18.向量共线定理和向量基本定理

向量共线定理和向量基本定理

知识点归纳:

1. 向量共线定理(两个向量之间的关系)

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数

,使得ba.

变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数,使得

OP1OAOB.

2. 平面向量基本定理(平面内三个向量之间的关系) 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a1e12e2. 考点1 向量共线定理

题型1 判断向量共线、三点共线、两直线平行

例1 如图,已知AD3AB,DE3BC,试判断AC与AE是否共线?

例2已知向量a,b，且ABa2b,BC5a6b,CD7a2b则一定

共线的三点是： A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D

D.A,C,D

例3 根据下列条件,分别判断四边形ABCD的形状 ⑴ADBC ⑵AD1BC

⑶ADBC,且AB

AD

题型2 向量共线定理的应用例4 ⑴已知点

AB,BCAB

在线段

上,且

AC5

CB2

,则AC

⑵设

e1,e2

是不共线的向量,已知向量

,若A,B,D三点共线,求k的

2e1ke2,e13e2,2e1e2

值.

⑶已知等差数列an的前n项和为Sn，若OBa1OAa200OC，且

A，B，C 三点共线（该直线不过点O），则S200等于

A.100

B.101 C.200 D.201

考点3 平面向量基本定理

题型在几何图形中,用基底表示其他向量例5 如图,

ABCD的两条对角线相交于点M

,且ABa,ADb,

用a,b为基底表示MA,MB,MC,MD

例6 D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD

11B11

A.BCBA B.BCBA C. BCBA D.BCBA2222

，，OC，其中OA与OB的夹角为例7如图，平面内有三个向量OAOB

120

，

与

的夹角为

30

，且

OAOB1

，

OC．若

OCOAOB,R，

则的值为

练习:

1. 若已知e1、e2是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )

Ae1与—e2 B．3e1与2e2 Ce1＋e2与e1—e2 De1与2e1

→”是“四边形ABCD为梯2. 在四边形ABCD中，“→AB＝2DC形”的

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3. AB3(e1e2), BCe1e2, CD2e1e2，则下列关系一定成立的是（）

A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线

C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线

4. 如图，已知ABa,ACb,BD3DC，用a,b表示AD，则AD（）

A．a3b B．1a3b C．1a1b D．3a1b

C A

5. 在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD( )

A．2b1c B．5c2b C．2b1c

33D．1b2c

△ABC

3333

6. 在中，已知

是

边上一点，若

AD2DB

，

12CDCACB则 A.

B.1 C.1 D.2

7. D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且BCa，

CAb，给出下列命题，其中正确命题的个数是（）

①1 ②1

③CF1a1b ④

A、1 B、2 C、3

D、4

8. 设e1,e2是两个不共线的向量，若a2e1e2与be1e2共线，则实数

9. 在平行四边形ABCD中，ABa,ADb,AN3NC，M为BC的中点，

则MN （用a,b表示）

10. 如图，在△ABC中，已知AB2，BC3，ABC60，

AHBC于H

A ，M为AH的中点，若AMABBC，

则 .

设e1,e2是不共线的向量，e14e2与ke1e2共线，则实数k的值是若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.

如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，→CA =3a，→CB =2b，求

→CD ，→CE ．

已知a+b

=e13e2，

a-b

=e12e2，用e1、e2表示a