基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示
一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示
傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。
经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为：
其中
u=0,1,2,...,M-1
和v=0,1,2,...,N-1。其中变量u 和v 用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u 和v 用做（频率）变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。下图为cameraman 原图像及其频谱分布图：
cameraman 原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。 图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR ）对图像进行评价，公式如下：
PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE)
MSE 是原图像与处理后图像之间均方误差，n 是每个采样值的比特数。
通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时：
N=1
PSNR=12.2353
所取频谱系数对应图
单独取第9个系数时：
N=1
PSNR=6.3108
第9个频谱系数对应图
N=2
PSNR= 13.1553
所取频谱系数对应图
N=10
PSNR=15.4961
所取频谱系数对应图
N=50
PSNR=17.1111
所取频谱系数对应图
N=100
PSNR=17.9232
所取频谱系数对应图
N=1000
PSNR=21.5791
所取频谱系数对应图
N=5000
PSNR=25.5610
所取频谱系数对应图
N=20000
PSNR=31.6995
所取频谱系数对应图
从以上图片中可以分析得到，随着大系数的数量不断加大，PSNR 值逐步增加，重构图像的效果越好，在大系数到20000个时，图像效果已经较好。
二、 基于小波变换的图像稀疏表示
小波分析理论作为新的时频分析工具，在信号处理和图像处理中得到了很好的应用。
而一幅图像可以看成是一个矩阵，对图像处理就是对矩阵做变换，从而可以进行以下处理。
1、 首先读取图像； 2、 然后做小波变换；
3、 对变换系数做从大到小排序，取其第N 个数max_N； 4、 比max_N大的系数保留，比max_N小的系数置零； 5、 然后做逆变换，恢复图像。 仿真结果：
下图为cameraman 原图像与其一级小波变换：
以下图片为取不同大系数个数时的恢复图像及PSNR 值： 下图为单独取第1个大系数时的恢复图像：
N=1 PSNR=5.5834 下图为单独取第9个大系数时的恢复图像：
所取系数对应的小波变换图
N=1 PSNR=5.5833 以下图片为取多个大系数时的恢复图像：
所取系数对应的小波变换图
N=10 PSNR=5.5914 所取系数对应的小波变换图
N=100
PSNR= 5.6599
所取系数对应的小波变换图
N=1000 PSNR= 6.1578
所取系数对应的小波变换图
N=5000 PSNR= 8.7984
所取系数对应的小波变换图
N=10000
PSNR= 14.9772
所取系数对应的小波变换图
N=20000 PSNR= 35.2242 所取系数对应的小波变换图
通过选取不同的大系数个数，发现图像随着大系数个数的增加而变的清晰，并且PSNR 值也随着大系数个数在增加，这说明图像的逼近效果随着大系数个数的增加变得越来越好。
下图为cameraman 图像傅里叶变换与haar 小波变换大系数逼近的PSNR 值与大系数个数之间的关系对比图，其中蓝线表示傅里叶大系数个数与PSNR 的关系，红线表示haar 小波大系数个数与PSNR 的关系：
由上图可以看出，PSNR 值随着大系数个数增加而变大，重构图像随着大系数个数的增加而变的清晰，并且当大系数个数小于某一个界限时，傅里叶的重构效果明显要比haar 小波的好许多，但是随着大系数个数的增加，haar 小波的重构效果比傅里叶的要好许多。
基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示
一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示
傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。
经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为：
其中
u=0,1,2,...,M-1
和v=0,1,2,...,N-1。其中变量u 和v 用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u 和v 用做（频率）变量。空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。下图为cameraman 原图像及其频谱分布图：
cameraman 原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。 图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR ）对图像进行评价，公式如下：
PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE)
MSE 是原图像与处理后图像之间均方误差，n 是每个采样值的比特数。
通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时：
N=1
PSNR=12.2353
所取频谱系数对应图
单独取第9个系数时：
N=1
PSNR=6.3108
第9个频谱系数对应图
N=2
PSNR= 13.1553
所取频谱系数对应图
N=10
PSNR=15.4961
所取频谱系数对应图
N=50
PSNR=17.1111
所取频谱系数对应图
N=100
PSNR=17.9232
所取频谱系数对应图
N=1000
PSNR=21.5791
所取频谱系数对应图
N=5000
PSNR=25.5610
所取频谱系数对应图
N=20000
PSNR=31.6995
所取频谱系数对应图
从以上图片中可以分析得到，随着大系数的数量不断加大，PSNR 值逐步增加，重构图像的效果越好，在大系数到20000个时，图像效果已经较好。
二、 基于小波变换的图像稀疏表示
小波分析理论作为新的时频分析工具，在信号处理和图像处理中得到了很好的应用。
而一幅图像可以看成是一个矩阵，对图像处理就是对矩阵做变换，从而可以进行以下处理。
1、 首先读取图像； 2、 然后做小波变换；
3、 对变换系数做从大到小排序，取其第N 个数max_N； 4、 比max_N大的系数保留，比max_N小的系数置零； 5、 然后做逆变换，恢复图像。 仿真结果：
下图为cameraman 原图像与其一级小波变换：
以下图片为取不同大系数个数时的恢复图像及PSNR 值： 下图为单独取第1个大系数时的恢复图像：
N=1 PSNR=5.5834 下图为单独取第9个大系数时的恢复图像：
所取系数对应的小波变换图
N=1 PSNR=5.5833 以下图片为取多个大系数时的恢复图像：
所取系数对应的小波变换图
N=10 PSNR=5.5914 所取系数对应的小波变换图
N=100
PSNR= 5.6599
所取系数对应的小波变换图
N=1000 PSNR= 6.1578
所取系数对应的小波变换图
N=5000 PSNR= 8.7984
所取系数对应的小波变换图
N=10000
PSNR= 14.9772
所取系数对应的小波变换图
N=20000 PSNR= 35.2242 所取系数对应的小波变换图
通过选取不同的大系数个数，发现图像随着大系数个数的增加而变的清晰，并且PSNR 值也随着大系数个数在增加，这说明图像的逼近效果随着大系数个数的增加变得越来越好。
下图为cameraman 图像傅里叶变换与haar 小波变换大系数逼近的PSNR 值与大系数个数之间的关系对比图，其中蓝线表示傅里叶大系数个数与PSNR 的关系，红线表示haar 小波大系数个数与PSNR 的关系：
由上图可以看出，PSNR 值随着大系数个数增加而变大，重构图像随着大系数个数的增加而变的清晰，并且当大系数个数小于某一个界限时，傅里叶的重构效果明显要比haar 小波的好许多，但是随着大系数个数的增加，haar 小波的重构效果比傅里叶的要好许多。