随机振动虚拟激励法及工程应用
*
林家浩 张亚辉 赵岩
（大连理工大学工程力学系 工业装备结构分析国家重点实验室，大连116023）
摘要 本文扼要地介绍了求解受平稳/非平稳随机激励结构的虚拟激励法。解释了该方法快速、精确的原因。然后列举实例以表明虚拟激励法已经在我国的多个工程领域得到初步的应用。最后讨论了将此新颖计算方法实际应用于工程所必须解决的一些问题。 关键词 随机振动 平稳 非平稳 虚拟激励法
一、引言
随机振动是对于许多工程领域都非常有用的力学工具。其基本理论框架和计算方法又早已建立
1-5
，可是它在工程中的实际推广却又困难重重。其中一个重要原因是
6-14
传统计算方法的复杂低效。近十几年发展的虚拟激励法，将平稳随机响应的计算
转化为简谐响应的计算；而将非平稳随机响应的计算转化为普通的逐步积分计算。从而使得历来感到难于应用的随机振动理论的实际计算分析变得十分方便了。一个十分典型的例子就是对大跨度桥梁考虑地面多点激励的抗震分析。1989年的美国西部大地震使得旧金山湾区大桥受到严重的损坏；美国在该领域的主流科学家如Kiureghian（加州大学伯克利分校地震研究中心主任），Vanmarcke（普林斯顿大学教授）都主张应该用随机振动方法来对大跨度桥梁进行抗震分析。但是他们分别对于对方提出的计算方法
1-2
提出强烈批评，致使工程界无所适从。加州大学提出的外形优美的新桥方
案也因为抗震分析未能过关而功亏一篑。我们在1992-1997年间在国际刊物上陆续发表的虚拟激励法系列则从根本上解决了他们碰到的计算困难；包括更为困难的多点非平稳随机地震激励问题。只需借助于普通微机，即可精确而高效地求解最为关键的高阶随机微分方程。最近十多年来，我国工程界许多不同领域的学者已经用虚拟激励法这有力工具解决了各自领域的许多颇具规模的复杂随机响应计算实例，包括桥梁、水
*
国家自然科学基金（No.10072015）资助项目
坝和各种复杂结构物的抗震、抗风计算，海洋平台的随机波浪分析，车辆受路面激励的振动分析和控制等等。其中很多问题的难度是在国际刊物中尚未见到先例的。
本文将首先扼要地介绍虚拟激励法对于平稳/非平稳，单点/多点，均匀调制、非均匀调制等多种随机激励情况下的基本算法。然后讨论了进一步在工程中推广应用虚拟激励法所需要解决的一些技术问题和思想障碍。
图1 单源激励虚拟激励法的基本原理
iωt
y=
1(ω
)e2(ω)e
iωt
z=
iωt
二、平稳单源随机激励问题
单源输入问题的虚拟激励法可由图1来说明。设线性系统受零均值平稳随机激励作用，其功率谱密度Sxx(ω
)为已知。若y=
1(ω)eiωt和z=2(ω)eiωt是由下列虚拟简谐激励
引起的两种响应，那么容易验证
*
x=
iωt
（1）
yy=H1(ω)Sxx(ω)=Syy(ω)
*
*
2
（2） （3）
yz=H1(ω)Sxx(ω)H2(ω)=Syz(ω)
这表明，两个随机响应y(t)和z(t)的自谱和互谱可以用相应的虚拟简谐响应y和z来算出。
如果虚拟响应是两个任意的简谐响应向量{y(t)}和{z(t)}，则可相似地证明其相应的功率谱矩阵是
{y}{y}{y}{z}
*
*T
⎤=⎡⎣Syy(ω)⎦⎤=⎡⎣Syz(ω)⎦
（4） （5）
T
现考虑结构受单源随机激励的作用，其运动方程为
}+[K]{y}={P}x(t) y}+[C]{y[M]{
（6）
其中x(t)为功率谱是Sxx(ω)的平稳随机过程，{P}是给定的常数向量。为了求解该方
程，令x(t)=
其稳态解为
iωt
，则方程（6）成为下列谐和运动方程
iωt
}+[K]{y}={
Py}+[C]{y[M]{
（7）
{y(t)}={Y(ω)}eiωt
（8）
用其前q阶振型作振型迭加，则有15
H
j
{Y(ω)}=∑γjHj{
φj}
j=1
q
T
（9） （10）
=(ω
2
j
-ω
2
+2iςjωω
j
)
-1
φj}{p} , γj={
其中ωj、{φj}、ςj、γj分别是第j阶自振园频率、振型、阻尼比和振型参与系数。按虚拟激励法，则{y}的功率谱矩阵为
[S(ω)]={y}{y}
