第6章压电式传感器习题

第6章 压电式传感器

1、为什么压电式传感器不能用于静态测量，只能用于动态测量中？而且是频率越高越好？

2、什么是压电效应？试比较石英晶体和压电陶瓷的压电效应

3、设计压电式传感器检测电路的基本考虑点是什么，为什么?

4、有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力P=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压：

(1)零度X切的纵向石英晶体；

(2)利用纵向效应的BaTiO3。

解：由题意知，压电晶体受力为

F=PS=10×106×20×10-6=200(N)

（1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×1012C/N

等效电容

=7.97×10 (F)

受力F产生电荷

Q=d11F=2.31×1012×200=462×102(C)=462pC

输出电压 Ca0rS8.8510124.520106d10103 14

（2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×1012C/N

等效电容 Q4621012Ua5.796103V14Ca7.9710

Ca0rS

d =33.6×10(F)=33.6(pF)

受力F产生电荷

Q=d33F=191×1012×200=38200×1012 (C)=3.82×108C

输出电压 -128.85101219002010610103

5、某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容CC=3000pF，示波器的输入阻Q3.821083VUa1.1371012Ca33.610

抗为1MΩ和并联电容为50pF，求：

(1)压电晶体的电压灵敏度足Ku；

(2)测量系统的高频响应；

(3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少?

(4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大?

解：（1）

（2）高频（ω→∞）时，其响应 KuKq/Ca2.5C/cm2.5109V/cm1000pF

Ku

kqUamd33FmCaCcCiCaCcCi 2.5C/cm

12 100030005010

（3）系统的谐振频率 F6.17108V/cm

1

RCaCcCi

1247rads612 110100030005010

U/nKim2Uam/n1由 n，得 /n

/n215%（取等号计算）

22 0.90251/nn

20.90250.9025n 解出 (ω/ωn)2=9.2564→ω/ωn=3.0424

ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s)

f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz)

（4）由上面知，当≤5%时，ω/ωn=3.0424

当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时

ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s)

又由ωn=1/RC，则

C=1/ωnR=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84104pF

6、分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。

解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意 1

则

1+(ω/ωn)4﹣2(ω/ωn)2 +4×0.52(ω/ωn)2=0.96

(ω/ωn)4 ﹣(ω/ωn)2 +0.04=0

解出 (ω/ωn)2 =0.042或(ω/ωn)2 =0.96（舍去）

所以 ω/ωn =0.205 或0.205（舍去）

=0.205n nn1/4/1/4/222nn12%（取等号计算） 222221/1.02

则 fH =0.205f0 =0.205×30=6.15(kHz)

压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性

K/n

/n2 2



由题意得 212% （取等号计算）

() =0.9604+0.9604 ()

()2 =24.25

=4.924

ω=4.924/τ

fL =ω/2π=4.924/(2)=4.924/(2RC)=4.924/(2×5×108×109 )

=1.57(Hz)

其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz

7、石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9×1010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求：

(1)两极板间电压峰—峰值；

(2)晶体厚度的最大变化。

解：（1）石英压电晶片的电容 0.982 22

Ca0rS

=4.514 ×10 (F)

≈4.5pF

由于Ra =1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω

则总电阻 R=Ra // R并 = 1014 //108 ≈108Ω

总电容 C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF)

又因 F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N

kq =2 pC/N

则电荷 Q=d11 F= kq F

Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N×0.01N=0.02 pC

所以 8.8510125.1100106d1103 -12

Uimd11FmR

RC320.02101210310810310824.510122 =0.756×10 (V)=0.756mV

峰—峰值： Uim-im =2Uim =2×0.756=1.512mV

（2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100×106×9×1010 )=1.11×109 =Δdm /d

Δdm =dm =1×1.11×109 (mm)=1.11×109 mm

厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）

Δd =2Δdm =2×1.11×109 =2.22×109 (mm)

=2.22×1012 m

8、用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度)

解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度

K=Kq•Ku =5pC/g ×50 mV/pC=250mV/g=Uo/a

式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。

则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为

a=Uo/K=2×103/250=8(g)

5-8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在1Hz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大?

