础解系，且基础解系包含nr个线性无关解向量η1,η2,

,ηnr，此时方程组的通解可以表示成：

Xk1η1k2η2knrηnr，k1,k2knr为任意非零常数。

③ 利用初等“行”变换，将方程组的系数矩阵A化为含r个线性无关的标准列的形式。 ④ 齐次方程组的一个解向量ηi可以这样得到：

选择一个非标准列，将该非标准列上某一个元素与它在行上相对应的某标准列上的1连线，并沿这个标准列画折线，再将该元素变号写在折线的另一端（标准列的下面）。所有的标准列下面都写上数字后，再将所选择的这个非标准列下面写1，其余非标准列下面写0（没有其余非标准列的不写）。这样系数矩阵的下面就写出了一个行向量。将之转置就得到一个解向量。

⑤ 根据上述方法，每个非标准列均可以写出一个解向量，nr个非标准列一共写出nr个解向量，这些解向量一定线性无关，只需分别乘上常数k1,k2knr再求和即可得到齐次方程组的通解。

上面的④就是折线法的关键，看上去很复杂，其实非常容易，给读者举几个例子即可马上掌握。

10211．设系数矩阵可化为0114，先选取第3列非标准列，有：（实线框的是选取的第3列0000

非标准列，虚线框的是另一个非标准列）

2

1

将写出的这个行向量转置就可以得到一个解向量为。

10

再选取第4列非标准列，有：

14

同理得到另一个解向量为。

01

2114

因此线性方程组的通解为Xk1k2。

1001

1002．设系数矩阵可化为011，且将第1,2列视为一组标准列，那么第3列就是非标准列， 000

00

以第3列可以写出一个解向量为1，因此线性方程组的通解为Xk1。 11

注意：也可以将第1,3列视为一组标准列，第2列作为非标准列，结果是一样的，读者可以自己

尝试做一下。

x12x25x40

【例1】解齐次线性方程组x15x2x39x40

2xxx6x0

4123

1205【解】该齐次线性方程组的系数矩阵为1519，利用初等行变换可以将之化为2116

1205

0314，第1,3列为标准列，2,4列为非标准列，则根据非标准列可以写出两个线性无关的解0000

向量为：

25

10

因此该齐次线性方程组的通解为Xk1k2

3401

x2x40

x2xx0124

【例2】求线性方程组的通解。

x2xx0231x13x2x3x40

【解】利用初等“行”变换，该线性方程组的系数矩阵可化为：

0

1111010

12010210

3110

1

000

011

001011000

100

0101 11

00

11

于是方程的通解为：Xk。（k为任意非零常数）

11

注意：本例也可以通过系数矩阵的第一次化简结果

求得解向量。

b2aba1b1a11n

ababab21222n的齐次线性方程组的通解。【例3】求系数矩阵为A（其中

anbnanb1anb2

a1,a2an不全为0，b1,b2bn不全为0）

【解】利用初等“行”变换，并设b10，则系数矩阵可化为：

b1b200A



00bn1b2/b1

000000bn/b1

0 



0

系数矩阵化为只有一个标准列的形式，用“折线法”可得到一个解向量为

同理得到其他解向量，n1个非标准列，共得到n1个线性无关的解向量。 因此，直接得到方程的通解为：

b2/b1b3/b110Xk10k21

00b2/b1

1

（k1,k2kn1为任意非零常数） k0。

0n1

三、 非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组的通解由其“导出组的通解”和非齐次线性方程组的一个“特解”构成，利用

“折线法”可以直接通过方程组增广矩阵求得非齐次线性方程组的通解。步骤如下：

① 写出线性齐次方程组的增广矩阵Ab，设A为mn矩阵，则Ab为mn1矩阵。方程组增广矩阵相比系数矩阵多出一列b，这列由非齐次方程组各方程的常数项构成，称之为增广列。 ② 用初等行变换化阶梯形来判定系数矩阵的秩和增广矩阵的秩，若二者的秩相等（设均为r），则非齐次方程组有解。