*
yy
T
={Y(ω)}{Y(ω)}
*
T
（11）
将（7）式代入（9）式可得
[S(ω)]=∑∑γ
yy
j=1k=1
γHjHk{φjk
*
j
}{φ}
k
T
Sxx(ω)
（12）
这就是熟知的CQC（Complete Quadratic Combination）法公式4,15。它包含了全部参振振型之间的互相关项，因此一般需要很大的计算量。为了减小计算量，一般建议将互相关性忽略掉，从而得到下列近似的SRSS（Square Root of the Sum of Squares，平方和开平方）公式15。
[S(ω)]=∑γ
yy
j=1
q
2
j
H
2j
{φ}{φ}
j
j
T
Sxx(ω)
（13）
（10）式的主要计算量是q2个向量乘法，而（13）式主要包含q个这样的向量乘法计算。但是虚拟激励法，亦即（9）式和（11）式仅需要一个这样的向量乘法计算即可
⎤获得与（12）式有同样精确度的功率谱矩阵⎡⎣Syy(ω)⎦。因此虚拟激励法又称为快速
CQC法7。SRSS法仅对于参振频率为稀疏分布的小阻尼结构才是近似可用的。对于复杂的工程结构，尤其在使用三维结构模型时，自振频率几乎总是密集分布的，因此SRSS法不可用。但通常的CQC法，即（12）式又需要巨大的计算量。这就使得随机振动方法应用于实际工程问题十分困难；除非是对于自由度和外部激励都很少的简单结构。虚拟激励法解决了这一困难，在普通微机上就可精确而迅速地计算非常复杂的问题。
三、平稳多源随机激励问题
若线性结构受多个非平稳随机激励的作用，其运动方程为
}+[C]{y }+[K]{y}=[R]{x(t)} [M]{ y
（14）
其中[R]是给定的常数矩阵，其功率谱矩阵[Sxx(ω)]{x(t)}是一m维平稳随机过程向量，为已知。由于功率谱矩阵必为厄密特矩阵，因此可按其特征对分解为
[Sxx(ω)]=∑dj{φj}*{φj}T (r≤m)
j=1
r
（15）
其中r是矩阵[Sxx(ω)]的秩。然后构造r个虚拟简谐激励
{x(t)}=
j
d
j
{φ}e
j
iωt
(j=1,2, ,r)
（16）
将（16）式代入（14）式，易求得谐和响应为
{y(t)}={y(ω)}e
j
j
iωt
（17）
任一其它谐和响应也很容易求得，记作{zj(t)}
{z(t)}={z(ω)}e
j
j
iωt
（18）
则与上述响应相应的功率谱矩阵可按下式计算9,12
[S(ω)]=∑{Y(ω)}{Y(ω)}
*
yy
j
j
j=1
r
*
yz
j
j
j=1
r
T
（19） （20）
[S(ω)]=∑{Y(ω)}{Z(ω)}
T
以上算法考虑了所有激励之间的互相关项（可以是不完全相关），属于部分相关激励
问题。以前是难于求解的1,2。而用虚拟激励法则很方便地求得了精确解。对于地震行波效应问题，海洋平台受随机波浪力问题，汽车前后轮受轮轨作用力问题等，结构所受到的多点激励之间仅存在相位差或常数倍幅值的区别，这时（15）~（20）式中的r均等于1，属于完全相关问题。用虚拟激励法处理相对于计算单自由度问题，是特别方便高效的。
四、非平稳单源随机激励问题
1．均匀调制演变随机激励
若线性结构受演变随机激励 f(t)=g(t)x(t)的作用，这里g(t) 是给定的慢变调制函数，而x(t) 是平稳随机过程，其自谱Sxx(ω) 已知。 为了计算二任意响应向量
{y(t)}和{z(t)}的功率谱矩阵，要采用下列虚拟激励
16
（21）
f(t)=g(t)Sxxωe
iωt
在该确定性荷载作用下，方程（6）成为
}+[C]{y }+[K]{y}={p}g(t)[M]{ y
Sxxωe
iωt
（22）
0}={0}。于是响应的对于地震分析问题，结构认为初始静止，即当t=0时，{y0}={y
时间历程{y(ω,t)}和{z(ω,t)}可以通过Newmark法或Wilson-θ法计算算参数。业已证明12响应的功率谱矩阵可按下式精确地计算
17
，ω则作为计
[S(ω)]={y(ω,t)}{y(ω,t)}
*
yy
T
（23） （24）
[S(ω)]={y(ω,t)}{z(ω,t)}
