61
物理与工程 Vol.16 No.5 2006
大学生园地
用类比法导出理想气体分子平均自由程公式
章 青
(南昌大学理学院2003级物理学本科班,江西南昌 330006)
(收稿日期:2006-03-11)
摘 要 用类比的方法导出理想气体分子平均自由程公式.关键词 理想气体;自由程公式 在普通物理学的教材中
公式为
[1,2]
,分子平均自由程
(1)
Z =nπd vr(4)
式中n为分子密度;d为两分子的中心相隔的距离;vr为分子相对速率的平均值.
vr=
vf(v)dv
∫
r
r
∞
r
2
= λ=Z d2n
式(1)中 λ为分子平均自由程;v为平均速率; Z为 气体运动分子在1秒内与其他分子的平均碰撞次数;n为分子密度;d为两分子的中心相隔的距离.
但对式(1)中,在教材中[1,2]都没有讲清楚.
2
有的只是说由理论和实验证实应该乘,比较难
2
理解.
虽然有些统计物理学教材[3],对分子的平均相对速率 vr与分子的平均速率 v的关系介绍了理论推导,但推导过程比较复杂,也难以掌握.其理论推导的最后表达为
vr=π
1/2
2
1
22
1/2
将上式与分子速率平均值
v=
进行类比.
类比的关键是将分子相对速率分布函数
f(vr)与分子速率分布函数f(v)进行比较,求得分子相对速率分布函数f(vr).因为f(v)只与分子平动动能有关,与分子的其他能量无关.同理,f(vr)只与分子平动动能μv2r有关.μ为二体
2(两分子)的折合质量.同一种分子的折合质量μ=m.只要用μ代替f(v)中的m;用vr代替f(v)2中v,可得
f(vr)=42πkT
再与 v类比得
vr=
3/2
-μv2
2kT
∫
∞
vf(v)dv=
πm
=(v+ v)(2)
12
式(2)中μ为两种气体的折合质量;m1
m1+m2为第一种气体分子的质量;v1为第一种气体分子 的平均速率;m2为第二种气体分子的质量;v2为 第二种气体分子的平均速率.
对于同一种分子组成的气体, v1= v2= v,则由式(2)可得气体分子的平均相对速率为
vr= v
(3)
下面介绍应用类比的方法推导理想气体分子平均自由程公式,可帮助学习理解.
因为任一分子与其他分子在1s内的平均碰撞次数为
evr
2
(5)
∫
∞
vrf(vr)dvr=
= v
πμ
vr=2 v(6)
由此可见,用类比法推导出的式(6)与统计物理学教材中[3]的理论推导式(3)完全相同.
再将式(6)代入式(4)得
Z =nπd22 v
:,,1986,.
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物理与工程 Vol.16 No.5 2006
则
=λ =2
Z nπd2 v==Z 2πd2n
式(7)即为分子平均自由程公式.
由式(4)还可以看出,只要处于平衡态的某种
理想气体分子密度不变,无论其他参量取什么值,分子平均自由程不变.例如,对于一个封闭系统体积不变,无论理想气体的压强和温度取何值,处于何种平衡态,分子平均自由程将始终不变.
(上接第33页)
本文在撰写过程中得到南昌大学理学院付方正教授的指导,在此表示衷心感谢.
