专题1：函数 导数 不等式
一：高考题（07各省，05，06，07湖北高考）
1．（05湖北）函数y =e |lnx |-|x -1|的图象大致是（ ）
2．（05湖北）在y =2x , y =log
x 1+x 2
2
2
当0
恒成立的函数的个数是
D ．3
（ ）
（ ）
2
使f (
) >
f (x 1) +f (x 2)
2
A ．0
3．（05湖北）若0
B ．1
π
2
C ．2
, 则2x 与3sin x 的大小关系
A ．2x >3sin x B ．2x
4．（05湖北）已知向量a =(x 2, x +1), b =(1-x , t ), 若函数f (x ) =a ⋅b 在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 5．（2006年湖北卷）有限集合S 中元素个数记作card (S )，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：
①A B =φ的充要条件是card (A B )= card(A )+ card(B )； ②A ⊆B 的必要条件是card (A )≤card (B )； ③A ⊄B 的充分条件是card (A )≤card (B )； ④A =B 的充要条件是card (A )=card (B ).
其中真命题的序号是 （B ）
A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③ 6．（06湖北）关于x 的方程(x -1)-x -1+k =0，给出下列四个命题：
2
2
2
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
23-x
7．（2006年湖北卷）设x =3是函数f (x )=(x +ax +b )e (x ∈R )的一个极值点.
（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f (x )的单调区间； （Ⅱ）设a >0，g (x )= a 2+
⎝⎛
25⎫x
⎪e . 若存在ε1, ε2∈[0, 4]使得f (ε1)-g (ε2)
求a 的取值范围.
8．（07湖北卷）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．
已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后， ⎛1⎫y 与t 的函数关系式为y = ⎪
⎝16⎭
t -a
（a 为常数），如图
所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）
与时间t （小时）之间的函数关系式为
（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，
那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 9．（07湖北卷）已知定义在正实数集上的函数f (x ) =
12
x +2ax ，g (x ) =3a ln x +b ，
2
2
其中a >0．设两曲线y =f (x ) ，y =g (x ) 有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：f (x ) ≥g (x ) （x >0）． 10．(07福建卷) 已知对任意实数x ，有f (-x ) =-f (x ) ，g (-x ) =g (x ) ，
且x >0时，f '(x ) >0，g '(x ) >0，则x 0，g '(x ) >0 C ．f '(x ) 0
B ．f '(x ) >0，g '(x )
11．（07江西卷）设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y =f (x ) 在x =5
处的切线的斜率为（ ） Ａ．-
15
Ｂ．0 Ｃ．
15
Ｄ．5
12．(07陕西卷) f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf '(x ) +f (x ) ≤0, 对任意正数a 、b , 若a ＜b ，则必有
A. af(b) ≤bf(a) B. bf(a) ≤af(b) C. af(a) ≤f(b) D. bf(b) ≤f(a)
13．（07广东）设S 是至少含有两个元素的集合. 在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a, b ∈S, 对于有序元素对(a,b)，在S 中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a, b ∈S, 有a*( b * a)=b，则对任意的a, b ∈S, 下列等式中不能成立的是 ． （A ）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a （Ｃ）b*( b * b)=b （Ｄ）( a*b) * [ b*( a * b)] =b
14．（07陕西）设集合S={A0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k , 其中k 为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3. 则满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A0的x(x∈S) 的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
15．（07天津）在R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) =f (2-x ) . 若f (x ) 在区间[1,2]上是减函数，则f (x ) ( )
A. 在区间[-2, -1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B. 在区间[-2, -1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C. 在区间[-2, -1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D. 在区间[-2, -1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
16．（07重庆）已知定义域为R 的函数f(x)在(8, +∞) 上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数，则（ ）
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 17．（07江苏）设f (x ) =lg(
21-x
+a ) 是奇函数，则使f (x )
A ．(-1, 0) B ．(0,1) C ．(-∞, 0) D ．(-∞, 0) (1,+∞)
18．（07江苏）已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的导数为f '(x ) ，f '(0)>0，对于任意实数x ，都有f (x ) ≥0，则
f (1)f '(0)
的最小值为（ ）
52
32
A ．3 B ． C ．2 D ．
19．（07安徽卷）定义在R 上的函数f (x ) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期. 若将方程f (x ) =0在闭区间[-T , T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ） （A ）0
（B ）1
（C ）3
2ab |a |+2|b |
22
（D ）5 的最大值为（ ）
20．（07重庆卷）若a 是1+2b与1-2b 的等比中项，则
A.