*
yz
T
也已经证明17,18，如果采用精细积分法来计算（22）式，则效率和精度比采用Newmark法要高出很多。
2．非均匀调制演变随机激励
若线性结构受非均匀调制演变随机激励f(t)的作用16
f(t)=
⎰
∞
-∞
A(ω,t)e
iωt
dα(ω)
（25）
其中A(ω,t)是已知的慢变非均匀调制函数，α满足下列方程
Edα
[
*
(ω1)dα(ω2)]=
Sxx(ω1)δ(ω2-ω1)dω1dω2
（26）
而Sxx(ω1)是平稳随机过程x(t)的自谱密度。上述Riemann-Stieltjes 积分对于随机响应的计算造成很多困难。但是，如果采用下列虚拟激励10
使方程（22）成为
}+[C]{y }+[K]{y}={p}A(ω,t)[M]{ y
Sxxωe
iωt
f(t)=A(ω,t)Sxxωe
iωt
（27）
（28）
则任意两个响应向量{y(ω,t)}和{z(ω,t)}的时间历程仍可方便地由（28）式求得，而相应的功率谱矩阵则为10
[S(ω)]={y(ω,t)}{y(ω,t)}
*
yy
T
（自谱矩阵） （互谱矩阵）
（29） （30）
[S(ω)]={y(ω,t)}{z(ω,t)}
*
yz
T
虚拟激励法在计算中完全避免涉及Riemann-Stieltjes积分，为工程师带来了很大的方便。
五、非平稳多源随机激励问题
对于结构受多源均匀调制演变随机激励问题，方程（14） 成为
}+[C]{y }+[K]{y}=[R]{f(t)} [M]{ y
（31）
其中[R]是指定的常数矩阵，而{f(t)}是m维演变随机过程向量
⎧g1(t)x1(t)⎫
⎪⎪⎪g2(t)x2(t)⎪
{f(t)}=⎨⎬
⎪⎪⎪⎩gm(t)xm(t)⎪⎭
（32）
其中gi(t)是第i个激励的调制函数（i=1,2,…,m）。零均值平稳随机过程向量{x(t)}
⎧x1(t)⎫⎪⎪⎪x2(t)⎪
{x(t)}=⎨⎬
⎪⎪⎪⎩xm(t)⎪⎭
（33）
的功率谱矩阵[Sxx(ω)]是已知的。
.仍可将厄密特矩阵[Sxx(ω)]分解为
[Sxx(ω)]=∑dj{φj}*{φj}T (r≤m)
j=1
r
（34）
其中r是[Sxx(ω)]的秩。然后构造r个虚拟激励向量
{f(t)}=
jdjgi(t){φ
j
}e
iωt
(j=1,2, ,r) （35）
将（35）式代入（31）式的右端，仍可按任意一种逐步积分法（尤其是精细积分法19,20）计算得到{yj(ω,t)}和{zj(ω,t)}的时间历程。则相应的时变功率谱矩阵可由下式精确而高效地计算11
－13
[S(ω)]=∑{y(ω,t)}{y(ω,t)}
*
yy
j
j
r
T
（36） （37）
[S(ω)]=∑{y(ω,t)}{z(ω,t)}
*
yz
j
j
j=1
j=1
r
T
以上方法可推广于结构受多源非均匀调制演变随机激励问题12。
六、工程应用情况
PEM已经在多个工程领域得到初步的应用。下面列举部分工程应用实例： 水坝抗震分析：水利水电科学研究院陈厚群19在其专著中详细介绍了PEM的原理和步骤，并附以大量的实际计算结果。清华大学刘天云等20推广PEM并应用于新疆石门子水坝的设计中。河海大学刘汉龙等21也结合瀑布沟水电站工程应用了PEM。
桥梁和其它结构抗震分析：同济大学范立础等应用PEM研究了南京长江二桥的抗震分析（桥长1238 M，分析中使用300阶振型）22。北京工业大学曹智、薛素铎等推广虚拟激励法于三维网架结构的抗震分析结构的抗震分析上发展了PEM。
大跨度结构的风激振动分析：大连理工大学孙东科26、刘高27，同济大学朱乐东、项海帆和香港理工大学徐幼麟28等，基于整体三维有限元模型将PEM用于大跨度桥梁的耦合颤振－抖振分析中，在国际刊物上发表了一系列论文。浙江大学陈贤川等、上海交通大学李春祥等29-30将PEM应用于各种高柔结构的随机分析与控制中。
23
。祝长生、廖松涛等
24－25
分别在不同
车辆随机振动和最优控制：吉林大学赵又群、郭孔辉31，华中科技大学李强、周济32用PEM研究了车辆振动的控制和优化。