解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为 /n

/n215%，（取等号计算）

(ω/ωn) =0.9025+0.9025 (ω/ωn)

ω/ωn =3.04

τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π×1)=0.484(s)=RC

所以

R=τ/C=0.484/(500×1012) =9.68×108=968M

9、 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。

解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为 /n0./n2 22

/n2

24212nn40.12n0.9072n11/42215%

1/n2242/n1/1.05 （取等号） 2

(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0

解出 (ω/ωn)2 =0.0485或(ω/ωn)2 =1.912（舍去）

则 ω/ωn≈0.22

ωH =0.22ωn

则 fH =0.22f0 =0.22×32=7.04(kHz)

10、 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。

解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷

Q=80 pC/Pa ×1.4Pa=112 pC

输出电压为

Ua =Q/Ca =112×1012 /(1×109)=0.112(V)

11、一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)—100mV；(2)10V；(3)—75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。

解：测力环总灵敏度

K=3.9 pC/N ×10mV/pC=39 mV/N = U0/F

式中，U0为输出电压，F为被测力，所以

F1 =U01 /K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N (压力)

F2 =U02 /K=10×10 3mV/39mV/N=256N (拉力)

F3 =U03 /K=﹣75×10 3mV/39mV/N=﹣1923N (压力)

12、某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d11=2.31X10-12C/N。当0.1MPa压力垂直作用于PX平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压Ua的值。

解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷

Q并=2Q=2•d11 F=2•d11 •πr2

=2×2.31×1012×0.1×106 ×π×(1×102 )2

=145×1012 (C)

=145pC

总电容

C并=2C=20rS/h=20rr2 /h

=2×8.85×1012×4.5××(1×102)2/0.2103 =125.1×1012 (F)

=125.1pF

电极间电压为

U并= Q并/C并=145/125.1=1.16V

第6章 压电式传感器

1、为什么压电式传感器不能用于静态测量，只能用于动态测量中？而且是频率越高越好？

2、什么是压电效应？试比较石英晶体和压电陶瓷的压电效应

3、设计压电式传感器检测电路的基本考虑点是什么，为什么?

4、有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力P=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压：

(1)零度X切的纵向石英晶体；

(2)利用纵向效应的BaTiO3。

解：由题意知，压电晶体受力为

F=PS=10×106×20×10-6=200(N)

（1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×1012C/N

等效电容

=7.97×10 (F)

受力F产生电荷

Q=d11F=2.31×1012×200=462×102(C)=462pC

输出电压 Ca0rS8.8510124.520106d10103 14

（2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×1012C/N

等效电容 Q4621012Ua5.796103V14Ca7.9710

Ca0rS

d =33.6×10(F)=33.6(pF)

受力F产生电荷

Q=d33F=191×1012×200=38200×1012 (C)=3.82×108C

输出电压 -128.85101219002010610103

5、某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容CC=3000pF，示波器的输入阻Q3.821083VUa1.1371012Ca33.610

抗为1MΩ和并联电容为50pF，求：

(1)压电晶体的电压灵敏度足Ku；

(2)测量系统的高频响应；

(3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少?

(4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大?

解：（1）

（2）高频（ω→∞）时，其响应 KuKq/Ca2.5C/cm2.5109V/cm1000pF

Ku

kqUamd33FmCaCcCiCaCcCi 2.5C/cm

12 100030005010

（3）系统的谐振频率 F6.17108V/cm

1

RCaCcCi

1247rads612 110100030005010

U/nKim2Uam/n1由 n，得 /n

/n215%（取等号计算）

22 0.90251/nn

20.90250.9025n 解出 (ω/ωn)2=9.2564→ω/ωn=3.0424

ω=3.0424ωn=3.0424×247=751.5(rad/s)

f=ω/2π=751.5/2π=119.6(Hz)

（4）由上面知，当≤5%时，ω/ωn=3.0424

当使用频率f=10Hz时，即ω=2πf=2π×10=20π(rad/s)时

ωn=ω/3.0424=20π/3.0424=20.65(rad/s)

