八.圆锥曲线方程

八.圆锥曲线方程

x2y2

1.椭圆焦半径公式：设P(x0,y0)为椭圆221(ab0)上任一点,焦点为

ab

F1(c,0),F2(c,0),

则PF1aex0,PF2aex0(“左加右减”)；

x2y2

2.双曲线焦半径：设P(x0,y0)为双曲线221(a0,b0)上任一点,焦点为

ab

F1(c,0),F2(c,0),

则：⑴当P点在右支上时,|PF1|aex0,|PF2|aex0；⑵当P点在左支上时,|PF1|aex0,

x2y2

|PF2|aex0；(e为离心率).另：双曲线221(a0,b0)的渐近线方程为

ab

x2y2

0. a2b2

3.抛物线焦半径公式：设P(x0,y0)为抛物线y22px(p0)上任意一点,F为焦点,则 |PF|x0

p2

；y22px(p0)上任意一点,F为焦点，则|PF|x0

b

p2

.

x2y2

4.共渐近线yx的双曲线标准方程为22(为参数,0).

aba

5.两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

x2y2

1,其中 f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程2

akb2k

kmax{a2,b2}.当kmin{a2,b2}时,表示椭圆；当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

ABx1x2|

]y1y2|(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程cbykx

消去 

F(x,y)0

2

y得到axbxc0,0,k为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为

2ba

2

,焦准距为p

b

2

c

,抛物线的通径为2p,焦准距为p；

x2y2

双曲线221(a0,b0)的焦点到渐近线的距离为b；

ab

8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2By21(对于椭圆

A0,B0)；

9.抛物线y22px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论：

⑴|AB|x1x2p；⑵x1x2

p

2

4

,y1y2p2； ⑶

|AF|

|BF|

112p

.

x2y2

1(ab0)左焦点弦|AB|2ae(x1x2),右焦点弦10.椭圆

a2b2

|AB|2ae(x1x2).

2y0

11.对于y2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为(,y0),以简化计算.

2p

2

12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆

b2x0x2y2x2y2

1中, 以P(x0,y0)为中点的弦所在直线斜率k2；在双曲线221中,a2b2abay0b2x0

以P(x0,y0)为中点的弦所在直线斜率k2；在抛物线y22px(p0)中,以P(x0,y0)为

ay0

中点的弦所在直线的斜率k

py0

.

13.求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)0,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.

⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.

⑸交轨法(参数法)：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑

将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 14.解析几何与向量综合的有关结论：

n

⑴给出直线的方向向量u(1,k)或u(m,n).等于已知直线的斜率k或；

m

⑵给出与AB相交,等于已知过AB的中点；



⑶给出0,等于已知P是MN的中点;



⑷给出APAQ(BPBQ),等于已知P,Q与AB的中点三点共线;



⑸给出以下情形之一： ①AB//AC； ②存在实数,使ABAC； ③若存在实数,,



且1；使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

OAOB

⑹给出OP,等于已知P是的定比分点,为定比,即

1

⑺给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出m0,等于已知AMB是钝角或反向共线,给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角或同向共线.



MAMB

)MP,等于已知MP是AMB的平分线. ⑻给出(

|MA|

|MB|

⑼在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD是菱形.



⑽在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是矩形.

⑾在ABC中,给出，等于已知O是ABC的外心(三角形的外心是外接圆

的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).

⑿在ABC中,给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形

三条中线的交点).

⒀在ABC中,给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心

是三角形三条高的交点).

ABAC

⒁在ABC中,给出()(R)等于已知通过ABC的内

|AB|

|AC|

2

2

2

心.

⒂在ABC中,给出abc等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆

的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).

1

⒃在ABC中,给出AD(ABAC),等于已知AD是ABC中BC边的中线.