七、开发基于PEM的CAE软件需要解决的问题
虽然PEM已经表明在许多工程领域是非常实用的。但是要真正地在工程中得到普遍的推广应用则还需要作出很大的努力：
1）理论方法上的配套。首先是输入功率谱的确定。其实在结构抗震、抗风、海浪、公路和铁路路面不平度等许多方面国内外都已经制定了不少功率谱，但是对于工程普遍应用来说，还欠完整，不够规范。再就是输出功率谱的处理。功率谱一般不是工程人员可以直接使用于设计的量，而必须按不同的目的加以转化。这方面已经有了很多研究成果，在桥梁、建筑、海洋平台、汽车、火车等许多工程领域，都各有成熟程度不等的方法。有的已经在一些工程规范中有所规定或建议。但是仍需要分别情况进行充实和规范。
2）要解决应用新成果的思想障碍。有些领导或“老资格”总以“还不够成熟”为借口而墨守成规，安于现状；“创新”二字仅挂在口头上。综观欧美日诸强，他们争先恐后地抢用最新的科技成果，以占领科技制高点。欧共体于1995年颁布了一系列工程规范，在建筑、桥梁等设计中则推荐了功率谱方法（即随机振动方法）。其实，功率谱方法历经近半个世纪的发展，可谓成就斐然，但也决非已经十分完善。西方的大多数资深工程师也并不懂得随机振动原理。而且在结构计算环节上他们还不如我们中国人解决得好。但他们却大力提倡这些新方法的应用，就是为了尽快在激烈的竞争中取得主导或控制地位。 当今各国工程界普遍应用的反应谱方法，在半个世纪以前刚推广时也是不完善的。甚至于如何应用振型分解法就不太清楚，众说纷纭，莫衷一是。 直到1980年在地震激励为白噪声的假定下，推导出了CQC公式，才算基本上统一了认识。又如工程界在刚开始应用有限元法时，又有多少工程师明白其原理呢？很多人是被一股历史潮流裹胁着往前走的。如果真要等到多数工程师都掌握了原理方法才去推广有限元法，那就贻误战机、被历史淘汰了。今后，对于越来越先进的科学技术的应用将更是如此。而发展CAE产业，开发出便于应用的程序，则起着至关重要的作用。只要先有一部分人掌握了这些软件，使得设计水平超越传统方法，就能迅
速带动全行业技术更新，并在国际竞争中取得主动地位。
参考文献
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Excitations. Earthquake Engineering and Structural Dynamics 21, 713-740（1992）.
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coherency model Author Affiliation: Dept.of Civil and Architectural Eng., Drexel University Source: Soil Dynamics and Earthquake Engineering , 22（9-12）: 813-820 （2003）
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林家浩 广东中山人，1941年生于上海。教授，博士生导师。他1964年自中国科技大学近代力学系毕业后，考入大连理工大学师从钱令希院士作研究生。1981年他从美国普林斯顿大学回国后，针对随机振动理论无法在工程界广泛应用的现实，潜心研究20年，建立了高效精确的“虚拟激励法”系列。他的专著《随机振动的虚拟激励法》于2004年由科学出版社出版。美国CRC出版社2005年出版的《振动与冲击手册》（Vibration and Shock Handbook）第30章“大跨度结构随机地震分析”（Seismic Random Vibration of Long-span Structures）特邀他撰写；重点介绍独具特色的虚拟激励法的原理和应用。林家浩还在结构动力优化设计，结构弹塑性地震反应研究，《动力机器基础设计规范》的修订工作等方面取得大量研究成果，获得多项国家和省部级奖励。许多成果在工程界被广泛应用。
地址：大连理工大学工程力学系，116023 电话：0411-84706337， Email: [email protected]