2515
B.
24
C.
π2
55
D.
21．（07江西卷）若0
3π
，则下列命题中正确的是（ ）
3πx
x Ｂ．sin x >Ｃ．sin x
4π
2
x
2
Ｄ．sin x >
4π
2
x
2
22．（07山东卷）函数y =log a (x +3) -1(a >0，且a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A
在直线mx +ny +1=0上，其中m n >0，则
23． (07全国Ⅰ) 设函数f (x ) =e -e
x
-x
1m
+
2n
的最小值为 ．
．（Ⅰ）证明：f (x ) 的导数f '(x ) ≥2；
（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f (x ) ≥ax ，求a 的取值范围．
24．（07辽宁）已知函数f (x ) =e 2x -2t (e x +x ) +x 2+2t 2+1，g (x ) =（I
）证明：当t
（II ）对于给定的闭区间[a ，b ]，试说明存在实数k ，当t >k 时， （III ）证明：f (x ) ≥g (x ) 在闭区间[a ，b ]上是减函数；
2
12
f '(x ) ．
32
．
25． (07安徽卷) 设a ≥0，f (x )=x －1－ln x ＋2a ln x （x >0）.
（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0. ＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >lnx －2a ln x ＋1. 26．．（07浙江）设f (x ) =
x
3
2
2
3
，对任意实数t ，记g t (x ) =t 3x -
23
t ．
（I ）求函数y =f (x ) -g 8(x ) 的单调区间；
（II ）求证：（ⅰ）当x >0时，f (x ) ≥g t (x ) 对任意正实数t 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x 0，使得g 8(x 0) ≥g t (x 0) 对任意正实数t 成立．
27．（07福建）已知函数f (x ) =e x -kx ，x ∈R （Ⅰ）若k =e ，试确定函数f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）若k >0，且对于任意x ∈R ，f (x ) >0恒成立，试确定实数k 的取值范围；
二：客观题部分。（基本概念与基本性质）
1．设f(x)为Ｒ上的减函数，且f(０) ＝３，f(３) ＝－１，设Ｐ＝｛x| f (x +t ) -1
2. 已知集合A=｛(x,y)| x +y =1｝,B=｛(x,y)| kx－y －2≤０｝，若x,y ∈R, 且Ａ⊆B ，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．[0，3] B 。[－3，3] C 。［－3，0］ D 。［－3，+∞） ⎧(3a -1) x +4a , x
log x , x >1a ⎩
2
2
（A ）(0,1) （B ）(0,)
3
1
（C ）[, )
73
11
（D ）[,1)
7
1
4．已知函数f(x)=a （ ）
（A ）n
x
(a >0且a ≠1) , f(a )
a 2
), s=f[ f(a )],则
（B ）m
∆x →0
（D ）n
∆x
5. 设f(x)在点x 处可导，a ,b 为非零常数，则lim
f (x +a ∆x ) -f (x -b ∆x )
a +b 2
=( )
A. f '(x ) B.( a +b) f '(x ) C.( a －b) f '(x ) D. f '(x )
⎧a , a ≤b 5π
6. 定义一种新运算a ⊗b =⎨，令f （x ）＝（cos 2x +sinx）⊗,x ∈[0,],则函数
42⎩b , a >b
y=f(x- A.