(7)
参 考 文 献
[1] 程守洙,江之永.普通物理学 第五版.北京:高等教育出版
社,2001
[2] 复旦大学《物理学》编写组.物理学 下册.北京:人民教育
出版社,1983
[3] 陈仁烈.统计物理引论(修订本).北京:人民教育出版
社,1979
与自动化,2006
[2] 王林,李晓俊等.纳米材料在一些领域的应用及其前景.纳
米科技,2005,2(4)
[3] 谈勇,钱卫平.金纳米壳球体的光学特性及其应用研究进
展.科学通报,2005,50(6)
[4] 吴坤,苑林宏.膳食因素与癌症.癌变 畸变 突变,2006,
18(1)
[5] 徐静逸,潘飞雪.纳米医疗器械开发的巨大商机.上海生物
医学工程,2003,24(4)
[6] 张东生,唐秋莎等.纳米As2O3磁性脂质体磁感应加热治疗
裸鼠人宫颈癌移植瘤.中华物理医学与康复,2006,28(2)[7] RobertF.TinyTransistorsScoutforcancer.Science,
2003,300(11)
接在单个原子或分子级水平上操纵、观测、设计、控制、制造具有特定功能的产品这一目标.而且纳米科技将可能消除所有的普通疾病,并可增长人
的能力,尤其是智力.不容置疑,纳米技术将对健康和福利有惊人的影响,势必成为经济腾飞、科学发展乃至整个社会进步的强劲推动力———21世纪材料技术的核心.
相信在不久的将来,在全世界科学工作者的共同努力下,借助纳米科技的手段,癌症这一顽症一定会被消除.期望这一天早日到来
参 考 文 献
[1] 陶杰,季学来.聚合物纳米复合材料的研究进展.机械制造
(上接第60页)
在赤道处则消失.风速越大,产生的偏离越大.于是,在北半球,当空气向低压中心辐合时会向右弯曲,形成了一个逆时针方向的旋转气流,一般称为气旋(图4).从高压中心辐散出来的空气
,则因为向右弯曲而形成了顺时针方向的旋风,称为反气旋.而在南半球,上述的情形正好相反.
4 结束语
科里奥利效应是自然界非常重要的一种效应,本文利用作矢量图的方法,对运动物体的偏转作了浅显易懂的解释,不必涉及复杂的数学推导,很容易被非物理系的学生接受.
参 考 文 献
[1] 周衍柏.理论力学教程[M] 第二版.北京:高等教育出版
社,1986.248～259
[2] 漆安慎,杜婵英.力学基础[M] 第一版.北京:高等教育出
版社,1982.117～128
图4 气旋的形成
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物理与工程 Vol.16 No.5 2006
大学生园地
用类比法导出理想气体分子平均自由程公式
章 青
(南昌大学理学院2003级物理学本科班,江西南昌 330006)
(收稿日期:2006-03-11)
摘 要 用类比的方法导出理想气体分子平均自由程公式.关键词 理想气体;自由程公式 在普通物理学的教材中
公式为
[1,2]
,分子平均自由程
(1)
Z =nπd vr(4)
式中n为分子密度;d为两分子的中心相隔的距离;vr为分子相对速率的平均值.
vr=
vf(v)dv
∫
r
r
∞
r
2
= λ=Z d2n
式(1)中 λ为分子平均自由程;v为平均速率; Z为 气体运动分子在1秒内与其他分子的平均碰撞次数;n为分子密度;d为两分子的中心相隔的距离.
但对式(1)中,在教材中[1,2]都没有讲清楚.
2
有的只是说由理论和实验证实应该乘,比较难
2
理解.
虽然有些统计物理学教材[3],对分子的平均相对速率 vr与分子的平均速率 v的关系介绍了理论推导,但推导过程比较复杂,也难以掌握.其理论推导的最后表达为
vr=π
1/2
2
1
22
1/2
将上式与分子速率平均值
v=
进行类比.
类比的关键是将分子相对速率分布函数
f(vr)与分子速率分布函数f(v)进行比较,求得分子相对速率分布函数f(vr).因为f(v)只与分子平动动能有关,与分子的其他能量无关.同理,f(vr)只与分子平动动能μv2r有关.μ为二体
2(两分子)的折合质量.同一种分子的折合质量μ=m.只要用μ代替f(v)中的m;用vr代替f(v)2中v,可得
f(vr)=42πkT
再与 v类比得
vr=
3/2
-μv2
2kT
∫
∞
vf(v)dv=
πm
=(v+ v)(2)
12
式(2)中μ为两种气体的折合质量;m1
m1+m2为第一种气体分子的质量;v1为第一种气体分子 的平均速率;m2为第二种气体分子的质量;v2为 第二种气体分子的平均速率.
