分式求值
一、着眼全局，整体代入
1 已知a+2b=2006，求3a2+12ab+12b2
例2a+4b
的值.
3a2+12ab+12b23(a2+4ab+4b2)3(a+2b)2解：32a+8b=2(a+2b)=2(a+2b)=2
(a+2b).
当a+2b=2006时，原式=
32(a+2b)=3
2
⨯2006=3009． 例2 已知
112x+3xyx-y=3，求-2y
x-2xy-y
的值. 解：因为xy≠0，所以把待求式的分子、分母同除以xy，得
22x+3xy-2y+3-23-2(1-1)
x-2xy-y=yx3-2⨯33=xy
=-2-3=5. y-2-x-2-(x-y
)另解:
1x-1y=3,∴y-xxy
=3,∴x-y=-3xy. ∴
2x+3xy-2y2(xx-2xy-y=-y)+3xy2∙(-3xy)+3xy-3xy3
(x-y)-2xy=-3xy-2xy=-5xy=5
.
说明:已知条件及所求分式同时变形，从中找到切合点，再代值转化
练一练:1.已知112x-3xy+2y
x+y=5,求x+2xy+y
的值.
答案：1
2.已知
11xy+2xy
x+y=2,求分式3x+3y+
3x+3y
的值
答案：2/3
3. 若a2
+b2
=3ab,求分式(1+2b2a2
-b2
)(1+2b
a-b)的值 答案：3
二、巧妙变形，构造代入
例3 已知x2
-5x-2001=0，求(x-2)3-(x-1)2+1
x-2
的值.
解： (x-2)3-(x-1)2+1(x-2)3-(x-1+1)(x-1-x-2=1)
x-2
=(x-2)3-x(x-2)
=(x-2)2-x=x2x-2
-5x+4.
因为x2
-5x-2001=0，所以原式=2001+4=2005.
例4已知a，b，c不等于0，且a+b+c=0，求a(1
+1)+b(1ba+111cc)+c(a+b
)的值.
解：a(1+1)+b(
1bca+1c)+c(11
a+b)
=a(1a+1b+1c)+b(1a+1b+1c)+c(111
a+b+c)-3
=(111
a+b+c
)(a+b+c)-3=0-3=-3.
练一练4. 若ab=1,求
11+a2+1
1+b
2
的值
答案：1 （提示将1换成ab)`
5.已知x+2=11x,试求代数式x+1-x+3x2-1∙x2-2x+1
x2+4x+3
的值
答案：2
三、参数辅助，多元归一
例5 已知
x2=yzxy+yz+zx3=4，求x2+y2+z2
的值。 解：设
x2=y3=z
4
=k，（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k. 所以xy+yz+zx6k2+12k2+8k226k226
x2+y2+z2
=4k2+9k2+16k2=29k2=29. 练一练6. 已知a+ba-b=32,求分式a2-b2
ab
的值
答案：4.8
四、打破常规，倒数代入
6 已知x+1x2
例x=4，求x4+x2
+1
的值. 解：因为x4+x2+1x2=x2+1+1x2
=(x+1x)2-2+1=42
-2+1=15， x2
所以1x4+x2+1=15
.
练一练7. 若xx2
x2-3x+1=2,求分式x4+x2
+1
的值.
答案：4/45
8.已知x21
1x2-2=
1-2
,求(1-x-11+x)÷(xx2-1+x)的值.
答案：－√２ 9. 已知
aba+b=13,bcb+c=1ac1
abc4,a+c=5
,求ab+ac+bc的值.
答案：6
分式求值
一、着眼全局，整体代入
1 已知a+2b=2006，求3a2+12ab+12b2
例2a+4b
的值.
3a2+12ab+12b23(a2+4ab+4b2)3(a+2b)2解：32a+8b=2(a+2b)=2(a+2b)=2
(a+2b).
当a+2b=2006时，原式=
32(a+2b)=3
2
⨯2006=3009． 例2 已知
112x+3xyx-y=3，求-2y
x-2xy-y
的值. 解：因为xy≠0，所以把待求式的分子、分母同除以xy，得
22x+3xy-2y+3-23-2(1-1)
x-2xy-y=yx3-2⨯33=xy
=-2-3=5. y-2-x-2-(x-y
)另解:
1x-1y=3,∴y-xxy
=3,∴x-y=-3xy. ∴
2x+3xy-2y2(xx-2xy-y=-y)+3xy2∙(-3xy)+3xy-3xy3
(x-y)-2xy=-3xy-2xy=-5xy=5
.
说明:已知条件及所求分式同时变形，从中找到切合点，再代值转化
练一练:1.已知112x-3xy+2y
x+y=5,求x+2xy+y
的值.
答案：1
2.已知
11xy+2xy
x+y=2,求分式3x+3y+
3x+3y
的值
答案：2/3
3. 若a2
+b2
=3ab,求分式(1+2b2a2
-b2
)(1+2b
a-b)的值 答案：3
二、巧妙变形，构造代入
例3 已知x2
-5x-2001=0，求(x-2)3-(x-1)2+1
x-2
的值.
解： (x-2)3-(x-1)2+1(x-2)3-(x-1+1)(x-1-x-2=1)
x-2
=(x-2)3-x(x-2)
=(x-2)2-x=x2x-2
-5x+4.
因为x2
-5x-2001=0，所以原式=2001+4=2005.
例4已知a，b，c不等于0，且a+b+c=0，求a(1
+1)+b(1ba+111cc)+c(a+b
)的值.
解：a(1+1)+b(
1bca+1c)+c(11
a+b)
=a(1a+1b+1c)+b(1a+1b+1c)+c(111
a+b+c)-3
=(111
a+b+c
)(a+b+c)-3=0-3=-3.
练一练4. 若ab=1,求
11+a2+1
1+b
2
的值
答案：1 （提示将1换成ab)`
5.已知x+2=11x,试求代数式x+1-x+3x2-1∙x2-2x+1
x2+4x+3
的值
答案：2
三、参数辅助，多元归一
例5 已知
x2=yzxy+yz+zx3=4，求x2+y2+z2
的值。 解：设
x2=y3=z
4
=k，（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k. 所以xy+yz+zx6k2+12k2+8k226k226
x2+y2+z2
=4k2+9k2+16k2=29k2=29. 练一练6. 已知a+ba-b=32,求分式a2-b2
ab
的值
答案：4.8
四、打破常规，倒数代入
6 已知x+1x2
例x=4，求x4+x2
+1
的值. 解：因为x4+x2+1x2=x2+1+1x2
=(x+1x)2-2+1=42
-2+1=15， x2
所以1x4+x2+1=15
.
练一练7. 若xx2
x2-3x+1=2,求分式x4+x2
+1
的值.
答案：4/45
8.已知x21
1x2-2=
1-2
,求(1-x-11+x)÷(xx2-1+x)的值.
答案：－√２ 9. 已知
aba+b=13,bcb+c=1ac1
abc4,a+c=5
,求ab+ac+bc的值.
答案：6