长兴岛造船基地600T起重机风振分析 南京长江二桥多点抗震分析 首都机场四机位维修机库多点抗震分析 深圳地王大厦抗震分析 瀑布沟水电站多点抗震分析 小湾拱坝多点抗震分析 青马桥抗震抗风分析 重庆大佛寺长江大桥抗震分析
东海大桥抗震分析
图2 用虚拟激励法解决的工程问题举例
随机振动虚拟激励法及工程应用
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林家浩 张亚辉 赵岩
（大连理工大学工程力学系 工业装备结构分析国家重点实验室，大连116023）
摘要 本文扼要地介绍了求解受平稳/非平稳随机激励结构的虚拟激励法。解释了该方法快速、精确的原因。然后列举实例以表明虚拟激励法已经在我国的多个工程领域得到初步的应用。最后讨论了将此新颖计算方法实际应用于工程所必须解决的一些问题。 关键词 随机振动 平稳 非平稳 虚拟激励法
一、引言
随机振动是对于许多工程领域都非常有用的力学工具。其基本理论框架和计算方法又早已建立
1-5
，可是它在工程中的实际推广却又困难重重。其中一个重要原因是
6-14
传统计算方法的复杂低效。近十几年发展的虚拟激励法，将平稳随机响应的计算
转化为简谐响应的计算；而将非平稳随机响应的计算转化为普通的逐步积分计算。从而使得历来感到难于应用的随机振动理论的实际计算分析变得十分方便了。一个十分典型的例子就是对大跨度桥梁考虑地面多点激励的抗震分析。1989年的美国西部大地震使得旧金山湾区大桥受到严重的损坏；美国在该领域的主流科学家如Kiureghian（加州大学伯克利分校地震研究中心主任），Vanmarcke（普林斯顿大学教授）都主张应该用随机振动方法来对大跨度桥梁进行抗震分析。但是他们分别对于对方提出的计算方法
1-2
提出强烈批评，致使工程界无所适从。加州大学提出的外形优美的新桥方
案也因为抗震分析未能过关而功亏一篑。我们在1992-1997年间在国际刊物上陆续发表的虚拟激励法系列则从根本上解决了他们碰到的计算困难；包括更为困难的多点非平稳随机地震激励问题。只需借助于普通微机，即可精确而高效地求解最为关键的高阶随机微分方程。最近十多年来，我国工程界许多不同领域的学者已经用虚拟激励法这有力工具解决了各自领域的许多颇具规模的复杂随机响应计算实例，包括桥梁、水
*
国家自然科学基金（No.10072015）资助项目
坝和各种复杂结构物的抗震、抗风计算，海洋平台的随机波浪分析，车辆受路面激励的振动分析和控制等等。其中很多问题的难度是在国际刊物中尚未见到先例的。
本文将首先扼要地介绍虚拟激励法对于平稳/非平稳，单点/多点，均匀调制、非均匀调制等多种随机激励情况下的基本算法。然后讨论了进一步在工程中推广应用虚拟激励法所需要解决的一些技术问题和思想障碍。
图1 单源激励虚拟激励法的基本原理
iωt
y=
1(ω
)e2(ω)e
iωt
z=
iωt
二、平稳单源随机激励问题
单源输入问题的虚拟激励法可由图1来说明。设线性系统受零均值平稳随机激励作用，其功率谱密度Sxx(ω
)为已知。若y=
1(ω)eiωt和z=2(ω)eiωt是由下列虚拟简谐激励
引起的两种响应，那么容易验证
*
x=
iωt
（1）
yy=H1(ω)Sxx(ω)=Syy(ω)
*
*
2
（2） （3）
yz=H1(ω)Sxx(ω)H2(ω)=Syz(ω)
这表明，两个随机响应y(t)和z(t)的自谱和互谱可以用相应的虚拟简谐响应y和z来算出。
如果虚拟响应是两个任意的简谐响应向量{y(t)}和{z(t)}，则可相似地证明其相应的功率谱矩阵是
{y}{y}{y}{z}
*
*T
⎤=⎡⎣Syy(ω)⎦⎤=⎡⎣Syz(ω)⎦
（4） （5）
T
现考虑结构受单源随机激励的作用，其运动方程为
}+[K]{y}={P}x(t) y}+[C]{y[M]{
（6）
其中x(t)为功率谱是Sxx(ω)的平稳随机过程，{P}是给定的常数向量。为了求解该方
程，令x(t)=
其稳态解为
iωt
，则方程（6）成为下列谐和运动方程
iωt
}+[K]{y}={
Py}+[C]{y[M]{