54
π
2
) 的最大值为（ ）
54
B. 1 C. －１ D. －
S ∆PCA S ∆ABC
7. 设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝
S ∆PBC S ∆ABc
， λ2＝
，
λ3＝
S ∆PAB S ∆ABC
，定义f (P)=(λ1, λ, λ3), 若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（
12
，
13
，
16
），则
（ ）
A ．点Q 在△GAB 内
C ．点Q 在△GCA 内 B ．点Q 在△GBC 内
D ．点Q 与点G 重合
8. 若不等式x 4+2ax 2-a +2>0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 _______________
9．若关于x 的不等式2-x >x -a 至少有一个负根，则实数a 的取值范围是_______________
2
10。关于x 的不等式x x -a ≥2a 的解集为_______________
2
11. 设f （x ）是定义在Ｒ上的奇函数，且f （x ）＝－f （x ＋２），当０≤x ≤1时， f （x ）＝sinx ,则使f （x ）＜０成立的x 范围是_______________
12.f(x)和g(x)(g(x) ≠0) 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当x
f (x ) g (x )
且f(－2)=0,则不等式
13. 能使函数y=x +x +a 的最小值是
32
的实数a 的值为______________
14. 如果不等式x+x -a ≥2的解集为R, 则a 的取值范围是______________
15．不等式2x >x+1的解集为_____________ 16. 若函数y =f (
12
x -1) 是偶函数，则函数y=f(x)的图象的对称轴方程为_____________
12
T ) 的值为_____________
-1
17. f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (-
18．设定义域、值域均为R 的单调函数y=f （x ）的反函数为y=f （—x ）=5,则f 19．若函数
-1
（x ）且f （x ）+f
(x +2) +f
13x -x
3
-1
(3-x ) =______________
a ) 上有最小值，则实数a
2
f (x ) =
在(a , 10-的取值范围为 .
三：主观题部分。（解不等式，函数性质，导数研究最值及证明不等式）
20．（1）解关于x 的不等式：x x -a ≤
（2）解关于x 的不等式：
21．已知f(x)定义在R 上的函数，对于任意的实数a ,b 都有f(a b)=a f(b)+b f(a ) 且f(2)=1（1）求f(
22. 函数f(x)的定义域为R, 并满足以下条件:①对任意x ∈R , 有f(x)>0;
12
2a 9
2
(a >0)
(x -1)
2
a (x -2) +1
>1(a >1)
) 的值 ; （2）求f(2-n ) 的解析式(n ∈N *).
②对任意x,y ∈R , 有[f(x)]y = f(xy); ③f()>1.
3
1
(1)求f(0)的值; (2)求证f(x)在R 上是单调函数;
(3)若a >b>c>0,且b 2=a c, 求证: f(a )+ f(c) >2f(b).
23. 设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0]
2
1
都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2) ．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ) 求f (
12
) 及f (
14
12n
) ；(Ⅱ) 证明f (x ) 是周期函数； ) ，求lim (ln a n )．
n →∞
(Ⅲ) 记a n = f (2n ＋
24. 设f (x ) =x x -a +b （1）求证：f(x)为奇函数的充要条件是a 2+b 2=0 （2）设常数b
25. 设函数f(x)是定义在[－1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x ∈[－1，0）时，
f (x ) =2ax +
1x
2
(a 为实数) 。（1）当x ∈（0，1]时，求f(x)的解析式；
（2）a >-1时，试判断f(x)在（0，1]上的单调性并证明你的结论；
（3）是否存在实数a ，使得当x ∈（0，1]时有最大值－6。
26．已知函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过的最大整数，如：[-2.1]=-3,[-3]=-3, [2.2]=2. (1)求f (), f (-
23
32
) 的值 ； （2）判断函数f(x)的奇偶性；
（3）若x ∈[－2，2]，求的值域。
27．设函数f (x ) =
1-x ax
+ln x 在[1, +∞) 上是增函数。
（1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设b >0, a >1，求证：
28．设g (x ) =px -
p x
-2f (x ), 其中f (x ) =ln x , 且g (e ) =qe -
p e
1a +b
a +b b
.
