第三章线性方程组第4节向量组的秩及其极大线性无关组

第四节向量组的秩

内容分布图示

★ 引例 ★ 极大线性无关向量组 ★ 向量组的秩

★ 矩阵与向量组秩的关系

★ 例1

★ 例3

★ 定理3

★ 例5

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题3-4

★ 返回 ★ 定理1 ★ 例2 ★ 例4 ★ 例6

内容要点：

一、最大线性无关向量组

定义1 设有向量组A:1,2,,s, 若在向量组A中能选出r个向量1,2,,r, 满足

(1) 向量组A0:1,2,,r线性无关;

(2) 向量组A中任意r1个向量(若有的话)都线性相关.

则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组(简称为极大无关组).

注: (1) 含有零向量的向量组没有极大无关组;

(2) 向量组的极大无关组可能不止一个, 但由上节推论6知, 其向量的个数是相同的. 定理1 如果j,j,,j是1,2,,s的线性无关部分组, 它是极大无关组的充分必12r

要条件是1,2,,s中的每一个向量都可由j,j,,j线性表示. 12r

注: 由定理1知，向量组与其极大线性无关组可相互线性表示, 即向量组与其极大线性无关组等价.

二、向量组的秩

定义2 向量组1,2,,s的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩, 记为

r(1,2,,s).

规定: 由零向量组成的向量组的秩为0.

三、矩阵与向量组秩的关系

定理2 设A为mn矩阵，则矩阵A的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.

推论1 矩阵A的行向量组的秩与列向量组的秩相等.

由定理2证明知，若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式, 则Dr所在的r列就是A的列

向量组的一个极大无关组; Dr所在的r行即是A的行向量组的一个极大无关组.。

以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的极大无关组；

同理，也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵，通过作初等列变换来求所求向量组的极大无关组.

定理3 若向量组B能由向量组A线性表示, 则 r(B)r(A).

推论1 等价的向量组的秩相等.

推论2 设CmnAmsBsn, 则r(C)min{r(A),r(B)}.

推论3 设向量组B是有向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个极大无关组.

例题选讲：

例1(讲义例1) 全体n维向量构成的向量组记作Rn, 求Rn的一个极大无关组及Rn的秩.

21111121例2 (讲义例2)设矩阵A4622369724, 求矩阵A的列向量组的一个极大无关49

组, 并把不属极大无关组的列向量用极在无关组线性表示.

例3 (讲义例3)求向量组

1(1,2,1,1)T,2(2,0,t,0)T,3(0,4,5,2)T,4(3,2,t4,1)T 的秩和一个极大无关组.

例4 (讲义例4) 设Amn及Bns为两个矩阵, 证明:A与B乘积的秩不大于A的秩和B的秩, 即 r(AB)min(r(A),r(B)).

例5 (讲义例5) 设向量组B能由向量组A线性表示, 且它们的秩相等, 证明向量组A与向量组B等价.

32540264,(b1,b2), 证明向量组(a1,a2)与例6 (讲义例6) 已知(a1,a2)11533195

(b1,b2)等价.

课堂练习

1.求向量组

1(2,4,2)T,2(1,1,0)T,3(2,3,1)T,4(3,5,2)T

的一个极大无关组, 并把其余向量用该极大无关组线性表示.