高一数学集合的并集和交集

第3课时集合的并集和交集

（一）教学目标1．知识与技能

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集.

（2）能使用Venn图表示集合的并集和交集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用。

（3）掌握的关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算。2．过程与方法

通过对实例的分析、思考，获得并集与交集运算的法则，感知并集和交集运算的实质与内涵，增强学生发现问题，研究问题的创新意识和能力.

3．情感、态度与价值观

通过集合的并集与交集运算法则的发现、完善，增强学生运用数学知识和数学思想认识客观事物，发现客观规律的兴趣与能力，从而体会数学的应用价值.

（二）教学重点与难点

重点：交集、并集运算的含义，识记与运用.

难点：弄清交集、并集的含义，认识符号之间的区别与联系（三）教学方法

在思考中感知知识，在合作交流中形成知识，在独立钻研和探究中提升思维能力，尝试实践与交流相结合.

（四）教学过程教学

教学内容师生互动设计意图

环节

师：两数存在大小关系，两集合

思考：观察下列各组集合，联想实数加

存在包含、相等关系；实数能进

法运算，探究集合能否进行类似“加法”

行加减运算，探究集合是否有相

提出运算.

应运算.

问题（1）A = {1，3，5}，B = {2，4，6}，C 生疑析疑，

生：集合A与B的元素合并构成

引入= {1，2，3，4，5，6}导入新知

新知（2）A = {x | x是有理数}，

师：由集合A、B元素组合为C，

B = {x | x是无理数}，

这种形式的组合就是为集合的并

C = {x | x是实数}.

集运算.

思考：并集运算.在老师指导集合C是由所有属于集合A或属于集合下，学生通B的元素组成的，称C为A和B的并集.师：请同学们将上述两组实例的过合作交定义：由所有属于集合A或集合B的元共同规律用数学语言表达出来.流，探究问形成

素组成的集合. 称为集合A与B的并集；学生合作交流：归纳→回答→补题共性，感概念

记作：A∪B；读作A并B，即A∪B = {x 充或修正→完善→得出并集的定知并集概| x∈A，或x∈B}，Venn图表示为：义. 念，从而初

步理解并集的含义.

例1 设A = {4，5，6，8}，B = {3，

应用例1解：A∪B = {4, 5, 6, 8}∪{3, 5, 学生尝试求

5，7，8}，求A∪B.

7, 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.举例解，老师适

例2解：A∪B = {x |–1

＜x＜2}∪时适当指

例2 设集合A = {x | –1＜x＜2}，集合B

3}.导，评析.= {x | 1＜x＜3}，求A∪B.固化概念

提升能力师：求并集时，两集合的相同元

素如何在并集中表示.生：遵循集合元素的互异性.师：涉及不等式型集合问题.

注意利用数轴，运用数形结合思想求解.

生：在数轴上画出两集合，然后

合并所有区间. 同时注意集合元素的互异性.

①A∪A = A， ②A∪= A，探究

③A∪B = B∪A，性质

④AA∪B，BA∪B.

老师要求学生对性质进行合理解培养学生数释. 学思维能力.

自学提要：

①由两集合的所有元素合并可得两集合的并集，而由两集合的公共元素组成的

老师给出自学提要，学生在老师

集合又会是两集合的一种怎样的运算？

的引导下自我学习交集知识，自我体会交集运算的含义. 并总结

②交集运算具有的运算性质呢？

交集的性质.

交集的定义.形成

由属于集合A且属于集合B的所有元素概念生：①A∩A = A；

组成的集合，称为A与B的交集；记作

②A∩=；

A∩B，读作A交B.

③A∩B = B∩A；

即A∩B = {x | x∈A且x∈B}

④A∩BA，A∩BB.

Venn师：适当阐述上述性质.

自学辅导，合作交流，探究交集运算. 培养学生的自学能力，为终身发展培养基本素质.

学生上台板演，老师点评、总结. 例1 解：（1）∵A∩B = {8}， ∴A∩B = C.