（e 为自然对数-2，
的底数）（1）求p 与q 的关系；（2）若g(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； (3)证明：①f(x+1)≤x,(x≥－1); ②
29. （1）x ∈(0,+∞), 求证： （2）n ∈N *，n ≥2求证
30．已知函数f (x ) =2x +a ln x （1）若a ＜0，证明对任意正数x 1, x 2，总有
f (x 1) +f (x 2)
2
x 1+x 2
2
2
ln 22
2
+
ln 33
2
+ +
ln n n
2
2n -n -14(n +1)
2
(n ∈N , n ≥2).
1x +112+13
x +1x
1x
；
1n
12+13
+ +
1n -1
+ +
≥f (
12
) 成立； （2）若存在x ∈[1，e ]，使不等式
f (x ) ≤(a +3) x -x 成立，求a 的取值范围。
1⎧x +, x ∈[-2, -1) ⎪x ⎪
1⎪
31．已知函数f(x)= ⎨2, x ∈[-1, ) (1)求f(x)的值域；
2⎪
11⎪x -, x ∈[, 2]⎪x 2⎩
（2）设函数g(x)= a x －2，x ∈[－２，２]，若对任意实数x 1∈[-2, 2],总存在x 0∈[-2, 2] 使得g (x 0) =f (x 1) 成立，求实数a 的取值范围。
32．（2006年全国卷II ）设函数f (x ) ＝(x ＋1)ln(x ＋1) ，若对所有的x ≥0，都有f (x ) ≥ax 成
立，求实数a 的取值范围．
33．某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900 元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多一人，机票每张减少10元，直至每张降为 450元为止，每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，提供旅行服务的飞机满 舱人数为75人。（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行社 会获得最大利润。
专题1：函数 导数 不等式
一：高考题（07各省，05，06，07湖北高考）
1．（05湖北）函数y =e |lnx |-|x -1|的图象大致是（ ）
2．（05湖北）在y =2x , y =log
x 1+x 2
2
2
当0
恒成立的函数的个数是
D ．3
（ ）
（ ）
2
使f (
) >
f (x 1) +f (x 2)
2
A ．0
3．（05湖北）若0
B ．1
π
2
C ．2
, 则2x 与3sin x 的大小关系
A ．2x >3sin x B ．2x
4．（05湖北）已知向量a =(x 2, x +1), b =(1-x , t ), 若函数f (x ) =a ⋅b 在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 5．（2006年湖北卷）有限集合S 中元素个数记作card (S )，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：
①A B =φ的充要条件是card (A B )= card(A )+ card(B )； ②A ⊆B 的必要条件是card (A )≤card (B )； ③A ⊄B 的充分条件是card (A )≤card (B )； ④A =B 的充要条件是card (A )=card (B ).
其中真命题的序号是 （B ）
A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③ 6．（06湖北）关于x 的方程(x -1)-x -1+k =0，给出下列四个命题：
2
2
2
①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
23-x
7．（2006年湖北卷）设x =3是函数f (x )=(x +ax +b )e (x ∈R )的一个极值点.
（Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求f (x )的单调区间； （Ⅱ）设a >0，g (x )= a 2+
⎝⎛
25⎫x
⎪e . 若存在ε1, ε2∈[0, 4]使得f (ε1)-g (ε2)
求a 的取值范围.