2

八.圆锥曲线方程

x2y2

1.椭圆焦半径公式：设P(x0,y0)为椭圆221(ab0)上任一点,焦点为

ab

F1(c,0),F2(c,0),

则PF1aex0,PF2aex0(“左加右减”)；

x2y2

2.双曲线焦半径：设P(x0,y0)为双曲线221(a0,b0)上任一点,焦点为

ab

F1(c,0),F2(c,0),

则：⑴当P点在右支上时,|PF1|aex0,|PF2|aex0；⑵当P点在左支上时,|PF1|aex0,

x2y2

|PF2|aex0；(e为离心率).另：双曲线221(a0,b0)的渐近线方程为

ab

x2y2

0. a2b2

3.抛物线焦半径公式：设P(x0,y0)为抛物线y22px(p0)上任意一点,F为焦点,则 |PF|x0

p2

；y22px(p0)上任意一点,F为焦点，则|PF|x0

b

p2

.

x2y2

4.共渐近线yx的双曲线标准方程为22(为参数,0).

aba

5.两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

x2y2

1,其中 f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程2

akb2k

kmax{a2,b2}.当kmin{a2,b2}时,表示椭圆；当min{a2,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB

ABx1x2|

]y1y2|(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程cbykx

消去 

F(x,y)0

2

y得到axbxc0,0,k为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为

2ba

2

,焦准距为p

b

2

c

,抛物线的通径为2p,焦准距为p；

x2y2

双曲线221(a0,b0)的焦点到渐近线的距离为b；

ab

8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为Ax2By21(对于椭圆

A0,B0)；

9.抛物线y22px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论：

⑴|AB|x1x2p；⑵x1x2

p

2

4

,y1y2p2； ⑶

|AF|

|BF|

112p

.

x2y2

1(ab0)左焦点弦|AB|2ae(x1x2),右焦点弦10.椭圆

a2b2

|AB|2ae(x1x2).

2y0

11.对于y2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为(,y0),以简化计算.

2p

2

12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆

b2x0x2y2x2y2

1中, 以P(x0,y0)为中点的弦所在直线斜率k2；在双曲线221中,a2b2abay0b2x0

以P(x0,y0)为中点的弦所在直线斜率k2；在抛物线y22px(p0)中,以P(x0,y0)为

ay0

中点的弦所在直线的斜率k

py0

.

13.求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)0,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.

⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.

⑸交轨法(参数法)：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑

将x、y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 14.解析几何与向量综合的有关结论：

n

⑴给出直线的方向向量u(1,k)或u(m,n).等于已知直线的斜率k或；

m

⑵给出与AB相交,等于已知过AB的中点；



⑶给出0,等于已知P是MN的中点;



⑷给出APAQ(BPBQ),等于已知P,Q与AB的中点三点共线;



⑸给出以下情形之一： ①AB//AC； ②存在实数,使ABAC； ③若存在实数,,



且1；使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

OAOB

⑹给出OP,等于已知P是的定比分点,为定比,即

1

⑺给出0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出m0,等于已知AMB是钝角或反向共线,给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角或同向共线.



MAMB

)MP,等于已知MP是AMB的平分线. ⑻给出(

|MA|

|MB|

⑼在平行四边形ABCD中,给出(ABAD)(ABAD)0,等于已知ABCD是菱形.



⑽在平行四边形ABCD中,给出|ABAD||ABAD|,等于已知ABCD是矩形.

⑾在ABC中,给出，等于已知O是ABC的外心(三角形的外心是外接圆

的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).

⑿在ABC中,给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心(三角形的重心是三角形

三条中线的交点).

⒀在ABC中,给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心(三角形的垂心

是三角形三条高的交点).

ABAC

⒁在ABC中,给出()(R)等于已知通过ABC的内

|AB|

|AC|

2

2

2

心.

⒂在ABC中,给出abc等于已知O是ABC的内心(三角形内切圆

的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点).

1

⒃在ABC中,给出AD(ABAC),等于已知AD是ABC中BC边的中线.

2