又由ωn=1/RC，则

C=1/ωnR=1/(20.65×1×106)=4.84×10-8(F)=4.84104pF

6、分析压电加速度传感器的频率响应特性。若测量电路为电压前量放大器C总=1000pF，R总=500MΩ；传感器固有频率f0=30kHz，阻尼比ζ=0.5，求幅值误差在2％以内的使用频率范围。

解：压电式加速度的上限截止频率由传感器本身的频率特性决定，根据题意 1

则

1+(ω/ωn)4﹣2(ω/ωn)2 +4×0.52(ω/ωn)2=0.96

(ω/ωn)4 ﹣(ω/ωn)2 +0.04=0

解出 (ω/ωn)2 =0.042或(ω/ωn)2 =0.96（舍去）

所以 ω/ωn =0.205 或0.205（舍去）

=0.205n nn1/4/1/4/222nn12%（取等号计算） 222221/1.02

则 fH =0.205f0 =0.205×30=6.15(kHz)

压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性

K/n

/n2 2



由题意得 212% （取等号计算）

() =0.9604+0.9604 ()

()2 =24.25

=4.924

ω=4.924/τ

fL =ω/2π=4.924/(2)=4.924/(2RC)=4.924/(2×5×108×109 )

=1.57(Hz)

其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz

7、石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为9×1010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求：

(1)两极板间电压峰—峰值；

(2)晶体厚度的最大变化。

解：（1）石英压电晶片的电容 0.982 22

Ca0rS

=4.514 ×10 (F)

≈4.5pF

由于Ra =1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω

则总电阻 R=Ra // R并 = 1014 //108 ≈108Ω

总电容 C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF)

又因 F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N

kq =2 pC/N

则电荷 Q=d11 F= kq F

Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N×0.01N=0.02 pC

所以 8.8510125.1100106d1103 -12

Uimd11FmR

RC320.02101210310810310824.510122 =0.756×10 (V)=0.756mV

峰—峰值： Uim-im =2Uim =2×0.756=1.512mV

（2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100×106×9×1010 )=1.11×109 =Δdm /d

Δdm =dm =1×1.11×109 (mm)=1.11×109 mm

厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）

Δd =2Δdm =2×1.11×109 =2.22×109 (mm)

=2.22×1012 m

8、用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度)

解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度

K=Kq•Ku =5pC/g ×50 mV/pC=250mV/g=Uo/a

式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。

则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为

a=Uo/K=2×103/250=8(g)

5-8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在1Hz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大?

解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为 /n

/n215%，（取等号计算）

(ω/ωn) =0.9025+0.9025 (ω/ωn)

ω/ωn =3.04

τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π×1)=0.484(s)=RC

所以

R=τ/C=0.484/(500×1012) =9.68×108=968M

9、 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。

解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为 /n0./n2 22

/n2

24212nn40.12n0.9072n11/42215%

1/n2242/n1/1.05 （取等号） 2

(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0

解出 (ω/ωn)2 =0.0485或(ω/ωn)2 =1.912（舍去）

则 ω/ωn≈0.22

ωH =0.22ωn

则 fH =0.22f0 =0.22×32=7.04(kHz)

10、 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。

解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷

Q=80 pC/Pa ×1.4Pa=112 pC

输出电压为

Ua =Q/Ca =112×1012 /(1×109)=0.112(V)

11、一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)—100mV；(2)10V；(3)—75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。

解：测力环总灵敏度

K=3.9 pC/N ×10mV/pC=39 mV/N = U0/F

式中，U0为输出电压，F为被测力，所以

F1 =U01 /K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N (压力)

F2 =U02 /K=10×10 3mV/39mV/N=256N (拉力)

F3 =U03 /K=﹣75×10 3mV/39mV/N=﹣1923N (压力)

12、某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d11=2.31X10-12C/N。当0.1MPa压力垂直作用于PX平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压Ua的值。

解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷

Q并=2Q=2•d11 F=2•d11 •πr2

=2×2.31×1012×0.1×106 ×π×(1×102 )2

=145×1012 (C)

=145pC

总电容

C并=2C=20rS/h=20rr2 /h

=2×8.85×1012×4.5××(1×102)2/0.2103 =125.1×1012 (F)

=125.1pF

电极间电压为

U并= Q并/C并=145/125.1=1.16V