8．（07湖北卷）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．
已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后， ⎛1⎫y 与t 的函数关系式为y = ⎪
⎝16⎭
t -a
（a 为常数），如图
所示．据图中提供的信息，回答下列问题：
（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）
与时间t （小时）之间的函数关系式为
（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，
那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 9．（07湖北卷）已知定义在正实数集上的函数f (x ) =
12
x +2ax ，g (x ) =3a ln x +b ，
2
2
其中a >0．设两曲线y =f (x ) ，y =g (x ) 有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：f (x ) ≥g (x ) （x >0）． 10．(07福建卷) 已知对任意实数x ，有f (-x ) =-f (x ) ，g (-x ) =g (x ) ，
且x >0时，f '(x ) >0，g '(x ) >0，则x 0，g '(x ) >0 C ．f '(x ) 0
B ．f '(x ) >0，g '(x )
11．（07江西卷）设函数f (x ) 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y =f (x ) 在x =5
处的切线的斜率为（ ） Ａ．-
15
Ｂ．0 Ｃ．
15
Ｄ．5
12．(07陕西卷) f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf '(x ) +f (x ) ≤0, 对任意正数a 、b , 若a ＜b ，则必有
A. af(b) ≤bf(a) B. bf(a) ≤af(b) C. af(a) ≤f(b) D. bf(b) ≤f(a)
13．（07广东）设S 是至少含有两个元素的集合. 在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a, b ∈S, 对于有序元素对(a,b)，在S 中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a, b ∈S, 有a*( b * a)=b，则对任意的a, b ∈S, 下列等式中不能成立的是 ． （A ）( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a （Ｃ）b*( b * b)=b （Ｄ）( a*b) * [ b*( a * b)] =b
14．（07陕西）设集合S={A0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k , 其中k 为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3. 则满足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A0的x(x∈S) 的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
15．（07天津）在R 上定义的函数f (x ) 是偶函数，且f (x ) =f (2-x ) . 若f (x ) 在区间[1,2]上是减函数，则f (x ) ( )
A. 在区间[-2, -1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B. 在区间[-2, -1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C. 在区间[-2, -1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D. 在区间[-2, -1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
16．（07重庆）已知定义域为R 的函数f(x)在(8, +∞) 上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数，则（ ）
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 17．（07江苏）设f (x ) =lg(
21-x
+a ) 是奇函数，则使f (x )
A ．(-1, 0) B ．(0,1) C ．(-∞, 0) D ．(-∞, 0) (1,+∞)
18．（07江苏）已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的导数为f '(x ) ，f '(0)>0，对于任意实数x ，都有f (x ) ≥0，则
f (1)f '(0)
的最小值为（ ）
52
32
A ．3 B ． C ．2 D ．
19．（07安徽卷）定义在R 上的函数f (x ) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期. 若将方程f (x ) =0在闭区间[-T , T ]上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ） （A ）0
（B ）1
（C ）3
2ab |a |+2|b |
22
（D ）5 的最大值为（ ）
20．（07重庆卷）若a 是1+2b与1-2b 的等比中项，则
A.
2515
B.
24
C.
π2
55
D.
21．（07江西卷）若0
3π
，则下列命题中正确的是（ ）
3πx
x Ｂ．sin x >Ｃ．sin x
4π
2
x
2
Ｄ．sin x >
4π
2
x
2
22．（07山东卷）函数y =log a (x +3) -1(a >0，且a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A
在直线mx +ny +1=0上，其中m n >0，则
23． (07全国Ⅰ) 设函数f (x ) =e -e
x
-x
1m
+
2n
的最小值为 ．
．（Ⅰ）证明：f (x ) 的导数f '(x ) ≥2；
（Ⅱ）若对所有x ≥0都有f (x ) ≥ax ，求a 的取值范围．
24．（07辽宁）已知函数f (x ) =e 2x -2t (e x +x ) +x 2+2t 2+1，g (x ) =（I
）证明：当t
（II ）对于给定的闭区间[a ，b ]，试说明存在实数k ，当t >k 时， （III ）证明：f (x ) ≥g (x ) 在闭区间[a ，b ]上是减函数；
2
12
f '(x ) ．
32
．
25． (07安徽卷) 设a ≥0，f (x )=x －1－ln x ＋2a ln x （x >0）.