（7）
{y(t)}={Y(ω)}eiωt
（8）
用其前q阶振型作振型迭加，则有15
H
j
{Y(ω)}=∑γjHj{
φj}
j=1
q
T
（9） （10）
=(ω
2
j
-ω
2
+2iςjωω
j
)
-1
φj}{p} , γj={
其中ωj、{φj}、ςj、γj分别是第j阶自振园频率、振型、阻尼比和振型参与系数。按虚拟激励法，则{y}的功率谱矩阵为
[S(ω)]={y}{y}
*
yy
T
={Y(ω)}{Y(ω)}
*
T
（11）
将（7）式代入（9）式可得
[S(ω)]=∑∑γ
yy
j=1k=1
γHjHk{φjk
*
j
}{φ}
k
T
Sxx(ω)
（12）
这就是熟知的CQC（Complete Quadratic Combination）法公式4,15。它包含了全部参振振型之间的互相关项，因此一般需要很大的计算量。为了减小计算量，一般建议将互相关性忽略掉，从而得到下列近似的SRSS（Square Root of the Sum of Squares，平方和开平方）公式15。
[S(ω)]=∑γ
yy
j=1
q
2
j
H
2j
{φ}{φ}
j
j
T
Sxx(ω)
（13）
（10）式的主要计算量是q2个向量乘法，而（13）式主要包含q个这样的向量乘法计算。但是虚拟激励法，亦即（9）式和（11）式仅需要一个这样的向量乘法计算即可
⎤获得与（12）式有同样精确度的功率谱矩阵⎡⎣Syy(ω)⎦。因此虚拟激励法又称为快速
CQC法7。SRSS法仅对于参振频率为稀疏分布的小阻尼结构才是近似可用的。对于复杂的工程结构，尤其在使用三维结构模型时，自振频率几乎总是密集分布的，因此SRSS法不可用。但通常的CQC法，即（12）式又需要巨大的计算量。这就使得随机振动方法应用于实际工程问题十分困难；除非是对于自由度和外部激励都很少的简单结构。虚拟激励法解决了这一困难，在普通微机上就可精确而迅速地计算非常复杂的问题。
三、平稳多源随机激励问题
若线性结构受多个非平稳随机激励的作用，其运动方程为
}+[C]{y }+[K]{y}=[R]{x(t)} [M]{ y
（14）
其中[R]是给定的常数矩阵，其功率谱矩阵[Sxx(ω)]{x(t)}是一m维平稳随机过程向量，为已知。由于功率谱矩阵必为厄密特矩阵，因此可按其特征对分解为
[Sxx(ω)]=∑dj{φj}*{φj}T (r≤m)
j=1
r
（15）
其中r是矩阵[Sxx(ω)]的秩。然后构造r个虚拟简谐激励
{x(t)}=
j
d
j
{φ}e
j
iωt
(j=1,2, ,r)
（16）
将（16）式代入（14）式，易求得谐和响应为
{y(t)}={y(ω)}e
j
j
iωt
（17）
任一其它谐和响应也很容易求得，记作{zj(t)}
{z(t)}={z(ω)}e
j
j
iωt
（18）
则与上述响应相应的功率谱矩阵可按下式计算9,12
[S(ω)]=∑{Y(ω)}{Y(ω)}
*
yy
j
j
j=1
r
*
yz
j
j
j=1
r
T
（19） （20）
[S(ω)]=∑{Y(ω)}{Z(ω)}
T
以上算法考虑了所有激励之间的互相关项（可以是不完全相关），属于部分相关激励
问题。以前是难于求解的1,2。而用虚拟激励法则很方便地求得了精确解。对于地震行波效应问题，海洋平台受随机波浪力问题，汽车前后轮受轮轨作用力问题等，结构所受到的多点激励之间仅存在相位差或常数倍幅值的区别，这时（15）~（20）式中的r均等于1，属于完全相关问题。用虚拟激励法处理相对于计算单自由度问题，是特别方便高效的。
四、非平稳单源随机激励问题
1．均匀调制演变随机激励
若线性结构受演变随机激励 f(t)=g(t)x(t)的作用，这里g(t) 是给定的慢变调制函数，而x(t) 是平稳随机过程，其自谱Sxx(ω) 已知。 为了计算二任意响应向量
{y(t)}和{z(t)}的功率谱矩阵，要采用下列虚拟激励
16
（21）
f(t)=g(t)Sxxωe
iωt
在该确定性荷载作用下，方程（6）成为
}+[C]{y }+[K]{y}={p}g(t)[M]{ y