（2）A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加

提升学生的

跳高比赛的同学组成的集合. 所

动手实践能

以，A∩B = {x | x是新华中学高一

力.

年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

例2 解：平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点，平行或重合.

例1 （1）A = {2，4，6，8，10}，

B = {3，5，8，12}，C = {8}.（2）新华中学开运动会，设

A = {x | x是新华中学高一年级参加

应用

百米赛跑的同学}，举例

B = {x | x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.

例2 设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系.

（1）直线l1，l2相交于一点P可表示为 L1∩L2 = {点P}；（2）直线l1，l2平行可表示为

L1∩L2 =；

（3）直线l1，l2重合可表示为

L1∩L2 = L1 = L2.

并集：A∪B = {x | x∈A或x∈B} 交集：A∩B = {x | x∈A且x∈B} 归纳

性质：①A∩A = A，A∪A = A，总结

②A∩=，A∪= A， ③A∩B = B∩A，A∪B = B∪A. 课后

1.1第三课时习案作业

学生合作交流：回顾→反思→总归纳知识、理→小结构建知识网老师点评、阐述络

巩固知识，

提升能力，反思升华

学生独立完成

备选例题

例1 已知集合A = {–1，a2 + 1，a2 – 3}，B = {– 4，a – 1，a + 1}，且A∩B = {–2}，求a的值.

【解析】法一：∵A∩B = {–2}，∴–2∈B， ∴a – 1 = –2或a + 1 = –2，解得a = –1或a = –3，

当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B = {–2}. 当a = –3时，A = {–1，10，6}，A不合要求，a = –3舍去 ∴a = –1.

法二：∵A∩B = {–2}，∴–2∈A，又∵a2 + 1≥1，∴a2 – 3 = –2，解得a =±1，

当a = 1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，0，2}，A∩B≠{–2}.

当a = –1时，A = {–1，2，–2}，B = {– 4，–2，0}，A∩B ={–2}，∴a = –1. 例2 集合A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，（1）若A∩B =，求a的取值范围；

（2）若A∪B = {x | x＜1}，求a的取值范围. 【解析】（1）如下图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}，且A∩B=，

∴数轴上点x = a在x = – 1左侧. ∴a≤–1.

（2）如右图所示：A = {x | –1＜x＜1}，B = {x | x＜a}且A∪B = {x | x＜1}，

∴数轴上点x = a在x = –1和x = 1之间. ∴–1＜a≤1.

例3 已知集合A = {x | x2 – ax + a2 – 19 = 0}，B = {x | x2 – 5x + 6 = 0}，C = {x | x2 + 2x – 8

= 0}，求a取何实数时，A∩B ≠

 与A∩C =同时成立？

【解析】B = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，C = {x | x2 + 2x – 8 = 0} = {2，– 4}. 由A∩B  和A∩C =同时成立可知，3是方程x2 – ax + a2 – 19 = 0的解. 将3代入

≠ 2

方程得a – 3a – 10 = 0，解得a = 5或a = –2.

当a = 5时，A = {x | x2 – 5x + 6 = 0} = {2，3}，此时A∩C = {2}，与题设A∩C =相矛盾，故不适合.

与A∩C =，同时成当a = –2时，A = {x | x2 + 2x – 15 = 0} = {3，5}，此时A∩B  ≠

立，∴满足条件的实数a = –2.

例4 设集合A = {x2，2x – 1，– 4}，B = {x – 5，1 – x，9}，若A∩B = {9}，求A∪B. 【解析】由9∈A，可得x2 = 9或2x – 1 = 9，解得x =±3或x = 5.

当x = 3时，A = {9，5，– 4}，B = {–2，–2，9}，B中元素违背了互异性，舍去.

当x = –3时，A = {9，–7，– 4}，B = {–8，4，9}，A∩B = {9}满足题意，故A∪B = {–7，– 4，–8，4，9}.

当x = 5时，A = {25，9，– 4}，B = {0，– 4，9}，此时A∩B = {– 4，9}与A∩B = {9}矛盾，故舍去.

综上所述，x = –3且A∪B = {–8，– 4，4，–7，9}.