③ 利用初等“行”变换，将方程组的增广矩阵化为含r个线性无关的标准列的形式，注意标准列不能在增广列上。

④ 非齐次线性方程组的通解中“导出组通解部分”可以直接由增广矩阵竖线左边的部分写出，方法与求齐次方程组的通解相同（即前面讲到的）。

⑤ “特解部分”可以直接由增广列写出，写法如下：

将增广列上的某一个元素与它在行上对应的某标准列上的1连线，并沿该标准列画折线，再将该元素写在折线的另一端（注意“不变号”）。所有的标准列下面都写上数字后，再将非增广列的非标准列（即竖线左边的非标准列）下写0，增广列下不要写任何数。这样系数矩阵的下面就写出了一个行向量。将之转置就得到一个特解。

⑥ 导出组通解部分和特解部分之和就是非齐次线性方程组的通解。

上面的⑤就是折线法的关键，看上去很复杂，其实非常容易，给大家几个例子即可马上掌握。





10

如：若非齐次线性方程组的增广矩阵为

00

1000010

23

11

，则 3100

2

1

用前面讨论的解齐次线性方程组的方法可直接得到导出组通解部分为k

31

特解用下面的方法来写出：

2311

因此非齐次方程组的通解为Xk。（k为任意非零常数）

3110

注意：只有写非齐次方程组的特解时箭头下不变号，而写齐次方程组的解向量和非齐次方程的导出组的解向量时箭头下都要变号。

【例4】设n维向量组α1,α2,α3n3线性无关，讨论当向量组

aα2α1,bα3α2,aα1bα3线性相关时，方程组

x1x2x32x432x3xax7x81234



x12x23x44x2x3a2x4b1

的解。当其有无穷多解时，求其通解。

10a

【解】aα2α1,bα3α2,aα1bα3α1,α2,α3a1

0 0bb

∵α1,α2,α3线性无关，∴向量组aα2α1,bα3α2,aα1bα3线性相关的充要条件为： 10a10

b

a

00，解得：b0或a1。 b

线性方程组的增广矩阵可化为：

111231112323a7801111 A

1203400a121011a2b1000a1b⑴ 当a1时，方程组有唯一解。 ⑵ 当a1,b0时，方程组无解。

⑶ 当a1,b0时，方程组有无穷多组解。

在⑶的情况下：

10A

00231



11110



00210



00000

11

03/2



1101/20011/2



0000

02

1 2 3 4 1 2 3 4

标准列为第1,2,4列。第3列为非标准列，根据非标准列写出导出组的通解部分为 23/211/2

。（读者尝试自己动手利用“折线法”求解） k；根据增广列写出特解为

1001/2

23/211/2

。因此得到方程组的通解为Xk（k为任意非零常数）

1001/2

注意：非齐次线性方程组导出组的通解部分有系数k

，因此可以任意改变非零倍数；特解不能改变倍数，但导出组的一个解与特解之和也是一个特解。

23/211/2

，如：例4的通解为Xk（k为任意非零常数）

1001/2

也可以写为：

223/243/2

121/221/2

k，Xk（k为任意非零常数）

12020021/201/2

或

223/221/2111/213/2

k，（k为任意非零常数） Xk

1101101/201/2

却不能写成：

223/223121/211

k。（k为任意非零常数） Xk

12010021/201

根据这些性质，可知非齐次线性方程组的通解的表示形式不唯一。如果读者利用“折线法”求解非齐次线性方程组得到的结果与例题或习题的参考答案不一样，不要担心，只要正确使用“折线法”，你的结果一定也是正确的。如果实在不放心，读者可以尝试利用：导出组的通解可以任意改变非零倍数；导出组的一个通解与特解之和也是一个特解，这两条性质进行检验。利用这两条性质总可以将你的正确计算结果化为题目答案，也可将题目答案化为你的正确计算结果。

齐次线性方程组的通解部分也有系数k，因此可以任意改变非零倍数。