Sxxωe
iωt
（22）
0}={0}。于是响应的对于地震分析问题，结构认为初始静止，即当t=0时，{y0}={y
时间历程{y(ω,t)}和{z(ω,t)}可以通过Newmark法或Wilson-θ法计算算参数。业已证明12响应的功率谱矩阵可按下式精确地计算
17
，ω则作为计
[S(ω)]={y(ω,t)}{y(ω,t)}
*
yy
T
（23） （24）
[S(ω)]={y(ω,t)}{z(ω,t)}
*
yz
T
也已经证明17,18，如果采用精细积分法来计算（22）式，则效率和精度比采用Newmark法要高出很多。
2．非均匀调制演变随机激励
若线性结构受非均匀调制演变随机激励f(t)的作用16
f(t)=
⎰
∞
-∞
A(ω,t)e
iωt
dα(ω)
（25）
其中A(ω,t)是已知的慢变非均匀调制函数，α满足下列方程
Edα
[
*
(ω1)dα(ω2)]=
Sxx(ω1)δ(ω2-ω1)dω1dω2
（26）
而Sxx(ω1)是平稳随机过程x(t)的自谱密度。上述Riemann-Stieltjes 积分对于随机响应的计算造成很多困难。但是，如果采用下列虚拟激励10
使方程（22）成为
}+[C]{y }+[K]{y}={p}A(ω,t)[M]{ y
Sxxωe
iωt
f(t)=A(ω,t)Sxxωe
iωt
（27）
（28）
则任意两个响应向量{y(ω,t)}和{z(ω,t)}的时间历程仍可方便地由（28）式求得，而相应的功率谱矩阵则为10
[S(ω)]={y(ω,t)}{y(ω,t)}
*
yy
T
（自谱矩阵） （互谱矩阵）
（29） （30）
[S(ω)]={y(ω,t)}{z(ω,t)}
*
yz
T
虚拟激励法在计算中完全避免涉及Riemann-Stieltjes积分，为工程师带来了很大的方便。
五、非平稳多源随机激励问题
对于结构受多源均匀调制演变随机激励问题，方程（14） 成为
}+[C]{y }+[K]{y}=[R]{f(t)} [M]{ y
（31）
其中[R]是指定的常数矩阵，而{f(t)}是m维演变随机过程向量
⎧g1(t)x1(t)⎫
⎪⎪⎪g2(t)x2(t)⎪
{f(t)}=⎨⎬
⎪⎪⎪⎩gm(t)xm(t)⎪⎭
（32）
其中gi(t)是第i个激励的调制函数（i=1,2,…,m）。零均值平稳随机过程向量{x(t)}
⎧x1(t)⎫⎪⎪⎪x2(t)⎪
{x(t)}=⎨⎬
⎪⎪⎪⎩xm(t)⎪⎭
（33）
的功率谱矩阵[Sxx(ω)]是已知的。
.仍可将厄密特矩阵[Sxx(ω)]分解为
[Sxx(ω)]=∑dj{φj}*{φj}T (r≤m)
j=1
r
（34）
其中r是[Sxx(ω)]的秩。然后构造r个虚拟激励向量
{f(t)}=
jdjgi(t){φ
j
}e
iωt
(j=1,2, ,r) （35）
将（35）式代入（31）式的右端，仍可按任意一种逐步积分法（尤其是精细积分法19,20）计算得到{yj(ω,t)}和{zj(ω,t)}的时间历程。则相应的时变功率谱矩阵可由下式精确而高效地计算11
－13
[S(ω)]=∑{y(ω,t)}{y(ω,t)}
*
yy
j
j
r
T
（36） （37）
[S(ω)]=∑{y(ω,t)}{z(ω,t)}
*
yz
j
j
j=1
j=1
r
T
以上方法可推广于结构受多源非均匀调制演变随机激励问题12。
六、工程应用情况
PEM已经在多个工程领域得到初步的应用。下面列举部分工程应用实例： 水坝抗震分析：水利水电科学研究院陈厚群19在其专著中详细介绍了PEM的原理和步骤，并附以大量的实际计算结果。清华大学刘天云等20推广PEM并应用于新疆石门子水坝的设计中。河海大学刘汉龙等21也结合瀑布沟水电站工程应用了PEM。
桥梁和其它结构抗震分析：同济大学范立础等应用PEM研究了南京长江二桥的抗震分析（桥长1238 M，分析中使用300阶振型）22。北京工业大学曹智、薛素铎等推广虚拟激励法于三维网架结构的抗震分析结构的抗震分析上发展了PEM。
