题型一：利用导数去切线斜率
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数f '(x ) ，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线y =x 3-3x 2+1在点(1，-1) 处的切线方程为
解：由f '(x ) =3x 2-6x 则在点(1故所求的切线方程为y -(-1) =-3(x -1) ，即y =-3x +2，． ，-1) 处斜率k =f '(1)=-3，
类型二：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2 求过曲线y =x 3-2x 上的点(1，-1) 的切线方程．
11+1在(，-1) 处的切线方程 x 2此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
321 2、y =x -3x +1在(1，-1) 处的切线方程例3 求过点(2，0) 且与曲线y =相切的直线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 练习：1、y =-x
3、曲线y =xe x +1在(0，-1) 处的切线方程
5、曲线y =sin x +e x +2在x =0处的切线方程
题型二：利用导数判断函数单调性
总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。
（1）确定函数f(x)的定义域； (1) f (x ) =sin x -x , x ∈(0, π) （2）求f(x)的导数f'(x)； (2) f (x ) =2x 3-6x 2+7（3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； 1（4）解不等式 f'(x)
例1. ：已知导函数 的下列信息：
当10 当x >4, 或x
当x =4, 或x =1, f '(x ) =0试画出f (x ) 图像的大致形状。
注意：
（1）由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性，决定导函数的正负。
（2）由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负，决定原函数的单调性。
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练习. ：如果函数的图像如下图
,
那么导函数的图像可能是（ ）
1、求函数 f (x ) =2x 3-3x 2-36x +1的单调区间。
2、求函数f(x)=2sinx﹣x 的单调区间。 3. f (x ) =42x -2x 2+8 3
24. f (x ) =3x -2ln x
题型三. 利用函数单调性，求有关参数的取值范围。
（1）
（2）
例1. 已知f(x)=2ax-
1x 2,x 在（0,1】上是增函数，求a 的范围。
=x -ax -1 例2. f （x ）
（1）若f （x ）在R 上为增函数，求a 的范围
（2）是否存在a ，在f （x ）在（-1,1）上位减函数
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题型四：利用导数研究函数极值与最值
1. 判别f (x 0) 是极大、极小值的方法:
若x 0满足f '(x 0) =0，且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，f (x 0) 是极值，并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x ) 的极大值点，f (x 0) 是极大值；如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x ) 的极小值点，f (x 0) 2. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x ) 3、例子：
例1求y =13x －4x +43
解：y ′=(13x －4x +4)′=x 2－4=(x +2)(x －2) 3
令y ′=0，解得x 1=－2，x 2当x 变化时，y ′，y
∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值当x =2时，y 有极小值且y 极小值= 第 3 页 共 5 页
练习1. 求f(x)=x 3-12x 的极值
2. 设a 为实数, 函数f (x ) =x
(Ⅰ)求f (x ) 的极值.
3-x 2-x +a .
13f (x ) =-x +2ax 2-3ax +1，其中0
（1）求函数f (x ) 的极值；
4.. 已知a 为实数，f (x ) =(x -4)(x -a )
（1）若f '(-1) =0，求f (x ) 在[－2，2] 上的最大值和最小值；
32f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 5． 2
26．已知函数y =f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值，则常数c ＝ ；
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题型一：利用导数去切线斜率
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数f '(x ) ，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线y =x 3-3x 2+1在点(1，-1) 处的切线方程为
解：由f '(x ) =3x 2-6x 则在点(1故所求的切线方程为y -(-1) =-3(x -1) ，即y =-3x +2，． ，-1) 处斜率k =f '(1)=-3，
类型二：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2 求过曲线y =x 3-2x 上的点(1，-1) 的切线方程．
11+1在(，-1) 处的切线方程 x 2此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
321 2、y =x -3x +1在(1，-1) 处的切线方程例3 求过点(2，0) 且与曲线y =相切的直线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 练习：1、y =-x
3、曲线y =xe x +1在(0，-1) 处的切线方程
5、曲线y =sin x +e x +2在x =0处的切线方程
题型二：利用导数判断函数单调性
总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。
（1）确定函数f(x)的定义域； (1) f (x ) =sin x -x , x ∈(0, π) （2）求f(x)的导数f'(x)； (2) f (x ) =2x 3-6x 2+7（3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； 1（4）解不等式 f'(x)
例1. ：已知导函数 的下列信息：
当10 当x >4, 或x
当x =4, 或x =1, f '(x ) =0试画出f (x ) 图像的大致形状。
注意：
（1）由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性，决定导函数的正负。
（2）由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负，决定原函数的单调性。
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练习. ：如果函数的图像如下图
,
那么导函数的图像可能是（ ）
1、求函数 f (x ) =2x 3-3x 2-36x +1的单调区间。
2、求函数f(x)=2sinx﹣x 的单调区间。 3. f (x ) =42x -2x 2+8 3
24. f (x ) =3x -2ln x
题型三. 利用函数单调性，求有关参数的取值范围。
（1）
（2）
例1. 已知f(x)=2ax-
1x 2,x 在（0,1】上是增函数，求a 的范围。
=x -ax -1 例2. f （x ）
（1）若f （x ）在R 上为增函数，求a 的范围
（2）是否存在a ，在f （x ）在（-1,1）上位减函数
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题型四：利用导数研究函数极值与最值
1. 判别f (x 0) 是极大、极小值的方法:
若x 0满足f '(x 0) =0，且在x 0的两侧f (x ) 的导数异号，则x 0是f (x ) 的极值点，f (x 0) 是极值，并且如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x ) 的极大值点，f (x 0) 是极大值；如果f '(x ) 在x 0两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x ) 的极小值点，f (x 0) 2. 求可导函数f (x ) 的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f ′(x ) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x ) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x ) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x ) 3、例子：
例1求y =13x －4x +43
解：y ′=(13x －4x +4)′=x 2－4=(x +2)(x －2) 3
令y ′=0，解得x 1=－2，x 2当x 变化时，y ′，y
∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值当x =2时，y 有极小值且y 极小值= 第 3 页 共 5 页
练习1. 求f(x)=x 3-12x 的极值
2. 设a 为实数, 函数f (x ) =x
(Ⅰ)求f (x ) 的极值.
3-x 2-x +a .
13f (x ) =-x +2ax 2-3ax +1，其中0
（1）求函数f (x ) 的极值；
4.. 已知a 为实数，f (x ) =(x -4)(x -a )
（1）若f '(-1) =0，求f (x ) 在[－2，2] 上的最大值和最小值；
32f (x ) =x -3x +2在区间[-1,1]上的最大值是 5． 2
26．已知函数y =f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值，则常数c ＝ ；
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