（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0. ＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >lnx －2a ln x ＋1. 26．．（07浙江）设f (x ) =
x
3
2
2
3
，对任意实数t ，记g t (x ) =t 3x -
23
t ．
（I ）求函数y =f (x ) -g 8(x ) 的单调区间；
（II ）求证：（ⅰ）当x >0时，f (x ) ≥g t (x ) 对任意正实数t 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x 0，使得g 8(x 0) ≥g t (x 0) 对任意正实数t 成立．
27．（07福建）已知函数f (x ) =e x -kx ，x ∈R （Ⅰ）若k =e ，试确定函数f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）若k >0，且对于任意x ∈R ，f (x ) >0恒成立，试确定实数k 的取值范围；
二：客观题部分。（基本概念与基本性质）
1．设f(x)为Ｒ上的减函数，且f(０) ＝３，f(３) ＝－１，设Ｐ＝｛x| f (x +t ) -1
2. 已知集合A=｛(x,y)| x +y =1｝,B=｛(x,y)| kx－y －2≤０｝，若x,y ∈R, 且Ａ⊆B ，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．[0，3] B 。[－3，3] C 。［－3，0］ D 。［－3，+∞） ⎧(3a -1) x +4a , x
log x , x >1a ⎩
2
2
（A ）(0,1) （B ）(0,)
3
1
（C ）[, )
73
11
（D ）[,1)
7
1
4．已知函数f(x)=a （ ）
（A ）n
x
(a >0且a ≠1) , f(a )
a 2
), s=f[ f(a )],则
（B ）m
∆x →0
（D ）n
∆x
5. 设f(x)在点x 处可导，a ,b 为非零常数，则lim
f (x +a ∆x ) -f (x -b ∆x )
a +b 2
=( )
A. f '(x ) B.( a +b) f '(x ) C.( a －b) f '(x ) D. f '(x )
⎧a , a ≤b 5π
6. 定义一种新运算a ⊗b =⎨，令f （x ）＝（cos 2x +sinx）⊗,x ∈[0,],则函数
42⎩b , a >b
y=f(x- A.
54
π
2
) 的最大值为（ ）
54
B. 1 C. －１ D. －
S ∆PCA S ∆ABC
7. 设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝
S ∆PBC S ∆ABc
， λ2＝
，
λ3＝
S ∆PAB S ∆ABC
，定义f (P)=(λ1, λ, λ3), 若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（
12
，
13
，
16
），则
（ ）
A ．点Q 在△GAB 内
C ．点Q 在△GCA 内 B ．点Q 在△GBC 内
D ．点Q 与点G 重合
8. 若不等式x 4+2ax 2-a +2>0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 _______________
9．若关于x 的不等式2-x >x -a 至少有一个负根，则实数a 的取值范围是_______________
2
10。关于x 的不等式x x -a ≥2a 的解集为_______________
2
11. 设f （x ）是定义在Ｒ上的奇函数，且f （x ）＝－f （x ＋２），当０≤x ≤1时， f （x ）＝sinx ,则使f （x ）＜０成立的x 范围是_______________
12.f(x)和g(x)(g(x) ≠0) 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当x
f (x ) g (x )
且f(－2)=0,则不等式
13. 能使函数y=x +x +a 的最小值是
32
的实数a 的值为______________
14. 如果不等式x+x -a ≥2的解集为R, 则a 的取值范围是______________
15．不等式2x >x+1的解集为_____________ 16. 若函数y =f (
12
x -1) 是偶函数，则函数y=f(x)的图象的对称轴方程为_____________
12
T ) 的值为_____________
-1
17. f(x)是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (-
18．设定义域、值域均为R 的单调函数y=f （x ）的反函数为y=f （—x ）=5,则f 19．若函数
-1
（x ）且f （x ）+f
(x +2) +f
13x -x
3
-1
(3-x ) =______________
a ) 上有最小值，则实数a
2
f (x ) =
在(a , 10-的取值范围为 .