大跨度结构的风激振动分析：大连理工大学孙东科26、刘高27，同济大学朱乐东、项海帆和香港理工大学徐幼麟28等，基于整体三维有限元模型将PEM用于大跨度桥梁的耦合颤振－抖振分析中，在国际刊物上发表了一系列论文。浙江大学陈贤川等、上海交通大学李春祥等29-30将PEM应用于各种高柔结构的随机分析与控制中。
23
。祝长生、廖松涛等
24－25
分别在不同
车辆随机振动和最优控制：吉林大学赵又群、郭孔辉31，华中科技大学李强、周济32用PEM研究了车辆振动的控制和优化。
七、开发基于PEM的CAE软件需要解决的问题
虽然PEM已经表明在许多工程领域是非常实用的。但是要真正地在工程中得到普遍的推广应用则还需要作出很大的努力：
1）理论方法上的配套。首先是输入功率谱的确定。其实在结构抗震、抗风、海浪、公路和铁路路面不平度等许多方面国内外都已经制定了不少功率谱，但是对于工程普遍应用来说，还欠完整，不够规范。再就是输出功率谱的处理。功率谱一般不是工程人员可以直接使用于设计的量，而必须按不同的目的加以转化。这方面已经有了很多研究成果，在桥梁、建筑、海洋平台、汽车、火车等许多工程领域，都各有成熟程度不等的方法。有的已经在一些工程规范中有所规定或建议。但是仍需要分别情况进行充实和规范。
2）要解决应用新成果的思想障碍。有些领导或“老资格”总以“还不够成熟”为借口而墨守成规，安于现状；“创新”二字仅挂在口头上。综观欧美日诸强，他们争先恐后地抢用最新的科技成果，以占领科技制高点。欧共体于1995年颁布了一系列工程规范，在建筑、桥梁等设计中则推荐了功率谱方法（即随机振动方法）。其实，功率谱方法历经近半个世纪的发展，可谓成就斐然，但也决非已经十分完善。西方的大多数资深工程师也并不懂得随机振动原理。而且在结构计算环节上他们还不如我们中国人解决得好。但他们却大力提倡这些新方法的应用，就是为了尽快在激烈的竞争中取得主导或控制地位。 当今各国工程界普遍应用的反应谱方法，在半个世纪以前刚推广时也是不完善的。甚至于如何应用振型分解法就不太清楚，众说纷纭，莫衷一是。 直到1980年在地震激励为白噪声的假定下，推导出了CQC公式，才算基本上统一了认识。又如工程界在刚开始应用有限元法时，又有多少工程师明白其原理呢？很多人是被一股历史潮流裹胁着往前走的。如果真要等到多数工程师都掌握了原理方法才去推广有限元法，那就贻误战机、被历史淘汰了。今后，对于越来越先进的科学技术的应用将更是如此。而发展CAE产业，开发出便于应用的程序，则起着至关重要的作用。只要先有一部分人掌握了这些软件，使得设计水平超越传统方法，就能迅
速带动全行业技术更新，并在国际竞争中取得主动地位。
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林家浩 广东中山人，1941年生于上海。教授，博士生导师。他1964年自中国科技大学近代力学系毕业后，考入大连理工大学师从钱令希院士作研究生。1981年他从美国普林斯顿大学回国后，针对随机振动理论无法在工程界广泛应用的现实，潜心研究20年，建立了高效精确的“虚拟激励法”系列。他的专著《随机振动的虚拟激励法》于2004年由科学出版社出版。美国CRC出版社2005年出版的《振动与冲击手册》（Vibration and Shock Handbook）第30章“大跨度结构随机地震分析”（Seismic Random Vibration of Long-span Structures）特邀他撰写；重点介绍独具特色的虚拟激励法的原理和应用。林家浩还在结构动力优化设计，结构弹塑性地震反应研究，《动力机器基础设计规范》的修订工作等方面取得大量研究成果，获得多项国家和省部级奖励。许多成果在工程界被广泛应用。
地址：大连理工大学工程力学系，116023 电话：0411-84706337， Email: [email protected]
长兴岛造船基地600T起重机风振分析 南京长江二桥多点抗震分析 首都机场四机位维修机库多点抗震分析 深圳地王大厦抗震分析 瀑布沟水电站多点抗震分析 小湾拱坝多点抗震分析 青马桥抗震抗风分析 重庆大佛寺长江大桥抗震分析
东海大桥抗震分析
图2 用虚拟激励法解决的工程问题举例