对于同一种分子组成的气体, v1= v2= v,则由式(2)可得气体分子的平均相对速率为
vr= v
(3)
下面介绍应用类比的方法推导理想气体分子平均自由程公式,可帮助学习理解.
因为任一分子与其他分子在1s内的平均碰撞次数为
evr
2
(5)
∫
∞
vrf(vr)dvr=
= v
πμ
vr=2 v(6)
由此可见,用类比法推导出的式(6)与统计物理学教材中[3]的理论推导式(3)完全相同.
再将式(6)代入式(4)得
Z =nπd22 v
:,,1986,.
62
物理与工程 Vol.16 No.5 2006
则
=λ =2
Z nπd2 v==Z 2πd2n
式(7)即为分子平均自由程公式.
由式(4)还可以看出,只要处于平衡态的某种
理想气体分子密度不变,无论其他参量取什么值,分子平均自由程不变.例如,对于一个封闭系统体积不变,无论理想气体的压强和温度取何值,处于何种平衡态,分子平均自由程将始终不变.
(上接第33页)
本文在撰写过程中得到南昌大学理学院付方正教授的指导,在此表示衷心感谢.
(7)
参 考 文 献
[1] 程守洙,江之永.普通物理学 第五版.北京:高等教育出版
社,2001
[2] 复旦大学《物理学》编写组.物理学 下册.北京:人民教育
出版社,1983
[3] 陈仁烈.统计物理引论(修订本).北京:人民教育出版
社,1979
与自动化,2006
[2] 王林,李晓俊等.纳米材料在一些领域的应用及其前景.纳
米科技,2005,2(4)
[3] 谈勇,钱卫平.金纳米壳球体的光学特性及其应用研究进
展.科学通报,2005,50(6)
[4] 吴坤,苑林宏.膳食因素与癌症.癌变 畸变 突变,2006,
18(1)
[5] 徐静逸,潘飞雪.纳米医疗器械开发的巨大商机.上海生物
医学工程,2003,24(4)
[6] 张东生,唐秋莎等.纳米As2O3磁性脂质体磁感应加热治疗
裸鼠人宫颈癌移植瘤.中华物理医学与康复,2006,28(2)[7] RobertF.TinyTransistorsScoutforcancer.Science,
2003,300(11)
接在单个原子或分子级水平上操纵、观测、设计、控制、制造具有特定功能的产品这一目标.而且纳米科技将可能消除所有的普通疾病,并可增长人
的能力,尤其是智力.不容置疑,纳米技术将对健康和福利有惊人的影响,势必成为经济腾飞、科学发展乃至整个社会进步的强劲推动力———21世纪材料技术的核心.
相信在不久的将来,在全世界科学工作者的共同努力下,借助纳米科技的手段,癌症这一顽症一定会被消除.期望这一天早日到来
参 考 文 献
[1] 陶杰,季学来.聚合物纳米复合材料的研究进展.机械制造
(上接第60页)
在赤道处则消失.风速越大,产生的偏离越大.于是,在北半球,当空气向低压中心辐合时会向右弯曲,形成了一个逆时针方向的旋转气流,一般称为气旋(图4).从高压中心辐散出来的空气
,则因为向右弯曲而形成了顺时针方向的旋风,称为反气旋.而在南半球,上述的情形正好相反.
4 结束语
科里奥利效应是自然界非常重要的一种效应,本文利用作矢量图的方法,对运动物体的偏转作了浅显易懂的解释,不必涉及复杂的数学推导,很容易被非物理系的学生接受.
参 考 文 献
[1] 周衍柏.理论力学教程[M] 第二版.北京:高等教育出版
社,1986.248～259
[2] 漆安慎,杜婵英.力学基础[M] 第一版.北京:高等教育出
版社,1982.117～128
图4 气旋的形成