三：主观题部分。（解不等式，函数性质，导数研究最值及证明不等式）
20．（1）解关于x 的不等式：x x -a ≤
（2）解关于x 的不等式：
21．已知f(x)定义在R 上的函数，对于任意的实数a ,b 都有f(a b)=a f(b)+b f(a ) 且f(2)=1（1）求f(
22. 函数f(x)的定义域为R, 并满足以下条件:①对任意x ∈R , 有f(x)>0;
12
2a 9
2
(a >0)
(x -1)
2
a (x -2) +1
>1(a >1)
) 的值 ; （2）求f(2-n ) 的解析式(n ∈N *).
②对任意x,y ∈R , 有[f(x)]y = f(xy); ③f()>1.
3
1
(1)求f(0)的值; (2)求证f(x)在R 上是单调函数;
(3)若a >b>c>0,且b 2=a c, 求证: f(a )+ f(c) >2f(b).
23. 设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈[0]
2
1
都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2) ．且f (1) = a ＞0． (Ⅰ) 求f (
12
) 及f (
14
12n
) ；(Ⅱ) 证明f (x ) 是周期函数； ) ，求lim (ln a n )．
n →∞
(Ⅲ) 记a n = f (2n ＋
24. 设f (x ) =x x -a +b （1）求证：f(x)为奇函数的充要条件是a 2+b 2=0 （2）设常数b
25. 设函数f(x)是定义在[－1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x ∈[－1，0）时，
f (x ) =2ax +
1x
2
(a 为实数) 。（1）当x ∈（0，1]时，求f(x)的解析式；
（2）a >-1时，试判断f(x)在（0，1]上的单调性并证明你的结论；
（3）是否存在实数a ，使得当x ∈（0，1]时有最大值－6。
26．已知函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过的最大整数，如：[-2.1]=-3,[-3]=-3, [2.2]=2. (1)求f (), f (-
23
32
) 的值 ； （2）判断函数f(x)的奇偶性；
（3）若x ∈[－2，2]，求的值域。
27．设函数f (x ) =
1-x ax
+ln x 在[1, +∞) 上是增函数。
（1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设b >0, a >1，求证：
28．设g (x ) =px -
p x
-2f (x ), 其中f (x ) =ln x , 且g (e ) =qe -
p e
1a +b
a +b b
.
（e 为自然对数-2，
的底数）（1）求p 与q 的关系；（2）若g(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； (3)证明：①f(x+1)≤x,(x≥－1); ②
29. （1）x ∈(0,+∞), 求证： （2）n ∈N *，n ≥2求证
30．已知函数f (x ) =2x +a ln x （1）若a ＜0，证明对任意正数x 1, x 2，总有
f (x 1) +f (x 2)
2
x 1+x 2
2
2
ln 22
2
+
ln 33
2
+ +
ln n n
2
2n -n -14(n +1)
2
(n ∈N , n ≥2).
1x +112+13
x +1x
1x
；
1n
12+13
+ +
1n -1
+ +
≥f (
12
) 成立； （2）若存在x ∈[1，e ]，使不等式
f (x ) ≤(a +3) x -x 成立，求a 的取值范围。
1⎧x +, x ∈[-2, -1) ⎪x ⎪
1⎪
31．已知函数f(x)= ⎨2, x ∈[-1, ) (1)求f(x)的值域；
2⎪
11⎪x -, x ∈[, 2]⎪x 2⎩
（2）设函数g(x)= a x －2，x ∈[－２，２]，若对任意实数x 1∈[-2, 2],总存在x 0∈[-2, 2] 使得g (x 0) =f (x 1) 成立，求实数a 的取值范围。
32．（2006年全国卷II ）设函数f (x ) ＝(x ＋1)ln(x ＋1) ，若对所有的x ≥0，都有f (x ) ≥ax 成
立，求实数a 的取值范围．
33．某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900 元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多一人，机票每张减少10元，直至每张降为 450元为止，每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元，提供旅行服务的飞机满 舱人数为75人。（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行社 会获得最大利润。